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6.4 练习4　正弦定理
1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列关系式中，一定成立的是(　D　)
A. a＞bsin A B. a＝bsin A C. a＜bsin A D. a≥bsin A
【解析】 由正弦定理＝，得a＝. 在△ABC中，∵0＜sin B≤1，∴≥1，∴a≥bsin A.
2. (2025·吉林白山月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝4a，A＋C＝，则sinA等于 (　C　)
A. B. C. D.
【解析】 在△ABC中，由A＋C＝，得B＝，由b＝4a及正弦定理，得sin A＝sin B＝×＝.
3. (2025·陕西咸阳阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bcosA＝acosB，则△ABC的形状为(　B　)
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
【解析】 ∵bcos A＝acos B，由正弦定理，sin Bcos A＝sin Acos B，即sin(A－B)＝0，又0＜A，B＜π，则－π＜A－B＜π，故A－B＝0，即A＝B，∴△ABC是等腰三角形.
4. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2b，则的值为(　A　)
A. B. C. 2 D.
【解析】 由正弦定理得＝＝＝.
5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝45°，a＝6，b＝3，则B的大小为(　A　)
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
【解析】 由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝，又B为三角形内角，∴B＝30°，或B＝150°，又a＞b，∴A＞B，即B＝30°.
6. (2025·安徽合肥高一月考)在△ABC中，“sin A＞sin B”是“A＞B”的(　C　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 设△ABC的内角A，B所对的边分别为a，b，＝k(k＞0)，则由正弦定理得＝＝k，即sin A＝，sin B＝，由sin A＞sin B，得＞，即a＞b，由大边对大角得A＞B；当A＞B时，a＞b，即＞，由正弦定理得sin A＞sin B.因此“sin A＞sin B”是“A＞B”的充要条件.
7. (2025·河南周口检测)在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若利用正弦定理解△ABC有两个解，则x的取值范围是(　B　)
A. 2＜x＜2 B. 2＜x＜2
C. x＞2 D. ＜x＜2
【解析】 如图所示，B＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，
CD＝BC·sin 45°＝asin 45°＝xsin 45°，以C为圆心，CA＝b＝2为半径画圆弧，要使△ABC有两个解，则圆弧和AB边应该有两个交点，故CA＞CD且CA＜CB，即xsin 45°＜2＜x，解得2＜x＜2.
8. (多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列情况中，可能成立的有(　BCD　)
A. a＝1，b＝，A＝30°，B＝45°
B. a＝4，c＝6，sinA＝，cosC＝－
C. a＝b，A＝2B
D. a＋b＋c＝sinA＋sinB＋sinC
【解析】 对于A，＝2≠＝，不满足正弦定理，A不可能成立；对于B， 由cos C＝－得sin C＝，∴＝＝10，B可能成立；对于C，若A＝2B，则sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，即a＝2bcos B，又a＝b，∴cos B＝，C可能成立；∵a＋b＋c＝2R·(sin A＋sin B＋sin C)(R为△ABC外接圆的半径)，∴当△ABC的外接圆半径R＝时，等式成立，D可能成立.
9. (多选)(2025·河北沧州检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，能使△ABC恰有一个解的是(　BD　)
A. A＝，c＝2，a＝ B. A＝，c＝2，a＝1
C. A＝，c＝2，a＝ D. A＝，c＝2，a＝2
【解析】 由正弦定理，＝，得sin C＝，若A＝，c＝2，a＝，sin C＝＝2＞1，△ABC无解，A错误；若A＝，c＝2，a＝1，sin C＝＝1，得C＝，△ABC恰有一个解，B正确；若A＝，c＝2，a＝，sin C＝＝，c＞a，C有两个解，△ABC有两个解，C错误；若A＝，c＝2，a＝2，c＝a，C＝，△ABC恰有一个解，D正确.
10. 在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋＋＝　7　.
【解析】 ∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，∴＝＝＝2R＝2，∴＋＋＝2＋1＋4＝7.
11. (2025·浙江金华检测)在△ABC中，a＝3，c＝3，A＝45°，则△ABC的最大内角等于　105°　.
