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6.3 练习3　平面向量数乘运算的坐标表示
@必备知识练
(2025·山东潍坊高一阶段检测)已知点A(0， 1)，B(3， 2)，向量＝(－4，
－3)，则向量等于(　 　)
A. (－7，－4) B. (7，4) C. (－1，4) D. (1，4)
2. 已知向量a＝，2a＋3b＝(5，－3)，则b等于(　 　)
A. (－3，2) B. (3，－2) C. (3，0) D. (9，6)
3. 已知向量a＝(－1，4)，b＝(3， －2λ)，若a∥(2a＋b)，则λ等于(　 　)
A. －1 B. 6 C. －6 D. 2
4. 已知点A(3，－1)，B(3， 2)，O为坐标原点，＝2＋λ(λ∈R).若点P在x轴上，则λ的值为(　 　)
A. 0 B. 1 C. －1 D. －2
5. 已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)∥(a－μb)，则(　 　)
A. λ＋μ＝0 B. λ＋μ＝－1 C. λμ＝1 D. λμ＝－1
6. 已知向量a＝(1，2)，b＝(cos θ，sin θ)，且向量a与b平行，则tan θ的值为(　 　)
A. － B. －2 C. D. 2
7. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上运动(不包括端点)，且满足＝＋(m，n均为正数)，则＋的最小值是(　 　)
A. 1 B. C. － D.
8. (多选)若点P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标可能为(　 　)
A. (2，1) B. (2，2) C. (3，1) D. (3，2)
9. (多选)(2025·山东威海高一期末)已知向量a＝(1，－2)，b＝(－2，4)，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. a∥b B. a与b可以作为一组基底
C. 2a＋b＝0 D. b－a与a方向相同
10. 已知向量a＝(2，1)，b＝(3，m).若2a－b与b平行，则m的值是 .
11. (2024·山东济南高一期末)已知点A(－1，1)，B(3，2)，D(0，5)，若＝2，AC与BD交于点M，则点M的坐标为 .
12. 若{α，β}是平面内的一个基底，向量γ＝x·α＋y·β(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标.现已知向量a在基底{p，q}(p＝(1，－1)，q＝(2，1))下的坐标为(－2，2)，则a在另一个基底{m，n}(m＝(－1，1)，n＝(1，2))下的坐标为 .
13. 已知点P1(3，2)，P2(9，11)，点P(5，y)分P1所成的比为λ，则y与λ的值分别为(　 　)
A. y＝8，λ＝2 B. y＝，λ＝
C. y＝，λ＝ D. y＝5，λ＝
14. 已知点A(－1，3)，B(4，－2)，C(－2，－5)，设＝a，＝b，＝c.求：
(1)3a＋b－3c；
(2)满足a＝mb＋nc的实数m，n的值.
15. 已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1， 2)，并且＝，＝，证明：∥.
16. 已知点O(0，0)，A(2，1)，B(4，3)，点P满足＝＋.
(1)若点P在第一象限，求t的取值范围.
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.6.3 练习3　平面向量数乘运算的坐标表示
@必备知识练
(2025·山东潍坊高一阶段检测)已知点A(0， 1)，B(3， 2)，向量＝(－4，
－3)，则向量等于(　A　)
A. (－7，－4) B. (7，4) C. (－1，4) D. (1，4)
【解析】 ＝＋＝(－3，－1) ＋(－4，－3) ＝(－7，－4).
2. 已知向量a＝，2a＋3b＝(5，－3)，则b等于(　B　)
A. (－3，2) B. (3，－2) C. (3，0) D. (9，6)
【解析】 由题意，b＝＝[(5，－3)－(－4，3)]＝(3，
－2).
3. 已知向量a＝(－1，4)，b＝(3， －2λ)，若a∥(2a＋b)，则λ等于(　B　)
A. －1 B. 6 C. －6 D. 2
【解析】 向量a＝(－1，4)，b＝(3， －2λ)，则2a＋b＝(1， 8－2λ)，由a∥(2a＋b)，得4＝－8＋2λ，解得λ＝6.
4. 已知点A(3，－1)，B(3， 2)，O为坐标原点，＝2＋λ(λ∈R).若点P在x轴上，则λ的值为(　B　)
A. 0 B. 1 C. －1 D. －2
【解析】 设点P(a，0)，则＝(a，0).又＝(3， －1)，＝(3， 2)，
则(a，0)＝(6， －2)＋(3λ， 2λ)，则有解得
5. 已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)∥(a－μb)，则(　A　)
A. λ＋μ＝0 B. λ＋μ＝－1 C. λμ＝1 D. λμ＝－1
【解析】 ∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，∴a－μb＝(1－μ，1＋μ)，a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，又(a＋λb)∥(a－μb)，∴(1－λ)(1－μ)＝(1＋λ)(1＋μ)，化简可得λ＋μ＝0.
