资源简介

(共20张PPT)
三、简单几何体的表面积与体积
练习2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. 如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球
的表面积之和的(　B　)
A. 倍 B. 倍 C. 2倍 D. 3倍
【解析】 设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，
＝ .
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的
母线长为(　B　)
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
【解析】 设圆锥的母线长为l，则2π× ＝πl，解得l＝2 .
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，则圆柱的体积为(　D　)
A. B. C. D.
【解析】 设圆柱的底面半径为a，∵轴截面为正方形，∴圆柱的高为
2a，则S＝4πa2，解得a＝ ，可得圆柱的体积V＝πa2·2a＝2π×
× ＝ .
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. (2025·云南昆明期末)如图所示，圆锥SO2被平行于底面的一个平面所
截，截去一个上、下底面半径分别为3和5，高为4的圆台O1O2，则所得
圆锥SO1的体积为(　B　)
A. 16π B. 18π C. 20π D. 24π
B
【解析】 设圆锥SO1的高为h，则 ＝ ，解得h＝6，
因此圆锥SO1的体积为 π×32×6＝18π.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. (2025·江苏盐城阶段练习)如图所示的粮仓可以看成圆柱与圆锥的组
合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为
1米，则该组合体的体积为(　D　)
A. 立方米 B. 2π立方米
C. 立方米 D. 立方米
D
【解析】 圆柱的体积为π×12×2＝2π(立方米)，圆锥的体积为
×π×12×0.5＝ (立方米)，∴该组合体的体积为2π＋ ＝ (立方米).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. 一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转
，形成的几何体的体积为(　B　)
A. B. C. D.
【解析】 将一个腰长为2的直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线
旋转 ，所得几何体为一个圆锥的 .由题意得圆锥的底面半径为2，高
为2，∴形成的几何体的体积为 × ×π×22×2＝ .
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. (2024·山东济宁高一期中)如图所示，将一个圆柱4等分切割，再将其
重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体.若新几何体的表面积比圆柱
的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是(　A　)
A. 10π B. 20π
C. 100π D. 200π
A
【解析】 设圆柱的底面圆半径为r，高为h，则圆柱的表面积为2πr2＋
2πrh，新几何体的表面积为2πr2＋2πrh＋2rh，2rh＝10，圆柱的侧面
积为2πrh＝10π.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. (多选)圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开得到的扇
环所对的圆心角为180°，则圆台的(　ABD　)
A. 母线长为20 B. 表面积为1 100π
C. 高为10 D. 体积为
ABD
【解析】 如图所示，设圆台的上底面周长为C，
∵扇环所对的圆心角为180°，∴C＝π·SA，
又C＝10×2π，∴SA＝20，同理SB＝40，
圆台的母线AB＝SB－SA＝20，
高h＝ ＝10 ，
体积V＝ π×10 ×(102＋10×20＋202)＝ ，
表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1 100π.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. (多选)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则
这两个截面间的距离为(　AD　)
A. 1 B. 3
C. 4 D. 7
图① 图②
【解析】 若两个平行截面在球心同侧，如图①所示，则两个截面间的
距离为 － ＝1；若两个平行截面在球心异侧，如图②
所示，则两个截面间的距离为 ＋ ＝7.
AD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. (2025·湖南开学考试)已知母线长为10的圆台的侧面积为100π，且其
上底面的半径r与下底面的半径R满足R＝4r，则R＝ 　8　.
【解析】 ∵该圆台的侧面积为100π，母线长l＝10，R＝4r，
∴π(r＋4r)×10＝100π，解得r＝2，则R＝8.
8　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 圆柱形容器的内壁底面半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器
的水中.若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的
表面积为 　100π　cm2.
【解析】 设该铁球的半径为r，则由题意得 πr3＝π×102× ，
解得r3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π cm2.
100π　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. (2025·甘肃武威模拟)如图所示的斜截圆柱是用一个平面从圆柱上截取而成的，其侧面可看成圆柱侧面的一部分.已知圆柱底面的半径为15 cm，母线长最短为40 cm，最长为60 cm，则该斜截圆柱的侧面积为 　1 500π　cm2.
1 500π
【解析】 将相同的两个几何体对接成圆柱，则所求几何体的侧面积是新圆柱侧面积的一半，则所求侧面积为 ×2π×15×(40＋60)＝1 500 cm2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. (2024·全国甲卷)已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r1和r2，母线长分别为2(r2－r1)和3(r2－r1)，则两个圆台的体积之比 ＝ 　 　.
　
【解析】 由题可得两个圆台的高分别为h甲＝ ＝ (r2－r1)，h乙＝ ＝2 (r2－r1)，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半
球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积.
解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组
合体的体积V＝ πr3＋πr2l＝ π×13＋π×12×3＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 如图所示，一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，其中有一个高
为x cm的内接圆柱.
(1)试用x表示圆柱的侧面积；
解：(1)S圆柱侧＝2πrx＝2π x＝4πx－ x2，x∈(0，6).
