资源简介

(共25张PPT)
四、平面向量的应用
练习5　余弦定理、正弦定理应用举例
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. 如图所示，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测
得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC＝3 km，BC＝4
km，且∠ACB＝60°，则隧道AB的长度为(　C　)
A. 3 km B. 4 km
C. km D. km
C
【解析】 由余弦定理，可得AB＝
＝ ＝ km.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度
为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为(　D　)
A. 12 m B. 8 m C. 2 m D. 4 m
【解析】 在△ABC中，由已知条件可得BC＝AC＝4，C＝180°－
30°×2＝120°. 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·
cos 120°＝42＋42－2×4×4× ＝48，∴AB＝4 m.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东40°方向直线航行，在行驶到
某处时，该轮船的南偏东20°方向上10海里处有一灯塔，继续行驶20分
钟后，轮船与灯塔之间的距离为(　D　)
A. 17海里 B. 16海里 C. 15海里 D. 14海里
D
【解析】 记轮船行驶到某处的位置为A，灯塔的位置为B，
20分钟后轮船的位置为C，如图所示.
则AB＝10，AC＝6，∠CAB＝120°，∴在△ABC中，
由余弦定理得BC2＝102＋62－2×10×6× ＝196，∴BC＝14. 故20分钟后，轮船与灯塔之间的距离为14海里.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 如图所示，从山顶望地面上的C，D两点，测得它们的俯角分别为
45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB为(　D　)
A. 100米 B. 50 米
C. 50 米 D. 50(＋1)米
【解析】 设AB＝h米，则由题意知CB＝h米，DB＝ h米，
∴ h－h＝100，即h＝50(＋1).
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. 一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°
方向距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，
则这艘船的航行速度为(　A　)
A. n mile/h B. 34 n mile/h
C. n mile/h D. 34 n mile/h
A
【解析】 如图所示，在△PMN中， ＝ ，
∴MN＝ ＝34 ，∴v＝ ＝ n mile/h.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. 如图所示，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D
两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，AB＝5，BC＝8，
CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　A　)
A. 7 km B. 8 km C. 9 km D. 6 km
A
【解析】 在△ABC及△ACD中，由余弦定理
得82＋52－2×8×5× cos (π－∠D)＝AC2＝
32＋52－2×3×5× cos ∠D，解得 cos ∠D＝－ ，
∴AC＝ ＝7.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔19 km，速度为300 km/h，飞行员先在A处看到山顶C的俯角为45°，
2 min后，又在B处看到山顶C的俯角为75°，则山顶C的海拔约为(结果精确到0.1，参考数据： ≈1.732)(　B　)
A. 4.3 km B. 5.3 km
C. 6.3 km D. 13.7 km
B
【解析】 过点C作直线AB的垂线，垂足为D. 由题意得
AB＝300× ＝10 km，∠ACB＝30°.∵ ＝ ，
∴BC＝AB· ＝10 km，又 sin 75°＝ sin (45°＋30°)＝ ，∴CD＝BC· sin ∠CBD＝10 × ＝5(＋1)≈
13.66 km，故山顶C的海拔约为19－13.66≈5.3 km.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. (多选)(2025·黑龙江哈尔滨检测)某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏
东75°方向，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°
方向，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B
在南偏东60°方向，则下列说法中，正确的有(　AC　)
A. A处与D处之间的距离是24 n mile
B. 灯塔C与D处之间的距离是8 n mile
C. 灯塔C在D处的西偏南60°方向
D. D在灯塔B的北偏西30°方向
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
【解析】 如图所示，在△ABD中，由已知条件得∠ADB＝60°，
∠DAB＝75°，
则∠B＝45°，AB＝12 ，由正弦定理得
AD＝ ＝ ＝24，∴A处与D处之间的距离
为24 n mile，A正确；在△ADC中，由余弦定理得
CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC· cos 30°，又AC＝8 ，
解得CD＝8 ，∴灯塔C与D处之间的距离为8 n mile，B错误；∵AC＝CD＝8 ，∴∠CDA＝∠CAD＝30°，灯塔C在D处的西偏南
60°方向，C正确；灯塔B在D的南偏东60°方向，D在灯塔B的北偏
西60°方向，D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. (多选)如图所示，在山脚A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于
山坡AD的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山
坡AD的斜度为45°.若CD＝50 m，山坡的坡角为θ，则下列说法中，
正确的有(　AC　)
A. cos θ＝ －1
B. cos θ＝ －1
C. 山脚A处到建筑物CD的顶端C的距离为100 m
D. 山脚A处到建筑物CD的顶端C的距离为100 m
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
【解析】 ∵∠CBD＝45°，∠BAC＝15°，∴∠ACB＝30°.在
△ABC中，由正弦定理得BC＝ ＝ ＝50(－ )
m.在△BCD中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝
，∴ sin ∠BDC＝ －1，即 sin (θ＋90°)＝ －1，
∴ cos θ＝ －1，A正确，B错误；
在△ABC中，∠ABC＝135°，由正弦定理得， ＝ ，
AC＝ ＝ ＝100 m，C正确，D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 海上有三个小岛A，B，C，测得∠BAC＝135°，AB＝6，AC＝
3 .若在B，C两岛的连线上建一座灯塔D，使得灯塔D到A，B两
岛的距离相等，则B，D之间的距离为 .
