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6.4 练习1　平面几何中的向量方法
1. 在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边上的中线AD的长是(　 　)
A. 2 B. C. 3 D.
2. 若＝2e1，＝－3e1，｜｜＝｜｜，则四边形ABCD是(　 　)
A. 平行四边形 B. 梯形 C. 等腰梯形 D. 菱形
3. 在四边形ABCD中，若＋＝0，且｜－｜＝｜＋｜，则该四边形是(　 　)
A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 等腰梯形
4. 已知锐角三角形ABC的外接圆的圆心为O，半径为，且·＝－1，则A等于(　 　)
A. B. C. D.
5. 若O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则O是△ABC的(　 　)
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
6. 如图所示，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·的值是(　 　)
A. － B. － C. － D. －
7. 若M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　 　)
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 2∶5
8. 在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，P为线段CD的中点，则等于(　 　)
A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
9. (多选)已知O是四边形ABCD内一点，若＋＋＋＝0，则下列说法中，错误的有(　 　)
A. 四边形ABCD为正方形，O是正方形ABCD的中心
B. 四边形ABCD为一般四边形，O是四边形ABCD对角线的交点
C. 四边形ABCD为一般四边形，O是四边形ABCD的外接圆的圆心
D. 四边形ABCD为一般四边形，O是四边形ABCD的对边中点连线的交点
10. 在四边形ABCD中，若＝(1，3)，＝(－6，2)，则该四边形的面积为 .
11. 在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝ .
12. 已知AD为△ABC的边BC上的中线，O为△ABC的重心且AD＝3，BC＝2，则·＝ .
13. 如图所示，若D是△ABC内一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，证明：AD⊥BC.
14. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于点F，连接DF.
证明：∠ADB＝∠FDC.
15. 在△ABC中，设－＝2·，那么动点M形成的图形必经过△ABC的(　 　)
A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心
16. 如图所示，O是平行四边形ABCD的中心，点E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.
证明：点E，O，F在同一直线上.(共22张PPT)
四、平面向量的应用
练习1　平面几何中的向量方法
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
1. 在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边上的中
线AD的长是(　B　)
A. 2 B. C. 3 D.
【解析】 BC的中点为D ， ＝ ，∴ ＝ .
B
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2. 若 ＝2e1， ＝－3e1，｜ ｜＝｜ ｜，则四边形ABCD是
(　C　)
A. 平行四边形 B. 梯形
C. 等腰梯形 D. 菱形
【解析】 由于 ＝－ ，∴ ∥ ，且｜ ｜≠｜ ｜，
∴四边形ABCD是梯形.又｜ ｜＝｜ ｜，即梯形的两腰长相等，
因此四边形ABCD是等腰梯形.
C
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3. 在四边形ABCD中，若 ＋ ＝0，且｜ － ｜＝｜ ＋
｜，则该四边形是(　C　)
A. 正方形 B. 菱形
C. 矩形 D. 等腰梯形
【解析】 ∵｜ － ｜＝｜ ＋ ｜，∴(－ )2＝(＋
)2， ＋ －2 · ＝ ＋ ＋2 · ，整理可得
· ＝0，易知 ， 均为非零向量，则 ⊥ ，∵ ＋
＝0，∴AB∥CD，且｜ ｜＝｜ ｜，∴四边形ABCD为矩形.
C
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4. 已知锐角三角形ABC的外接圆的圆心为O，半径为 ，且 ·
＝－1，则A等于(　A　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵ · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos ∠BOC＝2 cos ∠BOC＝
－1，∴ cos ∠BOC＝－ ，∴∠BOC＝ ，∴A＝ ∠BOC＝ .
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5. 若O是△ABC所在平面内的一点，满足 · ＝ · ＝
· ，则O是△ABC的(　B　)
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
【解析】 ∵ · ＝ · ，∴(－ )· ＝0，即 ·
＝0，∴OB⊥AC. 同理可得OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为△ABC的垂心.
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6. 如图所示，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径， ＝2 ，则
· 的值是(　B　)
A. － B. －
C. － D. －
B
【解析】 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，且 ＝－ ，
∴ · ＝(＋ )·(＋ )＝ － ＝ －1＝－ .
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7. 若M是△ABC所在平面内的一点，且满足3 － － ＝0，则
△ABM与△ABC的面积之比为(　B　)
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 2∶5
B
【解析】 如图所示，D为BC边的中点，则 ＝ (＋ ).
∵3 － － ＝0，∴3 ＝2 ，
∴ ＝ ，∴S△ABM＝ S△ABD＝ S△ABC.
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8. 在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，P为线段CD的中点，则
等于(　D　)
A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
【解析】 将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示， ＝
＝ ＝ ＝
－6＝42－6＝10.
