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2025-2026学年贵州省贵阳市花溪区北京师范大学贵安新区附属学校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={x|-1＜x＜1}，B={x|x2-2x＜0}，则A∪B=（　　）
A. {x|x＜0或x＞2} B. {x|0＜x＜1}
C. {x|-1＜x＜2} D. {x|x＜-1或x＞0}
2.在△ABC中，设，，若点D满足，则=（　　）
A. B. C. D.
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若acosB+bcosA=a,则△ABC一定是（　　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形
4.已知，，，则向量在方向上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
5.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△O′A′B′是等腰直角三角形且O′A′=A′B′，其中斜边，则这个平面图形的面积是（　　）
A.
B.
C.
D.
6.设m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A. 若m⊥α，n β，m⊥n,则α⊥β B. 若m∥α，m∥n,则n∥α
C. 若m β，m∥α，α∩β=n,则m∥n D. 若α⊥β，α∩β=m,n⊥m,则n⊥β
7.如图，透明塑科制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
（1）有水的部分始终呈棱柱形；
（2）没有水的部分始终呈棱柱形；
（3）如图（2）所示的四边形CDHG的面积为定值；
（4）棱A1D1始终与水面所在平面平行；
（5）当容器倾斜如图（3）所示时，BE BF是定值.其中所有正确命题的序号是（　　）
A. （1）（2）（3）（4） B. （1）（3）（4）（5）
C. （1）（2）（3）（4）（5） D. （1）（2）（3）（5）
8.勒洛三角形是一种特殊的曲边三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知△ABC的边长为1，P为弧AC上任意一点，则的范围为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z1=（1-i）（2-i），z2=iz1，则（　　）
A. z1=1-3i B. C. |z1|=|z2| D. z2的虚部为1
10.如图，已知二面角A-BD-C的大小为，G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别在AD，AB上，，且AC⊥平面BCD，则以下说法正确的是（　　）
A. E，F，G，H四点共面
B. FG∥平面ADC
C. 若直线FG，HE交于点P，则P，A，C三点共线
D. 若△ABD的面积为6，则△BCD的面积为3
11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,b=4，且acosC+ccosA=2bcosB，则下列结论正确的是（　　）
A. B. △ABC外接圆的面积为16π
C. △ABC的面积的最大值为 D. a+c的最大值是8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.△ABC中，，则c= .
13.已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正切值为2，则该圆台的表面积为 ，体积为 .
14.已知，若满足f（a）=f（b）=f（c）（a、b、c互不相等），则a+b+c的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知||=4，||=3，（2-3） （2+）=61．求：
（1）与的夹角
（2）|+|．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知且.
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，△ABC的面积为，线段BC的中点为D，求AD的长.
17.(本小题15分)
如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且.
（1）证明：平面平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=2x，.
（1）求的值；
（2）试求出函数g（x）的定义域，并判断该函数的单调性与奇偶性；（判断函数的单调性不必给出证明）
（3）若函数F（x）=f（2x）-3f（x），且 x1∈[0，1]，，都有F（x1）＞g（x2）+m成立，求实数m的取值范围.
19.(本小题17分)
现有两个含30°角的全等直角三角板，较短直角边长均为10cm,如图，△PAB与△PCD为这两个三角板，其中PA=PC=10cm,∠PBA=∠PDC=30°.初始时，两三角板的直角顶点重合于点P，斜边AB，CD共线.现将两三角板绕点P平行展开，得到四棱锥P-ABCD.
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）设平面PAB∩平面PCD=l.
（i）求证：1∥平面ABCD；
（ii）当二面角A-l-C的大小为多少时，四棱锥P-ABCD的体积取得最大值？求出该最大值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】ACD
11.【答案】AD
12.【答案】或
13.【答案】

14.【答案】[3，2026）
15.【答案】解：（1）∵，
∴，
即-3×32=61．
化为=-．
∴．
（2）===．
16.【答案】
17.【答案】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，
则，，
由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BF．
由于PF⊥BF，EF∩PF=F，EF、PF平面PEF，
则BF⊥平面PEF，
又因为BF 平面ABFD，
所以平面PEF⊥平面ABFD．
（2）在平面PEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH，
因为BC⊥平面PEF，PH平面PEF，所以BC⊥PH；
因为BC∩EF=F，BC平面ABFD，EF平面ABFD，
所以PH⊥面ABFD，
又平面ABFD，故PH⊥DH．
可知：∠PDH即为DP与平面ABFD所成角，
因为DE∥BF且PF⊥BF，
所以PF⊥DE，
又因为△PDF△CDF，
所以∠FPD=∠FCD=90°，
所以PF⊥PD，
由于DE∩PD=D，DE、PD平面PDE，
则PF⊥平面PDE，
故VF-PDE= ，
因为BF∥DA且BF⊥面PEF，
所以DA⊥面PEF，面PEF，
所以DE⊥EP．
设正方形ABCD的边长为2a，则PD=2a，DE=a，
在△PDE中，，
所以，
故VF-PDE=，
又因为，
所以PH==，
所以在△PHD中，sin∠PDH==，
则DP与平面ABFD所成角的正弦值为：．
18.【答案】2026 函数g（x）在（-1，1）上为减函数，奇函数
19.【答案】AB与CD平行且相等，得四边形ABCD为平行四边形，
所以O为AC，BD的中点，
又由于PA=PC，PB=PD，所以PO⊥AC，PO⊥BD，
又因为AC，BD 平面ABCD，AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD 因为AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD，
又因为AB 平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l，所以AB∥l，
又因为l 平面ABCD，AB 平面ABCD，所以l∥平面ABCD；（ii）90°；最大值500cm3
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