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6.2 练习5　向量的数量积(二)
1. 已知非零向量a，b满足(a＋b)⊥(a－b)，则(　B　)
A. a＝b B. ｜a｜＝｜b｜
C. a⊥b D. a∥b
【解析】 ∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴｜a｜2－｜b｜2＝0，
∴｜a｜＝｜b｜.
(2025·河北保定高二期末)已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·(a＋b)＝
－1，则｜a＋2b｜等于(　B　)
A. B. 2 C. 5 D. 20
【解析】 ∵a·(a＋b)＝－1，∴a2＋a·b＝4＋a·b ＝－1，∴a·b＝－5，∴｜a＋2b｜＝＝＝＝2.
3. 已知a⊥b，｜a｜＝2，｜b｜＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ等于(　A　)
A. B. － C. ± D. 1
【解析】 ∵3a＋2b与λa－b垂直，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝.
4. 已知向量·＝0，D是BC的中点，｜｜＝2，则·的值为(　B　)
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
【解析】 ∵D是BC的中点，∴＝＋，又·＝0，∴·＝·＝＋·＝.∵｜｜＝2，∴·＝｜｜2＝2.
5. 设非零向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为(　B　)
A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°
【解析】 由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，且a＋b＝c，得｜a＋b｜＝｜b｜，平方得
｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝｜b｜2，∴2a·b＝－｜a｜2，则2｜a｜｜b｜·cos θ＝
－｜a｜2，∴cos θ＝－. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
6. (2025·河南阶段练习)设O是△ABC所在平面内一定点，M是平面内一动点.若(－)·(－)＝(－)·(－)＝0，则O是△ABC的(　A　)
A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心
【解析】 由题意可得·＝·＝0，则OA⊥CB，OC⊥AB，故O是△ABC的垂心.
7. 设两个向量e1，e2满足｜e1｜＝2，｜e2｜＝1，e1，e2的夹角为60°.若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围是(　B　)
A. B. ∪
C. D.
【解析】 由题意知(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，即2t2＋15t＋7＜0，解得－7＜t＜－.由2t·t－7≠0，得t≠±，∴t的取值范围是∪.
8. (多选)将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，则下列结论中，正确的有(　AC　)
A. a·b＝b·a
B. (a·b)·c＝a·(b·c)
C. a·(b＋c)＝a·b＋a·c
D. 由a·b＝a·c(a≠0)，可得b＝c
【解析】 平面向量的数量积运算满足交换律和分配律，不满足结合律，A，C正确，B错误；由a·b＝a·c(a≠0)，得a·(b－c)＝0，从而b－c ＝0，或a⊥(b－c)，D错误.
9. (多选)若向量a，b满足｜b｜＝1，且(a＋b)⊥b，(a＋2b)⊥a，则下列命题中，正确的有(　AC　)
A. a·b＝－1 B. a与b的夹角为
C. ｜a｜＝ D. a在b上的投影数量为1
【解析】 由(a＋b)⊥b得a·b＋b2＝0，即a·b＋1＝0，∴a·b＝－1，A正确；
由(a＋2b)⊥a得2a·b＋a2＝0，即a2＝2，∴｜a｜＝，C正确；设向量a，b
的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，∴θ＝，B错误；a在b上的投影数量为｜a｜cos θ＝＝＝－1，D错误.
10. (2025·江苏南京高三模拟)在△ABC中，记＝m，＝n，则·(＋)＝　n2－m2　.
【解析】 ∵＝－＝n－m，∴·(＋)＝(n－m)·(n＋m)＝n2－m2.
11. 已知平面向量α，β，｜α｜＝1，｜β｜＝2，α⊥(α－2β)，则｜2α＋β｜的值是　　.
【解析】 ｜α｜＝1，｜β｜＝2，由α⊥(α－2β)知，α·(α－2β)＝0，∴2α·β＝1，
∴｜2α＋β｜2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，∴｜2α＋β｜＝.
12. 如图所示，在圆C中弦AB的长度为6，则·＝　－18　.
【解析】 如图所示，取AB的中点O，连接CO，则CO⊥AB.∵在圆C中弦AB的长度为6，∴·＝(＋)·＝·＋·＝－＝－×6×6＝
－18.
13. 已知向量a，b的夹角为60°，且｜a｜＝2，｜b｜＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，
求：(1)c·d；
解：(1)c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b＝2×4－2×1＋3×2×1×＝9.
