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6.3 练习4　平面向量数量积的坐标表示
1. 设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c等于(　C　)
A. 12 B. 0 C. －3 D. －11
【解析】 ∵a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，∴a＋2b＝(－5，6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.
2. (2025·吉林四平阶段练习)已知向量a＝(3， 4)，b＝(－2， m)，c＝(2， －1).若(a＋b)⊥c，则m等于(　B　)
A. －6 B. －2 C. 6 D.
【解析】 由已知得a＋b＝(1，4＋m)，又(a＋b)⊥c，∴(a＋b)·c＝2－(4＋m)＝0，解得m＝－2.
3. 已知a＝(1， 1)，b＝(2， 5)，c＝(3， x).若(8a－b)·c＝30，则x等于(　C　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【解析】 由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.
4. 已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若网格内小正方形的边长为1，则(2a＋b)·c等于(　B　)
A. － B. 1 C. D.
【解析】 以a，b的公共起点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，∴2a＋b＝(6， 1)，(2a＋b)·c＝1.
(2025·江苏省高邮中学模拟)已知＝(1， 3)，＝(3， m)，·＝2，则
｜｜等于(　B　)
A. 1 B. 2 C. D. 3
【解析】 ∵＝－＝(2， m－3)，则·＝2＋3(m－3)＝2，则m＝3，∴＝(2， 0)，则｜｜＝2.
6. (2025·湖南阶段练习)已知向量a＝(2， 1)，b＝(λ， 3).若向量b在向量a上的投影向量c＝(10， 5)，则｜b－2a｜等于(　D　)
A. 7 B. 3 C. 4 D. 5
【解析】 由题意可得，向量b在向量a上的投影向量为·＝×(2，1)＝(10，5)，则＝5，解得λ＝11，则b＝(11，3)，b－2a＝(7，1)，故＝＝5.
7. (2025·江苏南通阶段练习)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝，P是△BCD内一动点，则·的取值范围是(　A　)
A. (2， 6) B. (0， 4) C. (1， 3) D. (－2， 6)
【解析】 如图所示，建立平面直角坐标系：
则A(2， 0)，B(1， )，C(－1， )，D(0， 0). 设P(x， y)，则－1＜x＜1，故·＝(x－2， y)·(－2， 0)＝－2(x－2)∈(2， 6)，即·的取值范围是(2， 6).
8. (多选)已知向量a＝(1， 0)，b＝(cosθ， sinθ)，θ∈，则｜a＋b｜的值可以是(　BC　)
A. 3 B. C. 2 D. 2
【解析】 由向量a＝(1，0)，b＝(cos θ，sin θ)，得｜a｜＝1，｜b｜＝1，
a·b＝cos θ，则｜a＋b｜＝＝. ∵θ∈，
∴cos θ∈[0， 1]，∴∈[， 2]，即｜a＋b｜∈[，2]，∴B，C正确.
9. (多选)(2025·山东德州高二月考)已知平面向量a＝(－2， 1)，b＝(4， 2)，c＝(2， t)，则下列说法中，正确的有(　AB　)
A. 若a∥c，则t＝－1
B. 若b⊥c，则t＝－4
C. 若t＝1，则向量a在c上的投影向量为c
D. 若t＞－4，则向量b与c的夹角为锐角
【解析】 若a∥c，则(－2)×t＝1×2，即t＝－1，A正确；若b⊥c，则4×2＋2×
t＝0，即t＝－4，B正确；若t＝1，则c＝(2， 1)，则向量a在c上的投影向量为·＝·＝－c，C错误；当t＝1时，b＝2c，D错误.
(2025·大连高一期末)设向量a＝(m，2)，b＝(2，1).若｜a＋b｜2＝｜a｜2＋
｜b｜2，则m＝　－1　.
【解析】 方法一 由a＝(m，2)，b＝(2，1)，得a＋b＝(m＋2，3)，
根据｜a＋b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2，得(m＋2)2＋9＝m2＋22＋5，解得m＝－1.
方法二 由｜a＋b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2得｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝｜a｜2＋｜b｜2，∴a·b＝0，又a＝(m，2)，b＝(2，1)，∴a·b＝2m＋2＝0，解得m＝－1.
11. (2025·杭州二中高一期中)已知向量a＝(2，1)，b＝(2，－1)，则与a，b夹角相同的单位向量为　(1，0)或(－1，0)　.
【解析】 设与a，b夹角相同的单位向量e＝(x，y)，由题意得＝，
解得y＝0，∵x2＋y2＝1，∴x＝1，或x＝－1，与a，b夹角相同的单位向量为
(1，0)或(－1，0).
12. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，点F在边CD上.若·＝，则·的值是　　.