D
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9. (多选)已知O是四边形ABCD内一点，若 ＋ ＋ ＋ ＝
0，则下列说法中，错误的有(　ABC　)
A. 四边形ABCD为正方形，O是正方形ABCD的中心
B. 四边形ABCD为一般四边形，O是四边形ABCD对角线的交点
C. 四边形ABCD为一般四边形，O是四边形ABCD的外接圆的圆心
D. 四边形ABCD为一般四边形，O是四边形ABCD的对边中点连线的
交点
ABC
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【解析】 对于A，若四边形ABCD为正方形，O是正方形ABCD的中心，则必有 ＋ ＋ ＋ ＝0，但反过来，由 ＋ ＋ ＋ ＝0推不出四边形ABCD为正方形，故A错误；对于B，C，D，设AB，CD的中点分别为E，F，连接OE，OF，由向量加法的平行四边形法则知 ＋ ＝2 ， ＋ ＝2 ，∴ ＋ ＝0，即O是EF的中点；同理，设AD，BC的中点分别为M，N，连接OM，ON，由向量加法的平行四边形法则知 ＋ ＝2 ， ＋ ＝2 ，即O是MN的中点，∴O是EF，MN的交点，B，C错误，D正确.
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10. 在四边形ABCD中，若 ＝(1，3)， ＝(－6，2)，则该四边形
的面积为 .
【解析】 ∵ · ＝0，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积S＝
｜ ｜｜ ｜＝ × ×2 ＝10.
10　
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11. 在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，
则当AC⊥BC时，AD＝ .
【解析】 如图所示，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0).
1　
设AD＝a，则C(1， a)， ＝(1，a)， ＝
(－1，a).∵AC⊥BC，∴ ⊥ ，∴ · ＝－1＋a2＝0，∴a＝1(负值已舍去)，即AD＝1.
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12. 已知AD为△ABC的边BC上的中线，O为△ABC的重心且AD＝
3，BC＝2 ，则 · ＝ .
【解析】 ∵O为△ABC的重心且AD＝3，∴OD＝1，∵ ＋ ＝
2 ， － ＝2 ，将两式平方再相减，得 · ＝ －
＝ － ＝1－()2＝－4.
－4　
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
13. 如图所示，若D是△ABC内一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，证
明：AD⊥BC.
证明：设 ＝a， ＝b， ＝e， ＝c， ＝d，
则a＝e＋c，b＝e＋d，∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝
c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知条件可得a2－b2＝c2－d2，
∴e·(c－d)＝0.∵ ＝ ＋ ＝d－c，
∴ · ＝e·(d－c)＝0，∴ ⊥ ，即AD⊥BC.
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14. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，
BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于点F，连接DF.
证明：∠ADB＝∠FDC.
证明：如图所示，以B为原点，BC，BA所在直线
分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
设A(0，2)，C(2，0)，则D(1，0)， ＝(2，－2).
设 ＝λ ，则 ＝ ＋ ＝(0，2)＋(2λ，
－2λ)＝(2λ，2－2λ)，又 ＝(－1，2)，
由题设 ⊥ ，∴ · ＝0，
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∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝ ，∴ ＝ ，
∴ ＝ － ＝ ，又 ＝(1，0)，
∴ cos ∠ADB＝ ＝ ，
cos ∠FDC＝ ＝ ，
又∠ADB，∠FDC∈(0， π)，∴∠ADB＝∠FDC.
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拓展突破练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
15. 在△ABC中，设 － ＝2 · ，那么动点M形成的图形
必经过△ABC的(　C　)
A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心
【解析】 假设BC的中点是O，则 － ＝(＋ )·(－
)＝2 · ＝2 · ，即(－ )· ＝ · ＝0，
∴ ⊥ ，∴动点M在线段BC的垂直平分线上，∴动点M形成的图形必经过△ABC的外心.
C
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16. 如图所示，O是平行四边形ABCD的中心，点E，F分别在边
CD，AB上，且 ＝ ＝ .
证明：点E，O，F在同一直线上.
证明：设 ＝m， ＝n，由 ＝ ＝ ，
知E，F分别是CD，AB的三等分点，
∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝－ m＋ (m＋n)＝ m＋ n，
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ (m＋n)－ m＝ m＋ n，∴ ＝ .又O为 和 的公共点，故点E，O，F在同一直线上.
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166.4 练习1　平面几何中的向量方法
1. 在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边上的中线AD的长是(　B　)
A. 2 B. C. 3 D.
【解析】 BC的中点为D，＝，∴＝.
2. 若＝2e1，＝－3e1，｜｜＝｜｜，则四边形ABCD是(　C　)
A. 平行四边形 B. 梯形 C. 等腰梯形 D. 菱形
【解析】 由于＝－，∴∥，且｜｜≠｜｜，∴四边形ABCD是梯形.又｜｜＝｜｜，即梯形的两腰长相等，因此四边形ABCD是等腰梯形.
