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(共21张PPT)
三、平面向量基本定理及坐标表示
练习1　平面向量基本定理
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向
量是(　B　)
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【解析】 由题图可知 与 ， 与 ， 与 共线，不能作为
基底， 与 不共线，可作为基底.
B
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2. 在矩形ABCD中， ＝5e1， ＝3e2，AC与BD交于点O，则
等于(　A　)
A. (5e1＋3e2) B. (5e1－3e2)
C. (3e2－5e1) D. (5e2－3e1)
【解析】 ＝ ＝ (－ )＝ (＋ )＝ (5e1＋3e2).
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3. (2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.
记 ＝m， ＝n，则 等于(　B　)
A. 3m－2n B. －2m＋3n
C. 3m＋2n D. 2m＋3n
【解析】 ∵BD＝2DA，∴ ＝3 ，∴ ＝ ＋ ＝ ＋
3 ＝ ＋3(－ )＝－2 ＋3 ＝－2m＋3n.
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4. (2024·安徽合肥阶段练习)如图所示，向量e1，e2，a的起点与终点均
在正方形网格的格点上.若a＝λe1＋μe2，则λ－μ等于(　D　)
A. －1 B. 3 C. 1 D. －3
D
【解析】 根据图象和平面向量基本定理，可知a＝－2e1＋e2，
∴λ＝－2，μ＝1，λ－μ＝－2－1＝－3，
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5. 设向量e1，e2是平面内的一组基底.若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－
λe2共线，则λ等于(　B　)
A. B. － C. －3 D. 3
【解析】 ∵a与b共线，∴存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝
μ(e1－λe2).故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－ .
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6. 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝3AD，E为边
CD上靠近点D的三等分点，F为边BC的中点，则 等于(　B　)
A. － ＋ B. ＋
C. ＋ D. －
【解析】 由题可得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ (＋
＋ )＝ ＋ ＝ ＋ .
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7. (2025·湖北武汉高一阶段检测)如图所示，在平行四边形ABCD中，
M为BC的中点，AC与MD相交于点P. 若 ＝ ＋ ，则x＋
y等于(　B　)
A. 1 B. C. D. 2
B
【解析】 ∵在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交
于点P，∴ ＝ ＝2，∴ ＝ ＝ (＋ )，
又 ＝ ＋ ， ∴x＝y＝ ，∴x＋y＝ .
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8. (多选)(2025·江苏盐城五校高一月考)下列说法中，正确的有(　ABD　)
A. 平面向量的一个基底{e1，e2}中，e1，e2一定都是非零向量
B. 在平面向量基本定理a＝λ1e1＋λ2e2中，若a＝0，则λ1＝λ2＝0
C. 表示同一平面内所有向量的基底是唯一的
D. 若单位向量e1，e2的夹角为 ，则e1在e2上的投影向量是－ e2
ABD
【解析】 对于A，根据平面向量基底的定义可知，e1，e2不共线，
∴e1，e2一定都是非零向量，A正确；对于B，∵a＝0＝λ1e1＋λ2e2，且
e1，e2不共线，∴λ1＝λ2＝0，B正确；对于C，平面内不共线的两个向
量都可以构成一个基底，C错误；对于D，e1在e2上的投影向量为
｜e1｜· cos · ＝－ e2，D正确.
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9. (多选)(2025·河北石家庄高一月考)在△ABC中，M，N分别是线段
AB，AC上的点，CM与BN交于点P. 若 ＝ ＋ ，则下列
结论中，正确的有(　AC　)
A. ＝ B. ＝2
C. ＝ D. ＝
AC
【解析】 如图所示，
设 ＝ ， ＝ ，由 ＝ ＋ ，可得 ＝
＋ ， ＝ ＋ ，∵C，P，M共线，∴ ＋ ＝1，解得m＝ ，∵N，P，B共线，∴ ＋ ＝1，解得n＝ ，故 ＝
， ＝ ，即 ＝ ， ＝ .
