资源简介

6.2 练习2　向量的减法运算
1. (2025·湖南岳阳模拟)在△OMN中，－＋等于(　A　)
A. 0 B. 2 C. 2 D. 0
【解析】 －＋＝＋＋＝＋＝0.
2. (2025·河南商丘高一检测)化简－(－)＋等于(　D　)
A. 2 B. 2CB C. 2 D. 0
【解析】 由题意可得－(－)＋＝＋＋＋＝＋＝0.
3. 在平行四边形ABCD中，M为AB上任一点，则－＋等于(　B　)
A. B. C. D.
【解析】 －＋＝＋＋＝＋＝，在平行四边形ABCD中，＝，∴－＋＝.
4. 若｜｜＝5，｜｜＝8，则｜｜的取值范围是(　C　)
A. [3，8] B. (3，8)
C. [3，13] D. (3，13)
【解析】 ∵｜｜＝｜－｜，
∴｜｜｜－｜｜｜≤｜｜≤｜｜＋｜｜，即3≤｜｜≤13.
5. 如图所示，记向量＝a，＝b，＝c， 则向量可以用a，b，c表示为(　C　)
A. a＋b－c B. a－b＋c C. b－a＋c D. b－a－c
【解析】 由题图可知，＝＋＝－＋＝b－a＋c.
6. (2025·浙江高一阶段练习)在四边形ABCD中，O为任意一点.若－＋－＝0，则(　D　)
A. 四边形ABCD是矩形
B. 四边形ABCD是菱形
C. 四边形ABCD是正方形
D. 四边形ABCD是平行四边形
【解析】 ∵－＋－＝0，∴＋＝0，即＝，可知AB，CD两边平行且相等，∴四边形ABCD是平行四边形，但没有足够的条件来判断四边形ABCD是否为矩形、菱形或正方形.
7. (2025·陕西咸阳阶段练习)设a表示“向东走6 km”，b表示“向南走3 km”，则b－a＋b所表示的意义为(　C　)
A. 向东南走6 km B. 向东南走3 km
C. 向西南走6 km D. 向西南走3 km
【解析】 如图所示，分别作出＝a，＝2b，则利用向量加法的交换律可得
b－a＋b＝2b－a，故＝2b－a，易知△OAB为等腰直角三角形，故∠OAB＝45°，且｜｜＝6，于是b－a＋b所表示的意义为向西南走6 km.
8. (多选)(2024·广东东莞开学考试)下列结果中，恒为零向量的是(　BCD　)
A. －(＋) B. －＋－
C. －＋ D. ＋＋－
【解析】 对于A，－(＋)＝－＝2，A错误；对于B，－＋－＝＋＝0，B正确；对于C，－＋＝＋＝0，C正确；对于D，＋＋－＝＋＝0，D正确.
9. (多选)已知△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，则有(　ABC　)
A. ｜＋｜＝｜－｜
B. ｜－｜＝｜－｜
C. ｜－｜＝｜－｜
D. ｜－｜＞｜－｜＋｜－｜
【解析】 由题可知AB＝AC，且AB⊥AC，则以AB，AC为邻边的平行四边形是正方形，其对角线相等，根据向量的运算法则可知｜＋｜＝｜－｜，A正确；－＝，－＝，∴｜－｜＝｜－｜，B正确；－＝，－＝，∴｜－｜＝｜－｜，C正确；｜－｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜，由条件可知
｜｜＜｜｜＋｜｜，即｜－｜＜｜－｜＋｜－｜，
D错误.
10. 化简：－(＋)＝　　.
【解析】 －(＋)＝－(－)＝－＝.
11. 若a，b为相反向量，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，则｜a＋b｜＝　0　，｜a－b｜＝　2　.
【解析】 若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴｜a＋b｜＝0，又a＝－b，
∴｜a｜＝｜－b｜＝1，∵a与b共线，∴｜a－b｜＝2.
12. 如图所示，已知网格内小正方形的边长为1，P是阴影区域内的一个动点(包括边界)，点O，A在格点上，则｜－｜的最小值是　　，最大值是　2　.
【解析】 ｜－｜＝｜｜，本题即求点A到阴影区域中的点距离的最值，如图所示，
最小值是｜AB｜＝，最大值是｜AC｜＝2.
13. 已知非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则＝　　.
【解析】 如图所示，
设＝a，＝b，则＝－＝a－b，以OA，OB为边作平行四边形OACB，则＝＋＝a＋b. ∵｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，∴△OAB是等边
三角形，四边形OACB是一个菱形，∠OAC＝120°，∴｜a＋b｜＝｜｜＝
｜a｜，∴＝＝.
14. 如图所示，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a.
解：作向量＝a，向量＝b，则向量＝a－b.
如图所示，作向量＝a，则＝a－b＋a.
15. 如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
解：由向量的平行四边形法则，得＝a＋b，＝－＝a－b.
