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7.3 复数的三角表示
1. 复数1－i的辐角的主值是(　 　)
A. B. C. D.
2. 复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式为(　 　)
A. sin 30°＋icos 30° B. cos 160°＋isin 160°
C.cos 30°＋isin 30° D. sin 160°＋icos 160°
3. 若复数z＝，则z2等于(　 　)
A. －2i B. 1＋i C. 1－i D. 2i
4. 将复数i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是(　 　)
A. ＋i B. －＋i C. －－i D. －i
5. 设A，B，C是△ABC的内角，z＝(cosA＋isinA)÷(cosB＋isinB)·(cosC＋isinC)是一个实数，则△ABC是(　 　)
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 形状不能确定
6. 设π＜θ＜，则复数的辐角的主值为(　 　)
A. 2π－3θ B. 3θ－2π C. 3θ D. 3θ－π
7. 等于(　 　)
A. －1－i B. 1＋i C. －－i D. ＋i
8. (多选)下列式子中，正确表示复数1＋i的三角形式的有(　 　)
A.
B.
C.
D.
9. (多选)已知复数z＝cos＋isin，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. ｜z｜＝1
B. ＝cos＋isin
C. 复数z是方程x3－1＝0的一个根
D. 复数－z的辐角的主值为－
10. 复数1＋i的模是 ，辐角的主值是 ，三角形式为 .
11. 复数的三角形式为 (要求辐角为辐角的主值).
12. 在复平面内，已知O为坐标原点，向量对应的复数为－2i，将绕点O按顺时针方向旋转后把模变为原来的倍得到向量O，则O对应的复数是 .
13. 设复数z＝(1－i)5，求z的模和辐角的主值.
14. (1)在复平面内画出复数2－2i所对应的向量，并将复数2－2i表示成三角形式；
(2)在复平面内画出复数－－i所对应的向量，并将复数－－i表示成三角形式.
＠拓展突破练
15. 已知a＝＋i，b＝a2 023，则a＋b的值为 .
16. 棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立.设两个复数用三角形式表示为z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. 如果z＝r(cos θ＋isin θ)，令z1＝z2＝…＝zn＝z，那么能导出复数乘方公式：zn＝rn(cos nθ＋isin nθ). 请用以上知识解决以下问题：
试运用复数乘方公式推导三倍角公式：sin 3θ＝3sin θ－4sin3θ；
Cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ.7.3 复数的三角表示
1. 复数1－i的辐角的主值是(　A　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵1－i＝2×＝2，∴1－i的辐角的主值是.
2. 复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式为(　B　)
A. sin 30°＋icos 30° B. cos 160°＋isin 160°
C.cos 30°＋isin 30° D. sin 160°＋icos 160°
【解析】 (sin 10°＋icos 10°) (sin 10°＋icos 10°)＝(cos 80°＋isin 80°)(cos 80°＋isin 80°)＝cos 160°＋isin 160°.
3. 若复数z＝，则z2等于(　D　)
A. －2i B. 1＋i C. 1－i D. 2i
【解析】 z2＝()2×＝2i.
4. 将复数i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是(　A　)
A. ＋i B. －＋i C. －－i D. －i
【解析】 ∵arg i＝，绕原点O按顺时针方向旋转，得到，则对应的复数的辐角的主值为，∴对应的复数是cos＋isin＝＋i.
5. 设A，B，C是△ABC的内角，z＝(cosA＋isinA)÷(cosB＋isinB)·(cosC＋isinC)是一个实数，则△ABC是(　C　)
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 形状不能确定
【解析】 由题意知arg z＝A－B＋C＝π－2B＝0，则B＝.
6. 设π＜θ＜，则复数的辐角的主值为(　B　)
A. 2π－3θ B. 3θ－2π C. 3θ D. 3θ－π
【解析】 ＝＝cos 3θ＋isin 3θ. ∵π＜θ＜，∴3π＜3θ＜，∴π＜3θ－2π＜.
