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8.1 练习2　圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体
1. 下列说法中，正确的是(　A　)
A. 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
B. 以直角三角形的斜边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
C. 以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D. 将直角三角形旋转一周所得的旋转体是圆锥
2. 如图所示的图形中有(　B　)
图1　图2　图3　图4
A. 圆柱、圆锥、圆台和球
B. 圆柱、球和圆锥
C. 球、圆柱和圆台
D. 棱柱、棱锥、圆锥和球
【解析】 根据题中图形可知，图1是球，图2是圆柱，图3是圆锥，图4不是圆台，B正确.
3. 下列说法中，正确的是(　D　)
A. 圆柱的母线与轴垂直
B. 圆锥的母线长等于底面圆直径
C. 圆台的母线与轴平行
D. 球的直径必过球心
【解析】 对于A，圆柱的母线与轴平行；对于B，圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系；对于C，圆台的母线的延长线与轴相交.
4. 图1、图2中的图形折叠后的图形分别是(　B　)
图1　图2
A. 圆锥、棱柱
B. 圆锥、棱锥
C. 球、棱锥
D. 圆锥、圆柱
【解析】 根据图1的底面为圆，侧面为扇形，得图1折叠后的图形是圆锥；根据图2的底面为三角形，侧面均为三角形，得图2折叠后的图形是棱锥.
5. 如图所示，该几何体是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的，则下列结论中，错误的是(　B　)
A. 该几何体的面是等边三角形或正方形
B. 该几何体恰有12个面
C. 该几何体恰有24条棱
D. 该几何体恰有12个顶点
【解析】 由图可得，该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B错误；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确.
6. 圆柱被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是(　D　)
A. B. C. D.
【解析】 结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加的速度缓慢，然后逐渐变快，最后逐渐变慢，不是均匀增加的，∴A，B，C错误.
7. 用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是(　C　)
A. 2 B. 2π C. 或 D. 或
【解析】 如图所示，设底面半径为r，若矩形的长恰好为卷成的圆柱底面的周长，则2πr＝8，∴r＝；同理，若矩形的宽恰好为卷成的圆柱的底面周长，则2πr＝4，∴r＝.
8. (多选)下列说法中，正确的有(　AB　)
A. 一个八棱柱有10个面
B. 任意四面体都可以割成4个棱锥
C. 过圆锥侧面上的一点有无数条母线
D. 矩形旋转一周一定形成一个圆柱
【解析】 一个八棱柱有10个面，A正确；在四面体内部选一点，与四个顶点连线，则可以割成4个棱锥，B正确；只有过圆锥的顶点才有无数条母线，C错误；矩形绕其一边所在直线旋转一周一定形成一个圆柱，D错误.
9. (多选)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是(　AD　)
A. B. C. D.
【解析】 一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分.
10. 若正五边形ABCDE的中心为O，以AO所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则几何体是　由一个圆台和一个圆锥组合而成的简单组合体　.
【解析】 由题意可知形成如图所示的几何体，该几何体是由一个圆台和一个圆锥组成的简单组合体.
11. 一圆锥的底面半径为2，母线长为6，将此圆锥沿一条母线展开，得到的扇形的面积为　12π　.
【解析】 ∵圆锥的底面半径为2，∴底面圆的周长为4π，将此圆锥沿一条母线展开，所得扇形的面积为×4π×6＝12π.
12. 某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是　4　cm.
【解析】 如图所示，
由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π cm，则该小圆的半径r＝6 cm，其中∠ABO＝30°，∴该地球仪的半径R＝＝4 cm.