【解析】 由正弦定理可得＝ 3sin C＝csin A sin C＝，由于a＝3＞
c＝3，∴A＞C，C＝30°，∴最大内角B＝180°－A－C＝105°.
12. (2025·陕西西安检测) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若满足
a＝3，B＝的三角形有一个解，则b的取值范围是　∪[3，＋∞)　.
【解析】 在△ABC中，由正弦定理＝，得sin A＝，而a＝3，B＝，当sin A＝1时，△ABC只有一个解，b＝asin B＝.当a≤b，即b≥3时，0＜A≤
B＝，△ABC只有一个解，∴b的取值范围是∪[3，＋∞).
13. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(cos A，
cos B)，n＝(a，c－b).若m∥n，则内角A的大小为 (　D　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵m∥n，∴cos A·(c－b)＝acos B，由正弦定理得cos A(sin C－
sin B)＝sin Acos B，即sin Ccos A－sin Bcos A＝sin Acos B，∴sin C·cos A＝sin Acos B＋sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin C，∵0＜C＜π，∴sin C＞0，∴cos A＝1，∴cos A＝＞0，∴△ABC的内角A为锐角，∴A＝.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋
c＝b，求C.
解：由A－C＝90°，得A为钝角且sin A＝cos C，
利用正弦定理，a＋c＝b可变形为sin A＋sin C＝sin B，
又sin A＝cos C，∴sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝sin(C＋45°)＝sin B，又A，B，C是△ABC的内角，
∴C＋45°＝B，或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，
∴A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°，即C＝15°.
15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝30°，b＝，c＝2.
(1)求角C的大小；
解：(1)由正弦定理得＝，即＝，
∴sin C＝，可得C＝45°，或C＝135°，经检验，均满足题意.
(2)若角C为锐角，求a的值.
解：(2)若角C为锐角，由(1)可知C＝45°，
∴A＝180°－45°－30°＝105°，又sin 105°＝sin(60°＋45°)＝
sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝×＋×＝，由正弦定理得＝，即＝，解得a＝＋1.
16. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.
(1)求B的大小；
解：(1)由正弦定理，得＝－＝，∴2sin Acos B＋sin Ccos B＋
sin Bcos C＝0，即2sin Acos B＋sin[π－(C＋B)]＝2sin Acos B＋sin A＝0，∴cos B＝－.又0＜B＜π，∴B＝.
(2)若b＝，a＋c＝4，求a的值.
解：(2)将b＝，a＋c＝4，B＝，代入b2＝a2＋c2－2accos B，得13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cos，即a2－4a＋3＝0.解得a＝1，或a＝3.(共21张PPT)
四、平面向量的应用
练习4　正弦定理
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列关系式
中，一定成立的是(　D　)
A. a＞b sin A B. a＝b sin A
C. a＜b sin A D. a≥b sin A
【解析】 由正弦定理 ＝ ，得a＝ . 在△ABC中，∵0＜
sin B≤1，∴ ≥1，∴a≥b sin A.
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2. (2025·吉林白山月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，且b＝4a，A＋C＝ ，则 sin A等于 (　C　)
A. B. C. D.
【解析】 在△ABC中，由A＋C＝ ，得B＝ ，由b＝4a及正弦定
理，得 sin A＝ sin B＝ × ＝ .
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3. (2025·陕西咸阳阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c.若b cos A＝a cos B，则△ABC的形状为(　B　)
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
【解析】 ∵b cos A＝a cos B，由正弦定理， sin B cos A＝ sin A cos B，
即 sin (A－B)＝0，又0＜A，B＜π，则－π＜A－B＜π，故A－B＝
0，即A＝B，∴△ABC是等腰三角形.
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4. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2b，
则 的值为(　A　)
A. B. C. 2 D.
【解析】 由正弦定理得 ＝ ＝ ＝ .
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5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝45°，a＝6，b＝3 ，则B的大小为(　A　)
A. 30° B. 60°
C. 30°或150° D. 60°或120°
【解析】 由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得 sin B＝ ，又B为三角形内角，∴B＝30°，或B＝150°，又a＞b，∴A＞B，即B＝30°.