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10. 如图所示，在正方形ABCD中，设 ＝a， ＝b， ＝c，则
以{a，b}为基底时， 可表示为 ；以{a，c}为基底时，
可表示为 .
a＋b　
2a＋c　
【解析】 以{a，b}为基底时， ＝ ＋ ＝a＋b；以{a，c}为基底时，将 平移，使点B与点A重合，再由向量加法的三角形法则或平行四边形法则得
＝2a＋c.
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11. (2025·北京通州阶段检测)在△ABC中， ＝λ ，且 ＝
＋ ，则λ＝ .
【解析】 ∵ ＝ ＋ ＝ (＋ )＋ (＋ )＝ ＋
＋ ，∴ ＝ ＝ － ，∴3 ＝ ，即λ＝3.
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12. (2025·重庆七校高一期中)在平行四边形ABCD中，若｜ ｜＝2，
＋ ＝ ，则平行四边形ABCD的面积为 .
8　
【解析】 由题得，在平行四边形ABCD中， ＋ ＝ ，又
｜ ｜＝2， ＋ ＝ ，∴ ＋ · ＝
，则 ＝ ， ＝ ，∴｜ ｜＝4，｜ ｜＝
2 ，则｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，∴ ⊥ ，∴平行四边
形ABCD的面积S＝｜ ｜｜ ｜＝8.
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. 如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将平面分割成Ⅰ，Ⅱ，
Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)四个部分.若 ＝aO ＋bO ，且点P落在Ⅲ
部分， 则实数a，b满足(　B　)
A. a＞0，b＞0 B. a＞0，b＜0
C. a＜0，b＞0 D. a＜0，b＜0
B
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【解析】 如图所示，过点P作PA∥OP2交直线OP1于点A，过点P作
PB∥OP1交直线OP2于点B，
则 ＝ ＋ ，又 ＝aO ＋bO ，∴ ＝aO ， ＝bO .又 与O 方向相同， 与O 方向相反，∴a＞0，b＜0.
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14. (2024·吉林高一阶段检测)在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝
，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，设 ＝a， ＝b.
(1)试用a，b表示 ；
解：(1)∵D是边BC上一点，DC＝2BD，
∴ ＝ ，又 ＝a， ＝b，得 ＝b－a，
∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝a＋ (b－a)＝ a＋ b.
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(2)求 · 的值.
解：(2)∵｜a｜＝｜ ｜＝ ，｜b｜＝
｜ ｜＝1，∠BAC＝120°，∴a·b＝｜a｜·
｜b｜ cos∠BAC＝－ ， · ＝ ·(b－a)＝ b2＋ a·b－ a2＝－ .
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15. 设a，b是平面内的一组基底， ＝a＋5b， ＝－2a＋8b，
＝3(a－b)，证明：A，B，D三点共线.
证明：∵ ＝ ＋ ＋ ＝a＋5b＋(－2a＋8b)＋3(a－b)＝
2a＋10b＝2(a＋5b)＝2 ，
∴ 与 共线.又 与 有公共点A，∴A，B，D三点共线.
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16. 如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝
2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.
