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7.2 练习2　复数的乘、除运算
1. 已知z＝－1－i，则｜z｜等于(　C　)
A. 0 B. 1 C. D. 2
【解析】 若z＝－1－i，则｜z｜＝＝.
2. 设z＝i，则z·等于(　D　)
A. －i B. 1 C. －1 D. 2
【解析】 依题意得，＝－i，故z·＝－2i2＝2.
3. (2024·北京卷)已知＝i－1，则z等于(　C　)
A. 1－i B. －i C. －1－i D. 1
【解析】 由题意得z＝i(i－1)＝－1－i.
4. 已知复数z满足(z－2i)(1－i)＝2，则等于(　B　)
A. 2－3i B. 1－3i C. 2＋3i D. 1＋3i
【解析】 由(z－2i)(1－i)＝2，可得z＝＋2i＝＋2i＝1＋i＋2i＝1＋3i，∴＝1－3i.
5. 已知x，y∈R，i是虚数单位.若x＋yi与互为共轭复数，则x＋y等于(　D　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】 ∵＝＝＝2－i，∴的共轭复数为2＋i，即x＝2，y＝1，∴x＋y＝3.
6. 已知－2＋i是关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的一个根，其中m，n∈R，则m＋n等于(　A　)
A. 18 B. 16 C. 9 D. 8
【解析】 方法一 由题意得2(－2＋i)2＋m(－2＋i)＋n＝0，化简得－2m＋n＋6＋(m－8)i＝0，∴解得∴m＋n＝18.
方法二 ∵－2＋i是关于x的实系数方程2x2＋mx＋n＝0的一个根，∴－2－i也是方程2x2＋mx＋n＝0的根，∴由根与系数的关系得－2＋i－2－i＝－，(－2＋i)(－2－i)＝，解得m＝8，n＝10，∴m＋n＝18.
7. 定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0(i是虚数单位)的复数z在复平面内对应的点位于(　C　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 由题意知，＝0，则z·2i－(－i)×(1＋i)＝0，可得z＝＝＝－－i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为，该点位于第三象限.
8. (多选)若复数z满足z(1－2i)＝10，则下列说法中，正确的有(　AB　)
A. ｜z｜＝2
B. z－2是纯虚数
C. 复数z在复平面内对应的点位于第三象限
D. 若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sinα＝
【解析】 ∵z(1－2i)＝10，∴z＝＝2＋4i，｜z｜＝＝2，A正确；对于B，z－2＝2＋4i－2＝4i是纯虚数，B正确；复数z在复平面内对应的点为(2， 4)，在第一象限，C错误；∵复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，∴sin α＝＝，D错误.
9. (多选)已知集合M＝{m｜m＝in，n∈N*}，其中i为虚数单位，则下列元素中，属于集合M的有(　BC　)
A. (1－i)(1＋i) B. C. D. (1－i)2
【解析】 根据题意，M＝{m｜m＝in，n∈N*}，当n＝4k＋1(k∈N)时，in＝i，当
n＝4k＋2(k∈N)时，in＝－1，当n＝4k＋3(k∈N)时，in＝－i，当n＝4k＋4(k∈N)时，in＝1，∴M＝{－1，1，i，－i}.对于A，(1－i)(1＋i)＝2 M；对于B，＝＝－i∈M；对于C，＝＝i∈M；对于D，(1－i)2＝－2i M.
10. (2024·天津卷)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝　7－i　.
【解析】 (＋i)·(－2i)＝5＋i－2i＋2＝7－i.
11. (2025·福建莆田高一阶段检测)若复数z满足(1＋i)z＝｜－i｜，则z的虚部为　－　.
【解析】 ∵z＝＝＝＝－i，∴z的虚部为－.
12. (2024·上海卷)已知虚数z，其实部为1，且z＋＝m(m∈R)，则实数m为　2　.
【解析】 设z＝1＋bi，b∈R，且b≠0，则z＋＝1＋bi＋＝＋i＝m，∵m∈R，∴解得m＝2.