(2)｜c＋2d｜.
解：(2)｜c＋2d｜2＝(4a＋3b)2＝16a2＋9b2＋24a·b＝16×4＋9×1＋24×2×1×＝97，∴｜c＋2d｜＝.
14. (2025·江苏无锡模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知e1， e2为两个夹角成60°的单位向量，＝2e1＋e2，＝－3e1＋2e2.
(1)求｜｜；
解：(1)＝－＝－5e1＋e2，
∵｜e1｜＝｜e2｜＝1，e1·e2＝｜e1｜｜e1｜cos60°＝，∴｜｜＝＝.
(2)求，的夹角θ；
解：(2)·＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6＋2＋e1·e2＝－，
｜｜＝＝＝，｜｜＝＝
＝，
∴cos θ＝＝－，θ∈[0， π]，∴θ＝.
(3)设＝te1，若△ABC是以AC为斜边的直角三角形，求实数t的值.
解：(3)＝－＝－5e1＋e2，＝－＝(t＋3)e1－2e2，由题意可知，⊥，∴(－5e1＋e2)·[(t＋3)e1－2e2]＝－5(t＋3)＋(t＋13)e1·e2－2＝0，
即－5(t＋3)－2＋(t＋13)＝0，得t＝－.
15. (2024·云南保山期末)如图所示，已知正方形ABCD的边长为4.若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则·的取值范围是(　B　)
A. (0，16] B. [0， 16] C. (0， 4) D. [0， 4]
【解析】 取CD的中点E，连接PE，如图所示，
∴PE的取值范围是，即，又由·＝(＋)·(＋)＝－＝－4，∴·∈[0， 16].
16. 在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的96朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的创意惊艳了全世界(如图1)，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF(如图2).已知正六边形的边长为1，点M满足＝(＋)，则｜｜＝　　；若P是正六边形ABCDEF内部一点(包含边界)，则·的最大值是　　.
图1　图2
【解析】 由题可知｜｜＝｜｜＝1，＜，＞＝，∴＝(＋)2＝(＋2·＋)＝＝，∴｜｜＝.
设向量，的夹角为θ，P在直线AB上的射影为P'，要使·最大，则θ∈，∵·＝｜｜·｜｜·cosθ＝｜AP｜｜｜，如图可知当P在C处时，·最大，此时｜｜＝｜｜＝，θ＝，·＝×1×＝.6.2 练习5　向量的数量积(二)
1. 已知非零向量a，b满足(a＋b)⊥(a－b)，则(　 　)
A. a＝b B. ｜a｜＝｜b｜
C. a⊥b D. a∥b
(2025·河北保定高二期末)已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝3，a·(a＋b)＝
－1，则｜a＋2b｜等于(　 　)
A. B. 2 C. 5 D. 20
3. 已知a⊥b，｜a｜＝2，｜b｜＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ等于(　 　)
A. B. － C. ± D. 1
4. 已知向量·＝0，D是BC的中点，｜｜＝2，则·的值为(　 　)
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
5. 设非零向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为(　 　)
A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°
6. (2025·河南阶段练习)设O是△ABC所在平面内一定点，M是平面内一动点.若(－)·(－)＝(－)·(－)＝0，则O是△ABC的(　 　)
A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心
7. 设两个向量e1，e2满足｜e1｜＝2，｜e2｜＝1，e1，e2的夹角为60°.若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围是(　 　)
A. B. ∪
C. D.
8. (多选)将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. a·b＝b·a
B. (a·b)·c＝a·(b·c)
C. a·(b＋c)＝a·b＋a·c
D. 由a·b＝a·c(a≠0)，可得b＝c
9. (多选)若向量a，b满足｜b｜＝1，且(a＋b)⊥b，(a＋2b)⊥a，则下列命题中，正确的有(　 　)
A. a·b＝－1 B. a与b的夹角为
C. ｜a｜＝ D. a在b上的投影数量为1
10. (2025·江苏南京高三模拟)在△ABC中，记＝m，＝n，则·(＋)＝ .
11. 已知平面向量α，β，｜α｜＝1，｜β｜＝2，α⊥(α－2β)，则｜2α＋β｜的值是 .
12. 如图所示，在圆C中弦AB的长度为6，则·＝ .