解：设 ＝e1， ＝e2，
则 ＝ ＋ ＝－3e2－e1， ＝ ＋ ＝
2e1＋e2∵A，P，M三点和B，P，N三点分别共线，
∴存在实数λ，μ使得 ＝λ ＝－λe1－3λe2，
＝μ ＝2μe1＋μe2.故 ＝ ＋ ＝ － ＝(λ＋2μ)e1＋
(3λ＋μ)e2，而 ＝ ＋ ＝2e1＋3e2，
由平面向量基本定理，得 解得
∴ ＝ ， ＝ ，∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
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166.3 练习1　平面向量基本定理
1. 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　 　)
A. ， B. ， C. ， D. ，
2. 在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，AC与BD交于点O，则等于(　 　)
A. (5e1＋3e2) B. (5e1－3e2) C. (3e2－5e1) D. (5e2－3e1)
3. (2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则等于(　 　)
A. 3m－2n B. －2m＋3n C. 3m＋2n D. 2m＋3n
4. (2024·安徽合肥阶段练习)如图所示，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上.若a＝λe1＋μe2，则λ－μ等于(　 　)
A. －1 B. 3 C. 1 D. －3
5. 设向量e1，e2是平面内的一组基底.若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ等于(　 　)
A. B. － C. －3 D. 3
6. 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝3AD，E为边CD上靠近点D的三等分点，F为边BC的中点，则等于(　 　)
A. －＋ B. ＋
C. ＋ D. －
7. (2025·湖北武汉高一阶段检测)如图所示，在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P.若＝＋，则x＋y等于(　 　)
A. 1 B. C. D. 2
8. (多选)(2025·江苏盐城五校高一月考)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 平面向量的一个基底{e1，e2}中，e1，e2一定都是非零向量
B. 在平面向量基本定理a＝λ1e1＋λ2e2中，若a＝0，则λ1＝λ2＝0
C. 表示同一平面内所有向量的基底是唯一的
D. 若单位向量e1，e2的夹角为，则e1在e2上的投影向量是－e2
9. (多选)(2025·河北石家庄高一月考)在△ABC中，M，N分别是线段AB，AC上的点，CM与BN交于点P.若＝＋，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. ＝ B. ＝2
C. ＝ D. ＝
10. 如图所示，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以{a，b}为基底时，可表示为 ；以{a，c}为基底时，可表示为 .
11. (2025·北京通州阶段检测)在△ABC中，＝λ，且＝＋，则λ＝ .
12. (2025·重庆七校高一期中)在平行四边形ABCD中，若｜｜＝2，＋＝，则平行四边形ABCD的面积为 .
13. 如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将平面分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)四个部分.若＝aO＋bO，且点P落在Ⅲ部分， 则实数a，b满足(　 　)
A. a＞0，b＞0 B. a＞0，b＜0
C. a＜0，b＞0 D. a＜0，b＜0
14. (2024·吉林高一阶段检测)在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示；
(2)求·的值.
15. 设a，b是平面内的一组基底，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，证明：A，B，D三点共线.
16. 如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.6.3 练习1　平面向量基本定理
1. 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　B　)
A. ， B. ， C. ， D. ，
【解析】 由题图可知与，与，与共线，不能作为基底，与不共线，可作为基底.
2. 在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，AC与BD交于点O，则等于(　A　)
A. (5e1＋3e2) B. (5e1－3e2) C. (3e2－5e1) D. (5e2－3e1)
【解析】 ＝＝(－)＝(＋)＝(5e1＋3e2).
3. (2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则等于(　B　)
A. 3m－2n B. －2m＋3n C. 3m＋2n D. 2m＋3n
【解析】 ∵BD＝2DA，∴＝3，∴＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.
4. (2024·安徽合肥阶段练习)如图所示，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上.若a＝λe1＋μe2，则λ－μ等于(　D　)
A. －1 B. 3 C. 1 D. －3
【解析】 根据图象和平面向量基本定理，可知a＝－2e1＋e2，∴λ＝－2，μ＝1，
λ－μ＝－2－1＝－3，
5. 设向量e1，e2是平面内的一组基底.若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ等于(　B　)
A. B. － C. －3 D. 3
【解析】 ∵a与b共线，∴存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2).故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－.
6. 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝3AD，E为边CD上靠近点D的三等分点，F为边BC的中点，则等于(　B　)
A. －＋ B. ＋
C. ＋ D. －
【解析】 由题可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋＝＋.
7. (2025·湖北武汉高一阶段检测)如图所示，在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P.若＝＋，则x＋y等于(　B　)
A. 1 B. C. D. 2
【解析】 ∵在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P，∴＝＝2，∴＝＝(＋)，又＝＋， ∴x＝y＝，
∴x＋y＝.