6. 已知向量a＝(1，2)，b＝(cos θ，sin θ)，且向量a与b平行，则tan θ的值为(　D　)
A. － B. －2 C. D. 2
【解析】 ∵向量a＝(1，2)，b＝(cos θ，sin θ)，且向量a与b平行，∴1·sin θ－2·cos θ＝0，即tan θ＝2.
7. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上运动(不包括端点)，且满足＝＋(m，n均为正数)，则＋的最小值是(　D　)
A. 1 B. C. － D.
【解析】 如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，D(0，4)，C(1，4)，则＝(4，0)，＝(0，4)，＝(－3，4)，设＝λ＝(－3λ，4λ)(λ∈(0，1))，则＝＋＝(4－3λ，4λ).∵＝＋＝(4m，4n)，∴消去λ，得m＋n＝1.∵m＞0，n＞0，∴＋＝＝1＋＋＋≥＋2＝，当且仅当m＝n，即时，等号成立.故＋的最小值是.
8. (多选)若点P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标可能为(　BC　)
A. (2，1) B. (2，2) C. (3，1) D. (3，2)
【解析】 由题意得P1＝P1，或P1＝P1，P1＝(3，－3)，设点P(x，y)，则P1＝(x－1，y－3).当P1＝P1时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，∴x＝2，y＝2，即点P(2，2)；当P1＝P1时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，∴x＝3，y＝1，即点P(3，1).
9. (多选)(2025·山东威海高一期末)已知向量a＝(1，－2)，b＝(－2，4)，则下列说法中，正确的有(　AC　)
A. a∥b B. a与b可以作为一组基底
C. 2a＋b＝0 D. b－a与a方向相同
【解析】 ∵向量a＝(1，－2)，b＝(－2，4)，∴a＝－b，则a∥b，A正确；
由A知，a∥b，∴a与b不可以作为一组基底，B错误； ∵向量a＝(1，－2)，
b＝(－2，4)，∴2a＋b＝0，C正确；∵向量a＝(1，－2)，b＝(－2， 4)，∴b－a＝(－3， 6)，则a＝－(b－a)，∴b－a与a方向相反，D错误.
10. 已知向量a＝(2，1)，b＝(3，m).若2a－b与b平行，则m的值是　　.
【解析】 ∵向量a＝(2，1)，b＝(3，m)，∴2a－b＝(1，2－m)，又2a－b与b平行，∴3(2－m)－m＝0，解得m＝.
11. (2024·山东济南高一期末)已知点A(－1，1)，B(3，2)，D(0，5)，若＝2，AC与BD交于点M，则点M的坐标为　(1，4)　.
【解析】 设C(x，y)，M(x1，y1)，则＝(x－3，y－2)，由题得＝(1，4)，
∵＝2，∴(x－3，y－2)＝2(1，4)，∴解得
即C(5，10).∵＝2，∴△DMA∽△BMC，∴＝＝，∴＝，则(x1＋1，y1－1)＝(6，9)＝(2，3)，∴解得
∴点M的坐标为(1，4).
12. 若{α，β}是平面内的一个基底，向量γ＝x·α＋y·β(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标.现已知向量a在基底{p，q}(p＝(1，－1)，q＝(2，1))下的坐标为(－2，2)，则a在另一个基底{m，n}(m＝(－1，1)，n＝(1，2))下的坐标为　(0，2)　.
【解析】 由已知条件得a＝－2p＋2q＝(－2，2)＋(4，2)＝(2，4).设a＝λm＋μn＝λ(－1，1)＋μ(1，2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)，则解得∴a在基底{m，n}下的坐标为(0，2).
13. 已知点P1(3，2)，P2(9，11)，点P(5，y)分P1所成的比为λ，则y与λ的值分别为(　D　)
A. y＝8，λ＝2 B. y＝，λ＝
C. y＝，λ＝ D. y＝5，λ＝
【解析】 ∵P1(3， 2)，P2(9， 11)，P(5， y)，∴＝(2， y－2)，＝(4， 11－y)，∵P分所成的比为λ，∴＝λ，即(2， y－2)＝λ(4， 11－y)＝(4λ， 11λ－λy)，∴解得
14. 已知点A(－1，3)，B(4，－2)，C(－2，－5)，设＝a，＝b，＝c.求：
(1)3a＋b－3c；
解：由已知条件，得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8).
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝
(6，－42).
(2)满足a＝mb＋nc的实数m，n的值.
