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8.3 练习1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1. 已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B1－ABC的体积V等于(　D　)
A. B. C. D.
【解析】 V＝××12×3＝.
2. 一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为(　B　)
A. B. 2 C. D. 3
【解析】 设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为S，二者的体积之比为＝＝＝2.
3. 正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为(　B　)
A. B. C. D.
【解析】 正方体的棱长为a，此时正四面体的棱长为a，则正方体的表面积为6a2，正四面体的表面积为4××(a)2sin＝2a2，两者之比为＝.
4. (2025·安徽铜陵高一期中)某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该正四棱锥的高为3 m，底面边长是8 m，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为(　B　)
A. 48 m2 B. 80 m2 C. 100 m2 D. 144 m2
【解析】 设该正四棱锥的侧面三角形底边上的高为h'.∵该正四棱锥的高为3 m，底面边长是8 m，∴根据勾股定理得h'＝＝5 m，∴该正四棱锥的侧面积为4××5×8＝80 m2，即需要油毡的面积为80 m2.　
5. (2024·重庆高一检测)正三棱锥P－ABC的表面积是底面积的5倍，则的值为(　A　)
A. B. C. D. 2
【解析】 设正三棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则底面面积为S1＝a2，侧面积为S2＝3×a×，且表面积是底面积的5倍，则侧面积是底面积的4倍，即4S1＝S2，化简可得＝a，即＝，∴＝＝.
6. (2025·重庆高一期中)已知一个直四棱柱的高为4，其底面ABCD水平放置时的直观图(斜二测画法)是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为(　C　)
A. 40 B. 32＋16 C. 64＋16 D. 64＋16
【解析】 由于直观图是正方形，∴四边形ABCD是两邻边分别为2与6、高为4的平行四边形，其周长是2＋6＋2＋6＝16，面积是2×4＝8，∴直四棱柱的表面积是16×4＋8×2＝64＋16.
7. 某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①4；②24；③4＋4；④12＋2.该几何体的表面积可能是其中的(　D　)
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④
【解析】 当该几何体为正四面体时，其表面积为4××22＝4；当该几何体为正四棱锥时，其表面积为4××22＋22＝4＋4；当该几何体为正三棱柱时，其表面积为2××22＋3×22＝12＋2；当该几何体为正方体时，其表面积为6×
22＝24.
8. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，则将该长方体截去一个三棱锥A－A1B1D1后，剩余几何体的体积为(　A　)
A. 50 B. 30 C. 25 D. 15
【解析】 ∵AB＝3，BC＝4，AA1＝5，∴长方体的体积V＝3×4×5＝60，
又VA－A1B1D1＝S△A1B1D1·AA1＝××3×4×5＝10，
∴长方体截去一个三棱锥A－A1B1D1后，剩余几何体的体积为60－10＝50.
9. (多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的上、下两部分几何体的高之比为1∶2，则下列关于上、下两部分几何体的说法，正确的有(　BD　)
A. 侧面积之比为1∶4 B. 侧面积之比为1∶8
C. 体积之比为1∶27 D. 体积之比为1∶26
【解析】 依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，∴小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，∴小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.
10. 一个正六棱柱的底面边长为4 cm，高为1 cm，则这个正六棱柱的表面积为　48＋24　cm2.
【解析】 正六棱柱的底面是边长为4 cm的正六边形，侧面是6个长方形，其下底面的面积S底＝6××16＝24 cm2，侧面积S侧＝4×1×6＝24 cm2，正六棱柱的表面积S＝2S底＋S侧＝48＋24 cm2.
11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不完全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，如图所示，棱长为2的正方体截去八个一样的四面体就得到二十四等边体，则该二十四等边体的体积为　　.
【解析】 由题设，该二十四等边体是正方体去掉八个角得到的，各顶点在正方体棱的中点，则该二十四等边体的体积为V＝23－8××1××1×1＝.
12. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为　　.
【解析】 S△DD1E＝DD1×1＝，又点F到平面DD1E的距离为1，
∴－EDF＝VF－D1DE＝S△DD1E×1＝.
13. 如图所示，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D'C'上，则三棱锥A'－EFQ的体积(　D　)
A. 与点E，F的位置有关
B. 与点Q的位置有关
C. 与点E，F，Q的位置都有关
D. 与点E，F，Q的位置均无关，是定值
【解析】 VA'－EFQ＝VQ－A'EF＝××EF×AA'×A'D'，∴其体积为定值，与点E，F，Q的位置均无关.
14. 在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比.
解：设棱台的高为h，S△ABC＝S，则B1C1＝4S.
∴－ABC＝S△ABC·h＝Sh，VC－A1B1C1＝B1C1·h＝Sh.又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，∴VB－A1B1C＝V台－－ABC－VC－A1B1C＝Sh－－＝Sh，
∴体积比为1∶2∶4.
