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2026-2027学年高中数学人教A版必修一课时作业 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
一、选择题
1．下面四个不等式中解集为R的是( )
A. B. C. D.
2．已知不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．使不等式组成立的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是( )
A.或 B.或
C. D.或
5．已知不等式的解集为或，则实数a的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
6．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
7．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
8．已知集合,,则( ).
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．设a为实数,则关于x的不等式的解集可能是( )
A. B.
C. D.
10．关于x的一元二次不等式的解集为,则下列成立的是( )
A.
B.
C.关于x的一元二次不等式的解集为
D.函数为其定义域上的减函数
11．关于x的不等式的解集是，则( )
A.
B.
C.不等式的解集是
D.方程的解集是
三、填空题
12．已知，，对任意实数x恒成立.若，则t的取值范围是_______________.
13．若方程的两实根均在区间内,求k的取值范围____________.
14．不等式的解集是____________________.
15．设m为实数，.
（1）若方程有实数根，则m的取值范围是____________________；
（2）若不等式的解集为，则m的取值范围是____________________；
（3）若不等式的解集为R，则m的取值范围是____________________.
四、解答题
16．已知不等式的解集为或.
（1）求实数a,b的值;
（2）解关于x的不等式.
17．已知函数.
(1)解关于x的不等式；
(2)若恒成立,求实数a的取值范围；
18．已知关于x的不等式.
(1)若,,且,试求它的解集；
(2)若,,试求它的解集.
19．(1)若方程的两根分别为,求的值.
(2)教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明：韦达定理 若一元二次方程的两个根为,则
证明：因为一元二次方程的两个根为 ,所以二次三项式可以因式分解为
由于
从而等式恒成立.
根据多项式相等的概念可知,该等式两边的对应项系数应相等.
因此
类比以上思路,推导一元三次方程的根与系数关系；
(3)根据你的发现,解决以下问题：已知关于x的方程有三个实数根 满足,求实数c的值.
20．近年来,某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元.为了节能环保,决定修建一个可使用16年的沼气发电池,并入该合作社的电网.修建沼气发电池的费用（单位:万元）与沼气发电池的容积x（单位:米3）成正比,比例系数为0.12.为了保证正常用电,修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下,修建后该合作社每年消耗的电费C（单位:万元）与修建的沼气发电池的容积x（单位:米3）之间的函数关系为（,k为常数）.记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为F（单位:万元）.
（1）解释的实际意义,并写出F关于x的函数关系;
（2）该合作社应修建多大容积的沼气发电池,可使F最小,并求出最小值.
（3）要使F不超过140万元,求x的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：利用“”判断.在不等式中，对应一元二次方程的判别式，该不等式的解集为R，其他可类似判断.故选C.
2．答案：A
解析：欲使不等式的解集为空集，即，不等式恒成立，则，，即实数a的取值范围是.故选A.
3．答案：A
解析：由可得即解得综上，.故选A.
4．答案：B
解析：，即，令，解得或，且，若，则不等式的解集为，由题意可得；若，则不等式的解集为，不符合题意；
若，则不等式的解集为，由题意可得，解得.
综上所述，实数a的取值范围是或.故选B.
5．答案：C
解析：易知是方程的根，
即，所以,
当时，不等式为，即,其解集为或.
故实数a的值为1.
6．答案：B
解析：因为，
所以或，
所以.
7．答案：C
解析：由,解得,即,
又,
因此.
8．答案：A
解析：由得,由得,
所以集合,,于是.
9．答案：ABD
解析：当时,原不等式可化为,即,解得,
此时不等式的解集为,故选项A正确；
当时,的两根为,,
若,则,此时不等式的解集为,故选项B正确；
若,则当时,,此时不等式的解集为；
当时,,此时不等式的解集为；
当时,,此时不等式的解集为,故选项D正确；该不等式的解集不可能对应选项C．
故选：ABD．
10．答案：AB
解析：因为一元二次不等式的解集为,
所以和是方程的两个根,且,
所以,解得,
故,故A正确,B正确.
即为,即,解得,故C错误.
,函数上定义域为上的偶函数,在定义域上不单调,故D错误.
故选：AB.
11．答案：BC
解析：由题意可知，所以，故A不正确，B正确；
不等式可化为，即，
所以解集为，故C正确；
方程可化为，即，
所以方程的解集是，故D不正确.
故选：BC.
12．答案：
解析：因为，，所以，
因为，所以，
则，即，
所以关于b的一元二次不等式有解，且，
所以，
因为，所以，解得或，
当时，不等式为，得，符合题意；
当时，不等式为，得，符合题意，
则t的取值范围是.
故答案为：
13．答案：
解析：令,该函数的图象对称轴为,由题意得
,解得:.
故答案为:.
14．答案：或
解析：因为，即，
所以或，
所以不等式的解集是或，
故答案为：或.
15．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）方程有实数根，即有实根，
①当，即时，方程的根为，符合题意；
②当，即时，由题意，，解得，
所以，且；
综上，m的取值范围是.
（2）①当，即时，，即，所以解集为，不符合题意；
②当时，由题意有，解得；
综上，m的取值范围是.
（3）①当，即时，，即，所以解集为，不符合题意；
②当时，由题意有，解得；
综上，m的取值范围是.
16．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）因为不等式的解集为或
所以,且的两根为
所以,所以
（2）
即
①若,则
②若,则或
③若,
当即时,
当即时,无解
当即时,
综上所述:时,不等式的解集为
时,不等式的解集为
时,不等式的解集为
时,不等式的解集为
时,不等式的解集为
17．答案：(1)答案见解析
(2)
解析：(1)由题意可得,
当时,,
①当,解集,
②当,解集为或,
③当,解集为或.
综上所述,
当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为或,
当时,不等式的解集为或.
(2)由题意可得对一切实数成立,
易知不符合题意；
当时,得.
所以实数a的取值范围为.
18．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)因为,,且,
所以,即,
所以,解得,
不等式的解集为.
(2)若,,
则,即,
当时,不等式为,解得；
当时,不等式为,解得；
当时,因为,所以解得或；
当时,,所以由不等式可解得；
当时,,所以由不等式可得.
综上,当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为.
19．答案：(1)
(2)答案见解析
(3)
解析：(1)由题意,
所以.
(2)设有三个不相等的实数根,
则可分解因式为,
展开得,
所以有恒成立,
所以等式两边对应系数相等,
所以有.
(3)由(2)可知,,
易知,
因为,
所以有,解得.
20．答案：（1）该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为,,
（2）该合作社应修建容积为350立方米的沼气发电池时,
可使F最小,且最小值为90万元
（3）
解析：（1）的实际意义是修建这种沼气发电池的面积为0时的用电费用,
即未修建沼气发电池时,该合作社每年消耗的电费;
由题意可得,,则;
所以该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为,,;
（2）由（1）,
当且仅当,即时,等号成立,
即该合作社应修建容积为350立方米的沼气发电池时,
可使F最小,且最小值为90万元;
（3）为使F不超过140万元,只需,
整理得,
则,解得,
即x的取值范围是
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