当a，b满足｜a＋b｜＝｜a－b｜时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足｜a｜＝｜b｜时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足｜a＋b｜＝｜a－b｜，且｜a｜＝｜b｜时，四边形ABCD为正方形.
16. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，设＝a，＝b.证明：
(1)｜a－b｜＝｜a｜；
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴CA＝CB，又M是斜边AB的中点，∴CM＝AM＝BM.
(1)∵－＝，且｜｜＝｜｜，∴｜a－b｜＝｜a｜.
(2)｜a＋(a－b)｜＝｜b｜.
(2)∵M是斜边AB的中点，∴＝，∴a＋(a－b)＝＋(－)＝＋＝＋＝，又｜｜＝｜｜，∴｜a＋(a－b)｜＝｜b｜.6.2 练习2　向量的减法运算
1. (2025·湖南岳阳模拟)在△OMN中，－＋等于(　 　)
A. 0 B. 2 C. 2 D. 0
2. (2025·河南商丘高一检测)化简－(－)＋等于(　 　)
A. 2 B. 2CB C. 2 D. 0
3. 在平行四边形ABCD中，M为AB上任一点，则－＋等于(　 　)
A. B. C. D.
4. 若｜｜＝5，｜｜＝8，则｜｜的取值范围是(　 　)
A. [3，8] B. (3，8)
C. [3，13] D. (3，13)
5. 如图所示，记向量＝a，＝b，＝c， 则向量可以用a，b，c表示为(　 　)
A. a＋b－c B. a－b＋c C. b－a＋c D. b－a－c
6. (2025·浙江高一阶段练习)在四边形ABCD中，O为任意一点.若－＋－＝0，则(　 　)
A. 四边形ABCD是矩形
B. 四边形ABCD是菱形
C. 四边形ABCD是正方形
D. 四边形ABCD是平行四边形
7. (2025·陕西咸阳阶段练习)设a表示“向东走6 km”，b表示“向南走3 km”，则b－a＋b所表示的意义为(　 　)
A. 向东南走6 km B. 向东南走3 km
C. 向西南走6 km D. 向西南走3 km
8. (多选)(2024·广东东莞开学考试)下列结果中，恒为零向量的是(　 　)
A. －(＋) B. －＋－
C. －＋ D. ＋＋－
9. (多选)已知△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，则有(　 　)
A. ｜＋｜＝｜－｜
B. ｜－｜＝｜－｜
C. ｜－｜＝｜－｜
D. ｜－｜＞｜－｜＋｜－｜
10. 化简：－(＋)＝ .
11. 若a，b为相反向量，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，则｜a＋b｜＝ ，｜a－b｜＝ .
12. 如图所示，已知网格内小正方形的边长为1，P是阴影区域内的一个动点(包括边界)，点O，A在格点上，则｜－｜的最小值是 ，最大值是 .
13. 已知非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则＝ .
14. 如图所示，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a.
15. 如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
16. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，设＝a，＝b.证明：
(1)｜a－b｜＝｜a｜；
(2)｜a＋(a－b)｜＝｜b｜.(共21张PPT)
二、平面向量的运算
练习2　向量的减法运算
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. (2025·湖南岳阳模拟)在△OMN中， － ＋ 等于(　A　)
A. 0 B. 2 C. 2 D. 0
【解析】 － ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0.
A
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2. (2025·河南商丘高一检测)化简 －(－ )＋ 等于(　D　)
A. 2 B. 2CB C. 2 D. 0
【解析】 由题意可得 －(－ )＋ ＝ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＝0.
D
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3. 在平行四边形ABCD中，M为AB上任一点，则 － ＋ 等
于(　B　)
A. B. C. D.
【解析】 － ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ，在平
行四边形ABCD中， ＝ ，∴ － ＋ ＝ .
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4. 若｜ ｜＝5，｜ ｜＝8，则｜ ｜的取值范围是(　C　)
A. [3，8] B. (3，8)
C. [3，13] D. (3，13)
【解析】 ∵｜ ｜＝｜ － ｜，∴｜｜ ｜－｜ ｜｜≤
｜ ｜≤｜ ｜＋｜ ｜，即3≤｜ ｜≤13.
C
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5. 如图所示，记向量 ＝a， ＝b， ＝c， 则向量 可以用
a，b，c表示为(　C　)
A. a＋b－c B. a－b＋c
C. b－a＋c D. b－a－c
【解析】 由题图可知， ＝ ＋ ＝ － ＋ ＝b－a＋c.
C
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6. (2025·浙江高一阶段练习)在四边形ABCD中，O为任意一点.若
－ ＋ － ＝0，则(　D　)
A. 四边形ABCD是矩形
B. 四边形ABCD是菱形
C. 四边形ABCD是正方形
D. 四边形ABCD是平行四边形
D
【解析】 ∵ － ＋ － ＝0，∴ ＋ ＝0，即 ＝
，可知AB，CD两边平行且相等，∴四边形ABCD是平行四边形，
但没有足够的条件来判断四边形ABCD是否为矩形、菱形或正方形.
