资源简介

(共24张PPT)
三、平面向量基本定理及坐标表示
练习2　平面向量的正交分解及坐标表示&平面向量加、
减运算的坐标表示
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
1. 已知向量a＝(2， 4)，a＋b＝(3， 2)，则b等于(　A　)
A. (1，－2) B. (1， 2)
C. (5， 6) D. (2， 0)
【解析】 b＝a＋b－a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2).
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中
x∈R)，则向量a的坐标位于(　D　)
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 x2＋x＋1＝ ＋ ＞0，x2－x＋1＝ ＋ ＞0，
∴向量a对应的坐标位于第四象限.　
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1， 7)，
C(1， 2)，则顶点D的坐标为(　D　)
A. (－7，0) B. (7，6)
C. (6，7) D. (7，－6)
【解析】 设D(x，y)，∵ ＝ ，∴(x－5，y＋1)＝(2，－5)，
∴x＝7，y＝－6，∴D(7，－6).
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)， ＝(－1，2)，则
＋ 等于(　A　)
A. (－2，4) B. (4，6)
C. (－6，－2) D. (－1，9)
【解析】 在平行四边形ABCD中，∵A(1，2)，B(3，5)，
∴ ＝(2，3).又 ＝(－1， 2)，∴ ＝ ＋ ＝(1，5)
＝ － ＝(－3，－1)，∴ ＋ ＝(－2，4).
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. (2025·天津一中高一月考)已知向量 与a＝(6，－8)的夹角为π，且
｜ ｜＝｜a｜，若点A的坐标为(－1，2)，则点B的坐标为 (　A　)
A. (－7，10) B. (7，10)
C. (5，－6) D. (－5，6)
【解析】 由题意知 与a的长度相等，方向相反，∴ ＝－a＝(－6，8).由题知A(－1，2)，设B(x，y)，则 ＝(x＋1，y－2)＝(－6，8)，∴ 解得 即点B的坐标为(－7，10).
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，则向量a＋b－c
的坐标为(　A　)
A. (1，－2) B. (1，2)
C. (2，－1) D. (－1，2)
A
【解析】 由题图可知a＝c＝(1，2)，b＝(1，－2)，
∴a＋b－c＝b＝(1，－2).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 已知两个力F1＝(1，2)，F2＝(－2，3)作用于平面内某静止物体的同
一点上，为使该物体仍保持静止，还需在该物体的同一点上再施加一个
力F3，则F3等于(　A　)
A. (1，－5) B. (－1，5)
C. (5，－1) D. (－5，1)
【解析】 根据力的合成可知F1＋F2＝(1－2，2＋3)＝(－1，5)，∵物体
保持静止即合力为0，则F1＋F2＋F3＝0，即F3＝(1，－5).
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. (多选)在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，x轴、y轴相同方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法中，正确的有(　AC　)
A. ＝2i＋3j B. ＝3i＋4j
C. ＝－5i＋j D. ＝5i＋j
AC
【解析】 由图知， ＝2i＋3j， ＝－3i＋4j，A正确，B错误；
＝ － ＝－5i＋j， ＝－ ＝5i－j，C正确，D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. (多选)已知平面上三点A(3，7)，B(4，6)，C(1，－2)，若存在点D
使这四个点为平行四边形的顶点，则点D的坐标可能为(　ACD　)
A. (0，－1) B. (0，1) C. (2，－3) D. (6，15)
ACD
【解析】 ①当平行四边形为 ABCD时， ＝ ，设点D的坐标为
(x，y)，则(4，6)－(3，7)＝(1，－2)－(x，y)，∴ 解
得 ∴D(0，－1)；②当平行四边形为 ABDC时，同理可得
D(2，－3)；③当平行四边形为 ADBC时，同理可得D(6，15).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 已知向量a＝(－3，4)， ＝2a，点A的坐标为(3， －4)，则点B
的坐标为 .
【解析】 设点B(x， y)，∵ ＝2a，则(x－3， y＋4)＝(－6， 8)，解
得x＝－3，y＝4.故点B(－3， 4).
(－3， 4)　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(m，
n∈R)，则m－n的值为 .