13. (2025·海南模拟预测)当飞机超声速沿直线飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的航线为轴的圆锥(如图所示)，称为“马赫锥”. 马赫锥的轴截面顶角θ与飞机的速度v、声速c满足关系式sin＝. 若一架飞机以2倍声速沿直线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点30 m处的截面圆面积为(　B　)
A. 100π m2 B. 300π m2 C. 600π m2 D. 900π m2
【解析】 如图所示，
该飞机形成的马赫锥在距离顶点30 m处的截面圆圆心为O，AB为马赫锥的母线，由题意sin∠BAO＝sin＝＝＝，而∠BAO是锐角，∴∠BAO ＝30°，又AO＝30 m，∴BO＝AO·tan 30°＝10 m，该飞机形成的马赫锥在距离顶点30 m处的截面圆面积为π×(10)2＝300π m2.
14. 圆台的上底面周长是下底面周长的，轴截面面积为392，母线与底面的夹角为45°.求此圆台的高、母线长及两底面的半径.
解：设圆台的上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h.
由题意，得2πr＝×2πR，即R＝3r①，
(2r＋2R)·h＝392，即(R＋r)h＝392②.
又母线与底面的夹角为45°，则h＝R－r＝l③.
联立①②③，得R＝21，r＝7，h＝14，l＝14.
15. 如图所示，四边形ABCD绕边AD所在的直线EF旋转，其中AD∥BC，AD⊥CD.当点A在射线DE上的不同位置时，形成的几何体的大小、形状不同，比较其不同点.
解：当AD＞BC时，四边形ABCD绕直线EF旋转一周所得几何体是由底面半径为CD的圆柱和底面半径为CD的圆锥拼接而成的组合体；当AD＝BC时，四边形ABCD绕直线EF旋转一周所得几何体是圆柱；当AD＜BC时，四边形ABCD绕直线EF旋转一周所得几何体是从圆柱中挖去一个同底的圆锥而得到的.
16. 在如图所示的几何体中，四边形AA1B1B为矩形，AA1＝3，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出其是几棱柱；若不是棱柱，作出一个过点C1的截面，截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的名称.
解：∵这个几何体中没有两个互相平行的面，∴这个几何体不是棱柱.如图所示，在AA1上取一点E，使AE＝2，在BB1上取一点F，使BF＝2，连接C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将原几何体分成两部分.其中一部分是三棱柱ABC－EFC1，其侧棱长为2；另一部分是四棱锥C1－EA1B1F，即截去的几何体是四棱锥.(共21张PPT)
一、基本立体图形
练习2　圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. 下列说法中，正确的是(　A　)
A. 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的旋
转体是圆锥
B. 以直角三角形的斜边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是
圆锥
C. 以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体
是圆锥
D. 将直角三角形旋转一周所得的旋转体是圆锥
A
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2. 如图所示的图形中有(　B　)
图1 图2 图3 图4
A. 圆柱、圆锥、圆台和球
B. 圆柱、球和圆锥
C. 球、圆柱和圆台
D. 棱柱、棱锥、圆锥和球
B
【解析】 根据题中图形可知，图1是球，图2是圆柱，图3是圆锥，图4
不是圆台，B正确.
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3. 下列说法中，正确的是(　D　)
A. 圆柱的母线与轴垂直
B. 圆锥的母线长等于底面圆直径
C. 圆台的母线与轴平行
D. 球的直径必过球心
【解析】 对于A，圆柱的母线与轴平行；对于B，圆锥的母线长与底面
圆的直径不具有任何关系；对于C，圆台的母线的延长线与轴相交.
D
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4. 图1、图2中的图形折叠后的图形分别是(　B　)
图1 图2
A. 圆锥、棱柱 B. 圆锥、棱锥 C. 球、棱锥 D. 圆锥、圆柱
B
【解析】 根据图1的底面为圆，侧面为扇形，得图1折叠后的图形是圆
锥；根据图2的底面为三角形，侧面均为三角形，得图2折叠后的图形是
棱锥.
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5. 如图所示，该几何体是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的，
则下列结论中，错误的是(　B　)
A. 该几何体的面是等边三角形或正方形
B. 该几何体恰有12个面
C. 该几何体恰有24条棱
D. 该几何体恰有12个顶点
【解析】 由图可得，该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该
几何体恰有14个面，B错误；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体
恰有12个顶点，D正确.