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？
解：(2)由(1)知当x＝－ ＝3时，这个二次函数有最
大值6π，∴当圆柱的高为3 cm时，它的侧面积最大，为6π cm2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. (2025·山东省实验中学高一期中)如图所示，圆锥的顶点为P，PA，PB为母线， cos ∠APB＝ ，轴截面是顶角为90°
的等腰三角形PAC，若△PAB的面积为2 ，求：
(1)该圆锥的侧面积；
解：(1)设圆锥的母线长、底面半径分别为l(l＞0)，r(r＞0)，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为90°，得l2＋l2＝(2r)2，可得l＝
r.∵ cos ∠APB＝ ，∴ sin ∠APB＝ ＝ ＝ .∵△PAB的面积为2 ，∴S△PAB＝ PA·PB· sin ∠APB＝ l2×
＝2 ，可得l＝4，又l＝ r，∴r＝2 ，
∴圆锥的侧面积S＝ ×2πr×l＝π×2 ×4＝8 π.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)该圆锥的内接正四棱柱的侧面积的最大值.
解：(2)由(1)知圆锥的高h0＝r＝ l＝2 ，作出轴截面，
如图所示.作PO⊥AC，垂足为O，交HG于点O1.
设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则HG＝ a，
PO1＝h0－h，由 ＝ 得 ＝ ，
∴a＝ (2 －h)，∴正四棱柱的侧面积S侧＝4ah＝
4 (2 －h)h≤4 · ＝8 ，
当且仅当2 －h＝h，即h＝ 时，等号成立，∴该圆锥的内接正四棱柱的侧面积的最大值是8 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
168.3 练习2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
@必备知识练
1. 如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　 　)
A. 倍 B. 倍 C. 2倍 D. 3倍
2. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　 　)
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
3. 若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，则圆柱的体积为(　 　)
A. B. C. D.
4. (2025·云南昆明期末)如图所示，圆锥SO2被平行于底面的一个平面所截，截去一个上、下底面半径分别为3和5，高为4的圆台O1O2，则所得圆锥SO1的体积为(　 　)
A. 16π B. 18π C. 20π D. 24π
5. (2025·江苏盐城阶段练习)如图所示的粮仓可以看成圆柱与圆锥的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体的体积为(　 　)
A. 立方米 B. 2π立方米 C. 立方米 D. 立方米
6. 一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转，形成的几何体的体积为(　 　)
A. B. C. D.
7. (2024·山东济宁高一期中)如图所示，将一个圆柱4等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体.若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是(　 　)
A. 10π B. 20π C. 100π D. 200π
8. (多选)圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开得到的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的(　 　)
A. 母线长为20 B. 表面积为1 100π
C. 高为10 D. 体积为
9. (多选)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为(　 　)
A. 1 B. 3
C. 4 D. 7
图①　图②
10. (2025·湖南开学考试)已知母线长为10的圆台的侧面积为100π，且其上底面的半径r与下底面的半径R满足R＝4r，则R＝ .
11. 圆柱形容器的内壁底面半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中.若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为 cm2.
12. (2025·甘肃武威模拟)如图所示的斜截圆柱是用一个平面从圆柱上截取而成的，其侧面可看成圆柱侧面的一部分.已知圆柱底面的半径为15 cm，母线长最短为40 cm，最长为60 cm，则该斜截圆柱的侧面积为 cm2.
13. (2024·全国甲卷)已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r1和r2，母线长分别为2(r2－r1)和3(r2－r1)，则两个圆台的体积之比＝ .
14. 某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积.
15. 如图所示，一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，其中有一个高为x cm的内接圆柱.
(1)试用x表示圆柱的侧面积；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？
16. (2025·山东省实验中学高一期中)如图所示，圆锥的顶点为P，PA，PB为母线，cos∠APB＝，轴截面是顶角为90°的等腰三角形PAC，若△PAB的面积为2，求：
(1)该圆锥的侧面积；
(2)该圆锥的内接正四棱柱的侧面积的最大值.8.3 练习2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
@必备知识练
1. 如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　B　)
A. 倍 B. 倍 C. 2倍 D. 3倍
【解析】 设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，＝.
2. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　B　)
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
【解析】 设圆锥的母线长为l，则2π×＝πl，解得l＝2.
3. 若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，则圆柱的体积为(　D　)
A. B. C. D.
【解析】 设圆柱的底面半径为a，∵轴截面为正方形，∴圆柱的高为2a，则S＝4πa2，解得a＝，可得圆柱的体积V＝πa2·2a＝2π××＝.
4. (2025·云南昆明期末)如图所示，圆锥SO2被平行于底面的一个平面所截，截去一个上、下底面半径分别为3和5，高为4的圆台O1O2，则所得圆锥SO1的体积为(　B　)
A. 16π B. 18π C. 20π D. 24π
【解析】 设圆锥SO1的高为h，则＝，解得h＝6，因此圆锥SO1的体积为π×32×6＝18π.
