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一、复数的概念
练习1　数系的扩充和复数的概念
复　数
第七章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
1. 以2i－ 的虚部为实部，以 i－2的实部为虚部的新复数是
(　B　)
A. 2＋i B. 2－2i
C. － ＋ i D. ＋ i
【解析】 以2i－ 的虚部2为实部，以 i－2的实部－2为虚部的新复
数是2－2i.
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2. 若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则a的值为(　D　)
A. 0 B. 1 C. －1 D. 1或－1
【解析】 若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则a2－1＝0，
∴a＝±1.
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3. 若A，B，C分别表示复数集、实数集和纯虚数集，则(　D　)
A. A＝B∪C B. B∪C＝{0}
C. B＝A∩C D. B∩C＝
【解析】 ∵A，B，C分别表示复数集、实数集和纯虚数集，
∴A B，A C，B∩C＝ .
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4. 下列复数中，满足方程x2＋10＝0的是(　C　)
A. ±10 B. ± C. ± i D. ±10i
【解析】 ∵x2＋10＝0，∴x2＝－10＝10i2，∴x＝± i.
C
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5. (2025·湖南长沙阶段练习)复数z＝a2－b2＋(a＋｜a｜)i(a，b∈R)为
实数的充要条件是(　A　)
A. a≤0 B. a＜0，且a＝－b
C. a＞0，且a≠b D. a＞0，且a＝｜b｜
【解析】 若复数z＝a2－b2＋(a＋｜a｜)i(a，b∈R)为实数，则有
a＋｜a｜＝0，∴a≤0.
A
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6. 下列结论中，正确结论的个数是(　A　)
①两个复数不能比较大小；
②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2；
③若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i必为纯虚数.
A
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】 对于①，两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小
的，①错误；对于②，设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)，z2＝c＋
di(c，d∈R，且d≠0)，∵b＝d，∴z2＝c＋bi.当a＝c时，z1＝z2；
当a≠c时，z1≠z2，②错误；对于③，当a＝b≠0时，(a－b)＋(a＋
b)i是纯虚数；当a＝b＝0时，(a－b)＋(a＋b)i＝0是实数，③错误.
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7. 已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2 cos θ＋(λ＋3 sin θ)i(λ，θ∈R).若z1＝z2，则λ的取值范围是(　A　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵z1＝z2，∴ 消去m得4 sin 2θ＝λ＋3
sin θ，∴λ＝4 － .∵－1≤ sin θ≤1，∴当 sin θ＝ 时，λ
取得最小值－ ，当 sin θ＝－1时，λ取得最大值7，∴－ ≤λ≤7，即
λ的取值范围是 .
A
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8. (多选)对于复数z＝a＋bi(a， b∈R)，下列结论中，错误的有(　AB　)
A. 若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B. 若a－bi＝3＋2i，则a＝3，b＝2
C. 若b＝0，则a＋bi为实数 D. 纯虚数z的共轭复数是－z
AB
【解析】 ∵z＝a＋bi(a，b∈R)，∴当a＝0，且b≠0时复数z为纯虚
数，此时 ＝－bi＝－z，A错误，D正确；当b＝0时，复数z为实数，
C正确；a－bi＝3＋2i，则 即 B错误.
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9. (多选)下列说法中，正确的有(　AD　)
A. 1＋i2＝0
B. 若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i
C. 若x2＋y2＝0，则x＝y＝0
D. 若z＝(a－1)＋(a2＋2a－3)i＞－2，a∈R，则a＝1
【解析】 对于A，∵i2＝－1，∴1＋i2＝0，A正确；对于B，两个虚数不
能比较大小，B错误；对于C，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0，C错误；
对于D，若z＝(a－1)＋(a2＋2a－3)i＞－2，则 解
得a＝1，D正确.
AD
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10. 若复数z＝(m2－16)＋(m2－3m－4)i为实数0，则实数m的值是 .
【解析】 由题意得 解得m＝4.
4　
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11. 定义：复数b＋ai是z＝a＋bi(a，b∈R)的转置复数，已知a，
b∈R，i是虚数单位.若a＋2i＝1－bi，则复数z＝a＋bi的转置复数
是 .
【解析】 由a＋2i＝1－bi，得a＝1，b＝－2，∴复数z＝a＋bi＝1－
2i，故复数z＝1－2i的转置复数是－2＋i.
－2＋i　
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12. 定义运算 ＝ad－bc，若(x＋y)＋(x＋3)i＝ ，
x，y∈R，则z＝y－xi＝ .
【解析】 由题意得(x＋y)＋(x＋3)i＝(3x＋2y)＋yi，∴x＋y＝3x＋
2y，x＋3＝y，解得x＝－1，y＝2，∴z＝y－xi＝2＋i.
2＋i　
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13. 已知复数z＝ ＋(m2－2m－15)i，求当实数m为何值时，复
数z满足下列情况.
