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7.1 练习2　复数的几何意义
1. (2025·黑龙江学业考试)如图所示，复平面内点P所表示的复数为(每个小方格的边长为1)(　 　)
A. 2＋2i B. 3＋i C. 3＋3i D. 3＋2i
2. (2024·云南红河阶段练习)已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1， 2)，则等于(　 　)
A. －1＋2i B. 1＋2i C. 1－2i D. －1－2i
3. 设x＋xi＝1＋yi，其中x，y∈R，i为虚数单位，则x－yi在复平面内对应的点位于(　 　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为(　 　)
A. －1＋i B. 1－i C. －5－5i D. 5＋5i
5. 已知复数z的模为2，则｜z－i｜的最大值为(　 　)
A. 1 B. 2 C. D. 3
6. 已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z对应的点的集合是(　 　)
A. 1个圆 B. 线段 C. 2个点 D. 2个圆
7. (2024·河南开封阶段练习)若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且
z1＝1＋i，则复数z2等于(　 　)
A. －1－i B. －1＋i C. 1＋i D. 1－i
8. (多选)已知复数z＝1＋i(其中i为虚数单位)，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 复数z的虚部为i
B. ｜z｜＝
C. 复数z的共轭复数＝1－i
D. 复数z在复平面内对应的点位于第一象限
9. (多选)已知z1，z2为复数，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 若z1＝z2，则｜z1｜＝｜z2｜
B. 若z1≠z2，则｜z1｜和｜z2｜可能相等
C. 若z1＞z2，则｜z1｜＞｜z2｜
D. 若｜z1｜＞｜z2｜，则z1＞z2
10. 复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点位于第四象限，则实数x的取值范围是 .
11. 复数z＝2＋ai(a∈R，i为虚数单位)，在复平面内对应的点在直线x－3y＋1＝0上，则＝ .
12. (2025·广东广州期末)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且｜z｜＝2，则z＝ (写出一个即可).
13. 在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模.
①z1＝1－i；　②z2＝－＋i；　③z3＝－2；　④z4＝2＋2i.
14. 在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋与对应的复数及A，B两点之间的距离.
15. 欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占据非常重要的地位.特别是当x＝π时，eix＋1＝0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，e5i表示的复数在复平面内位于(　 　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
16. 在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量O，O，O，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面内的位置关系.(共20张PPT)
一、复数的概念
练习2　复数的几何意义
复　数
第七章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
1. (2025·黑龙江学业考试)如图所示，复平面内点P所表示的复数为(每
个小方格的边长为1)(　D　)
A. 2＋2i B. 3＋i C. 3＋3i D. 3＋2i
【解析】 由题意可知，点P的坐标为(3， 2)，
∴复平面内点P所表示的复数为3＋2i.
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2. (2024·云南红河阶段练习)已知复数z在复平面内对应的点的坐标为
(－1， 2)，则 等于(　D　)
A. －1＋2i B. 1＋2i
C. 1－2i D. －1－2i
【解析】 由题意知，z＝－1＋2i，故 ＝－1－2i.
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3. 设x＋xi＝1＋yi，其中x，y∈R，i为虚数单位，则x－yi在复平面
内对应的点位于(　D　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 ∵x＋xi＝1＋yi，∴x＝y＝1，∴x－yi＝1－i，∴复数1－i
在复平面内对应的点在第四象限.
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4. 设O为原点，向量 ， 对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那
么向量 对应的复数为(　D　)
A. －1＋i B. 1－i C. －5－5i D. 5＋5i
【解析】 由题意知， ＝(2，3)， ＝(－3，－2)，∴ ＝ －
＝(5，5)，∴向量 对应的复数为5＋5i.
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5. 已知复数z的模为2，则｜z－i｜的最大值为(　D　)
A. 1 B. 2 C. D. 3
【解析】∵｜z｜＝2，∴复数z对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径
的圆，而｜z－i｜表示圆上一点到点(0，1)的距离，∴｜z－i｜的最大
值为圆上一点(0，－2)到(0，1)的距离，易知此距离为3.
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6. 已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z对应的点的集合是
(　A　)
A. 1个圆 B. 线段 C. 2个点 D. 2个圆
【解析】 由题意知(｜z｜－3)(｜z｜＋1)＝0，即｜z｜＝3，或｜z｜＝－1.∵｜z｜≥0，∴｜z｜＝3，∴复数z对应的点的集合是以坐标原
点为圆心，3为半径的圆.
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7. (2024·河南开封阶段练习)若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴
对称，且z1＝1＋i，则复数z2等于(　B　)
A. －1－i B. －1＋i C. 1＋i D. 1－i
【解析】 根据复数的几何意义，z1＝1＋i对应复平面的点是(1， 1)，关
于y轴对称得到的点是(－1，1)，对应的复数是z2＝－1＋i.