7. 等于(　A　)
A. －1－i B. 1＋i C. －－i D. ＋i
【解析】 ＝2＝2＝－1－i.
8. (多选)下列式子中，正确表示复数1＋i的三角形式的有(　BD　)
A.
B.
C.
D.
【解析】 对于A，＝1＋i，但是不满足复数的三角形式，A错误；对于B，＝1＋i，B正确；对于C，＝1＋i，但是不满足复数的三角形式，C错误；对于D，＝1＋i，D正确.
9. (多选)已知复数z＝cos＋isin，则下列结论中，正确的有(　ABC　)
A. ｜z｜＝1
B. ＝cos＋isin
C. 复数z是方程x3－1＝0的一个根
D. 复数－z的辐角的主值为－
【解析】 ∵z＝－＋i，∴｜z｜＝＝1，A正确；＝－－i＝cos＋isin，B正确；∵z3＝cos＋isin＝1，∴z3－1＝0，C正确；∵－z＝－i，
∴复数－z的辐角的主值为，D错误.
10. 复数1＋i的模是　　，辐角的主值是　　，三角形式为　　.
【解析】 复数1＋i的模是＝.∵1＋i对应的点在第一象限，且tan θ＝1，∴arg(1＋i)＝，∴三角形式为.
11. 复数的三角形式为　　(要求辐角为辐角的主值).
【解析】 ＝＝－－＝( －－i)＝.
12. 在复平面内，已知O为坐标原点，向量对应的复数为－2i，将绕点O按顺时针方向旋转后把模变为原来的倍得到向量O，则O对应的复数是　
－－i　.
【解析】 ∵－2i＝2，∴由题意可得O对应的复数为2··［cos＋isin］＝3［cos＋isin］＝3＝3×＝－－i.
13. 设复数z＝(1－i)5，求z的模和辐角的主值.
解：∵(1－i)5＝25＝32＝32＝32，∴复数z的模为32，辐角的主值为.
14. (1)在复平面内画出复数2－2i所对应的向量，并将复数2－2i表示成三角形式；
解：(1)复数2－2i所对应的向量如图①所示，则r＝＝2，cos θ＝.
图①
∵与2－2i对应的点在第四象限，∴arg(2－2i)＝，∴2－2i＝2.
(2)在复平面内画出复数－－i所对应的向量，并将复数－－i表示成三角形式.
解：(2)复数－－i所对应的向量如图②所示，
图②
则r＝＝2，cos θ＝－.
∵与－－i对应的点在第三象限，∴arg(－－i)＝，∴－－i＝2.
＠拓展突破练
15. 已知a＝＋i，b＝a2 023，则a＋b的值为　0　.
【解析】 ∵＝(cos 2θ1＋isin 2θ1)，＝z1＝[cos(2θ1＋θ1)＋isin(2θ1＋θ1)]＝(cos 3θ1＋isin 3θ1)，…，依次类推可知，对任意的n∈N＋，＝·(cos nθ1＋isin nθ1).∵a＝＋i＝cos＋isin，∴b＝a2 023＝cos＋isin＝cos＋isin＝－cos－isin＝－－i，∴a＋b＝0.
16. 棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立.设两个复数用三角形式表示为z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. 如果z＝r(cos θ＋isin θ)，令z1＝z2＝…＝zn＝z，那么能导出复数乘方公式：zn＝rn(cos nθ＋isin nθ). 请用以上知识解决以下问题：
试运用复数乘方公式推导三倍角公式：sin 3θ＝3sin θ－4sin3θ；
Cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ.
