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6.1 平面向量的概念
1. 下列说法中，正确的是(　 　)
A. 温度含零上和零下温度，所以温度是向量
B. 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同
C. 若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D. 若｜a｜＞｜b｜，则a＞b
2. 下列说法中，错误的是(　 　)
A. 向量与向量的长度相等
B. 零向量与任意向量平行
C. 零向量的方向是任意的
D. 方向为北偏西50°的向量与方向为南偏东50°的向量不可能是平行向量
3. 在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的图形是(　 　)
A. 圆 B. 一段弧 C. 线段 D. 直线
4. 如图所示，在单位圆O中，向量，，是(　 　)
A. 起点相同的向量 B. 共线向量
C. 模相等的向量 D. 相等向量
5. (2025·茂名市高新中学高一月考)一架飞机向西飞行400 km，再向东飞行500 km，如果记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么s－｜a｜的值是(　 　)
A. 800 km B. 700 km C. 600 km D. 500 km
6. 已知a，b为非零向量，“a＝b”是“｜a｜＝｜b｜”的(　 　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 民间流传的一种智力玩具七巧板是将一块正方形切割为五个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形，如图所示，则图中与的模相等的向量的个数是(　 　)
A. 2 B. 9 C. 5 D. 7
8. (多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 若｜a｜＝｜b｜，则a，b的长度相等且方向相同或相反
B. 若向量a与任意向量共线，则a是零向量
C. 若a≠b，则a与b可能是共线向量
D. 两向量相等的充要条件是它们的起点、终点相同
9. (多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，DCGH是全等的菱形，则下列结论中，一定正确的有(　 　)
A. ｜｜＝｜｜ B. 与共线
C. 与共线 D. 与共线
10. 已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝ .
11. 某人从点A出发向正东方向行进100 m后到达点B，再向正南方向行进100 m后到达点C，则此人位移的方向是 .
12. 已知四边形ABCD是矩形，设点集M＝{A，B，C，D}，集合T＝{｜P，Q∈M，且P，Q不重合}，用列举法表示集合T＝ .
@关键能力练
13. 中国象棋规则：马走“日”字，象走“田”字.如图所示，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量A，A表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有 个.
14. 已知在四边形ABCD中，∥，求与分别满足什么条件时，四边形ABCD满足下列情况.
(1)四边形ABCD是等腰梯形；
(2)四边形ABCD是平行四边形.
15. 如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝，证明：＝.
16. 如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.C为小正方形的顶点，且｜｜＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求｜｜的最大值与最小值.6.1 平面向量的概念
1. 下列说法中，正确的是(　C　)
A. 温度含零上和零下温度，所以温度是向量
B. 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同
C. 若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D. 若｜a｜＞｜b｜，则a＞b
【解析】 温度没有方向，∴不是向量，A错误；由共线向量的定义可知，共线的向量，起点不同，终点可能相同，B错误；向量不可以比较大小，D错误；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，若a与b不共线，则应均为非零向量.
2. 下列说法中，错误的是(　D　)
A. 向量与向量的长度相等
B. 零向量与任意向量平行
C. 零向量的方向是任意的
D. 方向为北偏西50°的向量与方向为南偏东50°的向量不可能是平行向量
【解析】 向量与向量方向相反，长度相等；零向量的方向是任意的，它与任意向量都平行；方向为北偏西50°的向量与方向为南偏东50°的向量是一对方向相反的向量，因此是平行向量.
3. 在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的图形是(　A　)
A. 圆 B. 一段弧 C. 线段 D. 直线
【解析】 由于单位向量的模为1，故这些单位向量的终点形成的图形为圆.
4. 如图所示，在单位圆O中，向量，，是(　C　)
A. 起点相同的向量 B. 共线向量
C. 模相等的向量 D. 相等向量
【解析】 对于A，由图可知，，的起点为O，的起点为A，A错误；对于B，共线向量是方向相同或相反的非零向量，显然，，不是共线向量，B错误；对于C，｜｜＝｜｜＝｜｜＝1，C正确；对于D，，，的方向不同，∴，，不是相等向量，D错误.
