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2025-2026学年河南省郑州市荥阳市高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数（i为虚数单位）的共轭复数为（　　）
A. i-2 B. i+2 C. 2-i D. -2-i
2.已知向量，若，则=（　　）
A. （-2，-1） B. （2，1） C. （3，-1） D. （-3，1）
3.在△ABC中，若A=60°，BC=3，AC=6，则角B的大小为（　　）
A. 30° B. 45° C. 135° D. 45°或135°
4.西昌市某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C、D两点，在C、D处测得旗杆的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD=120°且C，D的距离为12米，则旗杆的高度为（　　）
A. 9米 B. 12米 C. 13米 D. 15米
5.已知正四棱锥V-ABCD的底面边长为2，体积为，E为棱VC的中点，则直线VA与BE所成角的余弦值为（　　）
A. B. C. D.
6.已知，，且与的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
7.己知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在一半球底面上，且A，B、C，D四个顶点都在此半球面上，則此半球的体积为（　　）
A. 4π B. 2π C. 16π D. 8π
8.已知△ABC中，AB=2，AC=1，，O为△ABC所在平面内一点，且满足，则的值为（　　）
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A. 棱柱的侧面一定是矩形
B. 三个平面至多将空间分为7个部分
C. 圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成
D. 任意五棱锥都可以分成3个三棱锥
10.已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（　　）
A. B. 与可以作为一组基底
C. D. 向量在向量上的投影向量为
11.在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulli,于1996年被收入世界文化遗产名录.现测量一个Trulli的屋顶，得到圆锥SO（其中S为顶点，O为底面圆心），母线SA的长为10m,底面半径OA长为6m.下面说法正确的是（　　）
A. 圆锥SO的高为8m B. 圆锥SO的侧面积为60πm2
C. 圆锥SO的体积为288πm2 D. 圆锥SO外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量=（1，-1），=（t，2），若（+）⊥，则t=______．
13.如图，O′A′B′C′是平面四边形OABC的直观图，若O′A′B′C′是边长为2的正方形，则四边形OABC的周长为 .
14.在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为a,b,c,其面积，这里.已知在△ABC中，BC=6，AB=2AC，则△ABC面积的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=m2（1+i）+（3i-4）m+2i-5（m∈R）．
（1）若z为纯虚数，求m的值；
（2）若复数的实部与虚部之和为14，求m的值．
16.(本小题15分)
已知向量，满足，，且与不共线．
（1）若向量与为共线，求实数k的值；
（2）若向量与的夹角为60°，求与的夹角．
17.(本小题15分)
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中的棱长为2，O1是A1C1中点．
（1）求证：AO1∥平面DBC1；
（2）设BB1的中点为M，过A、C1、M作一截面，并求出截面面积．
18.(本小题17分)
已知△ABC三内角A，B，C所对边分别是a,b,c.若，且sin2A+sin2C-sinAsinC=sin2B.
（1）求角B；
（2）求2a+c的最大值.
19.(本小题17分)
已知向量=（cos.-sin），=（cos，sin）
（1）设函数f（x）= ，求f（x）的单调递增区间；
（2）设函数g（x）= -2λ|+|，若g（x）的最小值是-，求实数λ的值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】CD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】0
13.【答案】16
14.【答案】12
15.【答案】解：（1）由题意得z=（m2-4m-5）+（m2+3m+2）i．
因为z为纯虚数，
所以，解得m=5，
故m的值为5．
（2）由题意得，
因为复数的实部与虚部之和为14，
所以m2+3m+2+（-m2+4m+5）=14，
解 m=1，
故m的值为1．
16.【答案】解：（1）因为与为共线，
所以=，所以，所以k2=2，．
（2）易知，
=12，故，
同理||=，==-3，
设所求的夹角为θ，所以cosθ===，
结合θ∈[0，π]，故．
17.【答案】解：（1）证明：如图，
连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接OC1，
由AA1∥CC1，AA1=CC1 可得四边形AA1C1C为平行四边形，则AC∥A1C1，
又C1O1=AO，∴四边形AOC1O1为平行四边形，得AO1∥C1O．
而A1O 平面DBC1，C1O 平面DBC1，
∴AO1∥平面DBC1；
（2）连接AM，C1M，设平面AMC1 与平面AA1D1D交于AN，
由平面AA1D1D∥平面BB1C1C，且平面AMC1∩平面BB1C1C=C1M，
平面AMC1∩平面AA1D1D=AN，∴C1M∥AN．
同理可得AM∥C1N，得到四边形AMC1N为平行四边形，
在Rt△ABM与Rt△C1B1N中，求得AM=C1M，
即四边形AMC1N为菱形，得N为DD1 的中点．
∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，∴MN=，
．
∴截面面积S=．
18.【答案】
19.【答案】（1）f（x）= =coscos-sinsin=cos2x,
由2kπ-π≤2x≤2kπ（k∈Z）得：kπ-≤x≤kπ（k∈Z），
所以，f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ]（k∈Z）；
（2）因为|+|2=+2 +=2+2cos2x,
所以，|+|=2|cosx|，
所以，g（x）= -2λ|+|=cos2x-4λ|cosx|=2cos2x-4λ|cosx|-1，
令t=|cosx|，则t∈[0，1]，
则h（t）=2t2-4λt-1=2（t-λ）2-1-2λ2，t∈[0，1]．
当λ＜0时，h（t）在区间[0，1]上单调递增，
由h（t）min=h（0）=-1≠-；
当0≤λ≤1时，h（t）min=h（λ）=-1-2λ2=-，解得λ=；
当λ＞1时，h（t）在区间[0，1]上单调递减，
由h（t）min=h（1）=1-4λ=-得：λ=＜1，舍去；
综上所述，λ=．
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