15. 如图所示，正六棱锥被过棱锥的高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
解：(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积.
解：(2)如图所示，
∵小棱锥的底面边长为4 cm，∴大棱锥的底面边长为8 cm，又PA＝12 cm，
∴A1A＝6 cm.
又梯形ABB1A1的高h'＝＝4 cm，
∴S棱台侧＝6××4＝144 cm2，
∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝(144＋120) cm2.
16. 现有一个棱长为1的正方体礼品盒，需要买一张正方形彩纸将其完全包住，请你设计一种方案，在不将彩纸撕开的情况下，购买彩纸所需费用最少(注：彩纸按面积收费).
解：如图①所示为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.
图① 　图②
即购买边长为2的正方形彩纸所需费用最少.8.3 练习1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1. 已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B1－ABC的体积V等于(　 　)
A. B. C. D.
2. 一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为(　 　)
A. B. 2 C. D. 3
3. 正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为(　 　)
A. B. C. D.
4. (2025·安徽铜陵高一期中)某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该正四棱锥的高为3 m，底面边长是8 m，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为(　 　)
A. 48 m2 B. 80 m2 C. 100 m2 D. 144 m2
5. (2024·重庆高一检测)正三棱锥P－ABC的表面积是底面积的5倍，则的值为(　 　)
A. B. C. D. 2
6. (2025·重庆高一期中)已知一个直四棱柱的高为4，其底面ABCD水平放置时的直观图(斜二测画法)是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为(　 　)
A. 40 B. 32＋16 C. 64＋16 D. 64＋16
7. 某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①4；②24；③4＋4；④12＋2.该几何体的表面积可能是其中的(　 　)
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④
8. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，则将该长方体截去一个三棱锥A－A1B1D1后，剩余几何体的体积为(　 　)
A. 50 B. 30 C. 25 D. 15
9. (多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的上、下两部分几何体的高之比为1∶2，则下列关于上、下两部分几何体的说法，正确的有(　 　)
A. 侧面积之比为1∶4 B. 侧面积之比为1∶8
C. 体积之比为1∶27 D. 体积之比为1∶26
10. 一个正六棱柱的底面边长为4 cm，高为1 cm，则这个正六棱柱的表面积为 cm2.
11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不完全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，如图所示，棱长为2的正方体截去八个一样的四面体就得到二十四等边体，则该二十四等边体的体积为 .
12. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为 .
13. 如图所示，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D'C'上，则三棱锥A'－EFQ的体积(　 　)
A. 与点E，F的位置有关
B. 与点Q的位置有关
C. 与点E，F，Q的位置都有关
D. 与点E，F，Q的位置均无关，是定值
14. 在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比.
15. 如图所示，正六棱锥被过棱锥的高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积.
16. 现有一个棱长为1的正方体礼品盒，需要买一张正方形彩纸将其完全包住，请你设计一种方案，在不将彩纸撕开的情况下，购买彩纸所需费用最少(注：彩纸按面积收费).(共20张PPT)
三、简单几何体的表面积与体积
练习1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. 已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如
图所示)，则三棱锥B1－ABC的体积V等于(　D　)
A. B. C. D.
【解析】 V＝ × ×12×3＝ .
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2. 一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的
体积之比为(　B　)
A. B. 2 C. D. 3
【解析】 设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为 S，二者的体积之比为 ＝ ＝ ＝2.
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3. 正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的
表面积与正四面体的表面积之比为(　B　)
A. B. C. D.
B
【解析】 正方体的棱长为a，此时正四面体的棱长为
a，则正方体的表面积为6a2，正四面体的表面积
为4× ×( a)2 sin ＝2 a2，两者之比为 ＝ .
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4. (2025·安徽铜陵高一期中)某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设
油毡进行防水，已知该正四棱锥的高为3 m，底面边长是8 m，接缝处
忽略不计，则需要油毡的面积为(　B　)
A. 48 m2 B. 80 m2 C. 100 m2 D. 144 m2
B
【解析】 设该正四棱锥的侧面三角形底边上的高为h'.∵该正四棱锥的高为3 m，底面边长是8 m，∴根据勾股定理得h'＝ ＝5 m，∴该正四棱锥的侧面积为4× ×5×8＝80 m2，即需要油毡的面积为80 m2.　
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5. (2024·重庆高一检测)正三棱锥P－ABC的表面积是底面积的5倍，则
的值为(　A　)
A. B. C. D. 2
A
【解析】 设正三棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则底面面积为S1＝
a2，侧面积为S2＝3× a× ，且表面积是底面积的5倍，
则侧面积是底面积的4倍，即4S1＝S2，化简可得 ＝ a，
即 ＝ ，∴ ＝ ＝ .
