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6.4 练习3　余弦定理
1. 在△ABC中，若ac＝8，a＋c＝7，B＝，则b等于(　 　)
A. 25 B. 5 C. 4 D.
2. (2024·广东茂名阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝ac，ac＝4，则·等于(　 　)
A. B. － C. 2 D. －2
3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝，c＝3，B＝30°，则a等于(　 　)
A. 2 B. 3 C. D. 2或
4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是(　 　)
A. 直角三角形 B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝8，b＝7，cosC＝，则最大角的余弦值是(　 　)
A. － B. － C. － D. －
6. 在锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　 　)
A. (1，3) B. (1，5) C. (，) D. (1，2)
7. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A＝，a＝4，则bc的最大值是(　 　)
A. B. 16 C. D. 32
8. (多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b＜c，则(　 　)
A. b＝2 B. b＝2 C. B＝60° D. B＝30°
9. (多选)在△ABC中，AB＝3，AC＝，B＝，则角A的可能取值是(　 　)
A. B. C. D.
10. 在△ABC中，b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝ .
11. 在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝ ，AC边上的高为 .
12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，b＝3，c＝4，则·＋·＋·的值为 .
@关键能力练
13. 已知2，4，a是一个锐角三角形的三边长，请写出a的一个值： .
14. (1)在△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC各角的度数；
(2)在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形.
15. (2024·山东聊城高一月考)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a－c)(a＋c)＝b(b－c).
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状.
任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”，即在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则a＝bcos C＋ccos B，b＝ccos A＋acos C，c＝acos B＋
bcos A.
(1)用余弦定理证明：a＝bcos C＋ccos B；
(2)在△ABC中，若＝＝·，求cos A的值.6.4 练习3　余弦定理
1. 在△ABC中，若ac＝8，a＋c＝7，B＝，则b等于(　B　)
A. 25 B. 5 C. 4 D.
【解析】 在△ABC中，若ac＝8，a＋c＝7，B＝，由余弦定理得b＝＝＝＝5.
2. (2024·广东茂名阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝ac，ac＝4，则·等于(　D　)
A. B. － C. 2 D. －2
【解析】 由余弦定理得cos B＝＝.又B∈(0，π)，∴B＝，∴·＝accos(π－B)＝－2.
3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝，c＝3，B＝30°，则a等于(　D　)
A. 2 B. 3 C. D. 2或
【解析】 由余弦定理得cosB＝，即＝，整理得a2－3a＋
6＝0，解得a＝，或a＝2.
4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是(　D　)
A. 直角三角形 B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
【解析】 由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2accos B，而B＝60°，b2＝ac，∴ac＝a2＋c2－2ac·，即(a－c)2＝0，∴a＝c. 又B＝60°，∴△ABC一定是等边三角形.
5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝8，b＝7，cosC＝，则最大角的余弦值是(　C　)
A. － B. － C. － D. －
【解析】 根据题意，由余弦定理可得c＝＝＝3. ∵a＞b＞c，∴A＞B＞C，即A为最大角，
∴cos A＝＝＝－.
6. 在锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　C　)
A. (1，3) B. (1，5) C. (，) D. (1，2)
【解析】 若a为最大边，则b2＋c2－a2＞0，即a2＜5，∴a＜；若c为最大边，则a2＋b2＞c2，即a2＞3，∴a＞，∴＜a＜.
7. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A＝，a＝4，则bc的最大值是(　B　)
A. B. 16 C. D. 32
【解析】 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，∵A＝，a＝4，∴16＝b2＋c2－bc，∵b2＋c2≥2bc，∴16＋bc≥2bc，即bc≤16，当且仅当b＝c＝4时，等号成立.
8. (多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b＜c，则(　AD　)
A. b＝2 B. b＝2 C. B＝60° D. B＝30°
【解析】 由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b，整理得b2－6b＋8＝0，即(b－2)(b－4)＝0，由b＜c，得b＝2. 又a＝2，cos A＝，∴B＝A＝30°.
9. (多选)在△ABC中，AB＝3，AC＝，B＝，则角A的可能取值是(　AC　)
A. B. C. D.
【解析】 由余弦定理，得AC2＝BC2＋BA2－2BC·BA·cos B，即3＝BC2＋9－2BC×3×，解得BC＝，或BC＝2.当BC＝时，BC＝AC，此时△ABC为等腰三角形，∴A＝B＝；当BC＝2时，AB2＋AC2＝BC2，此时△ABC为直角三角形，A＝.
10. 在△ABC中，b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝　　.
【解析】 ∵b2＝ac，且c＝2a，∴b2＝2a2，由余弦定理得cos B＝＝＝.
11. 在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝　　，AC边上的高为　　.
【解析】 由余弦定理的推论，可得cos A＝＝＝，
又0＜A＜π，∴A＝，∴sin A＝，则AC边上的高h＝ABsin A＝3×＝.
