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6.2 练习4　向量的数量积(一)
1. 若a·b＜0，则a与b的夹角θ的取值范围是(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＜0，∴cos θ＜0.又θ∈[0，π]，∴θ∈.
2. 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　C　)
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【解析】 如图所示，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝AB，
∴∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°，即与的夹角是120°.
3. 已知a·b＝－12，｜a｜＝4，a和b的夹角为135°，则｜b｜等于(　C　)
A. 12 B. 3 C. 6 D. 3
【解析】 a·b＝｜a｜｜b｜cos 135°＝－12，又｜a｜＝4，解得｜b｜＝6.
4. “平面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b＝｜a｜·｜b｜”的(　B　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 若平面向量a，b平行，则向量a，b方向相同或相反，∴a·b＝｜a｜·
｜b｜，或a·b＝－｜a｜·｜b｜；若a·b＝｜a｜·｜b｜，则cos＜a，b＞＝1，即向量a，b方向相同且平行.综上，“平面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b＝｜a｜·｜b｜”的必要不充分条件.
5. (2025·天津南开高一检测)向量a的模为10，它与向量b的夹角为150°，则它在b上的投影向量的模为(　D　)
A. 5 B. －5 C. －5 D. 5
【解析】 由题意得，所求投影向量为｜a｜cos 150°·，∴所求投影向量的模为｜a｜｜cos 150°｜·＝10×＝5.
定义：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin θ，其中θ为向量a与b的夹角.若｜a｜＝2，
｜b｜＝5，a·b＝－6，则｜a×b｜等于(　A　)
A. 8 B. －8 C. 8或－8 D. 6
【解析】 cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝，∴｜a×b｜＝2×5× ＝8.
7. 如图所示，AB是圆C的一条弦，则下列条件中，能得出·＝2的是(　C　)
A. 圆C的半径为2 B. 圆C的半径为1
C. 弦AB的长为2 D. 弦AB的长为1
【解析】 如图所示，过点C作OC⊥AB交AB于点O，则O是AB的中点，∴·＝｜｜｜｜cos∠CAB＝｜｜｜｜＝｜｜2＝2，
∴｜｜＝2.
8. (多选)已知向量a，b和实数λ，则下列说法中，正确的有(　ACD　)
A. 若a与b是两个单位向量，则a2＝b2
B. ｜a·b｜＝｜a｜｜b｜
C. λ(a＋b)＝λa＋λb
D. ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜
【解析】 对于B，｜a·b｜＝｜｜a｜｜b｜cos θ｜，其中θ为a与b的夹角，B错误，其余都正确.
9. (多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列说法中，正确的有(　ACD　)
A. e1在e2上的投影向量为cos θe2 B. e1·e2＝1
C. ＝ D. (e1＋e2)⊥(e1－e2)
【解析】 e1在e2上的投影向量为｜e1｜·cos θ e2＝cos θ·e2，A正确；e1·e2＝｜e1｜
｜e2｜cos θ＝cos θ，B错误；＝｜e1｜2，＝｜e2｜2，且｜e1｜2＝｜e2｜2＝1，
C正确；由题知以向量e1，e2为邻边的平行四边形为菱形，其两条对角线互相垂直，∴(e1＋e2)⊥(e1－e2)，D正确.
10. 已知在 ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为　120°　.
【解析】 如图所示，与的夹角为∠ABC＝120°.
在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝　0　，·＝　
－16　，·＝　－16　.
【解析】 由题意，得｜｜＝4，｜｜＝4，｜｜＝4，∴·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×
cos 135°＝－16.
12. 已知P是边长为2的菱形ABCD内一点(不包括边界).若∠BAD＝120°，则·的取值范围是　(－2， 4)　.
【解析】 ·＝｜｜｜｜cos∠BAP，∴当点P与点B重合时，·＝4，当点P与点D重合时，·＝－2，又P是菱形ABCD内一点(不包括边界)，∴·的取值范围是(－2， 4).
13. 已知｜a｜＝5，｜b｜＝4.