8. (多选)(2025·江苏盐城五校高一月考)下列说法中，正确的有(　ABD　)
A. 平面向量的一个基底{e1，e2}中，e1，e2一定都是非零向量
B. 在平面向量基本定理a＝λ1e1＋λ2e2中，若a＝0，则λ1＝λ2＝0
C. 表示同一平面内所有向量的基底是唯一的
D. 若单位向量e1，e2的夹角为，则e1在e2上的投影向量是－e2
【解析】 对于A，根据平面向量基底的定义可知，e1，e2不共线，∴e1，e2一定都是非零向量，A正确；对于B，∵a＝0＝λ1e1＋λ2e2，且e1，e2不共线，∴λ1＝λ2＝0，B正确；对于C，平面内不共线的两个向量都可以构成一个基底，C错误；对于D，e1在e2上的投影向量为｜e1｜·cos·＝－e2，D正确.
9. (多选)(2025·河北石家庄高一月考)在△ABC中，M，N分别是线段AB，AC上的点，CM与BN交于点P.若＝＋，则下列结论中，正确的有(　AC　)
A. ＝ B. ＝2
C. ＝ D. ＝
【解析】 如图所示，
设＝，＝，由＝＋，可得＝＋，＝＋，∵C，P，M共线，∴＋＝1，解得m＝，∵N，P，B共线，
∴＋＝1，解得n＝，故＝，＝，即＝，＝.
10. 如图所示，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以{a，b}为基底时，可表示为　a＋b　；以{a，c}为基底时，可表示为　2a＋c　.
【解析】 以{a，b}为基底时，＝＋＝a＋b；以{a，c}为基底时，将平移，使点B与点A重合，再由向量加法的三角形法则或平行四边形法则得＝
2a＋c.
11. (2025·北京通州阶段检测)在△ABC中，＝λ，且＝＋，则λ＝　3　.
【解析】 ∵＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋，∴＝＝－，∴3＝，即λ＝3.
12. (2025·重庆七校高一期中)在平行四边形ABCD中，若｜｜＝2，＋＝，则平行四边形ABCD的面积为　8　.
【解析】 由题得，在平行四边形ABCD中，＋＝，又｜｜＝2，
＋＝，∴＋·＝，则＝，＝，∴｜｜＝4，｜｜＝2，则｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，∴⊥，
∴平行四边形ABCD的面积S＝｜｜｜｜＝8.
13. 如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将平面分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)四个部分.若＝aO＋bO，且点P落在Ⅲ部分， 则实数a，b满足(　B　)
A. a＞0，b＞0 B. a＞0，b＜0
C. a＜0，b＞0 D. a＜0，b＜0
【解析】 如图所示，过点P作PA∥OP2交直线OP1于点A，过点P作PB∥OP1交直线OP2于点B，
则＝＋，又＝a＋b，∴＝a，＝b.又与方向相同，与方向相反，∴a＞0，b＜0.
14. (2024·吉林高一阶段检测)在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示；
解：(1)∵D是边BC上一点，DC＝2BD，
∴＝，又＝a，＝b，得＝b－a，
∴＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
(2)求·的值.
解：(2)∵｜a｜＝｜｜＝，｜b｜＝｜｜＝1，∠BAC＝120°，
∴a·b＝｜a｜｜b｜cos∠BAC＝－，
·＝·(b－a)＝b2＋a·b－a2＝－.
15. 设a，b是平面内的一组基底，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，证明：A，B，D三点共线.
证明：∵＝＋＋＝a＋5b＋(－2a＋8b)＋3(a－b)＝2a＋10b＝2(a＋5b)＝2，
∴与共线.又与有公共点A，∴A，B，D三点共线.
16. 如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.
解：设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2
∵A，P，M三点和B，P，N三点分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，
而＝＋＝2e1＋3e2，
由平面向量基本定理，得解得
∴＝，＝，∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.

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