【解析】 ∵a＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴ ∴ ∴m－n＝2－5＝－3.
－3　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. 如图所示，已知O是平面直角坐标系的原点，∠OAB＝∠ABC＝
120°，｜ ｜＝｜ ｜＝2｜ ｜＝4.若四边形ABCD为平行四边
形，则点D的坐标为 .
(2，2 )　
【解析】 作出平行四边形ABCD，如图所示.∵∠BAD＝180°－
∠ABC＝60°，∴∠OAD＝∠OAB－∠BAD＝60°，
∴＜ ， ＞＝120°.∵｜ ｜＝｜ ｜＝4，
∴ ＝(4 cos 120°，4 sin 120°)＝(－2，2 )，
易知点A(4，0)，则 ＝ ＋ ＝(4，0)＋
(－2，2 )＝(2，2 )，因此，
点D的坐标为(2，2 ).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
关键能力练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，
(1)若 ＝ ＋ ，求点P的坐标；
解：(1)∵ ＝(1，2)， ＝(2，1)，∴ ＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，即点P的坐标为(3，3).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)若 ＋ ＋ ＝0，求 的坐标.
解：(2)设点P的坐标为(x，y)，∵ ＋ ＋ ＝0，
又 ＋ ＋ ＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝
(6－3x，6－3y).
∴ 解得 ∴点P的坐标为(2，2)，故 ＝(2，2).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD与矩形DEFG全
等，且 ＝ ，｜ ｜＝1.
(1)用坐标表示向量 ， ， ；
解：∵｜ ｜＝1，矩形OBCD与矩形DEFG全等，
且 ＝ ，∴｜ ｜＝2，则C(1，2)，B(0，2)，
G(1，1)，D(1，0)，F(3，1).
(1) ＝(1，0)， ＝(0，2)， ＝(3－1，1－0)＝(2，1).　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)求 在基底{ ， }下的坐标.
解：(2)∵ ＝(1，2)， ＝(1，－1)，
＝(2，1)，∴ ＝－ ＋ ，
∴ 在基底{ ， }下的坐标为(－1，1).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓展突破练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
15. 已知对任意平面向量 ＝(x，y)，将 绕其起点沿逆时针方向旋
转θ角得到向量 ＝(x cos θ－y sin θ，x sin θ＋y cos θ)，这个过程也叫
做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P. 已知平面内点A(1，2)，点B(1＋ ，4)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转 得到点P，则点P的坐标为(　A　)
A. B. C. D.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
【解析】 设O为坐标原点，由已知条件得 ＝(，2)， ＝
( cos －2 sin ， sin ＋2 cos )＝ ，又A(1，2)，∴ ＝ ＋ ＝(1，2)＋ ＝ ，
∴点P的坐标为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 如图所示，在平面直角坐标系中，｜ ｜＝2｜ ｜＝2， ＝
(－1， )，∠OAB＝ .
(1)求点B的坐标；
(1)解：由题意，∵∠OAB＝ ，｜ ｜＝1，
∴ ＝ ＝ ，故 ＝ ＋
＝(2，0)＋ ＝ ，即点B的坐标为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)证明：OC∥AB.
(2)证明：由题意， ＝ ＋ ＝ ＋
(－1， )＝ ，又 ＝ ，
∴ ＝3 ，且 ， 不共线，∴OC∥AB.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
166.3 练习2　平面向量的正交分解及坐标表示&平面向量加、减运算的坐标表示
@必备知识练
1. 已知向量a＝(2， 4)，a＋b＝(3， 2)，则b等于(　 　)
A. (1，－2) B. (1， 2) C. (5， 6) D. (2， 0)
2. 若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a的坐标位于(　 　)
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1， 7)，C(1， 2)，则顶点D的坐标为(　 　)
A. (－7，0) B. (7，6) C. (6，7) D. (7，－6)
4. 在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋等于(　 　)
A. (－2，4) B. (4，6) C. (－6，－2) D. (－1，9)
5. (2025·天津一中高一月考)已知向量与a＝(6，－8)的夹角为π，且｜｜＝
｜a｜，若点A的坐标为(－1，2)，则点B的坐标为 (　 　)
A. (－7，10) B. (7，10) C. (5，－6) D. (－5，6)
6. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，则向量a＋b－c的坐标为(　 　)
A. (1，－2) B. (1，2) C. (2，－1) D. (－1，2)
已知两个力F1＝(1，2)，F2＝(－2，3)作用于平面内某静止物体的同一点上，
为使该物体仍保持静止，还需在该物体的同一点上再施加一个力F3，则F3等于(　 　)
A. (1，－5) B. (－1，5) C. (5，－1) D. (－5，1)
8. (多选)在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，x轴、y轴相同方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. ＝2i＋3j B. ＝3i＋4j C. ＝－5i＋j D. ＝5i＋j
9. (多选)已知平面上三点A(3，7)，B(4，6)，C(1，－2)，若存在点D使这四个点为平行四边形的顶点，则点D的坐标可能为(　 　)
A. (0，－1) B. (0，1) C. (2，－3) D. (6，15)
10. 已知向量a＝(－3，4)，＝2a，点A的坐标为(3， －4)，则点B的坐标为 .