(1)z是虚数；
解：(1)当 即m≠5，且m≠－3时，z是虚数.
(2)z是纯虚数.
解：(2)当 即m＝3，或m＝－2时，z是纯虚数.
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14. 已知关于x的方程x2＋(2－3i)x＋5mi＋i＝0有实数根，求纯虚数m.
解：由于m是纯虚数，可设m＝bi(b∈R，且b≠0).
设方程的实数根为a，则代入原方程整理得(a2＋2a－5b)＋
(1－3a)i＝0.
∵a，b∈R，∴由复数相等的充要条件，
得 解得b＝ ，∴纯虚数m＝ i.
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15. 已知复数z1＝2＋mi(m∈R)，z2＝tanθ＋i cos 2θ(θ∈R).若z1＝z2，
则实数m＝ .
【解析】∵复数z1＝2＋mi(m∈R)，z2＝tanθ＋i cos 2θ(θ∈R)，且z1＝z2，∴ ∴m＝ cos 2θ＝ ＝ ＝ ＝－ .
－ 　
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16. 已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N M，且M∩N≠ ，求整数a，b的值.
解：由题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i①，
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i②，
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i③，
由①，得a＝－3，b＝±2，
由②，得a＝±3，b＝－2，
③中，a，b无整数解，不符合题意.
综上，a＝－3，b＝2，或a＝－3，b＝－2，或a＝3，b＝－2.
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167.1 练习1　数系的扩充和复数的概念
1. 以2i－的虚部为实部，以i－2的实部为虚部的新复数是(　 　)
A. 2＋i B. 2－2i C. －＋i D. ＋i
2. 若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则a的值为(　 　)
A. 0 B. 1 C. －1 D. 1或－1
3. 若A，B，C分别表示复数集、实数集和纯虚数集，则(　 　)
A. A＝B∪C B. B∪C＝{0} C. B＝A∩C D. B∩C＝
4. 下列复数中，满足方程x2＋10＝0的是(　 　)
A. ±10 B. ± C. ±i D. ±10i
5. (2025·湖南长沙阶段练习)复数z＝a2－b2＋(a＋｜a｜)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　 　)
A. a≤0 B. a＜0，且a＝－b
C. a＞0，且a≠b D. a＞0，且a＝｜b｜
6. 下列结论中，正确结论的个数是(　 　)
①两个复数不能比较大小；
②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2；
③若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i必为纯虚数.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R).若z1＝z2，则λ的取值范围是(　 　)
A. B. C. D.
8. (多选)对于复数z＝a＋bi(a， b∈R)，下列结论中，错误的有(　 　)
A. 若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B. 若a－bi＝3＋2i，则a＝3，b＝2
C. 若b＝0，则a＋bi为实数
D. 纯虚数z的共轭复数是－z
9. (多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 1＋i2＝0
B. 若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i
C. 若x2＋y2＝0，则x＝y＝0
D. 若z＝(a－1)＋(a2＋2a－3)i＞－2，a∈R，则a＝1
10. 若复数z＝(m2－16)＋(m2－3m－4)i为实数0，则实数m的值是 .
11. 定义：复数b＋ai是z＝a＋bi(a，b∈R)的转置复数，已知a，b∈R，i是虚数单位.若a＋2i＝1－bi，则复数z＝a＋bi的转置复数是 .
12. 定义运算＝ad－bc，若(x＋y)＋(x＋3)i＝，x，y∈R，则z＝y－xi＝ .
13. 已知复数z＝＋(m2－2m－15)i，求当实数m为何值时，复数z满足下列情况.
(1)z是虚数；
(2)z是纯虚数.
14. 已知关于x的方程x2＋(2－3i)x＋5mi＋i＝0有实数根，求纯虚数m.
15. 已知复数z1＝2＋mi(m∈R)，z2＝tan θ＋icos 2θ(θ∈R).若z1＝z2，则实数m＝ .
16. 已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N M，且M∩N≠ ，求整数a，b的值.7.1 练习1　数系的扩充和复数的概念
1. 以2i－的虚部为实部，以i－2的实部为虚部的新复数是(　B　)
A. 2＋i B. 2－2i C. －＋i D. ＋i
【解析】 以2i－的虚部2为实部，以i－2的实部－2为虚部的新复数是2－2i.
2. 若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则a的值为(　D　)
A. 0 B. 1 C. －1 D. 1或－1
【解析】 若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则a2－1＝0，∴a＝±1.
3. 若A，B，C分别表示复数集、实数集和纯虚数集，则(　D　)
A. A＝B∪C B. B∪C＝{0} C. B＝A∩C D. B∩C＝
【解析】 ∵A，B，C分别表示复数集、实数集和纯虚数集，∴A B，A C，B∩C＝ .