【解析】 以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，则B(， 0)，D(0， 2)，C(， 2)，E(， 1).可设F(x， 2)，∵·＝(， 0)·(x， 2)＝x＝，∴x＝1，∴·＝(， 1)·(1－， 2)＝.
@关键能力练
13. (2025·长郡中学高一月考)已知a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，｜c｜＝.
(1)求｜a＋2b｜；
解：(1)由题得a·b＝1×(－2)＋2×(－4)＝－10，则(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝5－
40＋80＝45，∴｜a＋2b｜＝3.
(2)若(a＋b)·c＝，求向量a与c的夹角.
解：(2)由向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，可知a＝－b.
设a与c的夹角为θ，θ∈[0，π]，则b与c的夹角为π－θ，
∵｜c｜＝，(a＋b)·c＝，即a·c＋b·c＝，∴｜a｜｜c｜·cos θ＋｜b｜·｜c｜cos(π－θ)＝，可得5cos θ－10cos θ＝，∴cos θ＝－，可得θ＝，即a与c的夹角为.
14. 已知向量a＝(，－1)，b＝.
(1)证明：a⊥b；
(1)证明：a·b＝(， －1)·＝－＝0，∴a⊥b.
(2)是否存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y？如果存在，试确定k和t的关系式；如果不存在，请说明理由.
(2)解：假设存在非零实数k，t使x⊥y，则[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
整理得－ka2＋[t－k(t2－3)]a·b＋t(t2－3)b2＝0.
又a·b＝0，a2＝4，b2＝1.
∴－4k＋t(t2－3)＝0，即k＝(t3－3t)(t≠0)，故存在非零实数k，t，使x⊥y成立，
其关系式为k＝(t3－3t)(t≠0，且t≠±).
15. (2025·江苏盐城高一阶段检测)如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P是线段AB上的动点，则｜＋4｜的最小值是(　B　)
A. 3 B. 6 C. 2 D. 4
【解析】 如图所示，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系.
设AB＝a，BP＝x(0≤x≤a)，∵AD＝1，BC＝2，∴P(0， x)，C(2， 0)，D(1， a)，∴＝(2，－x)，＝(1， a－x)，4＝(4， 4a－4x)，∴＋4＝(6，
4a－5x)，∴｜＋4｜＝≥6，∴当4a－5x＝0，即x＝a时，｜＋4｜的最小值是6.
(2025·河北保定阶段练习)已知两个非零向量a与b，定义｜a×b｜＝｜a｜·
｜b｜·sin θ，其中θ为a与b的夹角.若a＝(－2，3)，b＝，求的值.
解：∵a＝(－2，3)，b＝(1，1)，则｜a｜＝，｜b｜＝，a·b＝－2×1＋3×
1＝1，则cos＜a，b＞＝＝＝，又θ∈[0，π]，则sin θ＝＝＝，则｜a×b｜＝××＝5.(共23张PPT)
三、平面向量基本定理及坐标表示
练习4　平面向量数量积的坐标表示
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
1. 设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c等于
(　C　)
A. 12 B. 0 C. －3 D. －11
【解析】 ∵a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，∴a＋2b＝
(－5，6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.
C
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2. (2025·吉林四平阶段练习)已知向量a＝(3， 4)，b＝(－2， m)，c＝
(2， －1).若(a＋b)⊥c，则m等于(　B　)
A. －6 B. －2 C. 6 D.
【解析】 由已知得a＋b＝(1，4＋m)，又(a＋b)⊥c，∴(a＋b)·c＝
2－(4＋m)＝0，解得m＝－2.
B
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3. 已知a＝(1， 1)，b＝(2， 5)，c＝(3， x).若(8a－b)·c＝30，则x
等于(　C　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【解析】 由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，
x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.
C
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4. 已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若网格内小正方
形的边长为1，则(2a＋b)·c等于(　B　)
A. － B. 1 C. D.
B
【解析】 以a，b的公共起点为坐标原点，建立平面直角
坐标系，如图所示：
则a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，
∴2a＋b＝(6， 1)，(2a＋b)·c＝1.
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5. (2025·江苏省高邮中学模拟)已知 ＝(1， 3)， ＝(3， m)，
· ＝2，则｜ ｜等于(　B　)
A. 1 B. 2 C. D. 3
【解析】 ∵ ＝ － ＝(2， m－3)，则 · ＝2＋3(m－3)＝2，则m＝3，∴ ＝(2， 0)，则｜ ｜＝2.
B
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6. (2025·湖南阶段练习)已知向量a＝(2， 1)，b＝(λ， 3).若向量b在向
量a上的投影向量c＝(10， 5)，则｜b－2a｜等于(　D　)
A. 7 B. 3 C. 4 D. 5
【解析】 由题意可得，向量b在向量a上的投影向量为 · ＝
×(2，1)＝(10，5)，则 ＝5，解得λ＝11，则b＝(11，3)，
b－2a＝(7，1)，故 ＝ ＝5 .