11. 已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为 .
12. 如图所示，已知O是平面直角坐标系的原点，∠OAB＝∠ABC＝120°，｜｜＝｜｜＝2｜｜＝4.若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为 .
@关键能力练
13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，
(1)若＝＋，求点P的坐标；
(2)若＋＋＝0，求的坐标.
14. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD与矩形DEFG全等，且＝，｜｜＝1.
(1)用坐标表示向量，，；
(2)求在基底{，}下的坐标.
15. 已知对任意平面向量＝(x，y)，将绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝(xcos θ－ysin θ，xsin θ＋ycos θ)，这个过程也叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1，2)，点B(1＋，4)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，则点P的坐标为(　 　)
A. B. C. D.
16. 如图所示，在平面直角坐标系中，｜｜＝2｜｜＝2，＝(－1，)，∠OAB＝.
(1)求点B的坐标；
(2)证明：OC∥AB.6.3 练习2　平面向量的正交分解及坐标表示&平面向量加、减运算的坐标表示
@必备知识练
1. 已知向量a＝(2， 4)，a＋b＝(3， 2)，则b等于(　A　)
A. (1，－2) B. (1， 2) C. (5， 6) D. (2， 0)
【解析】 b＝a＋b－a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2).
2. 若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a的坐标位于(　D　)
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 x2＋x＋1＝＋＞0，x2－x＋1＝＋＞0，∴向量a对应的坐标位于第四象限.　
3. 已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1， 7)，C(1， 2)，则顶点D的坐标为(　D　)
A. (－7，0) B. (7，6) C. (6，7) D. (7，－6)
【解析】 设D(x，y)，∵＝，∴(x－5，y＋1)＝(2，－5)，∴x＝7，y＝－6，∴D(7，－6).
4. 在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋等于(　A　)
A. (－2，4) B. (4，6) C. (－6，－2) D. (－1，9)
【解析】 在平行四边形ABCD中，∵A(1，2)，B(3，5)，∴＝(2，3).又＝(－1， 2)，∴＝＋＝(1，5)，＝－＝(－3，－1)，∴＋＝(－2，4).
5. (2025·天津一中高一月考)已知向量与a＝(6，－8)的夹角为π，且｜｜＝
｜a｜，若点A的坐标为(－1，2)，则点B的坐标为 (　A　)
A. (－7，10) B. (7，10) C. (5，－6) D. (－5，6)
【解析】 由题意知与a的长度相等，方向相反，∴＝－a＝(－6，8).由题知A(－1，2)，设B(x，y)，则＝(x＋1，y－2)＝(－6，8)，∴解得即点B的坐标为(－7，10).
6. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，则向量a＋b－c的坐标为(　A　)
A. (1，－2) B. (1，2) C. (2，－1) D. (－1，2)
【解析】 由题图可知a＝c＝(1，2)，b＝(1，－2)，∴a＋b－c＝b＝(1，－2).