【解析】 设BD＝t，由余弦定理可得BC2＝62＋(3 )2－2×6×3
cos 135°＝90，∴BC＝3 ，则 cos ∠ABC＝ ＝
，解得t＝ .
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中
心30 km内的地区为危险区，城市B在A地的正东方向40 km处，城市B
处于危险区内的持续时间为 h.
【解析】 设t h时，城市B恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2＋
402－2×20t×40× cos 45°＝302.得4t2－8 t＋7＝0，∴t1＋t2＝
2 ，t1·t2＝ . 从而｜t1－t2｜＝ ＝1 h.
1　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. (2025·河北保定高一阶段检测)如图所示，在一场足球比赛中，甲同
学从A处开始做匀速直线运动，到达B处时，发现乙同学踢着足球在C
处正以自己速度的 向A处做匀速直线运动，已知 cos ∠BAC＝ ，
AB＝3 m， AC＝7 m.若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截
乙同学的地点是线段AC上离A处 m的点.
5　
【解析】 如图所示，设甲同学最快拦截乙同学的地
点是点D，CD＝x，则BD＝2x，AD＝7－x，
∴在△ABD中， cos A＝ ＝ ，整
理可得15x2＋52x－164＝(15x＋82)(x－2)＝0，
解得x＝2，或x＝－ (舍去). 故甲同学最快拦
截乙同学的地点是线段AC上离A处5 m的点.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
必备知识练
必备知识练
关键能力练
13. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇
宙秘密的最后遗产”.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的
距离，现在群岛上取两点C，D，测得CD＝80米，∠ADB＝135°，
∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离
为 米.
80 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
【解析】 在△ACD中，∵∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，
∴∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝ ＝ ＝40(＋ )(米).在△BCD中，∵∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠DBC＝30°，由正弦定理得BC＝ ＝40(－ )(米). 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos ∠ACB＝1 600×(8＋
4 )＋1 600×(8－4 )＋1 600×(＋ )×(－ )＝1 600×16＋1
600×4＝32 000，∴AB＝80 米，∴A，B两点间的距离为80 米.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 如图所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：
一种是从A处沿直线步行到C处；另一种是先从A处沿索道乘缆车到B
处，然后从B处沿直线步行到C处.山路AC 长为1 260 m，经测量， cos
A＝ ， cos C＝ ，求索道AB的长.
解：在△ABC中，∵ cos A＝ ， cos C＝ ，∴ sin A＝ ，
sin C＝ . sin B＝ sin [π－(A＋C)]＝ sin (A＋C)＝ sin A· cos C＋
cos A sin C＝ × ＋ × ＝ .由 ＝ ，得AB＝ · sin C＝
× ＝1 040 m，
∴索道AB的长为1 040 m.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完
成任务.已知军舰位于B市的南偏东25°方向上的A处，且在C岛的北
偏东58°方向上，B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛372
km.此时，我方军舰沿着AC方向以30 km/h的速度航行，问：我方军舰
大约需要多长时间到达C岛(结果保留整数)？
参考数据： ≈1.73， sin 53°≈ ，
cos 53°≈ ，tan53°≈ .