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7. (2025·陕西咸阳阶段练习)设a表示“向东走6 km”，b表示“向南走
3 km”，则b－a＋b所表示的意义为(　C　)
A. 向东南走6 km B. 向东南走3 km
C. 向西南走6 km D. 向西南走3 km
C
【解析】 如图所示，分别作出 ＝a， ＝2b，则利用向量加法的
交换律可得b－a＋b＝2b－a，故 ＝2b－a，易知△OAB为等腰
直角三角形，故∠OAB＝45°，且｜ ｜＝6 ，于是b－a＋b所
表示的意义为向西南走6 km.
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8. (多选)(2024·广东东莞开学考试)下列结果中，恒为零向量的是
(　BCD　)
A. －(＋ ) B. － ＋ －
C. － ＋ D. ＋ ＋ －
【解析】 对于A， －(＋ )＝ － ＝2 ，A错误；对于
B， － ＋ － ＝ ＋ ＝0，B正确；对于C， －
＋ ＝ ＋ ＝0，C正确；对于D， ＋ ＋ － ＝
＋ ＝0，D正确.
BCD
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9. (多选)已知△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，则有
(　ABC　)
A. ｜ ＋ ｜＝｜ － ｜
B. ｜ － ｜＝｜ － ｜
C. ｜ － ｜＝｜ － ｜
D. ｜ － ｜＞｜ － ｜＋｜ － ｜
ABC
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【解析】 由题可知AB＝AC，且AB⊥AC，则以AB，AC为邻边的平
行四边形是正方形，其对角线相等，根据向量的运算法则可知｜ ＋
｜＝｜ － ｜，A正确； － ＝ ， － ＝ ，
∴｜ － ｜＝｜ － ｜，B正确； － ＝ ， －
＝ ，∴｜ － ｜＝｜ － ｜，C正确；｜ －
｜＝｜ ｜，｜ － ｜＝｜ ｜，｜ － ｜＝｜ ｜，由条件可知｜ ｜＜｜ ｜＋｜ ｜，即｜ － ｜＜｜ －
｜＋｜ － ｜，D错误.
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10. 化简： －(＋ )＝ .
【解析】 －(＋ )＝ －(－ )＝ － ＝ .
　
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11. 若a，b为相反向量，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，
则｜a＋b｜＝ ，｜a－b｜＝ .
【解析】 若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴｜a＋b｜＝0，又a＝
－b，∴｜a｜＝｜－b｜＝1，∵a与b共线，∴｜a－b｜＝2.
0　
2　
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12. 如图所示，已知网格内小正方形的边长为1，P是阴影区域内的一
个动点(包括边界)，点O，A在格点上，则｜ － ｜的最小值
是 　 　，最大值是 　2 　.
　
2 　
【解析】 ｜ － ｜＝｜ ｜，本题即求点A到阴
影区域中的点距离的最值，如图所示，
最小值是｜AB｜＝ ，最大值是｜AC｜＝2 .
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. 已知非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，
则 ＝ .
【解析】 如图所示，
　
设 ＝a， ＝b，则 ＝ － ＝a－b，
以OA，OB为边作平行四边形OACB，则 ＝ ＋ ＝a＋b.
∵｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，∴△OAB是等边三角形，四边形OACB是一个菱形，∠OAC＝120°，∴｜a＋b｜＝｜ ｜＝ ｜a｜，∴ ＝ ＝ .
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14. 如图所示，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a.
解：作向量 ＝a，向量 ＝b，则向量 ＝a－b.
如图所示，作向量 ＝a，则 ＝a－b＋a.
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15. 如图所示，在平行四边形ABCD中， ＝a， ＝b，先用a，b
表示向量 和 ，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形
ABCD为矩形、菱形、正方形？
解：由向量的平行四边形法则，得 ＝a＋b，
＝ － ＝a－b.
当a，b满足｜a＋b｜＝｜a－b｜时，平行四边形的
两条对角线的长度相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足｜a｜＝｜b｜时，平行四边形的两条邻边的长度相等，
四边形ABCD为菱形；
当a，b满足｜a＋b｜＝｜a－b｜，且｜a｜＝｜b｜时，四边形
ABCD为正方形.
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16. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中
点，设 ＝a， ＝b.证明：
(1)｜a－b｜＝｜a｜；
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴CA＝CB，又
M是斜边AB的中点，∴CM＝AM＝BM.
(1)∵ － ＝ ，且｜ ｜＝｜ ｜，∴｜a－b｜＝｜a｜.
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(2)｜a＋(a－b)｜＝｜b｜.
解：(2)∵M是斜边AB的中点，∴ ＝ ，∴a＋(a－b)＝ ＋(－ )＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，又｜ ｜＝｜ ｜，∴｜a＋(a－b)｜＝｜b｜.
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