4. 下列复数中，满足方程x2＋10＝0的是(　C　)
A. ±10 B. ± C. ±i D. ±10i
【解析】 ∵x2＋10＝0，∴x2＝－10＝10i2，∴x＝±i.
5. (2025·湖南长沙阶段练习)复数z＝a2－b2＋(a＋｜a｜)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　A　)
A. a≤0 B. a＜0，且a＝－b
C. a＞0，且a≠b D. a＞0，且a＝｜b｜
【解析】 若复数z＝a2－b2＋(a＋｜a｜)i(a，b∈R)为实数，则有a＋｜a｜＝0，∴a≤0.
6. 下列结论中，正确结论的个数是(　A　)
①两个复数不能比较大小；
②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2；
③若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i必为纯虚数.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】 对于①，两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，①错误；
对于②，设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)，z2＝c＋di(c，d∈R，且d≠0)，∵b＝d，∴z2＝c＋bi.当a＝c时，z1＝z2；当a≠c时，z1≠z2，②错误；对于③，当a＝b≠0时，(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数；当a＝b＝0时，(a－b)＋(a＋b)i＝0是实数，
③错误.
7. 已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R).若z1＝z2，则λ的取值范围是(　A　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵z1＝z2，∴消去m得4sin2θ＝λ＋3sin θ，∴λ＝4－.∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝时，λ取得最小值－，当sin θ＝－1时，λ取得最大值7，∴－≤λ≤7，即λ的取值范围是.
8. (多选)对于复数z＝a＋bi(a， b∈R)，下列结论中，错误的有(　AB　)
A. 若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B. 若a－bi＝3＋2i，则a＝3，b＝2
C. 若b＝0，则a＋bi为实数
D. 纯虚数z的共轭复数是－z
【解析】 ∵z＝a＋bi(a，b∈R)，∴当a＝0，且b≠0时复数z为纯虚数，此时＝－bi＝－z，A错误，D正确；当b＝0时，复数z为实数，C正确；a－bi＝3＋2i，则即B错误.
9. (多选)下列说法中，正确的有(　AD　)
A. 1＋i2＝0
B. 若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i
C. 若x2＋y2＝0，则x＝y＝0
D. 若z＝(a－1)＋(a2＋2a－3)i＞－2，a∈R，则a＝1
【解析】 对于A，∵i2＝－1，∴1＋i2＝0，A正确；对于B，两个虚数不能比较大小，B错误；对于C，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0，C错误；对于D，若z＝(a－1)＋(a2＋2a－3)i＞－2，则解得a＝1，D正确.
10. 若复数z＝(m2－16)＋(m2－3m－4)i为实数0，则实数m的值是　4　.
【解析】 由题意得解得m＝4.
11. 定义：复数b＋ai是z＝a＋bi(a，b∈R)的转置复数，已知a，b∈R，i是虚数单位.若a＋2i＝1－bi，则复数z＝a＋bi的转置复数是　－2＋i　.
【解析】 由a＋2i＝1－bi，得a＝1，b＝－2，∴复数z＝a＋bi＝1－2i，故复数z＝1－2i的转置复数是－2＋i.
12. 定义运算＝ad－bc，若(x＋y)＋(x＋3)i＝，x，y∈R，则z＝y－xi＝　2＋i　.
【解析】 由题意得(x＋y)＋(x＋3)i＝(3x＋2y)＋yi，∴x＋y＝3x＋2y，x＋3＝y，解得x＝－1，y＝2，∴z＝y－xi＝2＋i.
13. 已知复数z＝＋(m2－2m－15)i，求当实数m为何值时，复数z满足下列情况.
(1)z是虚数；
解：(1)当即m≠5，且m≠－3时，z是虚数.
(2)z是纯虚数.
解：(2)当即m＝3，或m＝－2时，z是纯虚数.
14. 已知关于x的方程x2＋(2－3i)x＋5mi＋i＝0有实数根，求纯虚数m.
解：由于m是纯虚数，可设m＝bi(b∈R，且b≠0).
设方程的实数根为a，则代入原方程整理得(a2＋2a－5b)＋(1－3a)i＝0.
∵a，b∈R，∴由复数相等的充要条件，
得解得b＝，∴纯虚数m＝i.
15. 已知复数z1＝2＋mi(m∈R)，z2＝tan θ＋icos 2θ(θ∈R).若z1＝z2，则实数m＝　－　.
【解析】∵复数z1＝2＋mi(m∈R)，z2＝tan θ＋icos 2θ(θ∈R)，且z1＝z2，∴∴m＝cos2θ＝＝＝＝－.
16. 已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N M，且M∩N≠ ，求整数a，b的值.
解：由题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i①，
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i②，
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i③，
由①，得a＝－3，b＝±2，
由②，得a＝±3，b＝－2，
③中，a，b无整数解，不符合题意.
综上，a＝－3，b＝2，或a＝－3，b＝－2，或a＝3，b＝－2.

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