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6.2 练习1　向量的加法运算
1. 在平行四边形ABCD中，＋＋等于(　 　)
A. B. C. D.
2. 如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于(　 　)
A. B. C. D.
3. 若在△ABC中，＝a，＝b，且｜a｜＝｜b｜＝1，｜a＋b｜＝，则△ABC的形状是(　 　)
A. 等边三角形 B. 锐角三角形
C. 斜三角形 D. 等腰直角三角形
4. 已知向量a∥b，且｜a｜＞｜b｜＞0，则向量a＋b的方向(　 　)
A. 与向量a的方向相同
B. 与向量a的方向相反
C. 与向量b的方向相同
D. 不确定
5. 若非零不共线向量a，b满足｜a＋b｜＝｜b｜，则(　 　)
A. ｜2a｜＞｜2a＋b｜ B. ｜2a｜＜｜2a＋b｜
C. ｜2b｜＞｜a＋2b｜ D. ｜2b｜＜｜a＋2b｜
6. 在平行四边形ABCD中，若｜＋｜＝｜＋｜，则四边形ABCD是(　 　)
A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 不确定
7. 已知P为△ABC所在平面内一点，当＋＝成立时，点P位于(　 　)
A. △ABC的AB边上
B. △ABC的BC边上
C. △ABC的内部
D. △ABC的外部
8. (多选)设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. a∥b B. a＋b＝a
C. a＋b＝b D. a＋b＜｜a｜＋｜b｜
9. (多选)已知四边形ABCD为平行四边形，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. ＋＝ B. ＋＝
C. ＋＝ D. ＋＝
10. 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，｜｜＝1，则｜＋｜＝ .
11. 已知G是△ABC的重心，则＋＋＝ .
12. 一艘船在静水中的航行速度大小为5 km/h，河水的流速大小为2 km/h，则船实际航行速度的大小(单位：km/h)的取值范围是 .
13. 设a，b，c为非零向量，若p＝＋＋，则｜p｜的取值范围是(　 　)
A. [0，1] B. [1，2] C. [0，3] D. [1，3]
14. 如图所示，求：
(1)a＋d；
(2)c＋b；
(3)e＋c＋b；
(4)c＋f＋b.
15. 如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力｜F1｜＝24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力｜F2｜＝12 N.求F1和F2的合力.
16. 设｜a｜＝2，e为单位向量，试求｜a＋e｜的最大值.(共20张PPT)
二、平面向量的运算
练习1　向量的加法运算
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. 在平行四边形ABCD中， ＋ ＋ 等于(　A　)
A. B. C. D.
【解析】 ＋ ＋ ＝(＋ )＋ ＝ ＋ ＝ ＝ .
A
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2. 如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交
于点O，则 ＋ ＋ ＋ 等于(　B　)
A. B. C. D.
【解析】 ＋ ＋ ＋ ＝(＋ )＋(＋ )＝
＋ ＝ .
B
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3. 若在△ABC中， ＝a， ＝b，且｜a｜＝｜b｜＝1，｜a＋
b｜＝ ，则△ABC的形状是(　D　)
A. 等边三角形 B. 锐角三角形
C. 斜三角形 D. 等腰直角三角形
【解析】 ∵｜ ｜＝｜a｜＝1，｜ ｜＝｜b｜＝1，｜ ｜＝
｜a＋b｜＝ ，∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，∴△ABC为等腰直
角三角形.
D
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4. 已知向量a∥b，且｜a｜＞｜b｜＞0，则向量a＋b的方向(　A　)
A. 与向量a的方向相同
B. 与向量a的方向相反
C. 与向量b的方向相同
D. 不确定
【解析】 若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相
同；若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a
的方向相同.
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5. 若非零不共线向量a，b满足｜a＋b｜＝｜b｜，则(　C　)
A. ｜2a｜＞｜2a＋b｜ B. ｜2a｜＜｜2a＋b｜
C. ｜2b｜＞｜a＋2b｜ D. ｜2b｜＜｜a＋2b｜
【解析】 ｜a＋2b｜＝｜a＋b＋b｜≤｜a＋b｜＋｜b｜＝2｜b｜.
由于a，b是非零不共线向量，故a＋b与b不共线，故等号不成立.
C
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6. 在平行四边形ABCD中，若｜ ＋ ｜＝｜ ＋ ｜，则四边
形ABCD是(　B　)
A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 不确定
【解析】 ∵四边形ABCD为平行四边形，∴ ＋ ＝ ， ＋
＝ . 又｜ ＋ ｜＝｜ ＋ ｜，∴｜ ｜＝｜ ｜.
∴该平行四边形ABCD为矩形.