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6. (2025·安徽合肥高一月考)在△ABC中，“ sin A＞ sin B”是“A＞
B”的(　C　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
C
【解析】 设△ABC的内角A，B所对的边分别为a，b， ＝k(k＞0)，则由正弦定理得 ＝ ＝k，即 sin A＝ ， sin B＝ ，由 sin A＞
sin B，得 ＞ ，即a＞b，由大边对大角得A＞B；当A＞B时，a＞b，即 ＞ ，由正弦定理得 sin A＞ sin B. 因此“ sin A＞ sin B”是
“A＞B”的充要条件.
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7. (2025·河南周口检测)在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若利用
正弦定理解△ABC有两个解，则x的取值范围是(　B　)
A. 2＜x＜2 B. 2＜x＜2
C. x＞2 D. ＜x＜2
B
【解析】 如图所示，B＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，
CD＝BC· sin 45°＝a sin 45°＝x sin 45°，以C为圆心，CA＝b＝2
为半径画圆弧，要使△ABC有两个解，则圆弧和AB边应该有两个交
点，故CA＞CD且CA＜CB，即x sin 45°＜2＜x，解得2＜x＜2 .
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8. (多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列情况中，可能成立的有(　BCD　)
A. a＝1，b＝ ，A＝30°，B＝45°
B. a＝4，c＝6， sin A＝ ， cos C＝－
C. a＝ b，A＝2B D. a＋b＋c＝ sin A＋ sin B＋ sin C
BCD
【解析】 对于A， ＝2≠ ＝ ，不满足正弦定理，A不可能成立；对于B， 由 cos C＝－ 得 sin C＝ ，∴ ＝ ＝10，B可能成立；对于C，若A＝2B，则 sin A＝ sin 2B＝2 sin B cos B，即a＝2b cos B，
又a＝ b，∴ cos B＝ ，C可能成立；∵a＋b＋c＝2R·( sin A＋ sin B＋
sin C)(R为△ABC外接圆的半径)，∴当△ABC的外接圆半径R＝ 时，等式成立，D可能成立.
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9. (多选)(2025·河北沧州检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，能使△ABC恰有一个解的是(　BD　)
A. A＝ ，c＝2，a＝ B. A＝ ，c＝2，a＝1
C. A＝ ，c＝2，a＝ D. A＝ ，c＝2，a＝2
BD
【解析】 由正弦定理， ＝ ，得 sin C＝ ，若A＝ ，c＝
2，a＝ ， sin C＝ ＝2＞1，△ABC无解，A错误；若A＝ ，c＝
2，a＝1， sin C＝ ＝1，得C＝ ，△ABC恰有一个解，B正确；
若A＝ ，c＝2，a＝ ， sin C＝ ＝ ，c＞a，C有两个解，
△ABC有两个解，C错误；若A＝ ，c＝2，a＝2，c＝a，C＝ ，
△ABC恰有一个解，D正确.
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10. 在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC的三边长分别为a，b，
c，则 ＋ ＋ ＝ .
【解析】 ∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，∴ ＝ ＝ ＝
2R＝2，∴ ＋ ＋ ＝2＋1＋4＝7.
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11. (2025·浙江金华检测)在△ABC中，a＝3 ，c＝3，A＝45°，则
△ABC的最大内角等于 .
【解析】 由正弦定理可得 ＝ 3 sin C＝c sin A sin C＝ ，
由于a＝3 ＞c＝3，∴A＞C，C＝30°，∴最大内角B＝180°－
A－C＝105°.
105°　
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12. (2025·陕西西安检测) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c.若满足a＝3，B＝ 的三角形有一个解，则b的取值范围是 　
.
【解析】 在△ABC中，由正弦定理 ＝ ，得 sin A＝ ，而
a＝3，B＝ ，当 sin A＝1时，△ABC只有一个解，b＝a sin B＝ .当
a≤b，即b≥3时，0＜A≤B＝ ，△ABC只有一个解，∴b的取值范
围是 ∪[3，＋∞).