解：设模为1的复数为z＝cos θ＋isin θ，
则z3＝(cos θ＋isin θ)3＝cos3θ＋3(cos2θ)(isin θ)＋3(cos θ)·(isin θ)2＋(isin θ)3＝cos3θ＋i(3cos2θ·sin θ)－3cos θsin2θ－isin3θ＝(cos3θ－3cos θsin2θ)＋i(3cos2θ·sin θ－sin3θ)＝[cos3θ－3cos θ(1－cos2θ)]＋i[3(1－sin2θ)·sin θ－sin3θ]＝(4cos3θ－3cos θ)＋i(3sin θ－4sin3θ)，由复数乘方公式可得z3＝cos 3θ＋isin 3θ，
故sin 3θ＝3sin θ－4sin3θ，cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ.(共21张PPT)
三、复数的三角表示
复　数
第七章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
1. 复数1－ i的辐角的主值是(　A　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵1－ i＝2× ＝2 ，∴1－ i
的辐角的主值是 .
A
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2. 复数( sin 10°＋i cos 10°)( sin 10°＋i cos 10°)的三角形式为
(　B　)
A. sin 30°＋i cos 30° B. cos 160°＋i sin 160°
C. cos 30°＋i sin 30° D. sin 160°＋i cos 160°
【解析】 ( sin 10°＋i cos 10°) ( sin 10°＋i cos 10°)＝( cos 80°＋
i sin 80°)( cos 80°＋i sin 80°)＝ cos 160°＋i sin 160°.
B
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3. 若复数z＝ ，则z2等于(　D　)
A. －2i B. 1＋i C. 1－i D. 2i
【解析】 z2＝()2× ＝2i.
D
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4. 将复数i对应的向量 绕原点O按顺时针方向旋转 ，得到向量
，则 对应的复数是(　A　)
A. ＋ i B. － ＋ i C. － － i D. － i
【解析】 ∵arg i＝ ， 绕原点O按顺时针方向旋转 ，得到 ，
则 对应的复数的辐角的主值为 ，∴ 对应的复数是 cos ＋
i sin ＝ ＋ i.
A
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5. 设A，B，C是△ABC的内角，z＝( cos A＋i sin A)÷( cos B＋i sin
B)·( cos C＋i sin C)是一个实数，则△ABC是(　C　)
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 形状不能确定
【解析】 由题意知arg z＝A－B＋C＝π－2B＝0，则B＝ .
C
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6. 设π＜θ＜ ，则复数 的辐角的主值为(　B　)
A. 2π－3θ B. 3θ－2π C. 3θ D. 3θ－π
【解析】 ＝ ＝ cos 3θ＋i sin 3θ. ∵π＜θ＜
，∴3π＜3θ＜ ，∴π＜3θ－2π＜ .
B
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7. 等于(　A　)
A. －1－ i B. 1＋ i
C. － － i D. ＋ i
【解析】 ＝2 ＝2 ＝
－1－ i.
A
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8. (多选)下列式子中，正确表示复数1＋i的三角形式的有(　BD　)
A. B.
C. D.
BD
【解析】 对于A， ＝1＋i，但是不满足复数
的三角形式，A错误；对于B， ＝1＋i，B正确；对
于C， ＝1＋i，但是不满足复数的三角形式，C错
误；对于D， ＝1＋i，D正确.
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9. (多选)已知复数z＝ cos ＋i sin ，则下列结论中，正确的有
(　ABC　)
A. ｜z｜＝1 B. ＝ cos ＋i sin
C. 复数z是方程x3－1＝0的一个根 D. 复数－z的辐角的主值为－
ABC
【解析】 ∵z＝－ ＋ i，∴｜z｜＝ ＝1，A正确； ＝－ －
i＝ cos ＋i sin ，B正确；∵z3＝ cos ＋i sin ＝1，∴z3－1＝
0，C正确；∵－z＝ － i，∴复数－z的辐角的主值为 ，D错误.
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10. 复数1＋i的模是 　 　，辐角的主值是 　 　，三角形式为
.
【解析】 复数1＋i的模是 ＝ .∵1＋i对应的点在第一象限，
且tanθ＝1，∴arg(1＋i)＝ ，∴三角形式为 .