解：(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴解得
15. 已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1， 2)，并且＝，＝，证明：∥.
证明：设E(x1， y1)，F(x2， y2)，则由题意，得＝(2， 2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)，
∴＝＝，＝＝，
∴(x1， y1)－(－1，0)＝，(x2， y2)－(3，－1)＝，∴(x1，y1)＝
＋(－1，0)＝，(x2，y2)＝＋(3，－1)＝，∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝－＝.又4×－(－1)×＝0，∴∥.
16. 已知点O(0，0)，A(2，1)，B(4，3)，点P满足＝＋.
(1)若点P在第一象限，求t的取值范围.
解：(1)＝＋＝(2，1)＋t(4，3)＝(4t＋2，3t＋1)，
若点P在第一象限，则解得t＞－，故t的取值范围是.
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
解：(2)若四边形OABP是平行四边形，则＝，
∵＝(4t＋2，3t＋1)，＝(2，2)，
∴该方程组无解，
故四边形OABP不能成为平行四边形.(共21张PPT)
三、平面向量基本定理及坐标表示
练习3　平面向量数乘运算的坐标表示
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. (2025·山东潍坊高一阶段检测)已知点A(0， 1)，B(3， 2)，向量
＝(－4，－3)，则向量 等于(　A　)
A. (－7，－4) B. (7，4)
C. (－1，4) D. (1，4)
【解析】 ＝ ＋ ＝(－3，－1) ＋(－4，－3) ＝(－7，－4).
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2. 已知向量a＝ ，2a＋3b＝(5，－3)，则b等于(　B　)
A. (－3，2) B. (3，－2)
C. (3，0) D. (9，6)
【解析】 由题意，b＝ ＝ [(5，－3)－
(－4，3)]＝(3，－2).
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3. 已知向量a＝(－1，4)，b＝(3， －2λ)，若a∥(2a＋b)，则λ等于
(　B　)
A. －1 B. 6 C. －6 D. 2
【解析】 向量a＝(－1，4)，b＝(3， －2λ)，则2a＋b＝(1， 8－2λ)，
由a∥(2a＋b)，得4＝－8＋2λ，解得λ＝6.
B
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4. 已知点A(3，－1)，B(3， 2)，O为坐标原点， ＝2 ＋λ
(λ∈R).若点P在x轴上，则λ的值为(　B　)
A. 0 B. 1 C. －1 D. －2
【解析】 设点P(a，0)，则 ＝(a，0).又 ＝(3， －1)， ＝(3，
2)，则(a，0)＝(6， －2)＋(3λ， 2λ)，则有 解得
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5. 已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)∥(a－μb)，则
(　A　)
A. λ＋μ＝0 B. λ＋μ＝－1
C. λμ＝1 D. λμ＝－1
【解析】 ∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，∴a－μb＝(1－μ，1＋μ)，a＋
λb＝(1＋λ，1－λ)，又(a＋λb)∥(a－μb)，∴(1－λ)(1－μ)＝(1＋λ)(1＋μ)，化简可得λ＋μ＝0.
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6. 已知向量a＝(1，2)，b＝( cos θ， sin θ)，且向量a与b平行，则
tanθ的值为(　D　)
A. － B. －2 C. D. 2
【解析】 ∵向量a＝(1，2)，b＝( cos θ， sin θ)，且向量a与b平行，
∴1· sin θ－2· cos θ＝0，即tanθ＝2.
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7. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，
AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上运动(不包括端点)，且满足
＝ ＋ (m，n均为正数)，则 ＋ 的最小值是(　D　)
A. 1 B. C. － D.
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【解析】 如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线
为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，D(0，4)，
C(1，4)，则 ＝(4，0)， ＝(0，4)， ＝(－3，4)，设 ＝
λ ＝(－3λ，4λ)(λ∈(0，1))，则 ＝ ＋ ＝(4－3λ，4λ).∵ ＝
＋ ＝(4m，4n)，∴ 消去λ，得m＋ n＝
1.∵m＞0，n＞0，∴ ＋ ＝ ＝1＋ ＋ ＋ ≥
＋2 ＝ ，当且仅当m＝ n，即
时，等号成立.故 ＋ 的最小值是 .
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8. (多选)若点P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点，
则点P的坐标可能为(　BC　)
A. (2，1) B. (2，2) C. (3，1) D. (3，2)
【解析】 由题意得P1 ＝ P1 ，或P1 ＝ P1 ，P1 ＝(3，－3)，设点P(x，y)，则P1 ＝(x－1，y－3).当P1 ＝ P1 时，(x－1，y－
3)＝ (3，－3)，∴x＝2，y＝2，即点P(2，2)；当P1 ＝ P1 时，(x－1，y－3)＝ (3，－3)，∴x＝3，y＝1，即点P(3，1).
