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6.2 练习3　向量的数乘运算
1. (2025·湖南岳阳模拟)已知向量a，b，则2(a＋b)－(a－b)等于(　D　)
A. a＋b B. a－b C. 3a＋b D. a＋3b
【解析】 由题意2(a＋b)－(a－b)＝2a＋2b－a＋b＝a＋3b.
2. 在平行四边形ABCD中，－等于(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 设BD与AC交于点O，则－＝－＝＝.
3. (2025·金华高一期中)在△ABC中，D是AC边上靠近点A的三等分点，E是AB边的中点，则等于(　A　)
A. －－ B. －＋
C. －－ D. －
【解析】 ＝－＝－＝－－(－)＝－－.
4. 下列各组向量中，一定能推出a∥b的是(　B　)
①a＝－3e，b＝2e；
②a＝e1－e2，b＝－e1；
③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋.
A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③
【解析】 ①，a＝－b，∴a∥b；②，b＝－e1＝＝－a，∴a∥b；③，
b＝＝(e1＋e2)，若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与
b不共线.
5. 已知P是正六边形ABCDEF外一点，O为正六边形ABCDEF的中心，则＋＋＋＋＋等于(　C　)
A. B. 3 C. 6 D. 0
【解析】 连接AD，∵在△PAD中，PO是AD边上的中线，∴＝(＋)①，同理可得＝(＋)②，＝(＋)③，①＋②＋③可得3＝(＋＋＋＋＋)，即＋＋＋＋＋＝6.
6. 如图所示，在△ABC中，＝a，＝b，＝3，＝2，则等于(　D　)
A. －a＋b B. a－b C. a＋b D. －a＋b
【解析】 由平面向量的三角形法则，可知＝＋＝＋＝(－)－＝－＋＝－a＋b.
7. 在△ABC中，D是AC边上一点，且AC＝4AD，P为BD边上一点，若向量＝λ＋μ(λ＞0，μ＞0)，则λ，μ满足的关系式为(　C　)
A. λ＋μ＝1 B. λ＋＝1 C. λ＋4μ＝1 D. 4λ＋μ＝1
【解析】 由AC＝4AD可得4＝，∴＝λ＋μ＝λ＋4μ，∵P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1.
8. (多选)(2025·陕西西安期中)下列命题中，正确的有(　ABC　)
A. (－5)(6a)＝－30a
B. 7(a＋b)＋6b＝7a＋13b
C. 若a＝m－n，b＝3(m－n)，则a，b共线
D. (a－5b)＋(a＋5b)＝2a，则a，b共线
【解析】 (－5)(6a)＝(－5×6)a＝－30a，A正确；7(a＋b)＋6b＝7a＋7b＋6b＝7a＋13b，B正确；∵a＝m－n，b＝3(m－n)，∴b＝3a，∴a，b共线，C正确；∵(a－5b)＋(a＋5b)＝2a恒成立，∴a，b不一定共线，D错误.
9. (多选)在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，G为△ABC的重心，则下列结论中，正确的有 (　BCD　)
A. －＝ B. ＝(＋)
C. ＋＋＝0 D. ＋＋＝0
【解析】 －＝＋＝2≠，A错误；∵G为△ABC的重心，∴＝＝×(＋)＝·(＋)，B正确；＋＋＝(＋＋)＝0，C正确；连接GD，∵＝(＋)，∴＝－2＝－2×(＋)，
即＋＋＝0，D正确.
10. (2025·重庆阶段练习)如图所示，在正六边形ABCDEF中，－＋＋2＝　0　.
【解析】 由题意，根据正六边形的性质得－＋＋2＝－(－)＋2＝＋＋2＝＋＋2＝＋2＝2＋2＝0.
11. (2025·福建厦门高一期中)已知x，y是实数，向量a，b不共线.若(y－2)a＋(x－1)b＝0，则x＋y＝　3　.
【解析】 ∵向量a，b不共线，又(y－2)a＋(x－1)b＝0，得即∴x＋y＝3.
12. (2025·辽宁铁岭期中)在△ABC中，D为CB上一点，E为AD的中点.若＝＋，则m＝　　.
【解析】 ∵E为AD的中点，∴＝2＝＋2，∵B，D，C三点共线，∴＝λ＋(1－λ)，∴＋2m＝1，解得m＝.
13. 已知△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是　2∶3　.
【解析】 ∵＋＋＝，∴＝－－＝＋＋＝2，
∴点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，∴△PBC和△ABC的面积之比为2∶3.
14. (1)化简：(a＋b)－(b－a)＋(0－a)；
解：(1)原式＝a＋b－b＋a－a＝＋＝a＋b.
(2)已知i，j为非零向量，设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋2b－a.
解：(2)－＋2b－a＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝－i－5j.
