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一、基本立体图形
练习1　棱柱、棱锥、棱台
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. 棱锥的侧面和底面可以都是(　A　)
A. 三角形 B. 四边形
C. 五边形 D. 六边形
【解析】 由棱锥的定义可知，三棱锥的侧面和底面均是三角形.
A
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2. 有一个多面体，共由四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几
何体为(　D　)
A. 四棱柱 B. 四棱锥
C. 三棱柱 D. 三棱锥
【解析】 根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥.
D
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3. 下列说法中，正确的是(　D　)
A. 棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B. 在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的
任意两个相对的面不一定可作为它的底面
C. 棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
D. 在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
D
【解析】 正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，A
错误；平行六面体任意两个相对的面一定可作为它的底面，B错误；平
行六面体的侧面是平行四边形，底面也是平行四边形，C错误；棱柱的
底面互相平行，在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行，D正确.
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4. 如图所示，将装有水的长方体水槽固定底面的一边后倾斜一个小角
度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(　A　)
A. 棱柱 B. 棱台
C. 棱柱与棱锥的组合体 D. 不能确定
A
【解析】 长方体水槽固定底面的一边后倾斜，水槽中的水形成的几何
体始终有两个互相平行的平面，而其余各面都是四边形，并且每相邻两
个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义.
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5. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台的上、下底面
积之比为1∶4，截去的棱锥的顶点到底面的距离为3，则棱台的上、下底
面之间的距离为(　D　)
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
【解析】 设原棱锥顶点到底面的距离为h，由题意得 ＝ ，则h＝
6，因而棱台上、下底面之间的距离为6－3＝3.
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6. 下列命题中，正确的个数是(　A　)
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
A
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【解析】 对于①，如图①所示，当截面不平行于底面时，棱锥底面和
截面之间的部分不是棱台.
图①　 图②　 图③
对于②，如图②所示，AA1，DD1交于一点，而BB1，CC1交于另一点，此几何体不能还原成四棱锥，不是棱台.对于③，如图③所示，有两个等腰梯形的上底朝上，而另两个的上底朝下(同向的为相对面)，则此时的六面体不是棱台.
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7. 如图所示，能推断这个几何体可能是三棱台的为(　C　)
A. A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B. A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝
2，AC＝3
C. A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝
2，AC＝4
D. AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
【解析】 根据棱台是由棱锥截成的进行判断. ≠ ，A不可能是
三棱台； ≠ ，B不可能是三棱台； ＝ ＝ ，C可能
是三棱台；满足条件的可能是三棱柱，D不可能是三棱台.
C
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8. (多选)一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是(　ABC　)
A. 三棱柱 B. 三棱台
C. 五棱锥 D. 四面体
【解析】 对于A，三棱柱的顶点是上、下两个三角形的顶点，有6个，
满足题意；对于B，三棱台的顶点是上、下两个三角形的顶点，有6
个，满足题意；对于C，五棱锥的顶点是底面五边形的顶点及各侧棱的
交点(一个)，有6个，满足题意；对于D，四面体的顶点个数为4，不满
足题意.
ABC
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9. (多选)用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是(　AB　)
A. 三角形 B. 四边形
C. 五边形 D. 不可能为四边形
AB
【解析】 如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①所
示)，如果截面截三棱锥的四条棱，则截面为四边形(如图②所示).
图①　 图②
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10. 下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只
能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说
法的序号是 .
【解析】 ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
①②　
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11. 一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，如
图所示为此正方体的两种不同放置方式，则与D面相对的面上的字母
是 .
【解析】 由此正方体的两种不同放置方式可知，与C相对的是F，因
此D与B相对.
B　
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12. 一个正三棱锥的底面边长为3，高为 ，则它的侧棱长为 .
【解析】 如图所示，在正三棱锥S－ABC中，O为△ABC的中心，连
接OA，SO，则SO为正三棱锥的高，则SO＝ ，AB＝3.易知
OA＝ ，在Rt△SOA中，SA＝ ＝3.
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. 有一个长方体木块，过同一个顶点的三个面的面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体，则该正四面体的棱长的最大值是(　B　)
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
【解析】 设长方体中过同一个顶点的三条棱的长分别为a，b，c，则
ab＝8，bc＝12，ac＝24，可得a＝4，b＝2，c＝6，∴长方体的最短
棱的长为2，则长方体可削成最大的正方体的棱长为2，∴正四面体的棱
长的最大值是正方体的面对角线的长，其长度为2 .
B
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14. 如图所示，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC
的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后
的点记为P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
解：(1)如图所示，折起后的几何体是三棱锥.
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(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
解：(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，
△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF为直角三角形.
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15. 试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个，连接后
构成以下空间几何体，并用适当的符号表示出来.
图1 图2 图3
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
解：(1)如图①所示，三棱锥A1－AB1D1(答案不唯一).
图①
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(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
解：(2)如图②所示，三棱锥B1－ACD1(答案不唯一).
图②
(3)三棱柱.
解：(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一).
图③
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16. 如图所示，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝
∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面三角形AEF，求△AEF周长的
最小值.
解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开后平
铺在一个平面上，如图所示，线段AA1的长即为
△AEF周长的最小值.
∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，
∴∠AVA1＝90°.又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4 ，
∴△AEF周长的最小值是4 .