3. 在四边形ABCD中，若＋＝0，且｜－｜＝｜＋｜，则该四边形是(　C　)
A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 等腰梯形
【解析】 ∵｜－｜＝｜＋｜，∴(－)2＝(＋)2，＋－2·＝＋＋2·，整理可得·＝0，易知，均为非零向量，则⊥，∵＋＝0，∴AB∥CD，且｜｜＝｜｜，∴四边形ABCD为矩形.
4. 已知锐角三角形ABC的外接圆的圆心为O，半径为，且·＝－1，则A等于(　A　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵·＝｜｜·｜｜·cos∠BOC＝2cos∠BOC＝－1，
∴cos∠BOC＝－，∴∠BOC＝，∴A＝∠BOC＝.
5. 若O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则O是△ABC的(　B　)
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
【解析】 ∵·＝·，∴(－)·＝0，即·＝0，∴OB⊥AC.
同理可得OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为△ABC的垂心.
6. 如图所示，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·的值是(　B　)
A. － B. － C. － D. －
【解析】 ＝＋，＝＋，且＝－，∴·＝(＋)·(＋)＝－＝－1＝－.
7. 若M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　B　)
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 2∶5
【解析】 如图所示，D为BC边的中点，则＝(＋).
∵3－－＝0，∴3＝2，∴＝，∴S△ABM＝S△ABD＝S△ABC.
8. 在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，P为线段CD的中点，则等于(　D　)
A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
【解析】 将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示，＝＝＝＝－6＝42－6＝10.
9. (多选)已知O是四边形ABCD内一点，若＋＋＋＝0，则下列说法中，错误的有(　ABC　)
A. 四边形ABCD为正方形，O是正方形ABCD的中心
B. 四边形ABCD为一般四边形，O是四边形ABCD对角线的交点
C. 四边形ABCD为一般四边形，O是四边形ABCD的外接圆的圆心
D. 四边形ABCD为一般四边形，O是四边形ABCD的对边中点连线的交点
【解析】 对于A，若四边形ABCD为正方形，O是正方形ABCD的中心，则必有＋＋＋＝0，但反过来，由＋＋＋＝0推不出四边形ABCD为正方形，故A错误；对于B，C，D，设AB，CD的中点分别为E，F，连接OE，OF，由向量加法的平行四边形法则知＋＝2，＋＝2，∴＋＝0，即O是EF的中点；同理，设AD，BC的中点分别为M，N，连接OM，ON，由向量加法的平行四边形法则知＋＝2，＋＝2，即O是MN的中点，∴O是EF，MN的交点，B，C错误，D正确.
10. 在四边形ABCD中，若＝(1，3)，＝(－6，2)，则该四边形的面积为　10　.
【解析】 ∵·＝0，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积S＝｜｜｜｜＝××2＝10.
11. 在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝　1　.
【解析】 如图所示，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0).
设AD＝a，则C(1， a)，＝(1，a)，＝(－1，a).∵AC⊥BC，∴⊥，∴·＝－1＋a2＝0，∴a＝1(负值已舍去)，即AD＝1.
12. 已知AD为△ABC的边BC上的中线，O为△ABC的重心且AD＝3，BC＝2，则·＝　－4　.
【解析】 ∵O为△ABC的重心且AD＝3，∴OD＝1，∵＋＝2，
－＝2，将两式平方再相减，得·＝－＝－＝
1－()2＝－4.
13. 如图所示，若D是△ABC内一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，证明：AD⊥BC.
证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，
∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知条件可得a2－b2＝c2－d2，∴e·(c－d)＝0.∵＝＋＝d－c，∴·＝e·(d－c)＝0，∴⊥，
即AD⊥BC.
14. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于点F，连接DF.
证明：∠ADB＝∠FDC.
证明：如图所示，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
设A(0，2)，C(2，0)，则D(1，0)，＝(2，－2).
设＝λ，则＝＋＝(0，2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)，
又＝(－1，2)，由题设⊥，∴·＝0，
∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝，∴＝，∴＝－＝，
又＝(1，0)，∴cos∠ADB＝＝，cos∠FDC＝＝，
又∠ADB，∠FDC∈(0， π)，∴∠ADB＝∠FDC.
15. 在△ABC中，设－＝2·，那么动点M形成的图形必经过△ABC的(　C　)
A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心
【解析】 假设BC的中点是O，则－＝(＋)·(－)＝2·＝2·，即(－)·＝·＝0，∴⊥，∴动点M在线段BC的垂直平分线上，∴动点M形成的图形必经过△ABC的外心.
16. 如图所示，O是平行四边形ABCD的中心，点E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.
证明：点E，O，F在同一直线上.
证明：设＝m，＝n，由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
∴＝＋＝＋＝－m＋(m＋n)＝m＋n，＝＋＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n，∴＝.又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上.

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