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8. (多选)已知复数z＝1＋i(其中i为虚数单位)，则下列说法中，正确的
有(　BCD　)
A. 复数z的虚部为i
B. ｜z｜＝
C. 复数z的共轭复数 ＝1－i
D. 复数z在复平面内对应的点位于第一象限
【解析】 ∵复数z＝1＋i，∴其虚部为1，A错误；｜z｜＝ ＝
，B正确；复数z的共轭复数 ＝1－i，C正确；复数z在复平面内对
应的点为(1， 1)，显然位于第一象限.
BCD
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9. (多选)已知z1，z2为复数，则下列说法中，正确的有(　AB　)
A. 若z1＝z2，则｜z1｜＝｜z2｜
B. 若z1≠z2，则｜z1｜和｜z2｜可能相等
C. 若z1＞z2，则｜z1｜＞｜z2｜
D. 若｜z1｜＞｜z2｜，则z1＞z2
AB
【解析】 ∵当两个复数相等时，模一定相等，∴A正确；当两个复数不
相等时，它们的模有可能相等，比如1－i≠1＋i，但｜1－i｜＝｜1＋
i｜，∴B正确；若z1＞z2，则z1，z2为实数，当z1＝1，z2＝－2时，满
足z1＞z2，但｜z1｜＜｜z2｜，C错误；∵两个虚数之间的关系只有相
等与不相等，不能比较大小，∴D错误.
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10. 复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点位于第四象限，则实数
x的取值范围是 .
【解析】 ∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，∴
解得x＞3.
(3，＋∞)　
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11. 复数z＝2＋ai(a∈R，i为虚数单位)，在复平面内对应的点在直线
x－3y＋1＝0上，则 ＝ .
【解析】 ∵复数z＝2＋ai(a∈R)在复平面内对应的点(2， a)在直线x－
3y＋1＝0上，∴2－3a＋1＝0，即a＝1.∴z＝2＋i，则 ＝2－i.
2－i　
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12. (2025·广东广州期末)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，
且｜z｜＝2，则z＝ (写出一个即可).
【解析】 设z＝a＋bi，a，b∈R，∵复数z在复平面内对应的点位于
第二象限，∴a＜0，b＞0，又｜z｜＝2，∴a2＋b2＝4，显然当a＝
－1，b＝ 时，符合题意.
－1＋ i(答案不唯一)　
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
13. 在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模.
①z1＝1－i；　②z2＝－ ＋ i；　③z3＝－2；　④z4＝2＋2i.
解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，Z2 ， Z3(－2， 0)，
Z4(2， 2)，则向量O ，O ，O ，O 分别为复数z1，z2，z3，
z4对应的向量，如图所示.
各复数的模分别为｜z1｜＝ ＝ ；｜z2｜＝
＝1；｜z3｜＝ ＝2；
｜z4｜＝ ＝2 .
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14. 在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是 与 ，
其中O是原点，求向量 ＋ 与 对应的复数及A，B两点之间
的距离.
解：∵复数－3－i与5＋i对应的向量分别是 与 ，其中O是原点，
∴ ＝(－3，－1)， ＝(5，1)，∴ ＋ ＝(－3，－1)＋(5，
1)＝(2，0)，∴向量 ＋ 对应的复数是2，又 ＝ － ＝
(－3，－1)－(5，1)＝(－8，－2)，∴ 对应的复数是－8－2i，A，B两点之间的距离｜ ｜＝ ＝2 .
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拓展突破练
必备知识练
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拓展突破练
15. 欧拉公式eix＝ cos x＋i sin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占据非常重要的地位.特别是当x＝π时，
eix＋1＝0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，e5i表示的复数在复平面内位于(　D　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
D
【解析】 ∵ ＜5＜2π，即5弧度的角位于第四象限，则 cos 5＞0，
sin 5＜0，∴复数e5i＝ cos 5＋i sin 5在复平面内对应的点位于第四象限.
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16. 在复平面内画出复数z1＝ ＋ i，z2＝－1，z3＝ － i对应的向O ，O ，O ，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面内的位置关系.
解：根据复数与复平面内的点一一对应，可知点Z1，Z2，Z3
的坐标分别为 ，(－1，0)， ，则向量
O ，O ，O ， 如图所示.
｜z1｜＝ ＝1，｜z2｜＝｜－1｜＝1，｜z3｜＝
＝1.在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，
且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上.
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167.1 练习2　复数的几何意义
1. (2025·黑龙江学业考试)如图所示，复平面内点P所表示的复数为(每个小方格的边长为1)(　D　)
A. 2＋2i B. 3＋i C. 3＋3i D. 3＋2i
【解析】 由题意可知，点P的坐标为(3， 2)，∴复平面内点P所表示的复数为3＋2i.
2. (2024·云南红河阶段练习)已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1， 2)，则等于(　D　)
A. －1＋2i B. 1＋2i C. 1－2i D. －1－2i
【解析】 由题意知，z＝－1＋2i，故＝－1－2i.
3. 设x＋xi＝1＋yi，其中x，y∈R，i为虚数单位，则x－yi在复平面内对应的点位于(　D　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 ∵x＋xi＝1＋yi，∴x＝y＝1，∴x－yi＝1－i，∴复数1－i在复平面内对应的点在第四象限.