(1)若a与b的夹角为θ＝120°，求：
①a·b；②a在b上的投影向量；
解：(1)①a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝5×4×cos 120°＝－10.　
②a在b上的投影向量为｜a｜·cos θ＝5××＝－b.
(2)若a∥b，求a·b.
解：(2)∵a∥b，∴a与b的夹角为θ＝0°或180°.
当θ＝0°时，a·b＝｜a｜｜b｜cos 0°＝20.
当θ＝180°时，a·b＝｜a｜｜b｜cos 180°＝－20.
14. 如图所示，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝＋.
(1)若＝，求x，y的值；
解：(1)若＝，则＝＋，则x＝y＝.
(2)若＝3，｜｜＝4，｜｜＝2，且与的夹角为60°，求·的值.
解：(1)若＝，则＝＋，则x＝y＝.
解：(2)∵｜｜＝4，｜｜＝2，∠BOA＝60°，∴∠OBA＝90°，∴｜｜＝2.又＝3，∴｜｜＝，∴｜｜＝＝，cos∠OPB＝，∴与的夹角θ的余弦值为－，∴·＝｜｜｜｜cos θ＝－3.
15. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义α°β＝.若平面向量a，b满足｜a｜≥｜b｜＞0，a与b的夹角θ∈，且a°b和b°a都在集合中，则a°b＋b°a等于(　B　)
A. B. 2 C. D. 3
【解析】 ∵θ∈，∴＜cos θ＜1，b°a＝＝cos θ，且｜a｜≥｜b｜＞0，可得0＜cos θ＜1，又b°a在集合中，∴cos θ＝，即＝，∴a°b＝＝cos θ＝2cos2θ，又＜cos2θ＜1，∴1＜a°b＜2，又a°b也在集合中，∴a°b＝，∴a°b＋b°a＝＋＝2.
16. 如图所示，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若D是线段OB靠近点O的四等分点，用，表示向量；
解：(1)由已知可得＝，四边形OAMB是菱形，则＝＋，∴＝－＝－(＋)＝－－.
(2)求·的取值范围.
解：(2)易知∠DMC＝60°，且｜｜＝｜｜，那么只需求MC的最大值与最小值即可.当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，则·＝××cos 60°＝.当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，则·＝cos 60°＝，∴·的取值范围是.(共23张PPT)
二、平面向量的运算
练习4　向量的数量积(一)
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
1. 若a·b＜0，则a与b的夹角θ的取值范围是(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ＜0，∴ cos θ＜0.又θ∈[0，π]，
∴θ∈ .
C
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2. 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝ AB，则 与 的夹角是
(　C　)
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
C
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【解析】 如图所示，作向量 ＝ ，则∠BAD
是 与 的夹角，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝ AB，
∴∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°，即 与 的夹角是120°.
3. 已知a·b＝－12 ，｜a｜＝4，a和b的夹角为135°，则｜b｜等
于(　C　)
A. 12 B. 3 C. 6 D. 3
【解析】 a·b＝｜a｜｜b｜ cos 135°＝－12 ，又｜a｜＝4，解
得｜b｜＝6.
C
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4. “平面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b＝｜a｜·
｜b｜”的(　B　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 若平面向量a，b平行，则向量a，b方向相同或相反，
∴a·b＝｜a｜·｜b｜，或a·b＝－｜a｜·｜b｜；若a·b＝｜a｜·
｜b｜，则 cos ＜a，b＞＝1，即向量a，b方向相同且平行.综上，“平
面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b＝｜a｜·｜b｜”的必
要不充分条件.
B
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5. (2025·天津南开高一检测)向量a的模为10，它与向量b的夹角为
150°，则它在b上的投影向量的模为(　D　)
A. 5 B. －5 C. －5 D. 5
【解析】 由题意得，所求投影向量为｜a｜ cos 150°· ，∴所求
投影向量的模为｜a｜｜ cos 150°｜· ＝10× ＝5 .