5. (2025·茂名市高新中学高一月考)一架飞机向西飞行400 km，再向东飞行500 km，如果记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么s－｜a｜的值是(　A　)
A. 800 km B. 700 km C. 600 km D. 500 km
【解析】 ∵一架飞机向西飞行400 km，再向东飞行500 km，∴飞机飞行的路程
s＝400＋500＝900 km，位移为向东100 km，∴｜a｜＝100 km，∴s－｜a｜＝
900－100＝800 km.
6. 已知a，b为非零向量，“a＝b”是“｜a｜＝｜b｜”的(　A　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 充分性：若a＝b，则a，b方向相同且｜a｜＝｜b｜，充分性成立；必要性：若｜a｜＝｜b｜，但a，b的方向不一定相同，即a，b不一定相等，必要性不成立.因此，“a＝b”是“｜a｜＝｜b｜”的充分不必要条件.
7. 民间流传的一种智力玩具七巧板是将一块正方形切割为五个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形，如图所示，则图中与的模相等的向量的个数是(　B　)
A. 2 B. 9 C. 5 D. 7
【解析】 与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个.
8. (多选)下列说法中，正确的有(　BC　)
A. 若｜a｜＝｜b｜，则a，b的长度相等且方向相同或相反
B. 若向量a与任意向量共线，则a是零向量
C. 若a≠b，则a与b可能是共线向量
D. 两向量相等的充要条件是它们的起点、终点相同
【解析】 模相等的向量不一定平行，A错误；只有零向量与任意向量共线，B正确；C显然正确；两向量相等的充要条件是它们的方向相同、长度相等，D错误.
9. (多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，DCGH是全等的菱形，则下列结论中，一定正确的有(　ABD　)
A. ｜｜＝｜｜ B. 与共线
C. 与共线 D. 与共线
【解析】 ∵三个四边形是全等的菱形，∴｜｜＝｜｜，AB∥CD∥FH，与共线，又D，C，E三点共线，∴与共线，∴A，B，D中的结论一定成立.
10. 已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝　0　.
【解析】 向量m与向量是平行向量，则向量m与向量方向相同或相反，向量m与是共线向量，则向量m与向量方向相同或相反.由A，B，C是不共线的三点，可知向量与向量方向不同且不共线，则m＝0.
11. 某人从点A出发向正东方向行进100 m后到达点B，再向正南方向行进100 m后到达点C，则此人位移的方向是　南偏东30°(或东偏南60°)　.
【解析】 如图所示，连接AC，则tan∠BAC＝＝＝，∵∠BAC是△ABC的内角， ∴∠BAC＝60°，∴此人位移的方向是南偏东30°，或东偏南60°.
12. 已知四边形ABCD是矩形，设点集M＝{A，B，C，D}，集合T＝{｜P，Q∈M，且P，Q不重合}，用列举法表示集合T＝　{，，，，，，，，，，，}　.
【解析】 ∵M＝{A，B，C，D}，T＝{｜P，Q∈M，且P，Q不重合}，
∴T＝{，，，，，，，，，，，}.
@关键能力练
13. 中国象棋规则：马走“日”字，象走“田”字.如图所示，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量A，A表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有　11　个.
【解析】 马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走.如图所示，以B为起点作向量，共3个；以C为起点作向量，共8个，∴共有11个.
14. 已知在四边形ABCD中，∥，求与分别满足什么条件时，四边形ABCD满足下列情况.
(1)四边形ABCD是等腰梯形；
解：(1)｜｜＝｜｜，且与不平行.
∵∥，∴四边形ABCD为梯形或平行四边形.若四边形ABCD为等腰梯形，则｜｜＝｜｜，同时两向量不平行.
(2)四边形ABCD是平行四边形.