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6. (2025·重庆高一期中)已知一个直四棱柱的高为4，其底面ABCD水平
放置时的直观图(斜二测画法)是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的
表面积为(　C　)
A. 40 B. 32＋16
C. 64＋16 D. 64＋16
【解析】 由于直观图是正方形，∴四边形ABCD是两邻边分别为2与6、高为4 的平行四边形，其周长是2＋6＋2＋6＝16，面积是2×4 ＝8 ，∴直四棱柱的表面积是16×4＋8 ×2＝64＋16 .
C
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7. 某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方
形，给出下面4个值：①4 ；②24；③4＋4 ；④12＋2 .该几何
体的表面积可能是其中的(　D　)
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④
D
【解析】 当该几何体为正四面体时，其表面积为4× ×22＝4 ；当
该几何体为正四棱锥时，其表面积为4× ×22＋22＝4＋4 ；当该几
何体为正三棱柱时，其表面积为2× ×22＋3×22＝12＋2 ；当该几
何体为正方体时，其表面积为6×22＝24.
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8. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，
AA1＝5，则将该长方体截去一个三棱锥A－A1B1D1后，剩余几何体的体积为(　A　)
A. 50 B. 30 C. 25 D. 15
A
【解析】 ∵AB＝3，BC＝4，AA1＝5，∴长方体的体积
V＝3×4×5＝60，又VA－A1B1D1＝ S△A1B1D1·AA1＝
× ×3×4×5＝10，∴长方体截去一个三棱锥A－A1B1D1后，剩余几何体的体积为60－10＝50.
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9. (多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的上、下两部分几何
体的高之比为1∶2，则下列关于上、下两部分几何体的说法，正确的有
(　BD　)
A. 侧面积之比为1∶4 B. 侧面积之比为1∶8
C. 体积之比为1∶27 D. 体积之比为1∶26
【解析】 依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，∴小棱锥与原棱
锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，∴小棱锥与原棱锥的侧面积之
比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积
之比为1∶26.
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10. 一个正六棱柱的底面边长为4 cm，高为1 cm，则这个正六棱柱的表
面积为 　48 ＋24　cm2.
【解析】 正六棱柱的底面是边长为4 cm的正六边形，侧面是6个长方
形，其下底面的面积S底＝6× ×16＝24 cm2，侧面积S侧＝4×1×
6＝24 cm2，正六棱柱的表面积S＝2S底＋S侧＝48 ＋24 cm2.
48 ＋24　
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11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不完全相同的正多
边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正
多面体，如图所示，棱长为2的正方体截去八个一样的四面体就得到二
十四等边体，则该二十四等边体的体积为 　 　.
　
【解析】 由题设，该二十四等边体是正方体去掉八个角得到的，各顶点在正方体棱的中点，则该二十四等边体的体积为V＝23－8× ×1× ×1×1＝ .
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12. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线
段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为 　 　.
　
【解析】 S△DD1E＝ DD1×1＝ ，又点F到平面DD1E的距离为1，∴ －EDF＝
VF－D1DE＝ S△DD1E×1＝ .
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. 如图所示，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D'C'上，则三棱锥A'－EFQ的体积(　D　)
A. 与点E，F的位置有关
B. 与点Q的位置有关
C. 与点E，F，Q的位置都有关
D. 与点E，F，Q的位置均无关，是定值
D
【解析】 VA'－EFQ＝VQ－A'EF＝ × ×EF×AA'×A'D'，∴其体积
为定值，与点E，F，Q的位置均无关.
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14. 在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，
三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比.
解：设棱台的高为h，S△ABC＝S，则 B1C1＝4S.
∴ －ABC＝ S△ABC·h＝ Sh，VC－A1B1C1＝
B1C1·h＝ Sh.又V台＝ h(S＋4S＋2S)＝ Sh，
∴VB－A1B1C＝V台－ －ABC－VC－A1B1C＝ Sh－ － ＝
Sh，∴体积比为1∶2∶4.
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15. 如图所示，正六棱锥被过棱锥的高PO的中点O'且平行于底面的平
面所截，得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
解：(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，
则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.
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(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得
的棱台的侧面积和表面积.
解：(2)如图所示，
∵小棱锥的底面边长为4 cm，∴大棱锥的底面边长为8 cm，又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm.
又梯形ABB1A1的高h'＝ ＝4 cm，
∴S棱台侧＝6× ×4 ＝144 cm2，
∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144 ＋24 ＋
96 ＝(144 ＋120 ) cm2.
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16. 现有一个棱长为1的正方体礼品盒，需要买一张正方形彩纸将其完
全包住，请你设计一种方案，在不将彩纸撕开的情况下，购买彩纸所需
费用最少(注：彩纸按面积收费).
解：如图①所示为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图示
方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图
②所示，由图知正方形的边长为2 ，其面积为8.
图①　 图②
即购买边长为2 的正方形彩纸所需费用最少.
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