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8.2 立体图形的直观图
1. 斜二测画法是绘制直观图的常用方法.下列关于斜二测画法和直观图的说法，正确的是(　C　)
A. 矩形的直观图一定是矩形
B. 等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
C. 平行四边形的直观图一定是平行四边形
D. 菱形的直观图一定是菱形
【解析】 矩形的直观图可以是平行四边形，A错误；等腰三角形的直观图的两腰不相等，不一定为等腰三角形，B错误；根据斜二测画法的规则，线段的平行性不变，∴平行四边形的直观图一定是平行四边形，C正确；菱形的直观图中，一组对边长度可以改变，∴直观图不一定是菱形，D错误.
2. (2025·重庆高一期中)用斜二测画法作一个边长为6的正方形，则其直观图的面积为(　C　)
A. 36 B. 18 C. 9 D.
【解析】 在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的，而边长为6的正方形面积为36，∴所求的直观图的面积为×36＝9.
3. (2025·广东茂名高一期中)已知水平放置的△ABC的直观图如图所示，A'C'＝6， B'C'＝4，则边AB上的中线的实际长度为(　D　)
A. 4 B. C. 2 D. 5
【解析】 △ABC的实际图形应是直角三角形，两条直角边的长分别是6和8，斜边AB的长度为10，边AB上的中线的实际长度为5.
4. 一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样.已知长方体的长、宽、高分别为20 cm，5 cm，10 cm，四棱锥的高为8 cm.若按1∶5的比例尺画出它的直观图，则直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高可分别为(　C　)
A. 4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm
B. 4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm
C. 4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm
D. 4 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm
【解析】 原图形中平行于x轴、z轴的线段在直观图中分别平行于x'轴、z'轴，且长度不变；原图形中平行于y轴的线段在直观图中平行于y'轴，且长度变为原来的一半.
5. 现有两个底面半径相等的圆锥，它们的底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥的顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥的顶点到底面的距离为3 cm，则根据斜二测画法得到的直观图中，这两个顶点之间的距离为 (　D　)
A. 2 cm B. 3 cm C. 2.5 cm D. 5 cm
【解析】 圆锥顶点到底面的距离即为圆锥的高，两个顶点之间的距离为2＋3＝
5 cm，在直观图中，与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.
6. 如图所示，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，B'在x'轴上，A'O'和x'轴垂直，且A'O'＝1，则△AOB的边OB上的高为(　B　)
A. 4 B. 2 C. 4 D. 2
【解析】 设△AOB的边OB上的高为h，∵S原图形＝2S直观图，∴×OB×h＝2××O'B'×1，又OB＝O'B'，∴h＝2.
7. 如图所示，边长为1的正方形O'A'B'C'是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，则平面图形OABC以OA所在直线为轴旋转一周所得的几何体是(　C　)
A. 一个圆柱
B. 一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体
C. 一个圆锥和一个同底面的圆柱内部挖去一个同底等高的圆锥的组合体
D. 两个同底的圆锥的组合体
【解析】 由直观图O'A'B'C'画出原平面图形OABC，如图所示.∵O'B'＝，∴OB＝2，OA＝1，∴平面图形OABC以OA所在直线为轴旋转一周所得的几何体为一个圆锥和一个同底面的圆柱内部挖去一个同底等高的圆锥的组合体.
8. (多选)在等腰三角形ABC中，AB＝AC，则下列四个图形中，可能是△ABC的直观图的有(　CD　)
A. B. C. D.
【解析】 如图所示，当∠x'O'y'＝135°时，其直观图是C；当∠x'O'y'＝45°时，其直观图是D.
9. (多选)水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B'O'＝ C'O'＝1，A'O'＝，那么原三角形ABC是一个(　ABD　)
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 三边互不相等的三角形 D. 面积为的三角形
【解析】 ∵在直观图中，B'O'＝ C'O'＝1，A'O'＝，∴原三角形ABC如图所示，BO＝CO＝1，AO＝，∴AB＝AC＝BC＝2，△ABC既是等腰三角形也是等边三角形，面积为×2×＝.
10. 在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点是M'，则点M'的坐标为　(4， 2)　.
【解析】 由直观图画法“横不变，纵折半”可得，点M'的坐标为(4， 2).