13. (2025·安徽淮南高一期中)已知复数z1＝－1＋3i，z2＝1＋2i.
(1)求z1z2；
解：(1)由复数z1＝－1＋3i，z2＝1＋2i，则z1z2＝(－1＋3i)·(1＋2i)＝－7＋i.
(2)若复数z满足z1z＝z2，求z.
解：(2)由复数z1＝－1＋3i，z2＝1＋2i，
∵复数z满足z1z＝z2，
可得z＝＝＝＝－i
14. (2024·河南濮阳高一阶段检测)已知复数z1＝4＋mi(m∈R)，且·(1－2i)为纯虚数.
(1)求复数z1；
解：(1)z1＝4＋mi，则＝4－mi，·(1－2i)＝(4－mi)·(1－2i)＝4－2m－(8＋m)i，又z1为纯虚数，故4－2m＝0，8＋m≠0，解得m＝2，故z1＝4＋2i.
(2)若z2＝，求复数及｜z2｜.
解：(2)z2＝＝＝＝＝＝－1＋2i，
则｜z2｜＝＝，＝－1－2i.
15. 已知(cos θ＋isin θ)n＝cos nθ＋isin nθ(i为虚数单位，n∈N*，θ∈R)，若复数z满足z·＝2，则｜z｜等于(　B　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】 由题意可得，＝cos＋isin＝－＋i，∴z·＝2，则z＝＝2＝－1－i，∴｜z｜＝＝2.
16. 已知复数z1＝(a＋i)2(a∈R)，z2＝4－3i，其中i是虚数单位.
(1)若z1＝iz2，求实数a的值；
解：(1)∵z1＝(a＋i)2，z2＝4－3i，z1＝iz2，∴(a＋i)2＝a2－1＋2ai＝3＋4i，∴解得a＝2，故实数a的值为2.
(2)若是纯虚数，a是正实数，求＋＋＋…＋ 024.
解：(2)依题意得＝＝
＝，
∵是纯虚数，∴解得a＝2，或a＝－，
又a是正实数，∴a＝2，∴＝i，
∴＋＋＋…＋ 024＝i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 024＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 021＋i2 022＋i2 023＋i2 024)＝(i－1－i＋1)＋(i－1－i＋1)＋…＋
(i－1－i＋1)＝0＋0＋…＋0＝0.(共22张PPT)
二、复数的四则运算
练习2　复数的乘、除运算
复　数
第七章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
1. 已知z＝－1－i，则｜z｜等于(　C　)
A. 0 B. 1 C. D. 2
【解析】 若z＝－1－i，则｜z｜＝ ＝ .
C
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2. 设z＝ i，则z· 等于(　D　)
A. －i B. 1 C. －1 D. 2
【解析】 依题意得， ＝－ i，故z· ＝－2i2＝2.
D
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3. (2024·北京卷)已知 ＝i－1，则z等于(　C　)
A. 1－i B. －i C. －1－i D. 1
【解析】 由题意得z＝i(i－1)＝－1－i.
C
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4. 已知复数z满足(z－2i)(1－i)＝2，则 等于(　B　)
A. 2－3i B. 1－3i C. 2＋3i D. 1＋3i
【解析】 由(z－2i)(1－i)＝2，可得z＝ ＋2i＝ ＋2i＝1＋i＋
2i＝1＋3i，∴ ＝1－3i.
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5. 已知x，y∈R，i是虚数单位.若x＋yi与 互为共轭复数，则x＋y
等于(　D　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】 ∵ ＝ ＝ ＝2－i，∴ 的共轭复数为2＋i，即
x＝2，y＝1，∴x＋y＝3.
D
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6. 已知－2＋i是关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的一个根，其中m，
n∈R，则m＋n等于(　A　)
A. 18 B. 16 C. 9 D. 8
A
【解析】 方法一 由题意得2(－2＋i)2＋m(－2＋i)＋n＝0，化简得－2m＋n＋6＋(m－8)i＝0，∴ 解得
∴m＋n＝18.