B
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7. 已知P为△ABC所在平面内一点，当 ＋ ＝ 成立时，点P位
于(　D　)
A. △ABC的AB边上
B. △ABC的BC边上
C. △ABC的内部
D. △ABC的外部
D
【解析】 如图所示，根据向量加法的平行四边形法则及 ＋ ＝
，可知点P在△ABC的外部.
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8. (多选)设a＝(＋ )＋(＋ )，b是任一非零向量，则下列结
论中，正确的有(　AC　)
A. a∥b B. a＋b＝a
C. a＋b＝b D. a＋b＜｜a｜＋｜b｜
【解析】 由题意，a＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝
＋ ＝0，A，C正确，B错误；平面向量不能比较大小，D错误.
AC
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9. (多选)已知四边形ABCD为平行四边形，则下列结论中，正确的有
(　AC　)
A. ＋ ＝ B. ＋ ＝
C. ＋ ＝ D. ＋ ＝
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ＋ ＝ ， ＋
≠ ， ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ， ＋ ＝ ＋
＋ ＝ ＋2 ＝ ＋2 ≠ .
AC
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10. 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，｜ ｜＝1，
则｜ ＋ ｜＝ .
【解析】 在菱形ABCD中，连接BD，∵∠DAB＝60°，∴△BAD为
等边三角形，又｜ ｜＝1，∴｜ ｜＝1，｜ ＋ ｜＝
｜ ｜＝1.
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11. 已知G是△ABC的重心，则 ＋ ＋ ＝ .
【解析】 如图所示，连接AG并延长交BC于点E，E为BC的中点，延
长AE到点D，使ED＝GE，则 ＋ ＝ ， ＋ ＝0，
∴ ＋ ＋ ＝0.
0　
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12. 一艘船在静水中的航行速度大小为5 km/h，河水的流速大小为2 km/h，则船实际航行速度的大小(单位：km/h)的取值范围是 .
【解析】 设该船实际航行的速度为v，∵船的实际航行速度为静水中的
航行速度与水流速度的合速度，∴｜｜v静｜－｜v水｜｜≤｜v｜≤
｜v静｜＋｜v水｜，故5－2≤｜v｜≤5＋2，则3≤｜v｜≤7，
∴船实际航行速度的大小的取值范围是[3，7].
[3，7]　
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必备知识练
关键能力练
关键能力练
13. 设a，b，c为非零向量，若p＝ ＋ ＋ ，则｜p｜
的取值范围是(　C　)
A. [0，1] B. [1，2] C. [0，3] D. [1，3]
C
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【解析】 ， ， 分别为a，b，c方向上的单位向量，
则｜p｜＝ ≤3，当且仅当a，b，c方向都相
同时，等号成立.作 ＝ ， ＝ ， ＝ ，当
∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝ 时，如图所示.以OA，OB为邻边作平
行四边形OAEB，连接OE，则 ＋ ＝ ，且四边形OAEB为菱
形，∠AOE＝ ，∴△AOE为等边三角形，
∴｜ ｜＝1，又∠AOC＝ ，｜ ｜＝1，
∴由图可知 ＋ ＝0，
即｜p｜＝｜ ＋ ＋ ｜＝0.综上，0≤｜p｜≤3.
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14. 如图所示，求：
(1)a＋d；
解：(1)a＋d＝d＋a＝ ＋ ＝ .
(2)c＋b；
解：(2)c＋b＝ ＋ ＝ .
(3)e＋c＋b；
解：(3)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝ ＋ ＝ .
(4)c＋f＋b.
解：(4)c＋f＋b＝c＋b＋f＝ ＋ ＝ .
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15. 如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉
力｜F1｜＝24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力｜F2｜＝12 N. 求F1和
F2的合力.
解：如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，
得到合力F＝F1＋F2＝ .
在△OCA中，｜ ｜＝24，｜ ｜＝｜ ｜＝12，
∠OAC＝60°，
∴∠OCA＝90°，∴｜ ｜＝12 .
∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为与F2成90°
角竖直向上.
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16. 设｜a｜＝2，e为单位向量，试求｜a＋e｜的最大值.
解：在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝e，则a＋e＝ ＋
＝ ，∵e为单位向量，∴点B在以点A为圆心的单位圆上
(如图所示)，
由图可知当点B在点B1处时，即O，A，B1三点共线时，
｜a＋e｜最大，最大值是3.
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166.2 练习1　向量的加法运算
1. 在平行四边形ABCD中，＋＋等于(　A　)
A. B. C. D.
【解析】 ＋＋＝(＋)＋＝＋＝＝.
2. 如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于(　B　)
A. B. C. D.
【解析】 ＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
3. 若在△ABC中，＝a，＝b，且｜a｜＝｜b｜＝1，｜a＋b｜＝，则△ABC的形状是(　D　)
A. 等边三角形 B. 锐角三角形
C. 斜三角形 D. 等腰直角三角形
【解析】 ∵｜｜＝｜a｜＝1，｜｜＝｜b｜＝1，｜｜＝｜a＋b｜＝，∴｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，∴△ABC为等腰直角三角形.