12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，b＝3，c＝4，则·＋·＋·的值为　－　.
【解析】 ∵a＝2，b＝3，c＝4，∴·＋·＋·＝accos(π－B)＋abcos(π－C)＋bccos·(π－A)＝－accos B－abcos C－bccos A＝－ac·－ab·－bc·＝－(a2＋c2－b2＋a2＋b2－c2＋b2＋c2－a2)＝－(a2＋b2＋c2)＝－×(22＋32＋42)＝－.
@关键能力练
13. 已知2，4，a是一个锐角三角形的三边长，请写出a的一个值：　4(答案不唯一)　.
【解析】 ∵2，4，a是一个锐角三角形的三边长，∴
解得2＜x＜2，∴a的值可以为4.
14. (1)在△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC各角的度数；
解：(1)∵a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，∴设a＝2x，b＝x，c＝(＋1)x(x＞0).由余弦定理可得cos A＝＝＝.
由0°＜A＜180°，可得A＝45°.
同理得cos B＝＝＝，由0°＜B＜135°，可得B＝60°，∴C＝180°－45°－60°＝75°.
(2)在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形.
解：(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos 45°＝8，∴b＝2，
则cos A＝＝＝，又0°＜A＜135°，∴A＝60°，则C＝180°－(A＋B)＝75°.
15. (2024·山东聊城高一月考)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a－c)(a＋c)＝b(b－c).
(1)求角A的大小；
解：(1)∵(a－c)(a＋c)＝b(b－c)，∴a2－c2＝b2－bc，即b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝，又A∈(0，π)，∴A＝.
(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状.
解：(2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝()2＝3＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝12－3bc，∴bc＝3，又b＋c＝2，∴b＝c＝，∴a＝b＝c＝，∴△ABC是等边三角形.
任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”，即在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则a＝bcos C＋ccos B，b＝ccos A＋acos C，c＝acos B＋
bcos A.
(1)用余弦定理证明：a＝bcos C＋ccos B；
(1)证明：在△ABC中，由余弦定理可得，
Bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＋＝＝a，
∴a＝bcos C＋ccos B.
(2)在△ABC中，若＝＝·，求cos A的值.
(2)解：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
由＝＝·，得＝＝－bccos A，即＝＝bccos A，
由余弦定理得＝＝，
令＝＝＝t(t＞0)，则解得
∴cos A＝＝＝＝.(共22张PPT)
四、平面向量的应用
练习3　余弦定理
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. 在△ABC中，若ac＝8，a＋c＝7，B＝ ，则b等于(　B　)
A. 25 B. 5 C. 4 D.
【解析】 在△ABC中，若ac＝8，a＋c＝7，B＝ ，由余弦定理得
b＝ ＝ ＝ ＝5.
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2. (2024·广东茂名阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且a2＋c2－b2＝ac，ac＝4，则 · 等于(　D　)
A. B. － C. 2 D. －2
【解析】 由余弦定理得 cos B＝ ＝ .又B∈(0，π)，∴B＝ ，∴ · ＝ac cos (π－B)＝－2.
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3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝ ，
c＝3，B＝30°，则a等于(　D　)
A. 2 B. 3 C. D. 2 或
【解析】 由余弦定理得 cos B＝ ，即 ＝ ，整理
得a2－3 a＋6＝0，解得a＝ ，或a＝2 .
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4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝60°，
b2＝ac，则△ABC一定是(　D　)
A. 直角三角形 B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
【解析】 由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2ac cos B，而B＝60°，b2＝ac，∴ac＝a2＋c2－2ac· ，即(a－c)2＝0，∴a＝c. 又B＝60°，
∴△ABC一定是等边三角形.
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5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝8，b＝
7， cos C＝ ，则最大角的余弦值是(　C　)
A. － B. － C. － D. －
【解析】 根据题意，由余弦定理可得c＝ ＝
＝3. ∵a＞b＞c，∴A＞B＞C，即A为最
大角，∴ cos A＝ ＝ ＝－ .
C
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6. 在锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　C　)
A. (1，3) B. (1，5)
C. (， ) D. (1，2)
【解析】 若a为最大边，则b2＋c2－a2＞0，即a2＜5，∴a＜ ；若c
为最大边，则a2＋b2＞c2，即a2＞3，∴a＞ ，∴ ＜a＜ .
C
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7. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A＝ ，
a＝4，则bc的最大值是(　B　)
A. B. 16 C. D. 32
【解析】 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，∵A＝ ，a＝4，
∴16＝b2＋c2－bc，∵b2＋c2≥2bc，∴16＋bc≥2bc，即bc≤16，当
且仅当b＝c＝4时，等号成立.