图1 图2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：设我方军舰大约需要x小时到达C岛，则AC＝30x，
由题得，∠ABC＝28°＋25°＝53°，∠ACB＝58°－28°＝30°，
BC＝372 km，在△ABC中，∠BAC＝180°－53°－30°＝97°，
又 sin 97°＝ sin (180°－83°)＝ sin 83°＝ sin (53°＋30°)＝
sin 53°· cos 30°＋ cos 53° sin 30°＝ × ＋ × ＝ ，
在△ABC中，由正弦定理可得 ＝ ，
即 ＝ ，解得
x≈10，
∴我方军舰大约需要10小时到达C岛.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 如图所示，AB是底部不可到达的某建筑物，A为该建筑物的最高
点.某学习小组准备了三种工具：测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可
测量长度)、量角器(可测量平面角度).
(1)请利用准备好的工具(不必全部使用)，设计一种测量
建筑物高度AB的方法，并给出测量报告；
注：测量报告中包括使用的工具测量方法的文字
说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释
说明，并给出最后的计算公式.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：(1)选用测角仪与米尺即可，如图所示.
①选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上；
②在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别为α，β，
CD＝a，测得测角仪的高度是h；
③经计算得建筑物的高度AB＝ ＋h .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)该学习小组利用此测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给
老师，发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差.请针对误差原因进
行说明.
解：(2)①测量工具问题；②两次测量时位置的间距差；③用身高代替
测角仪的高度.(答案不唯一)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
166.4 练习5　余弦定理、正弦定理应用举例
1. 如图所示，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC＝3 km，BC＝4 km，且∠ACB＝60°，则隧道AB的长度为(　C　)
A. 3 km B. 4 km C. km D. km
【解析】 由余弦定理，可得AB＝＝＝ km.
2. 学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4 m，
A＝30°，则其跨度AB的长为(　D　)
A. 12 m B. 8 m C. 2 m D. 4 m
【解析】 在△ABC中，由已知条件可得BC＝AC＝4，C＝180°－30°×2＝120°. 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝42＋42－2×4×4×
＝48，∴AB＝4 m.
3. 一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东40°方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船的南偏东20°方向上10海里处有一灯塔，继续行驶20分钟后，轮船与灯塔之间的距离为(　D　)
A. 17海里 B. 16海里 C. 15海里 D. 14海里
【解析】 记轮船行驶到某处的位置为A，灯塔的位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示.
则AB＝10，AC＝6，∠CAB＝120°，∴在△ABC中，由余弦定理得BC2＝102＋62－2×10×6×＝196，∴BC＝14. 故20分钟后，轮船与灯塔之间的距离为14海里.
4. 如图所示，从山顶望地面上的C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB为(　D　)
A. 100米 B. 50米 C. 50米 D. 50(＋1)米
【解析】 设AB＝h米，则由题意知CB＝h米，DB＝h米，∴h－h＝100，即h＝50(＋1).
5. 一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速度为(　A　)
A. n mile/h B. 34 n mile/h
C. n mile/h D. 34 n mile/h
【解析】 如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，∴v＝＝ n mile/h.
6. 如图所示，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　A　)
A. 7 km B. 8 km C. 9 km D. 6 km
【解析】 在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(π－∠D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos∠D，解得cos∠D＝－，∴AC＝＝7.
7. 如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔19 km，速度为300 km/h，飞行员先在A处看到山顶C的俯角为45°，2 min后，又在B处看到山顶C的俯角为75°，则山顶C的海拔约为(结果精确到0.1，参考数据：≈1.732)(　B　)
A. 4.3 km B. 5.3 km C. 6.3 km D. 13.7 km
【解析】 过点C作直线AB的垂线，垂足为D. 由题意得AB＝300×＝10 km，∠ACB＝30°.∵＝，∴BC＝AB·＝10 km，又sin75°＝sin(45°＋30°)＝，∴CD＝BC·sin∠CBD＝10×＝5(＋1)≈13.66 km，故山顶C的海拔约为19－13.66≈5.3 km.