D
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7. (2025·江苏南通阶段练习)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝ ，
P是△BCD内一动点，则 · 的取值范围是(　A　)
A. (2， 6) B. (0， 4) C. (1， 3) D. (－2， 6)
A
【解析】 如图所示，建立平面直角坐标系：
则A(2， 0)，B(1， )，C(－1， )，D(0， 0). 设P(x， y)，则－1＜x＜1，故 · ＝(x－2， y)·(－2， 0)＝－2(x－2)∈(2， 6)，即 · 的取值范围是(2， 6).
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8. (多选)已知向量a＝(1， 0)，b＝( cos θ， sin θ)，θ∈ ，
则｜a＋b｜的值可以是(　BC　)
A. 3 B. C. 2 D. 2
【解析】 由向量a＝(1，0)，b＝( cos θ， sin θ)，得｜a｜＝1，
｜b｜＝1，a·b＝ cos θ，则｜a＋b｜＝ ＝ . ∵θ∈ ，∴ cos θ∈[0， 1]，∴ ∈
[， 2]，即｜a＋b｜∈[，2]，∴B，C正确.
BC
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9. (多选)(2025·山东德州高二月考)已知平面向量a＝(－2， 1)，b＝
(4， 2)，c＝(2， t)，则下列说法中，正确的有(　AB　)
A. 若a∥c，则t＝－1
B. 若b⊥c，则t＝－4
C. 若t＝1，则向量a在c上的投影向量为 c
D. 若t＞－4，则向量b与c的夹角为锐角
AB
【解析】 若a∥c，则(－2)×t＝1×2，即t＝－1，A正确；若b⊥c，
则4×2＋2×t＝0，即t＝－4，B正确；若t＝1，则c＝(2， 1)，则向量
a在c上的投影向量为 · ＝ · ＝－ c，C错误；当t＝1
时，b＝2c，D错误.
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10. (2025·大连高一期末)设向量a＝(m，2)，b＝(2，1).
若｜a＋b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2，则m＝ .
【解析】 方法一 由a＝(m，2)，b＝(2，1)，得a＋b＝(m＋2，3)，根
据｜a＋b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2，得(m＋2)2＋9＝m2＋22＋5，解得
m＝－1.
方法二 由｜a＋b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2得｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝
｜a｜2＋｜b｜2，∴a·b＝0，又a＝(m，2)，b＝(2，1)，∴a·b＝2m＋
2＝0，解得m＝－1.
－1　
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11. (2025·杭州二中高一期中)已知向量a＝(2，1)，b＝(2，－1)，则与
a，b夹角相同的单位向量为 .
【解析】 设与a，b夹角相同的单位向量e＝(x，y)，由题意得 ＝
，解得y＝0，∵x2＋y2＝1，∴x＝1，或x＝－1，与a，b夹角相
同的单位向量为(1，0)或(－1，0).
(1，0)或(－1，0)　
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12. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝2，E为BC的中
点，点F在边CD上.若 · ＝ ，则 · 的值是 　 　.
　
【解析】 以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，则B(， 0)，D(0， 2)，C(， 2)，E(， 1).可设F(x， 2)，∵ · ＝(， 0)·(x， 2)＝ x＝ ，∴x＝1，∴ · ＝(， 1)·(1－ ， 2)＝ .
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
13. (2025·长郡中学高一月考)已知a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，
｜c｜＝ .
(1)求｜a＋2b｜；
解：(1)由题得a·b＝1×(－2)＋2×(－4)＝－10，则(a＋2b)2＝a2＋
4a·b＋4b2＝5－40＋80＝45，∴｜a＋2b｜＝3 .
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(2)若(a＋b)·c＝ ，求向量a与c的夹角.
解：(2)由向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，可知a＝－ b.
设a与c的夹角为θ，θ∈[0，π]，则b与c的夹角为π－θ，
∵｜c｜＝ ，(a＋b)·c＝ ，即a·c＋b·c＝ ，∴｜a｜｜c｜·
cos θ＋｜b｜·｜c｜ cos (π－θ)＝ ，可得5 cos θ－10 cos θ＝ ，
∴ cos θ＝－ ，可得θ＝ ，即a与c的夹角为 .
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14. 已知向量a＝(，－1)，b＝ .
(1)证明：a⊥b；
(1)证明：a·b＝(， －1)· ＝ － ＝0，∴a⊥b.
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(2)是否存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，
且x⊥y？如果存在，试确定k和t的关系式；如果不存在，请说明理由.