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6. 圆柱被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是(　D　)
A. B. C. D.
D
【解析】 结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加的速度
缓慢，然后逐渐变快，最后逐渐变慢，不是均匀增加的，∴A，B，
C错误.
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7. 用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底
面半径是(　C　)
A. 2 B. 2π C. 或 D. 或
C
【解析】 如图所示，设底面半径为r，若矩形的长恰好为卷成的圆柱底
面的周长，则2πr＝8，∴r＝ ；同理，若矩形的宽恰好为卷成的圆柱
的底面周长，则2πr＝4，∴r＝ .
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8. (多选)下列说法中，正确的有(　AB　)
A. 一个八棱柱有10个面
B. 任意四面体都可以割成4个棱锥
C. 过圆锥侧面上的一点有无数条母线
D. 矩形旋转一周一定形成一个圆柱
【解析】 一个八棱柱有10个面，A正确；在四面体内部选一点，与四个
顶点连线，则可以割成4个棱锥，B正确；只有过圆锥的顶点才有无数
条母线，C错误；矩形绕其一边所在直线旋转一周一定形成一个圆柱，
D错误.
AB
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9. (多选)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底
面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去
截这个组合体，则截面图形可能是(　AD　)
AD
A. B. C. D.
【解析】 一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面
所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条
边或抛物线的一部分.
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10. 若正五边形ABCDE的中心为O，以AO所在的直线为轴，其余五边
旋转半周形成的面围成一个几何体，则几何体是
.
【解析】 由题意可知形成如图所示的几何体，该几何体是由一个圆台
和一个圆锥组成的简单组合体.
由一个圆台和一个圆
锥组合而成的简单组合体　
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11. 一圆锥的底面半径为2，母线长为6，将此圆锥沿一条母线展开，得
到的扇形的面积为 .
【解析】 ∵圆锥的底面半径为2，∴底面圆的周长为4π，将此圆锥沿一
条母线展开，所得扇形的面积为 ×4π×6＝12π.
12π　
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12. 某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球
仪的半径是 cm.
4 　
【解析】 如图所示，
由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π cm，则该小圆的半径r＝6 cm，其中∠ABO＝30°，∴该地球仪的半径R＝ ＝4 cm.
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. (2025·海南模拟预测)当飞机超声速沿直线飞行时，声波会形成一个
以飞机前端为顶点，飞机的航线为轴的圆锥(如图所示)，称为“马赫
锥”. 马赫锥的轴截面顶角θ与飞机的速度v、声速c满足关系式 sin ＝
. 若一架飞机以2倍声速沿直线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶
点30 m处的截面圆面积为(　B　)
A. 100π m2 B. 300π m2
C. 600π m2 D. 900π m2
B
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【解析】 如图所示，
该飞机形成的马赫锥在距离顶点30 m处的截面圆圆心为O，
AB为马赫锥的母线，由题意 sin ∠BAO＝ sin ＝
＝ ＝ ，而∠BAO是锐角，∴∠BAO ＝30°，又AO＝30 m，
∴BO＝AO·tan30°＝10 m，该飞机形成的马赫锥在距离顶点30 m处的截面圆面积为π×(10 )2＝300π m2.
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14. 圆台的上底面周长是下底面周长的 ，轴截面面积为392，母线与底
面的夹角为45°.求此圆台的高、母线长及两底面的半径.
解：设圆台的上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h.
由题意，得2πr＝ ×2πR，即R＝3r①，
(2r＋2R)·h＝392，即(R＋r)h＝392②.
又母线与底面的夹角为45°，则h＝R－r＝ l③.
联立①②③，得R＝21，r＝7，h＝14，l＝14 .