已知两个力F1＝(1，2)，F2＝(－2，3)作用于平面内某静止物体的同一点上，
为使该物体仍保持静止，还需在该物体的同一点上再施加一个力F3，则F3等于(　A　)
A. (1，－5) B. (－1，5) C. (5，－1) D. (－5，1)
【解析】 根据力的合成可知F1＋F2＝(1－2，2＋3)＝(－1，5)，∵物体保持静止即合力为0，则F1＋F2＋F3＝0，即F3＝(1，－5).
8. (多选)在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，x轴、y轴相同方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法中，正确的有(　AC　)
A. ＝2i＋3j B. ＝3i＋4j C. ＝－5i＋j D. ＝5i＋j
【解析】 由图知，＝2i＋3j，＝－3i＋4j，A正确，B错误；＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，C正确，D错误.
9. (多选)已知平面上三点A(3，7)，B(4，6)，C(1，－2)，若存在点D使这四个点为平行四边形的顶点，则点D的坐标可能为(　ACD　)
A. (0，－1) B. (0，1) C. (2，－3) D. (6，15)
【解析】 ①当平行四边形为 ABCD时，＝，设点D的坐标为(x，y)，则(4，6)－(3，7)＝(1，－2)－(x，y)，∴解得∴D(0，
－1)；②当平行四边形为 ABDC时，同理可得D(2，－3)；③当平行四边形为 ADBC时，同理可得D(6，15).
10. 已知向量a＝(－3，4)，＝2a，点A的坐标为(3， －4)，则点B的坐标为　(－3， 4)　.
【解析】 设点B(x， y)，∵＝2a，则(x－3， y＋4)＝(－6， 8)，解得x＝－3，
y＝4.故点B(－3， 4).
11. 已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为　－3　.
【解析】 ∵a＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴∴∴m－n＝2－5＝－3.
12. 如图所示，已知O是平面直角坐标系的原点，∠OAB＝∠ABC＝120°，｜｜＝｜｜＝2｜｜＝4.若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为　(2，2)　.
【解析】 作出平行四边形ABCD，如图所示.∵∠BAD＝180°－∠ABC＝60°，∴∠OAD＝∠OAB－∠BAD＝60°，∴＜，＞＝120°.∵｜｜＝｜｜＝4，∴＝(4cos120°，4sin120°)＝(－2，2)，易知点A(4，0)，则＝＋＝(4，0)＋(－2，2)＝(2，2)，因此，点D的坐标为(2，2).
@关键能力练
13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，
(1)若＝＋，求点P的坐标；
解：(1)∵＝(1，2)，＝(2，1)，∴＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，即点P的坐标为(3，3).
(2)若＋＋＝0，求的坐标.
解：(2)设点P的坐标为(x，y)，∵＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y).
∴解得∴点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2).
14. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD与矩形DEFG全等，且＝，｜｜＝1.
(1)用坐标表示向量，，；
解：∵｜｜＝1，矩形OBCD与矩形DEFG全等，且＝，∴｜｜＝2，则C(1，2)，B(0，2)，G(1，1)，D(1，0)，F(3，1).
(1)＝(1，0)，＝(0，2)，＝(3－1，1－0)＝(2，1).　
(2)求在基底{，}下的坐标.
解：(2)∵＝(1，2)，＝(1，－1)，＝(2，1)，∴＝－＋，∴在基底{，}下的坐标为(－1，1).
15. 已知对任意平面向量＝(x，y)，将绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝(xcos θ－ysin θ，xsin θ＋ycos θ)，这个过程也叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1，2)，点B(1＋，4)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，则点P的坐标为(　A　)
A. B. C. D.
【解析】 设O为坐标原点，由已知条件得＝(，2)，＝ （cos－2sin，sin＋2cos）＝，又A(1，2)，∴＝＋＝(1，2)＋＝，∴点P的坐标为.
16. 如图所示，在平面直角坐标系中，｜｜＝2｜｜＝2，＝(－1，)，∠OAB＝.
(1)求点B的坐标；
(1)解：由题意，∵∠OAB＝，｜｜＝1，∴＝＝，故＝＋＝(2，0)＋ ＝，即点B的坐标为.
(2)证明：OC∥AB.
(2)证明：由题意，＝＋＝＋ (－1，)＝，又＝，∴＝3，且，不共线，∴OC∥AB.

展开更多......

收起↑