4. 已知向量a∥b，且｜a｜＞｜b｜＞0，则向量a＋b的方向(　A　)
A. 与向量a的方向相同
B. 与向量a的方向相反
C. 与向量b的方向相同
D. 不确定
【解析】 若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同.
5. 若非零不共线向量a，b满足｜a＋b｜＝｜b｜，则(　C　)
A. ｜2a｜＞｜2a＋b｜ B. ｜2a｜＜｜2a＋b｜
C. ｜2b｜＞｜a＋2b｜ D. ｜2b｜＜｜a＋2b｜
【解析】 ｜a＋2b｜＝｜a＋b＋b｜≤｜a＋b｜＋｜b｜＝2｜b｜. 由于a，b是非零不共线向量，故a＋b与b不共线，故等号不成立.
6. 在平行四边形ABCD中，若｜＋｜＝｜＋｜，则四边形ABCD是(　B　)
A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 不确定
【解析】 ∵四边形ABCD为平行四边形，∴＋＝，＋＝.
又｜＋｜＝｜＋｜，∴｜｜＝｜｜. ∴该平行四边形ABCD为矩形.
7. 已知P为△ABC所在平面内一点，当＋＝成立时，点P位于(　D　)
A. △ABC的AB边上
B. △ABC的BC边上
C. △ABC的内部
D. △ABC的外部
【解析】 如图所示，根据向量加法的平行四边形法则及＋＝，可知点P在△ABC的外部.
8. (多选)设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论中，正确的有(　AC　)
A. a∥b B. a＋b＝a
C. a＋b＝b D. a＋b＜｜a｜＋｜b｜
【解析】 由题意，a＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0，A，C正确，B错误；平面向量不能比较大小，D错误.
9. (多选)已知四边形ABCD为平行四边形，则下列结论中，正确的有(　AC　)
A. ＋＝ B. ＋＝
C. ＋＝ D. ＋＝
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴＋＝，＋≠，＋＝＋＝＝，＋＝＋＋＝＋2＝＋2≠.
10. 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，｜｜＝1，则｜＋｜＝　1　.
【解析】 在菱形ABCD中，连接BD，∵∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形，又｜｜＝1，∴｜｜＝1，｜＋｜＝｜｜＝1.
11. 已知G是△ABC的重心，则＋＋＝　0　.
【解析】 如图所示，连接AG并延长交BC于点E，E为BC的中点，延长AE到点D，使ED＝GE，则＋＝，＋＝0，∴＋＋＝0.
12. 一艘船在静水中的航行速度大小为5 km/h，河水的流速大小为2 km/h，则船实际航行速度的大小(单位：km/h)的取值范围是　[3，7]　.
【解析】 设该船实际航行的速度为v，∵船的实际航行速度为静水中的航行速度与水流速度的合速度，∴｜｜v静｜－｜v水｜｜≤｜v｜≤｜v静｜＋｜v水｜，故5－2≤｜v｜≤5＋2，则3≤｜v｜≤7，∴船实际航行速度的大小的取值范围是[3，7].
13. 设a，b，c为非零向量，若p＝＋＋，则｜p｜的取值范围是(　C　)
A. [0，1] B. [1，2] C. [0，3] D. [1，3]
【解析】 ，，分别为a，b，c方向上的单位向量，则｜p｜＝≤3，当且仅当a，b，c方向都相同时，等号成立.作＝，
＝，＝，当∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝时，如图所示.以OA，
OB为邻边作平行四边形OAEB，连接OE，则＋＝，且四边形OAEB为菱形，∠AOE＝，∴△AOE为等边三角形，∴｜｜＝1，又∠AOC＝，
｜｜＝1，∴由图可知＋＝0，即｜p｜＝｜＋＋｜＝0.综上，0≤｜p｜≤3.
14. 如图所示，求：
(1)a＋d；
解：(1)a＋d＝d＋a＝＋＝.
(2)c＋b；
解：(2)c＋b＝＋＝.
(3)e＋c＋b；
解：(3)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝＋＝.
(4)c＋f＋b.
解：(4)c＋f＋b＝c＋b＋f＝＋＝.
15. 如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力｜F1｜＝24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力｜F2｜＝12 N.求F1和F2的合力.
解：如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝.
在△OCA中，｜｜＝24，｜｜＝｜｜＝12，∠OAC＝60°，
∴∠OCA＝90°，∴｜｜＝12.
∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为与F2成90°角竖直向上.
16. 设｜a｜＝2，e为单位向量，试求｜a＋e｜的最大值.
解：在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝，∵e为单位向量，∴点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1处时，即O，A，B1三点共线时，｜a＋e｜最大，最大值是3.

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