13. 已知向量a，b的夹角为60°，且｜a｜＝2，｜b｜＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，
求：(1)c·d；
(2)｜c＋2d｜.
14. (2025·江苏无锡模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知e1， e2为两个夹角成60°的单位向量，＝2e1＋e2，＝－3e1＋2e2.
(1)求｜｜；
(2)求，的夹角θ；
(3)设＝te1，若△ABC是以AC为斜边的直角三角形，求实数t的值.
15. (2024·云南保山期末)如图所示，已知正方形ABCD的边长为4.若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则·的取值范围是(　 　)
A. (0，16] B. [0， 16] C. (0， 4) D. [0， 4]
16. 在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的96朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的创意惊艳了全世界(如图1)，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF(如图2).已知正六边形的边长为1，点M满足＝(＋)，则｜｜＝ ；若P是正六边形ABCDEF内部一点(包含边界)，则·的最大值是 .
图1　图2(共23张PPT)
二、平面向量的运算
练习5　向量的数量积(二)
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
1. 已知非零向量a，b满足(a＋b)⊥(a－b)，则(　B　)
A. a＝b B. ｜a｜＝｜b｜
C. a⊥b D. a∥b
【解析】 ∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，
∴｜a｜2－｜b｜2＝0，∴｜a｜＝｜b｜.
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2. (2025·河北保定高二期末)已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝
3，a·(a＋b)＝－1，则｜a＋2b｜等于(　B　)
A. B. 2 C. 5 D. 20
【解析】 ∵a·(a＋b)＝－1，∴a2＋a·b＝4＋a·b ＝－1，∴a·b＝
－5，∴｜a＋2b｜＝ ＝ ＝
＝2 .
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3. 已知a⊥b，｜a｜＝2，｜b｜＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实
数λ等于(　A　)
A. B. － C. ± D. 1
【解析】 ∵3a＋2b与λa－b垂直，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－
3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝ .
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4. 已知向量 · ＝0，D是BC的中点，｜ ｜＝2，则 · 的
值为(　B　)
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
【解析】 ∵D是BC的中点，∴ ＝ ＋ ，又 · ＝0，
∴ · ＝ · ＝ ＋ · ＝ .
∵｜ ｜＝2，∴ · ＝ ｜ ｜2＝2.
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5. 设非零向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，a＋b＝c，则a
与b的夹角θ为(　B　)
A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°
【解析】 由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，且a＋b＝c，得｜a＋b｜＝｜
b｜，平方得｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝｜b｜2，∴2a·b＝－｜a｜2，
则2｜a｜｜b｜· cos θ＝－｜a｜2，∴ cos θ＝－ . 又0°≤θ≤180°，
∴θ＝120°.
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6. (2025·河南阶段练习)设O是△ABC所在平面内一定点，M是平面内
一动点.若(－ )·(－ )＝(－ )·(－ )＝0，则
O是△ABC的(　A　)
A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心
【解析】 由题意可得 · ＝ · ＝0，则OA⊥CB，
OC⊥AB，故O是△ABC的垂心.
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7. 设两个向量e1，e2满足｜e1｜＝2，｜e2｜＝1，e1，e2的夹角为
60°.若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范
围是(　B　)
A. B. ∪
C. D.
B
【解析】 由题意知(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，即2t2＋15t＋7＜0，解得
－7＜t＜－ .由2t·t－7≠0，得t≠± ，∴t的取值范围是 ∪ .
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8. (多选)将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，则下列结
论中，正确的有(　AC　)
A. a·b＝b·a
B. (a·b)·c＝a·(b·c)
C. a·(b＋c)＝a·b＋a·c
D. 由a·b＝a·c(a≠0)，可得b＝c
【解析】 平面向量的数量积运算满足交换律和分配律，不满足结合
律，A，C正确，B错误；由a·b＝a·c(a≠0)，得a·(b－c)＝0，从而
b－c ＝0，或a⊥(b－c)，D错误.
AC
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9. (多选)若向量a，b满足｜b｜＝1，且(a＋b)⊥b，(a＋2b)⊥a，则
下列命题中，正确的有(　AC　)
A. a·b＝－1 B. a与b的夹角为
C. ｜a｜＝ D. a在b上的投影数量为1
AC
【解析】 由(a＋b)⊥b得a·b＋b2＝0，即a·b＋1＝0，∴a·b＝－1，
A正确；由(a＋2b)⊥a得2a·b＋a2＝0，即a2＝2，∴｜a｜＝ ，C正确；设向量a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝－ ，∴θ＝ ，B错误；a在b上的投影数量为｜a｜ cos θ＝ ＝ ＝－1，D错误.