15. 已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2不共线.问：是否存在实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
解：由题意得d＝λa＋μb＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，若d与c共线，则存在实数k≠0，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
即(2λ＋2μ－2k)e1＝(3λ－3μ－9k)e2，
∵e1与e2不共线，∴解得λ＝－2μ，
故存在实数λ，μ，且λ＝－2μ，使d与c共线.
16. 如图所示，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，证明：M，N，C三点共线.
证明：＝－，
∵＝，＝＝(＋)，
∴＝＋－＝－①，
＝－＝－②，
由①、②可知＝3，即∥，
又MC，MN有公共点M，∴M，N，C三点共线.6.2 练习3　向量的数乘运算
1. (2025·湖南岳阳模拟)已知向量a，b，则2(a＋b)－(a－b)等于(　 　)
A. a＋b B. a－b C. 3a＋b D. a＋3b
2. 在平行四边形ABCD中，－等于(　 　)
A. B. C. D.
3. (2025·金华高一期中)在△ABC中，D是AC边上靠近点A的三等分点，E是AB边的中点，则等于(　 　)
A. －－ B. －＋
C. －－ D. －
4. 下列各组向量中，一定能推出a∥b的是(　 　)
①a＝－3e，b＝2e；
②a＝e1－e2，b＝－e1；
③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋.
A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③
5. 已知P是正六边形ABCDEF外一点，O为正六边形ABCDEF的中心，则＋＋＋＋＋等于(　 　)
A. B. 3 C. 6 D. 0
6. 如图所示，在△ABC中，＝a，＝b，＝3，＝2，则等于(　 　)
A. －a＋b B. a－b C. a＋b D. －a＋b
7. 在△ABC中，D是AC边上一点，且AC＝4AD，P为BD边上一点，若向量＝λ＋μ(λ＞0，μ＞0)，则λ，μ满足的关系式为(　 　)
A. λ＋μ＝1 B. λ＋＝1 C. λ＋4μ＝1 D. 4λ＋μ＝1
8. (多选)(2025·陕西西安期中)下列命题中，正确的有(　 　)
A. (－5)(6a)＝－30a
B. 7(a＋b)＋6b＝7a＋13b
C. 若a＝m－n，b＝3(m－n)，则a，b共线
D. (a－5b)＋(a＋5b)＝2a，则a，b共线
9. (多选)在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，G为△ABC的重心，则下列结论中，正确的有 (　 　)
A. －＝ B. ＝(＋)
C. ＋＋＝0 D. ＋＋＝0
10. (2025·重庆阶段练习)如图所示，在正六边形ABCDEF中，－＋＋2＝ .
11. (2025·福建厦门高一期中)已知x，y是实数，向量a，b不共线.若(y－2)a＋(x－1)b＝0，则x＋y＝ .
12. (2025·辽宁铁岭期中)在△ABC中，D为CB上一点，E为AD的中点.若＝＋，则m＝ .
13. 已知△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是 .
14. (1)化简：(a＋b)－(b－a)＋(0－a)；
(2)已知i，j为非零向量，设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋2b－a.
15. 已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2不共线.问：是否存在实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
16. 如图所示，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，证明：M，N，C三点共线.(共20张PPT)
二、平面向量的运算
练习3　向量的数乘运算
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. (2025·湖南岳阳模拟)已知向量a，b，则2(a＋b)－(a－b)等于
(　D　)
A. a＋b B. a－b
C. 3a＋b D. a＋3b
【解析】 由题意2(a＋b)－(a－b)＝2a＋2b－a＋b＝a＋3b.
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2. 在平行四边形ABCD中， － 等于(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 设BD与AC交于点O，则 － ＝ － ＝ ＝
.
C
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3. (2025·金华高一期中)在△ABC中，D是AC边上靠近点A的三等分
点，E是AB边的中点，则 等于(　A　)
A. － － B. － ＋
C. － － D. －
【解析】 ＝ － ＝ － ＝－ － (－ )＝
－ － .
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4. 下列各组向量中，一定能推出a∥b的是(　B　)
①a＝－3e，b＝2e；
②a＝e1－e2，b＝ －e1；
③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋ .
B
A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③
【解析】 ①，a＝－ b，∴a∥b；②，b＝ －e1＝ ＝
－ a，∴a∥b；③，b＝ ＝ (e1＋e2)，若e1与e2共线，则a与b共
线，若e1与e2不共线，则a与b不共线.
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5. 已知P是正六边形ABCDEF外一点，O为正六边形ABCDEF的中
心，则 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 等于(　C　)
A. B. 3 C. 6 D. 0
【解析】 连接AD，∵在△PAD中，PO是AD边上的中线，∴ ＝
(＋ )①，同理可得 ＝ (＋ )②， ＝ (＋ )③，
①＋②＋③可得3 ＝ (＋ ＋ ＋ ＋ ＋ )，即 ＋
＋ ＋ ＋ ＋ ＝6 .