8. (多选)(2025·黑龙江哈尔滨检测)某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°方向，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向，则下列说法中，正确的有(　AC　)
A. A处与D处之间的距离是24 n mile
B. 灯塔C与D处之间的距离是8 n mile
C. 灯塔C在D处的西偏南60°方向
D. D在灯塔B的北偏西30°方向
【解析】 如图所示，在△ABD中，由已知条件得∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，
则∠B＝45°，AB＝12，由正弦定理得AD＝＝＝24，∴A处与D处之间的距离为24 n mile，A正确；在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°，又AC＝8，解得CD＝8，∴灯塔C与D处之间的距离为8 n mile，B错误；∵AC＝CD＝8，∴∠CDA＝∠CAD＝30°，灯塔C在D处的西偏南60°方向，C正确；灯塔B在D的南偏东60°方向，D在灯塔B的北偏西60°方向，D错误.
9. (多选)如图所示，在山脚A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡AD的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡AD的斜度为45°.若CD＝50 m，山坡的坡角为θ，则下列说法中，正确的有(　AC　)
A. cosθ＝－1
B. cosθ＝－1
C. 山脚A处到建筑物CD的顶端C的距离为100 m
D. 山脚A处到建筑物CD的顶端C的距离为100 m
【解析】 ∵∠CBD＝45°，∠BAC＝15°，∴∠ACB＝30°.在△ABC中，由正弦定理得BC＝＝＝50(－) m.在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，∴sin∠BDC＝－1，即sin(θ＋90°)＝
－1，∴cosθ＝－1，A正确，B错误；在△ABC中，∠ABC＝135°，由正弦定理得，＝，AC＝＝＝100 m，C正确，D错误.
10. 海上有三个小岛A，B，C，测得∠BAC＝135°，AB＝6，AC＝3.若在B，C两岛的连线上建一座灯塔D，使得灯塔D到A，B两岛的距离相等，则B，D之间的距离为　　.
【解析】 设BD＝t，由余弦定理可得BC2＝62＋(3)2－2×6×3cos 135°＝90，∴BC＝3，则cos∠ABC＝＝，解得t＝.
11. 台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地的正东方向40 km处，城市B处于危险区内的持续时间为　1　 h.
【解析】 设t h时，城市B恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40×cos 45°＝302.得4t2－8t＋7＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝. 从而
｜t1－t2｜＝＝1 h.
12. (2025·河北保定高一阶段检测)如图所示，在一场足球比赛中，甲同学从A处开始做匀速直线运动，到达B处时，发现乙同学踢着足球在C处正以自己速度的向A处做匀速直线运动，已知cos∠BAC＝，AB＝3 m， AC＝7 m.若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的地点是线段AC上离A处　5　m的点.
【解析】 如图所示，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D，CD＝x，则BD＝2x，AD＝7－x，∴在△ABD中，cosA＝＝，整理可得15x2＋52x－164＝(15x＋82)(x－2)＝0，解得x＝2，或x＝－(舍去). 故甲同学最快拦截乙同学的地点是线段AC上离A处5 m的点.
13. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在群岛上取两点C，D，测得CD＝80米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为　80　米.
【解析】 在△ACD中，∵∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)(米).在△BCD中，∵∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠DBC＝30°，由正弦定理得BC＝＝40(－)(米). 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋1 600×(＋)×(－)＝1 600×16＋1 600×4＝
32 000，∴AB＝80 米，∴A，B两点间的距离为80 米.
14. 如图所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A处沿直线步行到C处；另一种是先从A处沿索道乘缆车到B处，然后从B处沿直线步行到C处.山路AC 长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝，求索道AB的长.
解：在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，∴sin A＝，sin C＝.sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin A·cos C＋cos Asin C＝×＋×＝.由＝，得AB＝·sinC＝×＝1 040 m，∴索道AB的长为1 040 m.
15. 在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务.已知军舰位于B市的南偏东25°方向上的A处，且在C岛的北偏东58°方向上，B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛372 km.此时，我方军舰沿着AC方向以30 km/h的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛(结果保留整数)？参考数据：≈1.73，sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈.
图1　　图2
解：设我方军舰大约需要x小时到达C岛，则AC＝30x，
由题得，∠ABC＝28°＋25°＝53°，∠ACB＝58°－28°＝30°，
BC＝372 km，在△ABC中，∠BAC＝180°－53°－30°＝97°，
又sin 97°＝sin(180°－83°)＝sin 83°＝sin(53°＋30°)＝sin 53°·cos 30°＋
cos 53°sin 30°＝×＋×＝，
在△ABC中，由正弦定理可得＝，
即＝ ，解得x≈10，
∴我方军舰大约需要10小时到达C岛.