11. 在如图所示的直观图中，四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，原四边形OABC为　矩形　(填形状)，其面积为　8　 cm2.
【解析】 由题意结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，四边形OABC的面积为S＝2×4＝8 cm2.
12. 如图所示，△A'B'C'表示水平放置的△ABC在斜二测画法中的直观图，A'B'在x'轴上，B'C'与x'轴垂直，且B'C'＝3，则△ABC的AB边上的高为　6　.
【解析】 由题意知，过C'作C'H'∥y'轴，交x'轴于H'，则C'H'＝C'B'·＝3.由斜二测画法的规则知，在原图形中，CH⊥AB，∴AB边上的高CH＝2C'H'＝6.
13. 如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是　2＋　.
【解析】 由题意得，这个平面图形为一个直角梯形，上底长为1，下底长为1＋，高为2，∴面积为×2×(1＋1＋)＝2＋.
14. 画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.
解：(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示，画出对应的x'轴、y'轴，使∠x'O'y'＝45°，如图②所示.
图①　图②　图③
(2)如图②所示，在x'轴上取点B'，E'，使得O'B'＝OB，O'E'＝OE；在y'轴上取一点D'，使得O'D'＝OD；过点E'作E'C'∥y'轴，使E'C'＝EC.
(3)连接B'C'，C'D'，并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O'B'C'D'就是所求的直观图.
15. 已知圆柱的底面半径为1 cm，侧面母线长为3 cm，画出它的直观图.
解：(1)画轴.如图所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
(2)画下底面. 以O为中点，在x轴上取线段AB，使OA＝OB＝1 cm.利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点.这个椭圆就是圆柱的下底面.
(3)画上底面. 在Oz上截取点O'，使OO'＝3 cm，过点O'作平行于轴Ox的轴O'x'.用与下底面类似的作法作出圆柱的上底面.
(4)成图. 连接AA'，BB'，整理得到圆柱的直观图.
16. 泉州是一座历史文化名城，城中一些老建筑是中西建筑文化的融合，将闽南式大屋顶与西式建筑巧妙地结合在一起，具有独特的建筑风格与空间特征.为延续此建筑风格，在旧城改造中，泉州市计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格.现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图(尺寸自定).
解：(1)先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图A'B'C'D'－ABCD.　
(2)以直四棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面，画出三棱柱的直观图ADE－BCF.直观图如图所示.8.2 立体图形的直观图
1. 斜二测画法是绘制直观图的常用方法.下列关于斜二测画法和直观图的说法，正确的是(　 　)
A. 矩形的直观图一定是矩形
B. 等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
C. 平行四边形的直观图一定是平行四边形
D. 菱形的直观图一定是菱形
2. (2025·重庆高一期中)用斜二测画法作一个边长为6的正方形，则其直观图的面积为(　 　)
A. 36 B. 18 C. 9 D.
3. (2025·广东茂名高一期中)已知水平放置的△ABC的直观图如图所示，A'C'＝6， B'C'＝4，则边AB上的中线的实际长度为(　 　)
A. 4 B. C. 2 D. 5
4. 一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样.已知长方体的长、宽、高分别为20 cm，5 cm，10 cm，四棱锥的高为8 cm.若按1∶5的比例尺画出它的直观图，则直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高可分别为(　 　)
A. 4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm
B. 4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm
C. 4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm
D. 4 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm
5. 现有两个底面半径相等的圆锥，它们的底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥的顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥的顶点到底面的距离为3 cm，则根据斜二测画法得到的直观图中，这两个顶点之间的距离为 (　 　)
A. 2 cm B. 3 cm C. 2.5 cm D. 5 cm
6. 如图所示，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，B'在x'轴上，A'O'和x'轴垂直，且A'O'＝1，则△AOB的边OB上的高为(　 　)
A. 4 B. 2 C. 4 D. 2
7. 如图所示，边长为1的正方形O'A'B'C'是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，则平面图形OABC以OA所在直线为轴旋转一周所得的几何体是(　 　)
A. 一个圆柱
B. 一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体
C. 一个圆锥和一个同底面的圆柱内部挖去一个同底等高的圆锥的组合体
D. 两个同底的圆锥的组合体
8. (多选)在等腰三角形ABC中，AB＝AC，则下列四个图形中，可能是△ABC的直观图的有(　 　)
A. B. C. D.
9. (多选)水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B'O'＝ C'O'＝1，A'O'＝，那么原三角形ABC是一个(　 　)
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 三边互不相等的三角形 D. 面积为的三角形
10. 在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点是M'，则点M'的坐标为 .
