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(共25张PPT)
四、平面向量的应用
练习6　余弦定理、正弦定理的综合应用
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
1. 钝角三角形ABC的面积是 ，AB＝1，BC＝ ，则AC等于(　B　)
A. 5 B. C. 2 D. 1
B
【解析】 由三角形面积公式，得S＝ AB·BC· sin B＝ . 又AB＝1，
BC＝ ，∴ sin B＝ . ∵B∈(0，π)，∴B＝ ，或B＝ . 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B，当B＝ 时，得AC＝1，不符合△ABC为钝角三角形的要求，舍去；当B＝ 时，得AC＝ (满足题意).
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2. 在△ABC中， cos ＝ ，BC＝1，AC＝5，则AB等于(　A　)
A. 4 B. C. D. 2
【解析】 ∵ cos ＝ ，∴ cos C＝2 cos 2 －1＝2× －1＝－ .
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos C＝
52＋12－2×5×1× ＝32，∴AB＝ ＝4 .
A
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3. 在△ABC中，已知4S△ABC＝a2＋b2－c2，则角C的度数为(　B　)
A. 135° B. 45° C. 60° D. 120°
【解析】 由4S△ABC＝a2＋b2－c2，得4× ab sin C＝2ab cos C，解得
tanC＝1.又角C为△ABC的内角，∴C＝45°.
B
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4. 如图所示，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，
DC＝5，DA＝7，则AB的长为(　D　)
A. 4 B. 4 C. 8 D. 4
D
【解析】 ∵DC＝5，DA＝7，AC＝8，
∴ cos ∠ADC＝ ＝ ，∴ cos ∠ADB＝－ ，
∴ sin ∠ADB＝ ，又B＝45°，DA＝7，由正弦定理，可得 ＝ ，∴AB＝ ＝ ＝4 .
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5. (2024·河南濮阳高一期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋c2－b2＋2ac＝2bc sin A，则B等于(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，又a2＋c2－b2＋2ac＝
2bc sin A，∴2ac cos B＋2ac＝2bc sin A，∴a cos B＋a＝b sin A，由正
弦定理可得 sin A cos B＋ sin A＝ sin B sin A，又A∈(0，π)，∴ sin A＞
0，∴ cos B＋1＝ sin B，又 sin 2B＋ cos 2B＝1，解得 cos B＝0，或
cos B＝－1，又B∈(0，π)，∴ cos B∈(－1，1)，∴ cos B＝0，∴B＝ .
C
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6. 在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，
则四边形ABCD的面积S为(　C　)
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【解析】 如图所示，连接BD，
C
由余弦定理，得在△ABD中，BD2＝4＋16－2×2×
4 cos A＝20－16 cos A，在△CBD中，BD2＝16＋36－2×4×6 cos C＝52－48 cos C，∵A＋C＝180°，
∴20－16 cos A＝52＋48 cos A，解得 cos A＝－ ，
∴A＝120°，C＝60°.S＝S△ABD＋S△CBD＝
×2×4× sin 120°＋ ×4×6× sin 60°＝8 .
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7. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，tanA＝ ，且
B为钝角，则 sin A＋ sin C的取值范围是(　A　)
A. B. C. D.
A
【解析】 由tanA＝ 以及正弦定理得 ＝ ＝ ，∴ sin B＝ cos A，即 sin B＝ sin ，又B为钝角，∴ ＋A∈ ，故B＝
＋A，C＝π－(A＋B)＝ －2A＞0 A∈ ，于是 sin A＋
sin C＝ sin A＋ sin ＝ sin A＋ cos 2A＝－2 sin 2A＋ sin A＋1＝
－2 ＋ ，∵A∈ ，∴0＜ sin A＜ ，因此 ＜
－2 ＋ ≤ ，即 sin A＋ sin C的取值范围是 .