(2)解：假设存在非零实数k，t使x⊥y，则[a＋(t2－3)b]·
(－ka＋tb)＝0，
整理得－ka2＋[t－k(t2－3)]a·b＋t(t2－3)b2＝0.
又a·b＝0，a2＝4，b2＝1.
∴－4k＋t(t2－3)＝0，即k＝ (t3－3t)(t≠0)，故存在非零实数k，
t，使x⊥y成立，
其关系式为k＝ (t3－3t)(t≠0，且t≠± ).
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拓展突破练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
15. (2025·江苏盐城高一阶段检测)如图所示，在直角梯形ABCD中，
AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P是线段AB上的动点，
则｜ ＋4 ｜的最小值是(　B　)
A. 3 B. 6 C. 2 D. 4
B
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【解析】 如图所示，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系.
设AB＝a，BP＝x(0≤x≤a)，∵AD＝1，BC＝2，
∴P(0， x)，C(2， 0)，D(1， a)，∴ ＝(2，－x)，
＝(1， a－x)，4 ＝(4， 4a－4x)，
∴ ＋4 ＝(6， 4a－5x)，∴｜ ＋4 ｜＝
≥6，∴当4a－5x＝0，即x＝ a时，
｜ ＋4 ｜的最小值是6.
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16. (2025·河北保定阶段练习)已知两个非零向量a与b，定义｜a×
b｜＝｜a｜·｜b｜· sin θ，其中θ为a与b的夹角.若a＝(－2，3)，b＝
，求 的值.
解：∵a＝(－2，3)，b＝(1，1)，则｜a｜＝ ，｜b｜＝ ，
a·b＝－2×1＋3×1＝1，则 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ ，又θ∈[0，π]，则 sin θ＝ ＝ ＝ ，
则｜a×b｜＝ × × ＝5.
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166.3 练习4　平面向量数量积的坐标表示
1. 设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c等于(　 　)
A. 12 B. 0 C. －3 D. －11
2. (2025·吉林四平阶段练习)已知向量a＝(3， 4)，b＝(－2， m)，c＝(2， －1).若(a＋b)⊥c，则m等于(　 　)
A. －6 B. －2 C. 6 D.
3. 已知a＝(1， 1)，b＝(2， 5)，c＝(3， x).若(8a－b)·c＝30，则x等于(　 　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
4. 已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若网格内小正方形的边长为1，则(2a＋b)·c等于(　 　)
A. － B. 1 C. D.
(2025·江苏省高邮中学模拟)已知＝(1， 3)，＝(3， m)，·＝2，则
｜｜等于(　 　)
A. 1 B. 2 C. D. 3
6. (2025·湖南阶段练习)已知向量a＝(2， 1)，b＝(λ， 3).若向量b在向量a上的投影向量c＝(10， 5)，则｜b－2a｜等于(　 　)
A. 7 B. 3 C. 4 D. 5
7. (2025·江苏南通阶段练习)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝，P是△BCD内一动点，则·的取值范围是(　 　)
A. (2， 6) B. (0， 4) C. (1， 3) D. (－2， 6)
8. (多选)已知向量a＝(1， 0)，b＝(cosθ， sinθ)，θ∈，则｜a＋b｜的值可以是(　 　)
A. 3 B. C. 2 D. 2
9. (多选)(2025·山东德州高二月考)已知平面向量a＝(－2， 1)，b＝(4， 2)，c＝(2， t)，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 若a∥c，则t＝－1
B. 若b⊥c，则t＝－4
C. 若t＝1，则向量a在c上的投影向量为c
D. 若t＞－4，则向量b与c的夹角为锐角
(2025·大连高一期末)设向量a＝(m，2)，b＝(2，1).若｜a＋b｜2＝｜a｜2＋
｜b｜2，则m＝ .
11. (2025·杭州二中高一期中)已知向量a＝(2，1)，b＝(2，－1)，则与a，b夹角相同的单位向量为 .
12. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，点F在边CD上.若·＝，则·的值是 .
@关键能力练
13. (2025·长郡中学高一月考)已知a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，｜c｜＝.
(1)求｜a＋2b｜；
(2)若(a＋b)·c＝，求向量a与c的夹角.
14. 已知向量a＝(，－1)，b＝.
(1)证明：a⊥b；
(2)是否存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y？如果存在，试确定k和t的关系式；如果不存在，请说明理由.
15. (2025·江苏盐城高一阶段检测)如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P是线段AB上的动点，则｜＋4｜的最小值是(　 　)
A. 3 B. 6 C. 2 D. 4
(2025·河北保定阶段练习)已知两个非零向量a与b，定义｜a×b｜＝｜a｜·
｜b｜·sin θ，其中θ为a与b的夹角.若a＝(－2，3)，b＝，求的值.

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