11. 在如图所示的直观图中，四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，原四边形OABC为 (填形状)，其面积为 cm2.
12. 如图所示，△A'B'C'表示水平放置的△ABC在斜二测画法中的直观图，A'B'在x'轴上，B'C'与x'轴垂直，且B'C'＝3，则△ABC的AB边上的高为 .
13. 如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 .
14. 画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.
15. 已知圆柱的底面半径为1 cm，侧面母线长为3 cm，画出它的直观图.
16. 泉州是一座历史文化名城，城中一些老建筑是中西建筑文化的融合，将闽南式大屋顶与西式建筑巧妙地结合在一起，具有独特的建筑风格与空间特征.为延续此建筑风格，在旧城改造中，泉州市计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格.现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图(尺寸自定).(共20张PPT)
二、立体图形的直观图
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. 斜二测画法是绘制直观图的常用方法.下列关于斜二测画法和直观图
的说法，正确的是(　C　)
A. 矩形的直观图一定是矩形
B. 等腰三角形的直观图一定是等腰三角形
C. 平行四边形的直观图一定是平行四边形
D. 菱形的直观图一定是菱形
C
【解析】 矩形的直观图可以是平行四边形，A错误；等腰三角形的直观
图的两腰不相等，不一定为等腰三角形，B错误；根据斜二测画法的规
则，线段的平行性不变，∴平行四边形的直观图一定是平行四边形，C
正确；菱形的直观图中，一组对边长度可以改变，∴直观图不一定是菱
形，D错误.
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2. (2025·重庆高一期中)用斜二测画法作一个边长为6的正方形，则其直
观图的面积为(　C　)
A. 36 B. 18 C. 9 D.
【解析】 在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的 ，而边长为6
的正方形面积为36，∴所求的直观图的面积为 ×36＝9 .
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3. (2025·广东茂名高一期中)已知水平放置的△ABC的直观图如图所
示，A'C'＝6， B'C'＝4，则边AB上的中线的实际长度为(　D　)
A. 4 B. C. 2 D. 5
【解析】 △ABC的实际图形应是直角三角形，两条直角边的长分别是6
和8，斜边AB的长度为10，边AB上的中线的实际长度为5.
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4. 一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方
体的上底面尺寸一样.已知长方体的长、宽、高分别为20 cm，5 cm，10
cm，四棱锥的高为8 cm.若按1∶5的比例尺画出它的直观图，则直观图
中，长方体的长、宽、高和棱锥的高可分别为(　C　)
A. 4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B. 4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm
C. 4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm D. 4 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm
C
【解析】 原图形中平行于x轴、z轴的线段在直观图中分别平行于x'
轴、z'轴，且长度不变；原图形中平行于y轴的线段在直观图中平行于y'
轴，且长度变为原来的一半.
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5. 现有两个底面半径相等的圆锥，它们的底面重合在一起(底面平行于
水平面)，其中一个圆锥的顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥的顶
点到底面的距离为3 cm，则根据斜二测画法得到的直观图中，这两个顶
点之间的距离为 (　D　)
A. 2 cm B. 3 cm C. 2.5 cm D. 5 cm
【解析】 圆锥顶点到底面的距离即为圆锥的高，两个顶点之间的距离
为2＋3＝5 cm，在直观图中，与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.
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6. 如图所示，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，B'在x'轴上，
A'O'和x'轴垂直，且A'O'＝1，则△AOB的边OB上的高为(　B　)
A. 4 B. 2 C. 4 D. 2
【解析】 设△AOB的边OB上的高为h，∵S原图形＝2 S直观图，
∴ ×OB×h＝2 × ×O'B'×1，又OB＝O'B'，∴h＝2 .
