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7.2 练习1　复数的加、减运算及其几何意义
1. 若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　 　)
A. －2 B. 4 C. 3 D. －4
2. (2024·贵州黔东南一模)已知复数z1＝12－3i，z2＝－9＋i，则z1＋z2的实部与虚部分别为(　 　)
A. 3，－2 B. 3，－2i
C. 2，－3 D. 2，－3i
3. 如图所示，在复平面内，复数z1，z2所对应的点分别为A，B，则｜｜等于(　 　)
A. ｜z1｜－｜z2｜ B. ｜z1｜＋｜z2｜
C. ｜z1－z2｜ D. ｜z1＋z2｜
4. (2025·江苏南通阶段练习)在复平面内，O为原点，i为虚数单位，复数z对应的向量＝(1， 2)，则｜z－i｜等于(　 　)
A. 3 B. C. 2 D.
5. (2024·丽水五校高一期中)已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，i是虚数单位.若z－2＝2＋3i，则复数z的虚部为(　 　)
A. B. 2 C. i D. 2i
6. △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足｜z－z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，则z对应的点是△ABC的(　 　)
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
7. 复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则｜z1－z2｜的最大值是(　 　)
A. 3－2 B. －1 C. 3＋2 D. ＋1
8. (多选)设复数z的共轭复数为，若z－＝－14i，｜｜＝5，则z可能为(　 　)
A. 1－7i B. 1＋7i C. －1－7i D. －1＋7i
9. (多选)已知复数z1＝2－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，复数z2满足｜z2－i｜＝1，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. 点P1的坐标为(2，－2)
B. ＝2＋2i
C. ｜z1－z2｜的最大值是＋1
D. ｜z1－z2｜的最小值是－1
10. 计算：｜(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)｜＝ .
11. (2024·北京开学考试)已知复数z满足－z＝2i，则z的虚部为 .
12. (2025·河南开封模拟)已知复数z满足｜z＋2i｜＝｜z｜，写出一个满足条件的复数：z＝ .
13. 计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；
(2)＋(2－i)－；
(3)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.
14. 在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求点D对应的复数z4及AD的长.
15. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马(1601—1665)于1643年提出的平面几何极值问题：已知一个三角形，求作一点，使其到此三角形的三个顶点的距离之和最小.费马问题中所求的点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即为费马点.根据以上材料，若z∈C，则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋｜z＋2i｜的最小值是(　 　)
A. 2－2 B. 2＋2 C. －1 D. ＋1
16. (2025·安庆一中高一期中)定义一种运算：(a，b)＝ac＋bd.
(1)已知z为复数，且(3，)＝7－3i，求｜z｜；
(2)已知x，y为实数，(y＋sin 2x，2)－(1，sin2x)也是实数，将y表示为x的函数.(共23张PPT)
二、复数的四则运算
练习1　复数的加、减运算及其几何意义
复　数
第七章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
1. 若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　B　)
A. －2 B. 4 C. 3 D. －4
【解析】 z＝1－(3－4i)＝－2＋4i.
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2. (2024·贵州黔东南一模)已知复数z1＝12－3i，z2＝－9＋i，则z1＋z2
的实部与虚部分别为(　A　)
A. 3，－2 B. 3，－2i
C. 2，－3 D. 2，－3i
【解析】 ∵z1＝12－3i，z2＝－9＋i，∴z1＋z2＝3－2i，其实部与虚部
分别为3，－2.
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3. 如图所示，在复平面内，复数z1，z2所对应的点分别为A，B，则
｜ ｜等于(　C　)
A. ｜z1｜－｜z2｜ B. ｜z1｜＋｜z2｜
C. ｜z1－z2｜ D. ｜z1＋z2｜
【解析】 ∵ － ＝ ，z1与 对应，z2与 对应，
∴｜ ｜＝｜ ｜＝｜z1－z2｜.
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4. (2025·江苏南通阶段练习)在复平面内，O为原点，i为虚数单位，复
数z对应的向量 ＝(1， 2)，则｜z－i｜等于(　D　)
A. 3 B. C. 2 D.
【解析】 ∵复数z对应的向量 ＝(1， 2)，∴z＝1＋2i，
∴｜z－i｜＝｜1＋2i－i｜＝｜1＋i｜＝ ＝ .