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10. (2025·江苏南京高三模拟)在△ABC中，记 ＝m， ＝n，则
·(＋ )＝ .
【解析】 ∵ ＝ － ＝n－m，∴ ·(＋ )＝(n－m)·(n＋
m)＝n2－m2.
n2－m2　
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11. 已知平面向量α，β，｜α｜＝1，｜β｜＝2，α⊥(α－2β)，则｜2α＋
β｜的值是 .
【解析】 ｜α｜＝1，｜β｜＝2，由α⊥(α－2β)知，α·(α－2β)＝0，
∴2α·β＝1，∴｜2α＋β｜2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，∴｜2α＋
β｜＝ .
　
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12. 如图所示，在圆C中弦AB的长度为6，则 · ＝ .
－18　
【解析】 如图所示，取AB的中点O，连接CO，则CO⊥AB. ∵在圆
C中弦AB的长度为6，∴ · ＝(＋ )· ＝ · ＋
· ＝－ ＝－ ×6×6＝－18.
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关键能力练
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关键能力练
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13. 已知向量a，b的夹角为60°，且｜a｜＝2，｜b｜＝1，若c＝
2a－b，d＝a＋2b，
求：(1)c·d；
解：(1)c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b＝2×4－2×1＋
3×2×1× ＝9.
(2)｜c＋2d｜.
解：(2)｜c＋2d｜2＝(4a＋3b)2＝16a2＋9b2＋24a·b＝16×4＋9×1＋
24×2×1× ＝97，∴｜c＋2d｜＝ .
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14. (2025·江苏无锡模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知
e1， e2为两个夹角成60°的单位向量， ＝2e1＋e2， ＝－3e1＋
2e2.
(1)求｜ ｜；
解：(1) ＝ － ＝－5e1＋e2，
∵｜e1｜＝｜e2｜＝1，e1·e2＝｜e1｜｜e1｜ cos 60°＝ ，
∴｜ ｜＝ ＝ .
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(2)求 ， 的夹角θ；
解：(2) · ＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6 ＋2 ＋e1·e2＝－ ，
｜ ｜＝ ＝ ＝ ，｜ ｜＝
＝ ＝ ，
∴ cos θ＝ ＝－ ，θ∈[0， π]，∴θ＝ .
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(3)设 ＝te1，若△ABC是以AC为斜边的直角三角形，求实数t的值.
解：(3) ＝ － ＝－5e1＋e2， ＝ － ＝(t＋3)e1－
2e2，由题意可知， ⊥ ，∴(－5e1＋e2)·[(t＋3)e1－2e2]＝－5(t＋
3) ＋(t＋13)e1·e2－2＝0，即－5(t＋3)－2＋ (t＋13)＝0，得t＝－ .
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拓展突破练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
15. (2024·云南保山期末)如图所示，已知正方形ABCD的边长为4.若动
点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则 ·
的取值范围是(　B　)
A. (0，16] B. [0， 16]
C. (0， 4) D. [0， 4]
B
【解析】 取CD的中点E，连接PE，如图所示，
∴PE的取值范围是 ，即 ，
又由 · ＝(＋ )·(＋ )＝ －
＝ －4，∴ · ∈[0， 16].
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16. 在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素
为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的96朵“小雪
花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的创意惊艳
了全世界(如图1)，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形
ABCDEF(如图2).已知正六边形的边长为1，点M满足 ＝ (＋
)，则｜ ｜＝ ；若P是正六边形ABCDEF内部一点(包含边
界)，则 · 的最大值是 .
图1 图2
　
　
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【解析】 由题可知｜ ｜＝｜ ｜＝1，＜ ， ＞＝ ，
∴ ＝ (＋ )2＝ (＋2 · ＋ )＝
＝ ，∴｜ ｜＝ .
设向量 ， 的夹角为θ，P在直线AB上的射影为P'，要使 · 最大，则θ∈ ，∵ · ＝
｜ ｜·｜ ｜· cos θ＝｜AP ｜｜ ｜，如图可知当P在C处时， · 最大，此时｜ ｜＝
｜ ｜＝ ，θ＝ ， · ＝ ×1× ＝ .
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