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168.1 练习1　棱柱、棱锥、棱台
1. 棱锥的侧面和底面可以都是(　 　)
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
2. 有一个多面体，共由四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为(　 　)
A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥
3. 下列说法中，正确的是(　 　)
A. 棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B. 在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可作为它的底面
C. 棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
D. 在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
4. 如图所示，将装有水的长方体水槽固定底面的一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(　 　)
A. 棱柱 B. 棱台 C. 棱柱与棱锥的组合体 D. 不能确定
5. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台的上、下底面积之比为1∶4，截去的棱锥的顶点到底面的距离为3，则棱台的上、下底面之间的距离为(　 　)
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
6. 下列命题中，正确的个数是(　 　)
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 如图所示，能推断这个几何体可能是三棱台的为(　 　)
A. A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B. A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C. A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D. AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
8. (多选)一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是(　 　)
A. 三棱柱 B. 三棱台 C. 五棱锥 D. 四面体
9. (多选)用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是(　 　)
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 不可能为四边形
10. 下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是 .
11. 一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，如图所示为此正方体的两种不同放置方式，则与D面相对的面上的字母是 .
12. 一个正三棱锥的底面边长为3，高为，则它的侧棱长为 .
13. 有一个长方体木块，过同一个顶点的三个面的面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体，则该正四面体的棱长的最大值是(　 　)
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
14. 如图所示，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后的点记为P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
15. 试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个，连接后构成以下空间几何体，并用适当的符号表示出来.
图1　图2　图3
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
(3)三棱柱.
16. 如图所示，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面三角形AEF，求△AEF周长的最小值.8.1 练习1　棱柱、棱锥、棱台
1. 棱锥的侧面和底面可以都是(　A　)
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
【解析】 由棱锥的定义可知，三棱锥的侧面和底面均是三角形.
2. 有一个多面体，共由四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为(　D　)
A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥
【解析】 根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥.
3. 下列说法中，正确的是(　D　)
A. 棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B. 在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可作为它的底面
C. 棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
D. 在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
【解析】 正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，A错误；平行六面体任意两个相对的面一定可作为它的底面，B错误；平行六面体的侧面是平行四边形，底面也是平行四边形，C错误；棱柱的底面互相平行，在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行，D正确.
4. 如图所示，将装有水的长方体水槽固定底面的一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(　A　)
A. 棱柱 B. 棱台 C. 棱柱与棱锥的组合体 D. 不能确定
【解析】 长方体水槽固定底面的一边后倾斜，水槽中的水形成的几何体始终有两个互相平行的平面，而其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义.
5. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台的上、下底面积之比为1∶4，截去的棱锥的顶点到底面的距离为3，则棱台的上、下底面之间的距离为(　D　)
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
【解析】 设原棱锥顶点到底面的距离为h，由题意得＝，则h＝6，因而棱台上、下底面之间的距离为6－3＝3.
6. 下列命题中，正确的个数是(　A　)
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】 对于①，如图①所示，当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台.
图①　 图②　 图③
对于②，如图②所示，AA1，DD1交于一点，而BB1，CC1交于另一点，此几何体不能还原成四棱锥，不是棱台.对于③，如图③所示，有两个等腰梯形的上底朝上，而另两个的上底朝下(同向的为相对面)，则此时的六面体不是棱台.
7. 如图所示，能推断这个几何体可能是三棱台的为(　C　)
A. A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B. A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C. A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D. AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
【解析】 根据棱台是由棱锥截成的进行判断.≠，A不可能是三棱台；≠，B不可能是三棱台；＝＝，C可能是三棱台；满足条件的可能是三棱柱，D不可能是三棱台.
8. (多选)一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是(　ABC　)
A. 三棱柱 B. 三棱台 C. 五棱锥 D. 四面体
【解析】 对于A，三棱柱的顶点是上、下两个三角形的顶点，有6个，满足题意；对于B，三棱台的顶点是上、下两个三角形的顶点，有6个，满足题意；对于C，五棱锥的顶点是底面五边形的顶点及各侧棱的交点(一个)，有6个，满足题意；对于D，四面体的顶点个数为4，不满足题意.
9. (多选)用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是(　AB　)
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 不可能为四边形
【解析】 如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①所示)，如果截面截三棱锥的四条棱，则截面为四边形(如图②所示).
图①　图②
10. 下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是　①②　.
【解析】 ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
11. 一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，如图所示为此正方体的两种不同放置方式，则与D面相对的面上的字母是　B　.
【解析】 由此正方体的两种不同放置方式可知，与C相对的是F，因此D与B相对.
12. 一个正三棱锥的底面边长为3，高为，则它的侧棱长为　3　.
【解析】 如图所示，在正三棱锥S－ABC中，O为△ABC的中心，连接OA，SO，则SO为正三棱锥的高，则SO＝，AB＝3.易知OA＝，在Rt△SOA中，SA＝＝3.
13. 有一个长方体木块，过同一个顶点的三个面的面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体，则该正四面体的棱长的最大值是(　B　)
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
【解析】 设长方体中过同一个顶点的三条棱的长分别为a，b，c，则ab＝8，bc＝12，ac＝24，可得a＝4，b＝2，c＝6，∴长方体的最短棱的长为2，则长方体可削成最大的正方体的棱长为2，∴正四面体的棱长的最大值是正方体的面对角线的长，其长度为2.
14. 如图所示，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后的点记为P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
解：(1)如图所示，折起后的几何体是三棱锥.
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
解：(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF为直角三角形.
15. 试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个，连接后构成以下空间几何体，并用适当的符号表示出来.
图1　图2　图3
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
解：(1)如图①所示，三棱锥A1－AB1D1(答案不唯一).
图①
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
解：(2)如图②所示，三棱锥B1－ACD1(答案不唯一).
图②
(3)三棱柱.
解：(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一).
图③
16. 如图所示，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面三角形AEF，求△AEF周长的最小值.
解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开后平铺在一个平面上，如图所示，线段AA1的长即为△AEF周长的最小值.
∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4，∴△AEF周长的最小值是4.

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