D
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5. (2024·丽水五校高一期中)已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，i是虚数单
位.若z－2 ＝2＋3 i，则复数z的虚部为(　A　)
A. B. 2 C. i D. 2 i
【解析】 z－2 ＝a＋bi－2(a－bi)＝－a＋3bi＝2＋3 i，则
解得 则复数z的虚部为 .
A
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6. △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足
｜z－z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，则z对应的点是△ABC的(　A　)
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
【解析】 ∵｜z－z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，∴复数z对应的点M
到△ABC的三个顶点的距离相等，故复数z对应的点M是△ABC的
外心.
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7. 复数z1＝1＋i cos θ，z2＝ sin θ－i，则｜z1－z2｜的最大值是(　D　)
A. 3－2 B. －1
C. 3＋2 D. ＋1
【解析】 ｜z1－z2｜＝｜(1－ sin θ)＋( cos θ＋1)i｜＝
＝ ＝
.∵－1≤ cos ≤1，∴｜z1－z2｜max＝
＝ ＋1.
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8. (多选)设复数z的共轭复数为 ，若z－ ＝－14i，｜ ｜＝5 ，则
z可能为(　AC　)
A. 1－7i B. 1＋7i
C. －1－7i D. －1＋7i
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ＝a－bi，由题意可得
解得 或
∴z＝1－7i，或－1－7i.
AC
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9. (多选)已知复数z1＝2－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，复
数z2满足｜z2－i｜＝1，则下列结论中，正确的有(　ABC　)
A. 点P1的坐标为(2，－2) B. ＝2＋2i
C. ｜z1－z2｜的最大值是 ＋1 D. ｜z1－z2｜的最小值是 －1
ABC
【解析】 复数z1＝2－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，则
P1(2，－2)， ＝2＋2i，A，B正确；由复数z2满足｜z2－i｜＝1，可
得z2在复平面内对应的点的集合是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆，连
接CP1，则｜z1－z2｜的最大值是｜CP1｜＋1＝ ＋1＝
＋1，最小值是｜CP1｜－1＝ －1，C正确，D错误.
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10. 计算：｜(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)｜＝ .
【解析】 ｜(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)｜＝｜(2＋i)－(－1－3i)｜＝
｜3＋4i｜＝ ＝5.
5　
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11. (2024·北京开学考试)已知复数z满足 －z＝2i，则z的虚部为 .
【解析】 设z＝a＋bi，则 ＝a－bi，由 －z＝2i可得 －z＝
－2bi＝2i，∴b＝－1，故z的虚部为－1.
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12. (2025·河南开封模拟)已知复数z满足｜z＋2i｜＝｜z｜，写出一个
满足条件的复数：z＝ .
【解析】 设z＝a＋bi(a， b∈R)，则｜z＋2i｜＝｜a＋bi＋2i｜＝
｜a＋(b＋2)i｜＝ ，｜z｜＝｜a＋bi｜＝ ，
∵｜z＋2i｜＝｜z｜，
∴ ＝ ，∴a2＋(b＋2)2＝a2＋b2，化简得4b＋
4＝0，解得b＝－1，∴满足条件的一个复数z＝1－i(答案不唯一，虚部
为－1即可).
1－i(答案不唯一，虚部为－1即可)　
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
13. 计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；
解：(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i＝(5－9＋3)＋
(－7＋8－2)i＝－1－i.
(2) ＋(2－i)－ ；
解： ＋(2－i)－ ＝ ＋ i＋2－i－ ＋ i＝
＋ i＝1＋i.
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(3)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.
解：z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，
z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.
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14. 在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝
3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求点D对应的复数
z4及AD的长.
解：如图所示.
对应复数z3－z1， 对应复数z2－z1， 对应复数z4－z1.由复数加减运算的几何意义，得 ＝ ＋ ，
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.