方法二 ∵－2＋i是关于x的实系数方程2x2＋mx＋n＝0的一个根，
∴－2－i也是方程2x2＋mx＋n＝0的根，∴由根与系数的关系得－2＋
i－2－i＝－ ，(－2＋i)(－2－i)＝ ，解得m＝8，n＝10，∴m＋n＝18.
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7. 定义运算 ＝ad－bc，则符合条件 ＝0(i是虚数单
位)的复数z在复平面内对应的点位于(　C　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 由题意知， ＝0，则z·2i－(－i)×(1＋i)＝0，可得
z＝ ＝ ＝－ － i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为
，该点位于第三象限.
C
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8. (多选)若复数z满足z(1－2i)＝10，则下列说法中，正确的有(　AB　)
A. ｜z｜＝2
B. z－2是纯虚数
C. 复数z在复平面内对应的点位于第三象限
D. 若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则 sin α＝
AB
【解析】 ∵z(1－2i)＝10，∴z＝ ＝2＋4i，｜z｜＝
＝2 ，A正确；对于B，z－2＝2＋4i－2＝4i是纯虚数，
B正确；复数z在复平面内对应的点为(2， 4)，在第一象限，C错误；
∵复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，∴ sin α＝ ＝ ，
D错误.
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9. (多选)已知集合M＝{m｜m＝in，n∈N*}，其中i为虚数单位，则下
列元素中，属于集合M的有(　BC　)
A. (1－i)(1＋i) B. C. D. (1－i)2
BC
【解析】 根据题意，M＝{m｜m＝in，n∈N*}，当n＝4k＋1(k∈N)
时，in＝i，当n＝4k＋2(k∈N)时，in＝－1，当n＝4k＋3(k∈N)时，
in＝－i，当n＝4k＋4(k∈N)时，in＝1，∴M＝{－1，1，i，－i}.对于
A，(1－i)(1＋i)＝2 M；对于B， ＝ ＝－i∈M；对于C，
＝ ＝i∈M；对于D，(1－i)2＝－2i M.
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10. (2024·天津卷)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝ 　7－ .
【解析】 (＋i)·(－2i)＝5＋ i－2 i＋2＝7－ i.
7－ i
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11. (2025·福建莆田高一阶段检测)若复数z满足(1＋ i)z＝｜ －i｜，
则z的虚部为 .
【解析】 ∵z＝ ＝ ＝ ＝ － i，
∴z的虚部为－ .
－ 　
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12. (2024·上海卷)已知虚数z，其实部为1，且z＋ ＝m(m∈R)，则实
数m为 .
【解析】 设z＝1＋bi，b∈R，且b≠0，则z＋ ＝1＋bi＋ ＝
＋ i＝m，∵m∈R，∴ 解得m＝2.
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
13. (2025·安徽淮南高一期中)已知复数z1＝－1＋3i，z2＝1＋2i.
(1)求z1z2；
解：(1)由复数z1＝－1＋3i，z2＝1＋2i，则z1z2＝(－1＋3i)·(1＋2i)＝
－7＋i.
(2)若复数z满足z1z＝z2，求z.
解：(2)由复数z1＝－1＋3i，z2＝1＋2i，
∵复数z满足z1z＝z2，
可得z＝ ＝ ＝ ＝ － i
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14. (2024·河南濮阳高一阶段检测)已知复数z1＝4＋mi(m∈R)，且 ·
(1－2i)为纯虚数.
(1)求复数z1；
解：(1)z1＝4＋mi，则 ＝4－mi， ·(1－2i)＝(4－mi)·(1－2i)＝4－
2m－(8＋m)i，又z1为纯虚数，故4－2m＝0，8＋m≠0，解得m＝2，
故z1＝4＋2i.
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(2)若z2＝ ，求复数 及｜z2｜.