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8. (多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝1，a2＋c2－b2＝ac， sin 2B＝3 sin A sin C，则(　ABD　)
A. B＝ B. ac＝
C. △ABC的面积为 D. △ABC的周长为 ＋1
ABD
【解析】 由a2＋c2－b2＝ac，有 cos B＝ ＝ ，得B＝ ，A
正确；∵ sin 2B＝3 sin A sin C，由正弦定理有b2＝3ac，b＝1，得
ac＝ ，B正确；△ABC的面积为 ac sin B＝ × × ＝ ，C错误；
∵a2＋c2－b2＝ac，∴b2＝1＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，解得a＋
c＝ ，∴△ABC的周长为 ＋1，D正确.
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9. (多选)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 cos B＋ sin B＝2，c＝2，则△ABC面积的值可以是
(　BC　)
A. B. 1 C. D. 2
BC
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【解析】 ∵ cos B＋ sin B＝2，∴ sin ＝1，又B为锐角，
∴B＝ ，∴A＋C＝ .根据正弦定理 ＝ ，得a＝ ＝
，∴S△ABC＝ ac· sin B＝ a＝ · ＝ ＝
＝ .∵ ∴ ＜A＜ ，
∴tanA＞ ，∴0＜ ＜ ， ＜ ＋ ＜2，∴ ＜ ＜
2 ，∴△ABC面积的取值范围是 .
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10. 已知△ABC的面积S＝ ，A＝ ，则 · ＝ .
【解析】 S△ABC＝ ·｜ ｜·｜ ｜· sin A，即 ＝ ·｜ ｜·
｜ ｜· ，∴｜ ｜·｜ ｜＝4，于是 · ＝｜ ｜·
｜ ｜· cos A＝4× ＝2.
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11. 在钝角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若
a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是 .
【解析】 ∵△ABC是钝角三角形，a＝1，b＝2，且c是最大边，则由
余弦定理的推论得 cos C＝ ＜0，于是得c2＞a2＋b2＝12＋22＝
5，c＞0，解得c＞ ，而有c＜a＋b＝3，即 ＜c＜3，∴最大边c
的取值范围是(， 3).
(， 3)　
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12. (2025·杭州二中高一期中)已知△ABC满足3 · ＋4 · ＝
5 · ，则 cos A的最小值是 .
　
【解析】 设AB＝c，AC＝b，BC＝a，由3 · ＋4 · ＝
5 · ，得3×ab× ＋4×ac× ＝5bc× ，即a2＝ b2＋ c2，则 cos A＝ ＝ ≥ ＝ ，当且仅当 b2＝ c2时取等号，即 cos A的最小值是 .
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
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13. 如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1， CD＝3， cos B＝ .
(1)求△ACD的面积；
解：(1)∵∠D＝2∠B， cos B＝ ，∴ cos D＝
cos 2B＝2 cos 2B－1＝－ .∵D∈(0，π)，∴ sin D＝ ＝ .∵AD＝1，CD＝3，∴△ACD的面积为S＝ AD·CD· sin D＝
×1×3× ＝ .
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(2)若BC＝2 ，求AB的长.
解：(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC· cos D＝12，
∴AC＝2 .∵BC＝2 ， ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，∴AB＝4.
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14. (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 sin A＋ cos A＝2.
(1)求A；
解：(1)由 sin A＋ cos A＝2得 sin A＋ cos A＝1，即 sin ＝1，由A∈(0，π) A＋ ∈ ，∴A＋ ＝ ，解得A＝ .
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(2)若a＝2， b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长.
解：(2)由题设条件和正弦定理， b sin C＝c sin 2B sin B·
sin C＝2 sin C sin B cos B，
又B，C∈(0， π)，则 sin B sin C≠0，进而 cos B＝ ，
得到B＝ ，于是C＝π－A－B＝ ，
sin C＝ sin (π－A－B)＝ sin (A＋B)＝ sin A cos B＋ sin B· cos A＝ ，由正弦定理可得， ＝ ＝ ，
即 ＝ ＝ ，解得b＝2 ，c＝ ＋ ，
∴△ABC的周长为2＋ ＋3 .