4. 设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为(　D　)
A. －1＋i B. 1－i C. －5－5i D. 5＋5i
【解析】 由题意知，＝(2，3)，＝(－3，－2)，∴＝－＝(5，5)，
∴向量对应的复数为5＋5i.
5. 已知复数z的模为2，则｜z－i｜的最大值为(　D　)
A. 1 B. 2 C. D. 3
【解析】∵｜z｜＝2，∴复数z对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
而｜z－i｜表示圆上一点到点(0，1)的距离，∴｜z－i｜的最大值为圆上一点
(0，－2)到(0，1)的距离，易知此距离为3.
6. 已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z对应的点的集合是(　A　)
A. 1个圆 B. 线段 C. 2个点 D. 2个圆
【解析】 由题意知(｜z｜－3)(｜z｜＋1)＝0，即｜z｜＝3，或｜z｜＝－1.∵｜z｜≥0，∴｜z｜＝3，∴复数z对应的点的集合是以坐标原点为圆心，3为半径的圆.
7. (2024·河南开封阶段练习)若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且
z1＝1＋i，则复数z2等于(　B　)
A. －1－i B. －1＋i C. 1＋i D. 1－i
【解析】 根据复数的几何意义，z1＝1＋i对应复平面的点是(1， 1)，关于y轴对称得到的点是(－1，1)，对应的复数是z2＝－1＋i.
8. (多选)已知复数z＝1＋i(其中i为虚数单位)，则下列说法中，正确的有(　BCD　)
A. 复数z的虚部为i
B. ｜z｜＝
C. 复数z的共轭复数＝1－i
D. 复数z在复平面内对应的点位于第一象限
【解析】 ∵复数z＝1＋i，∴其虚部为1，A错误；｜z｜＝＝，B正确；复数z的共轭复数＝1－i，C正确；复数z在复平面内对应的点为(1， 1)，显然位于第一象限.
9. (多选)已知z1，z2为复数，则下列说法中，正确的有(　AB　)
A. 若z1＝z2，则｜z1｜＝｜z2｜
B. 若z1≠z2，则｜z1｜和｜z2｜可能相等
C. 若z1＞z2，则｜z1｜＞｜z2｜
D. 若｜z1｜＞｜z2｜，则z1＞z2
【解析】 ∵当两个复数相等时，模一定相等，∴A正确；当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如1－i≠1＋i，但｜1－i｜＝｜1＋i｜，∴B正确；若z1＞z2，则z1，z2为实数，当z1＝1，z2＝－2时，满足z1＞z2，但｜z1｜＜｜z2｜，C错误；∵两个虚数之间的关系只有相等与不相等，不能比较大小，∴D错误.
10. 复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点位于第四象限，则实数x的取值范围是　(3，＋∞)　.
【解析】 ∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，∴解得x＞3.
11. 复数z＝2＋ai(a∈R，i为虚数单位)，在复平面内对应的点在直线x－3y＋1＝0上，则＝　2－i　.
【解析】 ∵复数z＝2＋ai(a∈R)在复平面内对应的点(2， a)在直线x－3y＋1＝0上，∴2－3a＋1＝0，即a＝1.∴z＝2＋i，则＝2－i.
12. (2025·广东广州期末)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且｜z｜＝2，则z＝　－1＋i(答案不唯一)　(写出一个即可).
【解析】 设z＝a＋bi，a，b∈R，∵复数z在复平面内对应的点位于第二象限，
∴a＜0，b＞0，又｜z｜＝2，∴a2＋b2＝4，显然当a＝－1，b＝时，符合题意.
13. 在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模.
①z1＝1－i；　②z2＝－＋i；　③z3＝－2；　④z4＝2＋2i.
解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，Z2， Z3(－2， 0)，Z4(2， 2)，则向量，，，分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示.
各复数的模分别为｜z1｜＝＝；｜z2｜＝＝1；
｜z3｜＝＝2；｜z4｜＝＝2.
14. 在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋与对应的复数及A，B两点之间的距离.
解：∵复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，
∴＝(－3，－1)，＝(5，1)，∴＋＝(－3，－1)＋(5，1)＝(2，0)，
∴向量＋对应的复数是2，
又＝－＝(－3，－1)－(5，1)＝(－8，－2)，
∴对应的复数是－8－2i，A，B两点之间的距离｜｜＝＝2.
15. 欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占据非常重要的地位.特别是当x＝π时，eix＋1＝0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，e5i表示的复数在复平面内位于(　D　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 ∵＜5＜2π，即5弧度的角位于第四象限，则cos 5＞0，sin 5＜0，
∴复数e5i＝cos 5＋isin 5在复平面内对应的点位于第四象限.
16. 在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量O，O，O，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面内的位置关系.
解：根据复数与复平面内的点一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，(－1，0)，，则向量，，， 如图所示.
｜z1｜＝＝1，｜z2｜＝｜－1｜＝1，｜z3｜＝＝1.
在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，
1为半径的圆上.

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