　
　
　
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11. 复数 的三角形式为 　 　(要求辐角为辐角
的主值).
【解析】 ＝ ＝－ － ＝ ( － － i)＝ .
　
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12. 在复平面内，已知O为坐标原点，向量 对应的复数为－2i，将
绕点O按顺时针方向旋转 后把模变为原来的 倍得到向量O ，
则O 对应的复数是 　－ － i　.
－ － i　
【解析】 ∵－2i＝2 ，∴由题意可得O 对应的复数为2 · ·［ cos ＋i sin ］＝3［ cos ＋
i sin ］＝3 ＝3× ＝－ － i.
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
13. 设复数z＝(1－ i)5，求z的模和辐角的主值.
解：∵(1－ i)5＝25 ＝32 ＝
32 ＝32 ，∴复数z的模为32，辐角的主值为 .
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14. (1)在复平面内画出复数2－2i所对应的向量，并将复数2－2i表示成
三角形式；
解：(1)复数2－2i所对应的向量如图①所示，则r＝ ＝2 ， cos θ＝ .
∵与2－2i对应的点在第四象限，∴arg(2－2i)＝ ，
∴2－2i＝2 .
图①
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(2)在复平面内画出复数－ －i所对应的向量，并将复数－ －i表示
成三角形式.
解：(2)复数－ －i所对应的向量如图②所示，
图②
则r＝ ＝2， cos θ＝－ .
∵与－ －i对应的点在第三象限，∴arg(－ －i)＝ ，
∴－ －i＝2 .
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拓展突破练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
15. 已知a＝ ＋ i，b＝a2 023，则a＋b的值为 .
【解析】 ∵ ＝ ( cos 2θ1＋i sin 2θ1)， ＝ z1＝ [ cos (2θ1＋
θ1)＋i sin (2θ1＋θ1)]＝ ( cos 3θ1＋i sin 3θ1)，…，依次类推可知，对任意
的n∈N＋， ＝ ·( cos nθ1＋i sin nθ1).∵a＝ ＋ i＝ cos ＋i sin ，∴b＝a2 023＝ cos ＋i sin ＝ cos ＋i sin ＝－ cos －i sin ＝－ － i，∴a＋b＝0.
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16. 棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立.设两个复数用三角形式表示
为z1＝r1( cos θ1＋i sin θ1)，z2＝r2( cos θ2＋i sin θ2)，则z1z2＝r1r2[ cos
(θ1＋θ2)＋i sin (θ1＋θ2)]. 如果z＝r( cos θ＋i sin θ)，令z1＝z2＝…＝
zn＝z，那么能导出复数乘方公式：zn＝rn( cos nθ＋i sin nθ). 请用以上知
识解决以下问题：
试运用复数乘方公式推导三倍角公式： sin 3θ＝3 sin θ－4 sin 3θ；
cos 3θ＝4 cos 3θ－3 cos θ.
解：设模为1的复数为z＝ cos θ＋i sin θ，
则z3＝( cos θ＋i sin θ)3＝ cos 3θ＋3( cos 2θ)(i sin θ)＋3( cos θ)·(i sin θ)2＋
(i sin θ)3＝ cos 3θ＋i(3 cos 2θ· sin θ)－3 cos θ sin 2θ－i sin 3θ＝( cos 3θ－3·
cos θ sin 2θ)＋i(3 cos 2θ· sin θ－ sin 3θ)＝[ cos 3θ－3 cos θ(1－ cos 2θ)]＋i[3·
(1－ sin 2θ)· sin θ－ sin 3θ]＝(4 cos 3θ－3 cos θ)＋i(3 sin θ－4 sin 3θ)，
由复数乘方公式可得z3＝ cos 3θ＋i sin 3θ，
故 sin 3θ＝3 sin θ－4 sin 3θ， cos 3θ＝4 cos 3θ－3 cos θ.
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