16. 如图所示，AB是底部不可到达的某建筑物，A为该建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具：测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).
(1)请利用准备好的工具(不必全部使用)，设计一种测量建筑物高度AB的方法，并给出测量报告；
注：测量报告中包括使用的工具测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出最后的计算公式.
解：(1)选用测角仪与米尺即可，如图所示.
①选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上；
②在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测得测角仪的高度是h；
③经计算得建筑物的高度AB＝＋h.
(2)该学习小组利用此测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差.请针对误差原因进行说明.
解：(2)①测量工具问题；②两次测量时位置的间距差；③用身高代替测角仪的高度.(答案不唯一)6.4 练习5　余弦定理、正弦定理应用举例
1. 如图所示，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC＝3 km，BC＝4 km，且∠ACB＝60°，则隧道AB的长度为(　 　)
A. 3 km B. 4 km C. km D. km
2. 学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4 m，
A＝30°，则其跨度AB的长为(　 　)
A. 12 m B. 8 m C. 2 m D. 4 m
3. 一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东40°方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船的南偏东20°方向上10海里处有一灯塔，继续行驶20分钟后，轮船与灯塔之间的距离为(　 　)
A. 17海里 B. 16海里 C. 15海里 D. 14海里
4. 如图所示，从山顶望地面上的C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB为(　 　)
A. 100米 B. 50米 C. 50米 D. 50(＋1)米
5. 一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船的航行速度为(　 　)
A. n mile/h B. 34 n mile/h
C. n mile/h D. 34 n mile/h
6. 如图所示，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　 　)
A. 7 km B. 8 km C. 9 km D. 6 km
7. 如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔19 km，速度为300 km/h，飞行员先在A处看到山顶C的俯角为45°，2 min后，又在B处看到山顶C的俯角为75°，则山顶C的海拔约为(结果精确到0.1，参考数据：≈1.732)(　 　)
A. 4.3 km B. 5.3 km C. 6.3 km D. 13.7 km
8. (多选)(2025·黑龙江哈尔滨检测)某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°方向，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. A处与D处之间的距离是24 n mile
B. 灯塔C与D处之间的距离是8 n mile
C. 灯塔C在D处的西偏南60°方向
D. D在灯塔B的北偏西30°方向
9. (多选)如图所示，在山脚A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡AD的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡AD的斜度为45°.若CD＝50 m，山坡的坡角为θ，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. cosθ＝－1
B. cosθ＝－1
C. 山脚A处到建筑物CD的顶端C的距离为100 m
D. 山脚A处到建筑物CD的顶端C的距离为100 m
10. 海上有三个小岛A，B，C，测得∠BAC＝135°，AB＝6，AC＝3.若在B，C两岛的连线上建一座灯塔D，使得灯塔D到A，B两岛的距离相等，则B，D之间的距离为 .
11. 台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地的正东方向40 km处，城市B处于危险区内的持续时间为 h.
12. (2025·河北保定高一阶段检测)如图所示，在一场足球比赛中，甲同学从A处开始做匀速直线运动，到达B处时，发现乙同学踢着足球在C处正以自己速度的向A处做匀速直线运动，已知cos∠BAC＝，AB＝3 m， AC＝7 m.若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的地点是线段AC上离A处 m的点.
13. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在群岛上取两点C，D，测得CD＝80米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为 米.
14. 如图所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A处沿直线步行到C处；另一种是先从A处沿索道乘缆车到B处，然后从B处沿直线步行到C处.山路AC 长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝，求索道AB的长.
15. 在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务.已知军舰位于B市的南偏东25°方向上的A处，且在C岛的北偏东58°方向上，B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛372 km.此时，我方军舰沿着AC方向以30 km/h的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛(结果保留整数)？参考数据：≈1.73，sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈.
图1　　图2
16. 如图所示，AB是底部不可到达的某建筑物，A为该建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具：测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).
(1)请利用准备好的工具(不必全部使用)，设计一种测量建筑物高度AB的方法，并给出测量报告；
注：测量报告中包括使用的工具测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出最后的计算公式.
(2)该学习小组利用此测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差.请针对误差原因进行说明.

展开更多......

收起↑