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8. (多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，
c＝2 ， cos A＝ ，且b＜c，则(　AD　)
A. b＝2 B. b＝2
C. B＝60° D. B＝30°
【解析】 由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－6b，整理得b2－
6b＋8＝0，即(b－2)(b－4)＝0，由b＜c，得b＝2. 又a＝2， cos A＝ ，∴B＝A＝30°.
AD
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9. (多选)在△ABC中，AB＝3，AC＝ ，B＝ ，则角A的可能取值
是(　AC　)
A. B. C. D.
【解析】 由余弦定理，得AC2＝BC2＋BA2－2BC·BA· cos B，即3＝
BC2＋9－2BC×3× ，解得BC＝ ，或BC＝2 .当BC＝
时，BC＝AC，此时△ABC为等腰三角形，∴A＝B＝ ；当BC＝
2 时，AB2＋AC2＝BC2，此时△ABC为直角三角形，A＝ .
AC
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10. 在△ABC中，b2＝ac，且c＝2a，则 cos B＝ .
【解析】 ∵b2＝ac，且c＝2a，∴b2＝2a2，由余弦定理得 cos B＝
＝ ＝ .
　
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11. 在△ABC中，AB＝3，BC＝ ，AC＝4，则A＝ 　 　，AC边上的高为 .
【解析】 由余弦定理的推论，可得 cos A＝ ＝ ＝ ，又0＜A＜π，∴A＝ ，∴ sin A＝ ，则AC边上的高h＝AB sin A＝3× ＝ .
　
　
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12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝
2，b＝3，c＝4，则 · ＋ · ＋ · 的值为 .
【解析】 ∵a＝2，b＝3，c＝4，∴ · ＋ · ＋ · ＝
ac cos (π－B)＋ab cos (π－C)＋bc cos ·(π－A)＝－ac cos B－ab cos C－
bc cos A＝－ac· －ab· －bc· ＝－ (a2＋c2－
b2＋a2＋b2－c2＋b2＋c2－a2)＝－ (a2＋b2＋c2)＝－ ×(22＋32＋42)＝
－ .
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. 已知2，4，a是一个锐角三角形的三边长，请写出a的一个值：
.
【解析】 ∵2，4，a是一个锐角三角形的三边长，
∴ 解得2 ＜x＜2 ，∴a的值可以为4.
4(答案不唯一)　
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14. (1)在△ABC中，a∶b∶c＝2∶ ∶(＋1)，求△ABC各角的度数；
解：(1)∵a∶b∶c＝2∶ ∶(＋1)，∴设a＝2x，b＝ x，c＝(＋1)
x(x＞0).由余弦定理可得 cos A＝ ＝ ＝ .
由0°＜A＜180°，可得A＝45°.
同理得 cos B＝ ＝ ＝ ，由0°＜B＜135°，
可得B＝60°，∴C＝180°－45°－60°＝75°.
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(2)在△ABC中，a＝2 ，c＝ ＋ ，B＝45°，解这个三角形.
解：(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(2 )2＋(＋ )2－
2×2 ×(＋ )× cos 45°＝8，∴b＝2 ，
则 cos A＝ ＝ ＝ ，又0°＜A＜135°，
∴A＝60°，则C＝180°－(A＋B)＝75°.
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15. (2024·山东聊城高一月考)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的
边分别为a，b，c，且(a－c)(a＋c)＝b(b－c).
(1)求角A的大小；
解：(1)∵(a－c)(a＋c)＝b(b－c)，∴a2－c2＝b2－bc，即b2＋c2－
a2＝bc，∴ cos A＝ ＝ ＝ ，又A∈(0，π)，∴A＝ .
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(2)若b＋c＝2a＝2 ，试判断△ABC的形状.
解：(2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝()2＝3＝b2＋c2－bc＝
(b＋c)2－3bc＝12－3bc，∴bc＝3，又b＋c＝2 ，∴b＝c＝ ，
∴a＝b＝c＝ ，∴△ABC是等边三角形.
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16. 任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”，即在△ABC中，内角
A，B，C的对边分别是a，b，c，则a＝b cos C＋c cos B，b＝c cos
A＋a cos C，c＝a cos B＋b cos A.
(1)用余弦定理证明：a＝b cos C＋c cos B；
(1)证明：在△ABC中，由余弦定理可得，
b cos C＋c cos B＝b· ＋c· ＝ ＋ ＝
＝a，∴a＝b cos C＋c cos B.
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(2)在△ABC中，若 ＝ ＝ · ，求 cos A的值.
(2)解：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由 ＝ ＝ · ，得 ＝ ＝－bc cos A，即 ＝ ＝bc cos A，由余弦定理得 ＝ ＝ ，
令 ＝ ＝ ＝t(t＞0)，
则 解得
∴ cos A＝ ＝ ＝ ＝ .
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