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拓展突破练
15. 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且 sin2B＋
sin 2C－ sin 2A＋ sin B· sin C＝0，则A＝ ；若b＝2，c＝1，
＝ ，t∈[0，1]，则 － · 的取值范围是 .
　
[－5，9]　
【解析】 由 sin 2B＋ sin 2C－ sin 2A＋ sin B· sin C＝0及正弦定理，得b2＋
c2－a2＋bc＝0，由余弦定理可知 cos A＝ ＝－ ，又A∈(0， π)，∴A＝ .∵b＝2，c＝1，∴由余弦定理得a＝ ， cos B＝ ＝ ，∴ 与 的夹角的余弦值为－ .又 ＝ ，∴ ＝(1－t) ， · ＝(＋ )· ＝ · ＋ ＝7t－2，∴P － · ＝7(1－t)2－(7t－2)＝7t2－21t＋9，t∈[0，1]，∴ － ·
∈[－5，9].
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16. (2024·天津卷)在△ABC中， cos B＝ ，b＝5， ＝ .求：
(1)a的值；
解：(1)设a＝2t，c＝3t，t＞0，则根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac
cos B，即25＝4t2＋9t2－2×2t×3t× ，解得t＝2(负值已舍去)；
则a＝4，c＝6.
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(2) sin A；
解：(2)方法一 ∵B为三角形的一个内角，
∴ sin B＝ ＝ ＝ ，
由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得 sin A＝ .
方法二 由余弦定理得 cos A＝ ＝ ＝ ，
∵A∈(0， π)，则 sin A＝ ＝ .
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(3) cos (B－2A).
解：(3)∵ cos B＝ ＞0，且B∈(0， π)，∴B∈ ，
由(2)方法一知 sin B＝ ，
∵a＜b，则A＜B，∴ cos A＝ ＝ ，
则 sin 2A＝2 sin A cos A＝2× × ＝ ， cos 2A＝2 cos 2A－1＝
2× －1＝ ， cos (B－2A)＝ cos B cos 2A＋ sin B sin 2A＝ ×
＋ × ＝ .　
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166.4 练习6　余弦定理、正弦定理的综合应用
1. 钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC等于(　B　)
A. 5 B. C. 2 D. 1
【解析】 由三角形面积公式，得S＝AB·BC·sin B＝. 又AB＝1，BC＝，
∴sin B＝. ∵B∈(0，π)，∴B＝，或B＝. 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，当B＝时，得AC＝1，不符合△ABC为钝角三角形的要求，舍去；当B＝时，得AC＝(满足题意).
2. 在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于(　A　)
A. 4 B. C. D. 2
【解析】 ∵cos ＝，∴cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－. 在△ABC中，
由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，∴AB＝＝4.
3. 在△ABC中，已知4S△ABC＝a2＋b2－c2，则角C的度数为(　B　)
A. 135° B. 45° C. 60° D. 120°
【解析】 由4S△ABC＝a2＋b2－c2，得4×absin C＝2abcos C，解得tan C＝1.又角C为△ABC的内角，∴C＝45°.
4. 如图所示，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB的长为(　D　)
A. 4 B. 4 C. 8 D. 4
【解析】 ∵DC＝5，DA＝7，AC＝8，∴cos∠ADC＝＝，∴cos∠ADB＝－，∴sin∠ADB＝，又B＝45°，DA＝7，由正弦定理，可得＝，∴AB＝＝＝4.
5. (2024·河南濮阳高一期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋c2－b2＋2ac＝2bcsinA，则B等于(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，又a2＋c2－b2＋2ac＝2bcsin A，∴2accos B＋2ac＝2bcsin A，∴acos B＋a＝bsin A，由正弦定理可得sin Acos B＋sin A＝sin Bsin A，又A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴cos B＋1＝sin B，又sin2B＋cos2B＝1，解得cos B＝0，或cos B＝－1，又B∈(0，π)，∴cos B∈(－1，1)，∴cos B＝0，∴B＝.