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6. 如图所示，在△ABC中， ＝a， ＝b， ＝3 ， ＝
2 ，则 等于(　D　)
A. － a＋ b B. a－ b
C. a＋ b D. － a＋ b
【解析】 由平面向量的三角形法则，可知 ＝ ＋ ＝ ＋
＝ (－ )－ ＝－ ＋ ＝－ a＋ b.
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7. 在△ABC中，D是AC边上一点，且AC＝4AD，P为BD边上一
点，若向量 ＝λ ＋μ (λ＞0，μ＞0)，则λ，μ满足的关系式为
(　C　)
A. λ＋μ＝1 B. λ＋ ＝1
C. λ＋4μ＝1 D. 4λ＋μ＝1
【解析】 由AC＝4AD可得4 ＝ ，∴ ＝λ ＋μ ＝λ ＋
4μ ，∵P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1.
C
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8. (多选)(2025·陕西西安期中)下列命题中，正确的有(　ABC　)
A. (－5)(6a)＝－30a
B. 7(a＋b)＋6b＝7a＋13b
C. 若a＝m－n，b＝3(m－n)，则a，b共线
D. (a－5b)＋(a＋5b)＝2a，则a，b共线
【解析】 (－5)(6a)＝(－5×6)a＝－30a，A正确；7(a＋b)＋6b＝
7a＋7b＋6b＝7a＋13b，B正确；∵a＝m－n，b＝3(m－n)，∴b＝
3a，∴a，b共线，C正确；∵(a－5b)＋(a＋5b)＝2a恒成立，∴a，
b不一定共线，D错误.
ABC
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9. (多选)在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，G
为△ABC的重心，则下列结论中，正确的有 (　BCD　)
A. － ＝ B. ＝ (＋ )
C. ＋ ＋ ＝0 D. ＋ ＋ ＝0
BCD
【解析】 － ＝ ＋ ＝2 ≠ ，A错误；∵G为△ABC的重心，∴ ＝ ＝ × (＋ )＝ ·(＋ )，B正确； ＋ ＋ ＝ (＋ ＋ )＝0，C正确；连接GD，∵ ＝ (＋ )，∴ ＝－2 ＝－2× (＋ )，即 ＋ ＋ ＝0，正确.
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10. (2025·重庆阶段练习)如图所示，在正六边形ABCDEF中， －
＋ ＋2 ＝ .
0　
【解析】 由题意，根据正六边形的性质得 － ＋ ＋2 ＝ －(－ )＋2 ＝
＋ ＋2 ＝ ＋ ＋2 ＝ ＋
2 ＝2 ＋2 ＝0.
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11. (2025·福建厦门高一期中)已知x，y是实数，向量a，b不共线.若
(y－2)a＋(x－1)b＝0，则x＋y＝ .
【解析】 ∵向量a，b不共线，又(y－2)a＋(x－1)b＝0，得
即 ∴x＋y＝3.
3　
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12. (2025·辽宁铁岭期中)在△ABC中，D为CB上一点，E为AD的中
点.若 ＝ ＋ ，则m＝ 　 　.
【解析】 ∵E为AD的中点，∴ ＝2 ＝ ＋2 ，∵B，D，C三点共线，∴ ＝λ ＋(1－λ) ，∴ ＋2m＝1，解得m＝ .
　
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. 已知△ABC所在的平面内有一点P，满足 ＋ ＋ ＝ ，
则△PBC与△ABC的面积之比是 .
【解析】 ∵ ＋ ＋ ＝ ，∴ ＝ － － ＝ ＋
＋ ＝2 ，∴点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，
∴△PBC和△ABC的面积之比为2∶3.
2∶3　
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14. (1)化简： (a＋b)－ (b－a)＋ (0－a)；
解：(1)原式＝ a＋ b－ b＋ a－ a＝ ＋
＝ a＋ b.
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(2)已知i，j为非零向量，设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，
求 － ＋2b－a.
解：(2) － ＋2b－a＝－ a＋ b＝－ (3i＋2j)＋
(2i－j)＝－ i－5j.
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15. 已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2
不共线.问：是否存在实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
解：由题意得d＝λa＋μb＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，若d与c共线，
则存在实数k≠0，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
即(2λ＋2μ－2k)e1＝(3λ－3μ－9k)e2，
∵e1与e2不共线，∴ 解得λ＝－2μ，
故存在实数λ，μ，且λ＝－2μ，使d与c共线.
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16. 如图所示，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在BD
上，且BN＝ BD，证明：M，N，C三点共线.
证明： ＝ － ，
∵ ＝ ， ＝ ＝ (＋ )，
∴ ＝ ＋ － ＝ － ①，
＝ － ＝ － ②，
由①、②可知 ＝3 ，即 ∥ ，
又MC，MN有公共点M，∴M，N，C三点共线.
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