BC
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9. (多选)(2025·山东威海高一期末)已知向量a＝(1，－2)，b＝(－2，4)，则下列说法中，正确的有(　AC　)
A. a∥b B. a与b可以作为一组基底
C. 2a＋b＝0 D. b－a与a方向相同
AC
【解析】 ∵向量a＝(1，－2)，b＝(－2，4)，∴a＝－ b，则a∥b，
A正确；由A知，a∥b，∴a与b不可以作为一组基底，B错误； ∵向
量a＝(1，－2)，b＝(－2，4)，∴2a＋b＝0，C正确；∵向量a＝(1，
－2)，b＝(－2， 4)，∴b－a＝(－3， 6)，则a＝－ (b－a)，∴b－a
与a方向相反，D错误.
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10. 已知向量a＝(2，1)，b＝(3，m).若2a－b与b平行，则m的值
是 .
【解析】 ∵向量a＝(2，1)，b＝(3，m)，∴2a－b＝(1，2－m)，又
2a－b与b平行，∴3(2－m)－m＝0，解得m＝ .
　
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11. (2024·山东济南高一期末)已知点A(－1，1)，B(3，2)，D(0，5)，
若 ＝2 ，AC与BD交于点M，则点M的坐标为 .
【解析】 设C(x，y)，M(x1，y1)，则 ＝(x－3，y－2)，由题得
＝(1，4)，∵ ＝2 ，∴(x－3，y－2)＝2(1，4)，∴
解得 即C(5，10).∵ ＝2 ，∴△DMA∽△BMC，
∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，则(x1＋1，y1－1)＝ (6，
9)＝(2，3)，∴ 解得 ∴点M的坐标为(1，4).
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12. 若{α，β}是平面内的一个基底，向量γ＝x·α＋y·β(x，y∈R)，则称
(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标.现已知向量a在基底{p，q}(p＝
(1，－1)，q＝(2，1))下的坐标为(－2，2)，则a在另一个基底{m，n}
(m＝(－1，1)，n＝(1，2))下的坐标为 .
【解析】 由已知条件得a＝－2p＋2q＝(－2，2)＋(4，2)＝(2，4).设
a＝λm＋μn＝λ(－1，1)＋μ(1，2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)，则
解得 ∴a在基底{m，n}下的坐标为(0，2).
(0，2)　
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. 已知点P1(3，2)，P2(9，11)，点P(5，y)分P1 所成的比为λ，则y
与λ的值分别为(　D　)
A. y＝8，λ＝2 B. y＝ ，λ＝ C. y＝ ，λ＝ D. y＝5，λ＝
D
【解析】 ∵P1(3， 2)，P2(9， 11)，P(5， y)，∴P1 ＝(2， y－2)，
P ＝(4， 11－y)，∵P分P1 所成的比为λ，∴P1 ＝λP ，即
(2， y－2)＝λ(4， 11－y)＝(4λ， 11λ－λy)，∴
解得
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14. 已知点A(－1，3)，B(4，－2)，C(－2，－5)，设 ＝a， ＝
b， ＝c.求：
(1)3a＋b－3c；
解：由已知条件，得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8).
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－
3－24)＝(6，－42).
(2)满足a＝mb＋nc的实数m，n的值.
解：(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴ 解得
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15. 已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1， 2)，并
且 ＝ ， ＝ ，证明： ∥ .
证明：设E(x1， y1)，F(x2， y2)，则由题意，得 ＝(2， 2)，
＝(－2，3)， ＝(4，－1)，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴(x1， y1)－(－1，0)＝ ，(x2， y2)－(3，－1)＝ ，∴(x1，y1)＝ ＋(－1，0)＝ ，(x2，y2)＝ ＋(3，－1)＝ ，∴ ＝(x2，y2)－(x1，y1)＝ － ＝
.又4× －(－1)× ＝0，∴ ∥ .
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16. 已知点O(0，0)，A(2，1)，B(4，3)，点P满足 ＝ ＋ .
(1)若点P在第一象限，求t的取值范围.
解：(1) ＝ ＋ ＝(2，1)＋t(4，3)＝(4t＋2，3t＋1)，
若点P在第一象限，则 解得t＞－ ，故t的取值范围是
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(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不
能，请说明理由.
解：(2)若四边形OABP是平行四边形，则 ＝ ，
∵ ＝(4t＋2，3t＋1)， ＝(2，2)，
∴ 该方程组无解，
故四边形OABP不能成为平行四边形.
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