D
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6. 定义：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜ sin θ，其中θ为向量a与b的夹角.
若｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－6，则｜a×b｜等于(　A　)
A. 8 B. －8 C. 8或－8 D. 6
【解析】 cos θ＝ ＝ ＝－ ，∵θ∈[0，π]，∴ sin θ＝ ，
∴｜a×b｜＝2×5× ＝8.
A
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7. 如图所示，AB是圆C的一条弦，则下列条件中，能得出 · ＝2
的是(　C　)
A. 圆C的半径为2 B. 圆C的半径为1
C. 弦AB的长为2 D. 弦AB的长为1
C
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【解析】 如图所示，过点C作OC⊥AB交AB于点O，则O是AB的中点，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜·
cos ∠CAB＝｜ ｜｜ ｜＝ ｜ ｜2＝2，
∴｜ ｜＝2.
8. (多选)已知向量a，b和实数λ，则下列说法中，正确的有(　ACD　)
A. 若a与b是两个单位向量，则a2＝b2
B. ｜a·b｜＝｜a｜｜b｜
C. λ(a＋b)＝λa＋λb
D. ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜
【解析】 对于B，｜a·b｜＝｜｜a｜｜b｜ cos θ｜，其中θ为a与b的
夹角，B错误，其余都正确.
ACD
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9. (多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列说法中，正确的
有(　ACD　)
A. e1在e2上的投影向量为 cos θe2 B. e1·e2＝1
C. ＝ D. (e1＋e2)⊥(e1－e2)
【解析】 e1在e2上的投影向量为｜e1｜· cos θ e2＝ cos θ·e2，A正确；
e1·e2＝｜e1｜｜e2｜ cos θ＝ cos θ，B错误； ＝｜e1｜2， ＝
｜e2｜2，且｜e1｜2＝｜e2｜2＝1，C正确；由题知以向量e1，e2为邻边的平行四边形为菱形，其两条对角线互相垂直，
∴(e1＋e2)⊥(e1－e2)，D正确.
ACD
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10. 已知在 ABCD中，∠DAB＝60°，则 与 的夹角
为 .
【解析】 如图所示， 与 的夹角为∠ABC＝120°.
120°　
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11. 在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则 · ＝ ，
· ＝ ， · ＝ .
【解析】 由题意，得｜ ｜＝4，｜ ｜＝4，｜ ｜＝4 ，
∴ · ＝4×4× cos 90°＝0， · ＝4×4 × cos 135°＝
－16， · ＝4 ×4× cos 135°＝－16.
0　
－16　
－16　
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12. 已知P是边长为2的菱形ABCD内一点(不包括边界).若∠BAD＝
120°，则 · 的取值范围是 .
【解析】 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠BAP，∴当点P与点B重合
时， · ＝4，当点P与点D重合时， · ＝－2，又P是菱形
ABCD内一点(不包括边界)，∴ · 的取值范围是(－2， 4).
(－2， 4)　
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
13. 已知｜a｜＝5，｜b｜＝4.
(1)若a与b的夹角为θ＝120°，求：
①a·b；②a在b上的投影向量；
解：(1)①a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ＝5×4× cos 120°＝－10.　
解： ②a在b上的投影向量为｜a｜· cos θ ＝5× × ＝－ b.
(2)若a∥b，求a·b.
解：(2)∵a∥b，∴a与b的夹角为θ＝0°或180°.
当θ＝0°时，a·b＝｜a｜｜b｜ cos 0°＝20.
当θ＝180°时，a·b＝｜a｜｜b｜ cos 180°＝－20.
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14. 如图所示，在△OAB中，P为线段AB上一点，且 ＝ ＋
.
(1)若 ＝ ，求x，y的值；
解：(1)若 ＝ ，则 ＝ ＋ ，则x＝y＝ .
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(2)若 ＝3 ，｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，且 与 的夹角为
60°，求 · 的值.