6. 在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为(　C　)
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【解析】 如图所示，连接BD，
由余弦定理，得在△ABD中，BD2＝4＋16－2×2×4cos A＝20－16cos A，在△CBD中，BD2＝16＋36－2×4×6cos C＝52－48cos C，∵A＋C＝180°，∴20－16cos A＝52＋48cos A，解得cos A＝－，∴A＝120°，C＝60°.S＝S△ABD＋S△CBD＝×2×4×sin 120°＋×4×6×sin 60°＝8.
7. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，tanA＝，且B为钝角，则sinA＋sinC的取值范围是(　A　)
A. B. C. D.
【解析】 由tan A＝以及正弦定理得＝＝，∴sin B＝cos A，即sin B＝sin，又B为钝角，∴＋A∈，故B＝＋A，C＝π－(A＋B)＝－
2A＞0 A∈，于是sin A＋sin C＝sin A＋sin＝sin A＋cos 2A＝
－2sin2A＋sin A＋1＝－2＋，∵A∈，∴0＜sin A＜，
因此＜－2＋≤，即sin A＋sin C的取值范围是.
8. (多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝1，a2＋c2－b2＝ac，sin2B＝3sinAsinC，则(　ABD　)
A. B＝ B. ac＝
C. △ABC的面积为 D. △ABC的周长为＋1
【解析】 由a2＋c2－b2＝ac，有cos B＝＝，得B＝，A正确；∵sin2B＝3sin Asin C，由正弦定理有b2＝3ac，b＝1，得ac＝，B正确；△ABC的面积为acsin B＝××＝，C错误；∵a2＋c2－b2＝ac，∴b2＝1＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，解得a＋c＝，∴△ABC的周长为＋1，D正确.
9. (多选)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB＋sinB＝2，c＝2，则△ABC面积的值可以是(　BC　)
A. B. 1 C. D. 2
【解析】 ∵cos B＋sin B＝2，∴sin＝1，又B为锐角，∴B＝，∴A＋C＝.根据正弦定理＝，得a＝＝，∴S△ABC＝ac·sin B＝a＝·＝＝＝.∵∴＜A＜，∴tan A＞，∴0＜＜，＜＋＜2，∴＜＜2，∴△ABC面积的取值范围是.
10. 已知△ABC的面积S＝，A＝，则·＝　2　.
【解析】 S△ABC＝·｜｜·｜｜·sin A，即＝·｜｜·｜｜·，
∴｜｜·｜｜＝4，于是·＝｜｜·｜｜·cos A＝4×＝2.
11. 在钝角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是　(， 3)　.
【解析】 ∵△ABC是钝角三角形，a＝1，b＝2，且c是最大边，则由余弦定理的推论得cos C＝＜0，于是得c2＞a2＋b2＝12＋22＝5，c＞0，解得c＞，而有c＜a＋b＝3，即＜c＜3，∴最大边c的取值范围是(， 3).
12. (2025·杭州二中高一期中)已知△ABC满足3·＋4·＝5·，
则cos A的最小值是　　.
【解析】 设AB＝c，AC＝b，BC＝a，由3·＋4·＝5·，得3×ab×＋4×ac×＝5bc×，即a2＝b2＋c2，则cos A＝＝≥＝，当且仅当b2＝c2时取等号，即cos A的最小值是.
13. 如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1， CD＝3，cosB＝.
(1)求△ACD的面积；
解：(1)∵∠D＝2∠B，cos B＝，∴cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－.∵D∈(0，π)，∴sin D＝＝.∵AD＝1，CD＝3，∴△ACD的面积为S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝.
(2)若BC＝2，求AB的长.
解：(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，∴AC＝2.∵BC＝2，＝，
∴＝＝＝，∴AB＝4.
14. (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A；
解：(1)由sin A＋cos A＝2得sin A＋cos A＝1，即sin＝1，由A∈(0，π) A＋∈，∴A＋＝，解得A＝.
(2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长.