解：(2)z2＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝－1＋2i，
则｜z2｜＝ ＝ ， ＝－1－2i.
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拓展突破练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
15. 已知( cos θ＋i sin θ)n＝ cos nθ＋i sin nθ(i为虚数单位，n∈N*，
θ∈R)，若复数z满足z· ＝2，则｜z｜等于(　B　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
【解析】 由题意可得， ＝ cos ＋i sin ＝－ ＋ i，
∴z· ＝2，则z＝ ＝2 ＝－1－ i，
∴｜z｜＝ ＝2.
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16. 已知复数z1＝(a＋i)2(a∈R)，z2＝4－3i，其中i是虚数单位.
(1)若z1＝iz2，求实数a的值；
解：(1)∵z1＝(a＋i)2，z2＝4－3i，z1＝iz2，∴(a＋i)2＝a2－1＋
2ai＝3＋4i，∴ 解得a＝2，故实数a的值为2.
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(2)若 是纯虚数，a是正实数，求 ＋ ＋ ＋…＋ 024.
解：(2)依题意得 ＝ ＝ ＝ ，
∵ 是纯虚数，∴ 解得a＝2，或a＝－ ，
又a是正实数，∴a＝2，∴ ＝i，
∴ ＋ ＋ ＋…＋ 024＝i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 024＝(i＋
i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 021＋i2 022＋i2 023＋i2 024)＝(i－1－
i＋1)＋(i－1－i＋1)＋…＋(i－1－i＋1)＝0＋0＋…＋0＝0.
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167.2 练习2　复数的乘、除运算
1. 已知z＝－1－i，则｜z｜等于(　 　)
A. 0 B. 1 C. D. 2
2. 设z＝i，则z·等于(　 　)
A. －i B. 1 C. －1 D. 2
3. (2024·北京卷)已知＝i－1，则z等于(　 　)
A. 1－i B. －i C. －1－i D. 1
4. 已知复数z满足(z－2i)(1－i)＝2，则等于(　 　)
A. 2－3i B. 1－3i C. 2＋3i D. 1＋3i
5. 已知x，y∈R，i是虚数单位.若x＋yi与互为共轭复数，则x＋y等于(　 　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 已知－2＋i是关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的一个根，其中m，n∈R，则m＋n等于(　 　)
A. 18 B. 16 C. 9 D. 8
7. 定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0(i是虚数单位)的复数z在复平面内对应的点位于(　 　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8. (多选)若复数z满足z(1－2i)＝10，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. ｜z｜＝2
B. z－2是纯虚数
C. 复数z在复平面内对应的点位于第三象限
D. 若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sinα＝
9. (多选)已知集合M＝{m｜m＝in，n∈N*}，其中i为虚数单位，则下列元素中，属于集合M的有(　 　)
A. (1－i)(1＋i) B. C. D. (1－i)2
10. (2024·天津卷)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝ .
11. (2025·福建莆田高一阶段检测)若复数z满足(1＋i)z＝｜－i｜，则z的虚部为 .
12. (2024·上海卷)已知虚数z，其实部为1，且z＋＝m(m∈R)，则实数m为 .
13. (2025·安徽淮南高一期中)已知复数z1＝－1＋3i，z2＝1＋2i.
(1)求z1z2；
(2)若复数z满足z1z＝z2，求z.
14. (2024·河南濮阳高一阶段检测)已知复数z1＝4＋mi(m∈R)，且·(1－2i)为纯虚数.
(1)求复数z1；
(2)若z2＝，求复数及｜z2｜.
15. 已知(cos θ＋isin θ)n＝cos nθ＋isin nθ(i为虚数单位，n∈N*，θ∈R)，若复数z满足z·＝2，则｜z｜等于(　 　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
16. 已知复数z1＝(a＋i)2(a∈R)，z2＝4－3i，其中i是虚数单位.
(1)若z1＝iz2，求实数a的值；
(2)若是纯虚数，a是正实数，求＋＋＋…＋ 024.

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