解：(2)＝(或∥).
若＝，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD为平行四边形.
15. 如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝，证明：＝.
证明：∵＝，∴AB＝DC，且AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴＝，即CB＝DA，又＝，∴CN＝MA，CN∥MA，∴四边形CNAM是平行四边形，∴＝，∴CM＝NA，CM∥NA.∵CB＝DA，CM＝NA，∴MB＝DN.又DN∥MB，∴与的模相等且方向相同，∴＝.
16. 如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.C为小正方形的顶点，且｜｜＝.
(1)画出所有的向量；
解：(1)画出所有的向量，如图所示.
(2)求｜｜的最大值与最小值.
解：(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或点C2时，｜｜取得最小值＝；
②当点C位于点C5或点C6时，｜｜取得最大值＝.综上，｜｜的最大值是，最小值是.(共22张PPT)
一、平面向量的概念
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
关键能力练
必备知识练
1. 下列说法中，正确的是(　C　)
A. 温度含零上和零下温度，所以温度是向量
B. 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同
C. 若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D. 若｜a｜＞｜b｜，则a＞b
C
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【解析】 温度没有方向，∴不是向量，A错误；由共线向量的定义可
知，共线的向量，起点不同，终点可能相同，B错误；向量不可以比较
大小，D错误；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，若a与b
不共线，则应均为非零向量.
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2. 下列说法中，错误的是(　D　)
A. 向量 与向量 的长度相等
B. 零向量与任意向量平行
C. 零向量的方向是任意的
D. 方向为北偏西50°的向量与方向为南偏东50°的向量不可能是平行向量
【解析】 向量 与向量 方向相反，长度相等；零向量的方向是任
意的，它与任意向量都平行；方向为北偏西50°的向量与方向为南偏东
50°的向量是一对方向相反的向量，因此是平行向量.
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3. 在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这
些向量的终点形成的图形是(　A　)
A. 圆 B. 一段弧 C. 线段 D. 直线
【解析】 由于单位向量的模为1，故这些单位向量的终点形成的图
形为圆.
A
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4. 如图所示，在单位圆O中，向量 ， ， 是(　C　)
A. 起点相同的向量 B. 共线向量
C. 模相等的向量 D. 相等向量
C
【解析】 对于A，由图可知， ， 的起点为O，
的起点为A，A错误；对于B，共线向量是方向相同或相反的非零向量，显然 ， ， 不是共线向量，B错误；对于C，｜ ｜＝
｜ ｜＝｜ ｜＝1，C正确；对于D， ， ， 的方向不同，∴ ， ， 不是相等向量，D错误.
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5. (2025·茂名市高新中学高一月考)一架飞机向西飞行400 km，再向东
飞行500 km，如果记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么s－｜a｜的
值是(　A　)
A. 800 km B. 700 km
C. 600 km D. 500 km
【解析】 ∵一架飞机向西飞行400 km，再向东飞行500 km，∴飞机飞
行的路程s＝400＋500＝900 km，位移为向东100 km，∴｜a｜＝
100 km，∴s－｜a｜＝900－100＝800 km.
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6. 已知a，b为非零向量，“a＝b”是“｜a｜＝｜b｜”的(　A　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 充分性：若a＝b，则a，b方向相同且｜a｜＝｜b｜，充分
性成立；必要性：若｜a｜＝｜b｜，但a，b的方向不一定相同，即
a，b不一定相等，必要性不成立.因此，“a＝b”是“｜a｜＝｜b｜”的充分不必要条件.
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7. 民间流传的一种智力玩具七巧板是将一块正方形切割为五个等腰直
角三角形、一个正方形和一个平行四边形，如图所示，则图中与 的
模相等的向量的个数是(　B　)
A. 2 B. 9 C. 5 D. 7
【解析】 与 的模相等的向量有 ， ， ，
， ， ， ， ， ，共9个.