解：(2)由题设条件和正弦定理，bsin C＝csin 2B sin B·sin C＝
2sin Csin Bcos B，又B，C∈(0， π)，则sin Bsin C≠0，进而cos B＝，
得到B＝，于是C＝π－A－B＝，
Sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin B·cos A＝，由正弦定理可得，＝＝，
即＝＝，解得b＝2，c＝＋，
∴△ABC的周长为2＋＋3.
15. 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且sin2B＋sin2C－sin2A＋sinB·sinC＝0，则A＝　　；若b＝2，c＝1，＝，t∈[0，1]，则－·的取值范围是　[－5，9]　.
【解析】 由sin2B＋sin2C－sin2A＋sinB·sinC＝0及正弦定理，得b2＋c2－a2＋bc＝0，由余弦定理可知cosA＝＝－，又A∈(0， π)，∴A＝.∵b＝2，c＝1，∴由余弦定理得a＝，cosB＝＝，∴与的夹角的余弦值为
－.又＝，∴＝(1－t)，·＝(＋)·＝·＋＝7t－2，∴P－·＝7(1－t)2－(7t－2)＝7t2－21t＋9，t∈[0，1]，∴－·∈[－5，9].
16. (2024·天津卷)在△ABC中，cos B＝，b＝5，＝.求：
(1)a的值；
解：(1)设a＝2t，c＝3t，t＞0，则根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
即25＝4t2＋9t2－2×2t×3t×，解得t＝2(负值已舍去)；则a＝4，c＝6.
(2)sin A；
解：(2)方法一 ∵B为三角形的一个内角，
∴sin B＝＝＝，
由正弦定理得＝，即＝，解得sin A＝.
方法二 由余弦定理得cos A＝＝＝，
∵A∈(0， π)，则sin A＝＝.
(3)cos(B－2A).
解：(3)∵cos B＝＞0，且B∈(0， π)，∴B∈，
由(2)方法一知sin B＝，
∵a＜b，则A＜B，∴cos A＝＝，
则sin 2A＝2sin Acos A＝2××＝，cos 2A＝2cos2A－1＝2×－1＝，cos(B－2A)＝cos Bcos 2A＋sin Bsin 2A＝×＋×＝.　6.4 练习6　余弦定理、正弦定理的综合应用
1. 钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC等于(　 　)
A. 5 B. C. 2 D. 1
2. 在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于(　 　)
A. 4 B. C. D. 2
3. 在△ABC中，已知4S△ABC＝a2＋b2－c2，则角C的度数为(　 　)
A. 135° B. 45° C. 60° D. 120°
4. 如图所示，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB的长为(　 　)
A. 4 B. 4 C. 8 D. 4
5. (2024·河南濮阳高一期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋c2－b2＋2ac＝2bcsinA，则B等于(　 　)
A. B. C. D.
6. 在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为(　 　)
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
7. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，tanA＝，且B为钝角，则sinA＋sinC的取值范围是(　 　)
A. B. C. D.
8. (多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝1，a2＋c2－b2＝ac，sin2B＝3sinAsinC，则(　 　)
A. B＝ B. ac＝
C. △ABC的面积为 D. △ABC的周长为＋1
9. (多选)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB＋sinB＝2，c＝2，则△ABC面积的值可以是(　 　)
A. B. 1 C. D. 2
10. 已知△ABC的面积S＝，A＝，则·＝ .
11. 在钝角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是 .
12. (2025·杭州二中高一期中)已知△ABC满足3·＋4·＝5·，
则cos A的最小值是 .
13. 如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1， CD＝3，cosB＝.
(1)求△ACD的面积；
(2)若BC＝2，求AB的长.
14. (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A；
(2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长.
15. 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且sin2B＋sin2C－sin2A＋sinB·sinC＝0，则A＝ ；若b＝2，c＝1，＝，t∈[0，1]，则－·的取值范围是 .
16. (2024·天津卷)在△ABC中，cos B＝，b＝5，＝.求：
(1)a的值；
(2)sin A；
(3)cos(B－2A).

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