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15. 如图所示，四边形ABCD绕边AD所在的直线EF旋转，其中AD∥BC，AD⊥CD. 当点A在射线DE上的不同位置时，形成的几何
体的大小、形状不同，比较其不同点.
解：当AD＞BC时，四边形ABCD绕直线EF旋转一周所得几何体是由底面半径为CD的圆柱和底面半径为CD的圆锥拼接而成的组合体；当AD＝BC时，四边形ABCD绕直线EF旋转一周所得几何体是圆柱；当AD＜BC时，四边形ABCD绕直线EF旋转一周所得几何体是从圆柱中挖去一个同底的圆锥而得到的.
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16. 在如图所示的几何体中，四边形AA1B1B为矩形，AA1＝3，CC1＝
2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出其
是几棱柱；若不是棱柱，作出一个过点C1的截面，截去一部分，使剩
余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的名称.
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解：∵这个几何体中没有两个互相平行的面，∴这个几何体不是棱柱.
如图所示，在AA1上取一点E，使AE＝2，在BB1上取一点F，使BF
＝2，连接C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将原几何体分成
两部分.其中一部分是三棱柱ABC－EFC1，其侧棱长为2；另一部分是
四棱锥C1－EA1B1F，即截去的几何体是四棱锥.
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168.1 练习2　圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体
1. 下列说法中，正确的是(　 　)
A. 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
B. 以直角三角形的斜边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
C. 以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D. 将直角三角形旋转一周所得的旋转体是圆锥
2. 如图所示的图形中有(　 　)
图1　图2　图3　图4
A. 圆柱、圆锥、圆台和球
B. 圆柱、球和圆锥
C. 球、圆柱和圆台
D. 棱柱、棱锥、圆锥和球
3. 下列说法中，正确的是(　 　)
A. 圆柱的母线与轴垂直
B. 圆锥的母线长等于底面圆直径
C. 圆台的母线与轴平行
D. 球的直径必过球心
4. 图1、图2中的图形折叠后的图形分别是(　 　)
图1　图2
A. 圆锥、棱柱
B. 圆锥、棱锥
C. 球、棱锥
D. 圆锥、圆柱
5. 如图所示，该几何体是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的，则下列结论中，错误的是(　 　)
A. 该几何体的面是等边三角形或正方形
B. 该几何体恰有12个面
C. 该几何体恰有24条棱
D. 该几何体恰有12个顶点
6. 圆柱被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是(　 　)
A. B. C. D.
7. 用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是(　 　)
A. 2 B. 2π C. 或 D. 或
8. (多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 一个八棱柱有10个面
B. 任意四面体都可以割成4个棱锥
C. 过圆锥侧面上的一点有无数条母线
D. 矩形旋转一周一定形成一个圆柱
9. (多选)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是(　 　)
A. B. C. D.
10. 若正五边形ABCDE的中心为O，以AO所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则几何体是 .
11. 一圆锥的底面半径为2，母线长为6，将此圆锥沿一条母线展开，得到的扇形的面积为 .
12. 某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是 cm.
13. (2025·海南模拟预测)当飞机超声速沿直线飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的航线为轴的圆锥(如图所示)，称为“马赫锥”. 马赫锥的轴截面顶角θ与飞机的速度v、声速c满足关系式sin＝. 若一架飞机以2倍声速沿直线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点30 m处的截面圆面积为(　 　)
A. 100π m2 B. 300π m2 C. 600π m2 D. 900π m2
14. 圆台的上底面周长是下底面周长的，轴截面面积为392，母线与底面的夹角为45°.求此圆台的高、母线长及两底面的半径.
15. 如图所示，四边形ABCD绕边AD所在的直线EF旋转，其中AD∥BC，AD⊥CD.当点A在射线DE上的不同位置时，形成的几何体的大小、形状不同，比较其不同点.
16. 在如图所示的几何体中，四边形AA1B1B为矩形，AA1＝3，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出其是几棱柱；若不是棱柱，作出一个过点C1的截面，截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的名称.

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