∴AD的长为｜ ｜＝｜z4－z1｜＝｜(7＋3i)－
(1＋i)｜＝｜6＋2i｜＝2 .
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拓展突破练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
15. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马(1601—1665)于1643年
提出的平面几何极值问题：已知一个三角形，求作一点，使其到此三角
形的三个顶点的距离之和最小.费马问题中所求的点称为费马点，已知
对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均
小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即为费马
点.根据以上材料，若z∈C，则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋
｜z＋2i｜的最小值是(　B　)
A. 2 －2 B. 2 ＋2
C. －1 D. ＋1
B
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【解析】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋｜z＋2i｜
表示点Z(x，y)到△ABC三个顶点A(2， 0)，B(－2， 0)，C(0， －2)
的距离之和. 依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半
轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°. 此时｜PA｜＋
｜PB｜＋｜PC｜＝ ×2＋(2－2tan30°)＝2 ＋2.
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16. (2025·安庆一中高一期中)定义一种运算：(a，b) ＝ac＋bd.
(1)已知z为复数，且(3， ) ＝7－3i，求｜z｜；
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵(3， ) ＝3z＋4 ＝3(a＋bi)＋4(a－bi)＝7a－bi＝7－3i，
∴ 即
则z＝1＋3i，故｜z｜＝ ＝ .
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(2)已知x，y为实数，(y＋ sin 2x，2) －(1， sin 2x) 也是实
数，将y表示为x的函数.
解：(2)(y＋ sin 2x， 2) －(1， sin 2x) ＝(2y－ sin x)＋(y＋
sin 2x－2 sin 2x)i为实数，
则y＋ sin 2x－2 sin 2x＝0，
∴y＝－ sin 2x＋2 sin 2x＝－ sin 2x＋2 × ＝－( sin 2x＋
cos 2x)＋ ＝－2 sin ( 2x＋ )＋ .
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167.2 练习1　复数的加、减运算及其几何意义
1. 若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　B　)
A. －2 B. 4 C. 3 D. －4
【解析】 z＝1－(3－4i)＝－2＋4i.
2. (2024·贵州黔东南一模)已知复数z1＝12－3i，z2＝－9＋i，则z1＋z2的实部与虚部分别为(　A　)
A. 3，－2 B. 3，－2i
C. 2，－3 D. 2，－3i
【解析】 ∵z1＝12－3i，z2＝－9＋i，∴z1＋z2＝3－2i，其实部与虚部分别为3，
－2.
3. 如图所示，在复平面内，复数z1，z2所对应的点分别为A，B，则｜｜等于(　C　)
A. ｜z1｜－｜z2｜ B. ｜z1｜＋｜z2｜
C. ｜z1－z2｜ D. ｜z1＋z2｜
【解析】 ∵－＝，z1与对应，z2与对应，∴｜｜＝｜｜＝
｜z1－z2｜.
4. (2025·江苏南通阶段练习)在复平面内，O为原点，i为虚数单位，复数z对应的向量＝(1， 2)，则｜z－i｜等于(　D　)
A. 3 B. C. 2 D.
【解析】 ∵复数z对应的向量＝(1， 2)，∴z＝1＋2i，∴｜z－i｜＝｜1＋2i－i｜＝｜1＋i｜＝＝.
5. (2024·丽水五校高一期中)已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，i是虚数单位.若z－2＝2＋3i，则复数z的虚部为(　A　)
A. B. 2 C. i D. 2i
【解析】 z－2＝a＋bi－2(a－bi)＝－a＋3bi＝2＋3i，则解得则复数z的虚部为.
6. △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足｜z－z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，则z对应的点是△ABC的(　A　)
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
【解析】 ∵｜z－z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，∴复数z对应的点M到△ABC的三个顶点的距离相等，故复数z对应的点M是△ABC的外心.
7. 复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则｜z1－z2｜的最大值是(　D　)
A. 3－2 B. －1 C. 3＋2 D. ＋1
【解析】 ｜z1－z2｜＝｜(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i｜＝＝＝.∵－1≤cos≤1，
∴｜z1－z2｜max＝＝＋1.