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝
( cos A， cos B)，n＝(a， c－b).若m∥n，则内角A的大小为
(　D　)
A. B. C. D.
D
【解析】 ∵m∥n，∴ cos A·( c－b)＝a cos B，由正弦定理得
cos A( sin C－ sin B)＝ sin A cos B，即 sin C cos A－ sin B cos A＝
sin A cos B，∴ sin C· cos A＝ sin A cos B＋ sin B cos A＝ sin (A＋B)＝ sin C，∵0＜C＜π，∴ sin C＞0，∴ cos A＝1，∴ cos A＝ ＞0，
∴△ABC的内角A为锐角，∴A＝ .
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14. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－
C＝90°，a＋c＝ b，求C.
解：由A－C＝90°，得A为钝角且 sin A＝ cos C，
利用正弦定理，a＋c＝ b可变形为 sin A＋ sin C＝ sin B，
又 sin A＝ cos C，∴ sin A＋ sin C＝ cos C＋ sin C＝ sin (C＋45°)＝
sin B，又A，B，C是△ABC的内角，
∴C＋45°＝B，或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，
∴A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°，即C＝15°.
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15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝30°，
b＝ ，c＝2.
(1)求角C的大小；
解：(1)由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，
∴ sin C＝ ，可得C＝45°，或C＝135°，经检验，均满足题意.
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(2)若角C为锐角，求a的值.
解：(2)若角C为锐角，由(1)可知C＝45°，
∴A＝180°－45°－30°＝105°，又 sin 105°＝ sin (60°＋45°)＝
sin 60° cos 45°＋ cos 60° sin 45°＝ × ＋ × ＝ ，由
正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得a＝ ＋1.
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16. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，
且 ＝－ .
(1)求B的大小；
解：(1)由正弦定理，得 ＝－ ＝ ，∴2 sin A cos B＋
sin C cos B＋ sin B cos C＝0，即2 sin A cos B＋ sin [π－(C＋B)]＝2 sin A
cos B＋ sin A＝0，∴ cos B＝－ .又0＜B＜π，∴B＝ .
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(2)若b＝ ，a＋c＝4，求a的值.
解：(2)将b＝ ，a＋c＝4，B＝ ，代入b2＝a2＋c2－2ac cos B，
得13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)· cos ，即a2－4a＋3＝0.解得a＝1，
或a＝3.
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166.4 练习4　正弦定理
1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列关系式中，一定成立的是(　 　)
A. a＞bsin A B. a＝bsin A C. a＜bsin A D. a≥bsin A
2. (2025·吉林白山月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝4a，A＋C＝，则sinA等于 (　 　)
A. B. C. D.
3. (2025·陕西咸阳阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bcosA＝acosB，则△ABC的形状为(　 　)
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
4. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2b，则的值为(　 　)
A. B. C. 2 D.
5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝45°，a＝6，b＝3，则B的大小为(　 　)
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
6. (2025·安徽合肥高一月考)在△ABC中，“sin A＞sin B”是“A＞B”的(　 　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. (2025·河南周口检测)在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若利用正弦定理解△ABC有两个解，则x的取值范围是(　 　)
A. 2＜x＜2 B. 2＜x＜2
C. x＞2 D. ＜x＜2
8. (多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列情况中，可能成立的有(　 　)
A. a＝1，b＝，A＝30°，B＝45°
B. a＝4，c＝6，sinA＝，cosC＝－
C. a＝b，A＝2B
D. a＋b＋c＝sinA＋sinB＋sinC
9. (多选)(2025·河北沧州检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，能使△ABC恰有一个解的是(　 　)
A. A＝，c＝2，a＝ B. A＝，c＝2，a＝1
C. A＝，c＝2，a＝ D. A＝，c＝2，a＝2
10. 在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋＋＝ .
11. (2025·浙江金华检测)在△ABC中，a＝3，c＝3，A＝45°，则△ABC的最大内角等于 .
12. (2025·陕西西安检测) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若满足
a＝3，B＝的三角形有一个解，则b的取值范围是 .
13. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(cos A，
cos B)，n＝(a，c－b).若m∥n，则内角A的大小为 (　 　)
A. B. C. D.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋
c＝b，求C.
15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝30°，b＝，c＝2.
(1)求角C的大小；
(2)若角C为锐角，求a的值.
16. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.
(1)求B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求a的值.

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