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7. 如图所示，边长为1的正方形O'A'B'C'是一个水平放置的平面图形
OABC的直观图，则平面图形OABC以OA所在直线为轴旋转一周所得
的几何体是(　C　)
A. 一个圆柱
B. 一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体
C. 一个圆锥和一个同底面的圆柱内部挖去一个同底等高的圆锥的组合体
D. 两个同底的圆锥的组合体
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【解析】 由直观图O'A'B'C'画出原平面图形OABC，如图所示.
∵O'B'＝ ，∴OB＝2 ，OA＝1，∴平面图形OABC以OA所在直线为轴旋转一周所得的几何体为一个圆锥和一个同底面的圆柱内部挖去一个同底等高的圆锥的组合体.
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8. (多选)在等腰三角形ABC中，AB＝AC，则下列四个图形中，可能
是△ABC的直观图的有(　CD　)
A. B. C. D.
CD
【解析】 如图所示，当∠x'O'y'＝135°时，其直观图是C；
当∠x'O'y'＝45°时，其直观图是D.
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9. (多选)水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B'O'＝ C'O'＝1，
A'O'＝ ，那么原三角形ABC是一个(　ABD　)
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 三边互不相等的三角形 D. 面积为 的三角形
ABD
【解析】 ∵在直观图中，B'O'＝ C'O'＝1，A'O'＝ ，
∴原三角形ABC如图所示，BO＝CO＝1，AO＝ ，
∴AB＝AC＝BC＝2，△ABC既是等腰三角形也是等
边三角形，面积为 ×2× ＝ .
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10. 在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中
的对应点是M'，则点M'的坐标为 　(4， 2)　.
【解析】 由直观图画法“横不变，纵折半”可得，点M'的坐标为(4，2).
(4， 2)　
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11. 在如图所示的直观图中，四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm，则
在平面直角坐标系xOy中，原四边形OABC为 　矩形　(填形状)，其面
积为 　8　 cm2.
【解析】 由题意结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中
OA＝2 cm，OC＝4 cm，四边形OABC的面积为S＝2×4＝8 cm2.
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12. 如图所示，△A'B'C'表示水平放置的△ABC在斜二测画法中的直观
图，A'B'在x'轴上，B'C'与x'轴垂直，且B'C'＝3，则△ABC的AB边上
的高为 　6 　.
6 　
【解析】 由题意知，过C'作C'H'∥y'轴，交x'轴于H'，则C'H'＝C'B'· ＝3 .由斜二测画法的规则知，在原图形中，CH⊥AB，∴AB边上的高CH＝2C'H'＝6 .
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13. 如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个
底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积
是 　2＋ 　.
【解析】 由题意得，这个平面图形为一个直角梯形，上底长为1，下底
长为1＋ ，高为2，∴面积为 ×2×(1＋1＋ )＝2＋ .
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14. 画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.
解：(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示，画出对应的x'轴、y'轴，使∠x'O'y'＝45°，如图②所示.
(2)如图②所示，在x'轴上取点B'，E'，使得O'B'＝OB，O'E'＝OE；在y'轴上取一点D'，使得O'D'＝ OD；过点E'作E'C'∥y'轴，使E'C'＝ EC.
(3)连接B'C'，C'D'，并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O'B'C'D'就是所求的直观图.
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15. 已知圆柱的底面半径为1 cm，侧面母线长为3 cm，画出它的直
观图.
解：(1)画轴.如图所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
(2)画下底面. 以O为中点，在x轴上取线段AB，
使OA＝OB＝1 cm.利用椭圆模板画椭圆，使其
经过A，B两点.这个椭圆就是圆柱的下底面.
(3)画上底面. 在Oz上截取点O'，使OO'＝3 cm，
过点O'作平行于轴Ox的轴O'x'.用与下底面类似的作法作出圆柱的上底面.
(4)成图. 连接AA'，BB'，整理得到圆柱的直观图.
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16. 泉州是一座历史文化名城，城中一些老建筑是中西建筑文化的融
合，将闽南式大屋顶与西式建筑巧妙地结合在一起，具有独特的建筑风
格与空间特征.为延续此建筑风格，在旧城改造中，泉州市计划对部分
建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风
格.现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一
个三棱柱的组合体，请画出其直观图(尺寸自定).
解：(1)先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图A'B'C'D'－ABCD.
(2)以直四棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面，画出三棱柱的直观图
ADE－BCF. 直观图如图所示.
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