8. (多选)设复数z的共轭复数为，若z－＝－14i，｜｜＝5，则z可能为(　AC　)
A. 1－7i B. 1＋7i C. －1－7i D. －1＋7i
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由题意可得解得或∴z＝1－7i，或－1－7i.
9. (多选)已知复数z1＝2－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，复数z2满足｜z2－i｜＝1，则下列结论中，正确的有(　ABC　)
A. 点P1的坐标为(2，－2)
B. ＝2＋2i
C. ｜z1－z2｜的最大值是＋1
D. ｜z1－z2｜的最小值是－1
【解析】 复数z1＝2－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，则P1(2，－2)，＝2＋2i，A，B正确；由复数z2满足｜z2－i｜＝1，可得z2在复平面内对应的点的集合是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆，连接CP1，则｜z1－z2｜的最大值是
｜CP1｜＋1＝＋1＝＋1，最小值是｜CP1｜－1＝－1，
C正确，D错误.
10. 计算：｜(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)｜＝　5　.
【解析】 ｜(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)｜＝｜(2＋i)－(－1－3i)｜＝｜3＋4i｜＝＝5.
11. (2024·北京开学考试)已知复数z满足－z＝2i，则z的虚部为　－1　.
【解析】 设z＝a＋bi，则＝a－bi，由－z＝2i可得－z＝－2bi＝2i，∴b＝
－1，故z的虚部为－1.
12. (2025·河南开封模拟)已知复数z满足｜z＋2i｜＝｜z｜，写出一个满足条件的复数：z＝　1－i(答案不唯一，虚部为－1即可)　.
【解析】 设z＝a＋bi(a， b∈R)，则｜z＋2i｜＝｜a＋bi＋2i｜＝｜a＋(b＋2)i｜＝，｜z｜＝｜a＋bi｜＝，∵｜z＋2i｜＝｜z｜，
∴＝，∴a2＋(b＋2)2＝a2＋b2，化简得4b＋4＝0，解得b＝－1，∴满足条件的一个复数z＝1－i(答案不唯一，虚部为－1即可).
13. 计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；
解：(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.
(2)＋(2－i)－；
解：＋(2－i)－＝＋i＋2－i－＋i＝＋i＝
1＋i.
(3)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.
解：z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.
14. 在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求点D对应的复数z4及AD的长.
解：如图所示.
对应复数z3－z1，对应复数z2－z1，对应复数z4－z1.由复数加减运算的几何意义，得＝＋，
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.
∴AD的长为｜｜＝｜z4－z1｜＝｜(7＋3i)－(1＋i)｜＝｜6＋2i｜＝2.
15. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马(1601—1665)于1643年提出的平面几何极值问题：已知一个三角形，求作一点，使其到此三角形的三个顶点的距离之和最小.费马问题中所求的点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即为费马点.根据以上材料，若z∈C，则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋｜z＋2i｜的最小值是(　B　)
A. 2－2 B. 2＋2 C. －1 D. ＋1
【解析】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋｜z＋2i｜表示点Z(x，y)到△ABC三个顶点A(2， 0)，B(－2， 0)，C(0， －2)的距离之和. 依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°. 此时｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜＝×2＋(2－2tan 30°)＝
2＋2.
16. (2025·安庆一中高一期中)定义一种运算：(a，b)＝ac＋bd.
(1)已知z为复数，且(3，)＝7－3i，求｜z｜；
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵(3，)＝3z＋4＝3(a＋bi)＋4(a－bi)＝7a－bi＝7－3i，∴
即则z＝1＋3i，故｜z｜＝＝.
(2)已知x，y为实数，(y＋sin 2x，2)－(1，sin2x)也是实数，将y表示为x的函数.
解：(2)(y＋sin 2x， 2)－(1， sin2x)＝(2y－sin x)＋(y＋sin 2x－2sin2x)i为实数，则y＋sin 2x－2sin2x＝0，
∴y＝－sin 2x＋2sin2x＝－sin 2x＋2×＝－(sin 2x＋cos 2x)＋＝－2sin( 2x＋)＋.

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