B
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8. (多选)下列说法中，正确的有(　BC　)
A. 若｜a｜＝｜b｜，则a，b的长度相等且方向相同或相反
B. 若向量a与任意向量共线，则a是零向量
C. 若a≠b，则a与b可能是共线向量
D. 两向量相等的充要条件是它们的起点、终点相同
【解析】 模相等的向量不一定平行，A错误；只有零向量与任意向量共
线，B正确；C显然正确；两向量相等的充要条件是它们的方向相同、
长度相等，D错误.
BC
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9. (多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，DCGH是全等的菱形，则
下列结论中，一定正确的有(　ABD　)
A. ｜ ｜＝｜ ｜ B. 与 共线
C. 与 共线 D. 与 共线
【解析】 ∵三个四边形是全等的菱形，∴｜ ｜＝｜ ｜，
AB∥CD∥FH， 与 共线，又D，C，E三点共线，∴ 与
共线，∴A，B，D中的结论一定成立.
ABD
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10. 已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量 是平行向量，与 是共线向量，则m＝ .
【解析】 向量m与向量 是平行向量，则向量m与向量 方向相同
或相反，向量m与 是共线向量，则向量m与向量 方向相同或相
反.由A，B，C是不共线的三点，可知向量 与向量 方向不同且
不共线，则m＝0.
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11. 某人从点A出发向正东方向行进100 m后到达点B，再向正南方向行
进100 m后到达点C，则此人位移的方向是
.
【解析】 如图所示，连接AC，则tan∠BAC＝ ＝
＝ ，∵∠BAC是△ABC的内角， ∴∠BAC＝60°，
∴此人位移的方向是南偏东30°，或东偏南60°.
南偏东30°(或东偏南
60°)　
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12. 已知四边形ABCD是矩形，设点集M＝{A，B，C，D}，集合T＝
{ ｜P，Q∈M，且P，Q不重合}，用列举法表示集合T＝

.
【解析】 ∵M＝{A，B，C，D}，T＝{ ｜P，Q∈M，且P，Q
不重合}，∴T＝{ ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， }.
{ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， }　
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. 中国象棋规则：马走“日”字，象走“田”字.如图所示，在中国
象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在
A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量A ，A 表示马走了“一
步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共
有 个.
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【解析】 马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条
路可走.如图所示，以B为起点作向量，共3个；以C为起点作向量，共
8个，∴共有11个.
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14. 已知在四边形ABCD中， ∥ ，求 与 分别满足什么条件
时，四边形ABCD满足下列情况.
(1)四边形ABCD是等腰梯形；
解：(1)｜ ｜＝｜ ｜，且 与 不平行.
∵ ∥ ，∴四边形ABCD为梯形或平行四边形.若四边形ABCD为
等腰梯形，则｜ ｜＝｜ ｜，同时两向量不平行.
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(2)四边形ABCD是平行四边形.
解：(2) ＝ (或 ∥ ).
若 ＝ ，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD为
平行四边形.
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15. 如图所示，在四边形ABCD中， ＝ ，N，M分别是AD，BC
上的点，且 ＝ ，证明： ＝ .
证明：∵ ＝ ，∴AB＝DC，且AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴ ＝ ，
即CB＝DA，又 ＝ ，∴CN＝MA，CN∥MA，
∴四边形CNAM是平行四边形，∴ ＝ ，∴CM＝NA，CM∥NA. ∵CB＝DA，CM＝NA，∴MB＝DN. 又DN∥MB，∴ 与 的模相等且方向相同，∴ ＝ .
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16. 如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有
两个定点A，B. C为小正方形的顶点，且｜ ｜＝ .
(1)画出所有的向量 ；
解：(1)画出所有的向量 ，如图所示.
(2)求｜ ｜的最大值与最小值.
解：(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或点C2时，｜ ｜取得最小值
＝ ；
②当点C位于点C5或点C6时，｜ ｜取得最大值
＝ .综上，｜ ｜的最大值是 ，最小值是 .
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