5. (2025·江苏盐城阶段练习)如图所示的粮仓可以看成圆柱与圆锥的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体的体积为(　D　)
A. 立方米 B. 2π立方米 C. 立方米 D. 立方米
【解析】 圆柱的体积为π×12×2＝2π(立方米)，圆锥的体积为×π×12×0.5＝(立方米)，∴该组合体的体积为2π＋＝(立方米).
6. 一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转，形成的几何体的体积为(　B　)
A. B. C. D.
【解析】 将一个腰长为2的直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转，所得几何体为一个圆锥的.由题意得圆锥的底面半径为2，高为2，∴形成的几何体的体积为××π×22×2＝.
7. (2024·山东济宁高一期中)如图所示，将一个圆柱4等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体.若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是(　A　)
A. 10π B. 20π C. 100π D. 200π
【解析】 设圆柱的底面圆半径为r，高为h，则圆柱的表面积为2πr2＋2πrh，新几何体的表面积为2πr2＋2πrh＋2rh，2rh＝10，圆柱的侧面积为2πrh＝10π.
8. (多选)圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开得到的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的(　ABD　)
A. 母线长为20 B. 表面积为1 100π
C. 高为10 D. 体积为
【解析】 如图所示，设圆台的上底面周长为C，∵扇环所对的圆心角为180°，∴C＝π·SA，又C＝10×2π，∴SA＝20，同理SB＝40，圆台的母线AB＝SB－
SA＝20，高h＝＝10，体积V＝π×10×(102＋10×20＋202)＝，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1 100π.
9. (多选)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为(　AD　)
A. 1 B. 3
C. 4 D. 7
图①　图②
【解析】 若两个平行截面在球心同侧，如图①所示，则两个截面间的距离为－＝1；若两个平行截面在球心异侧，如图②所示，则两个截面间的距离为＋＝7.
10. (2025·湖南开学考试)已知母线长为10的圆台的侧面积为100π，且其上底面的半径r与下底面的半径R满足R＝4r，则R＝　8　.
【解析】 ∵该圆台的侧面积为100π，母线长l＝10，R＝4r，∴π(r＋4r)×10＝100π，解得r＝2，则R＝8.
11. 圆柱形容器的内壁底面半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中.若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为　100π　cm2.
【解析】 设该铁球的半径为r，则由题意得πr3＝π×102×，解得r3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π cm2.
12. (2025·甘肃武威模拟)如图所示的斜截圆柱是用一个平面从圆柱上截取而成的，其侧面可看成圆柱侧面的一部分.已知圆柱底面的半径为15 cm，母线长最短为40 cm，最长为60 cm，则该斜截圆柱的侧面积为　1 500π　cm2.
【解析】 将相同的两个几何体对接成圆柱，则所求几何体的侧面积是新圆柱侧面积的一半，则所求侧面积为×2π×15×(40＋60)＝1 500 cm2.
13. (2024·全国甲卷)已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r1和r2，母线长分别为2(r2－r1)和3(r2－r1)，则两个圆台的体积之比＝　　.
【解析】 由题可得两个圆台的高分别为h甲＝＝(r2－r1)，h乙＝＝2(r2－r1)，∴＝＝＝＝.
14. 某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积.
解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积
V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
15. 如图所示，一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，其中有一个高为x cm的内接圆柱.
(1)试用x表示圆柱的侧面积；
解：(1)S圆柱侧＝2πrx＝2πx＝4πx－x2，x∈(0，6).
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？
解：(2)由(1)知当x＝－＝3时，这个二次函数有最大值6π，∴当圆柱的高为3 cm时，它的侧面积最大，为6π cm2.
16. (2025·山东省实验中学高一期中)如图所示，圆锥的顶点为P，PA，PB为母线，cos∠APB＝，轴截面是顶角为90°的等腰三角形PAC，若△PAB的面积为2，求：
(1)该圆锥的侧面积；
解：(1)设圆锥的母线长、底面半径分别为l(l＞0)，r(r＞0)，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为90°，得l2＋l2＝(2r)2，可得l＝r.
∵cos∠APB＝，∴sin∠APB＝＝＝.
∵△PAB的面积为2，∴S△PAB＝PA·PB·sin∠APB＝l2×＝2，
可得l＝4，
又l＝r，∴r＝2，∴圆锥的侧面积S＝×2πr×l＝π×2×4＝8π.
(2)该圆锥的内接正四棱柱的侧面积的最大值.
解：(2)由(1)知圆锥的高h0＝r＝l＝2，作出轴截面，如图所示.作PO⊥AC，垂足为O，交HG于点O1.
设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则HG＝a，PO1＝h0－h，由＝得＝，∴a＝(2－h)，
∴正四棱柱的侧面积S侧＝4ah＝4(2－h)h≤4·＝8，当且仅当2－h＝h，即h＝时，等号成立，∴该圆锥的内接正四棱柱的侧面积的最大值是8.

展开更多......

收起↑