解：(2)∵｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，∠BOA＝60°，
∴∠OBA＝90°，∴｜ ｜＝2 .又 ＝3 ，
∴｜ ｜＝ ，∴｜ ｜＝ ＝ ， cos ∠OPB＝ ，∴ 与 的夹角θ的余弦值为－ ，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ ·
cos θ＝－3.
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拓展突破练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
15. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义α°β＝ .若平面向量a，
b满足｜a｜≥｜b｜＞0，a与b的夹角θ∈ ，且a°b和b°a
都在集合 中，则a°b＋b°a等于(　B　)
A. B. 2 C. D. 3
B
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【解析】 ∵θ∈ ，∴ ＜ cos θ＜1，b°a＝ ＝ ·
cos θ，且｜a｜≥｜b｜＞0，可得0＜ cos θ＜1，又b°a在集合
中，∴ cos θ＝ ，即 ＝ ，∴a°b＝ ＝
cos θ＝2 cos 2θ，又 ＜ cos 2θ＜1，∴1＜a°b＜2，又a°b也在
集合 中，∴a°b＝ ，∴a°b＋b°a＝ ＋ ＝2.
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16. 如图所示，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，
OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若D是线段OB靠近点O的四等分点，用 ， 表示向量 ；
解：(1)由已知可得 ＝ ，四边形OAMB是
菱形，则 ＝ ＋ ，∴ ＝ － ＝ －(＋ )＝－ － .
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(2)求 · 的取值范围.
解：(2)易知∠DMC＝60°，且｜ ｜＝｜ ｜，
那么只需求MC的最大值与最小值即可.当MC⊥OA时，
MC最小，此时MC＝ ，则 · ＝ × × cos 60°＝ .当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，则 · ＝ cos 60°＝ ，∴ · 的取值范围是.
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166.2 练习4　向量的数量积(一)
1. 若a·b＜0，则a与b的夹角θ的取值范围是(　 　)
A. B. C. D.
2. 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　 　)
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
3. 已知a·b＝－12，｜a｜＝4，a和b的夹角为135°，则｜b｜等于(　 　)
A. 12 B. 3 C. 6 D. 3
4. “平面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b＝｜a｜·｜b｜”的(　 　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. (2025·天津南开高一检测)向量a的模为10，它与向量b的夹角为150°，则它在b上的投影向量的模为(　 　)
A. 5 B. －5 C. －5 D. 5
定义：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin θ，其中θ为向量a与b的夹角.若｜a｜＝2，
｜b｜＝5，a·b＝－6，则｜a×b｜等于(　 　)
A. 8 B. －8 C. 8或－8 D. 6
7. 如图所示，AB是圆C的一条弦，则下列条件中，能得出·＝2的是(　 　)
A. 圆C的半径为2 B. 圆C的半径为1
C. 弦AB的长为2 D. 弦AB的长为1
8. (多选)已知向量a，b和实数λ，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 若a与b是两个单位向量，则a2＝b2
B. ｜a·b｜＝｜a｜｜b｜
C. λ(a＋b)＝λa＋λb
D. ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜
9. (多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. e1在e2上的投影向量为cos θe2 B. e1·e2＝1
C. ＝ D. (e1＋e2)⊥(e1－e2)
10. 已知在 ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为 .
在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝ ，·＝ ，·＝ .
12. 已知P是边长为2的菱形ABCD内一点(不包括边界).若∠BAD＝120°，则·的取值范围是 .
13. 已知｜a｜＝5，｜b｜＝4.
(1)若a与b的夹角为θ＝120°，求：
①a·b；②a在b上的投影向量；
(2)若a∥b，求a·b.
14. 如图所示，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝＋.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，｜｜＝4，｜｜＝2，且与的夹角为60°，求·的值.
15. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义α°β＝.若平面向量a，b满足｜a｜≥｜b｜＞0，a与b的夹角θ∈，且a°b和b°a都在集合中，则a°b＋b°a等于(　 　)
A. B. 2 C. D. 3
16. 如图所示，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若D是线段OB靠近点O的四等分点，用，表示向量；
(2)求·的取值范围.

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