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8.3 练习3　与球有关的切、接问题
1. 将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为(　 　)
A. π B. C. π D. 4π
2. 表面积为16π的球的内接正方体的体积为(　 　)
A. 8 B. C. D. 16
3. 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和2，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为(　 　)
A. B. C. D.
4. 在正三棱柱ABC－A1B1C1内，有一个体积为V的球.若AB＝6，AA1＝4，则V的最大值是(　 　)
A. 16π B. C. 12π D. 4π
5. 如图所示，在四面体ABCD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝2，则四面体ABCD外接球的表面积为(　 　)
A. 2π B. 4π C. 8π D.
6. 魏晋时期，数学家刘徽在其著作《九章算术注》中将一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体称为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为(　 　)
A. 16 B. 16 C. D.
7. (2025·江西阶段练习)已知某棱长为2的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为(　 　)
A. 4π B. 2π C. D. π
8. (多选)一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一个球的球面上，则该球的体积可能是(　 　)
A. π B. π C. π D. π
9. (多选)已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为2的正三角形，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. 该多面体的体积为
B. 该多面体的外接球的表面积为8π
C. 该多面体的内切球的体积为
D. 该多面体的表面积为8
10. 若圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为 .
11. 若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为 .
12. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 .
13. 已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值是 .
14. 在正三棱锥P－ABC中，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，求球心到截面ABC的距离.
15. 一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，圆锥里又有一个内切球.求：
(1)圆锥的侧面积；
(2)圆锥的内切球的体积.
16. (2025·绍兴高一期中)在桌面上放置四个半径都是2的玻璃小球，并用一个半球形容器罩住这四个小球，求这个容器的内壁半径的最小值.(共21张PPT)
三、简单几何体的表面积与体积
练习3　与球有关的切、接问题
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. 将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为
(　B　)
A. π B. C. π D. 4π
【解析】 根据题意知，此球为正方体的内切球，∴球的直径等于正方
体的棱长，r＝1，∴V＝ πr3＝ π.
B
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2. 表面积为16π的球的内接正方体的体积为(　C　)
A. 8 B. C. D. 16
【解析】 设表面积为16π的球的半径为r，则4πr2＝16π，解得r＝2. 设
内接正方体的棱长为a，则 a＝2r，∴a＝ ，∴内接正方体的体
积V＝a3＝ ＝ .
C
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3. 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和2 ，此三棱柱的高为 ，则该三棱柱的外接球的体积为(　C　)
A. B. C. D.
C
【解析】 由题意，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成长方体，如图所示，
则该长方体的体对角线为 ＝4，设长方体的外接
球的半径为R，则2R＝4，R＝2，
∴该长方体的外接球的体积V＝ πR3＝ .
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4. 在正三棱柱ABC－A1B1C1内，有一个体积为V的球.若AB＝6，
AA1＝4，则V的最大值是(　D　)
A. 16π B. C. 12π D. 4 π
【解析】 由题意知正三角形ABC的边长为6，其内切圆的半径r＝ ＜
AA1＝2，∴正三棱柱ABC－A1B1C1内的球的半径的最大值是 ，
则V的最大值是 πr3＝4 π.
D
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5. 如图所示，在四面体ABCD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝2，
则四面体ABCD外接球的表面积为(　B　)
A. 2π B. 4π C. 8π D.
B
【解析】 如图所示，设O是AB的中点，连接OC，OD，∵∠ACB＝
∠ADB＝90°，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴O是四面体ABCD外接球
的球心，外接球的半径为OA＝OB＝OC＝OD＝ AB＝1，
∴外接球的表面积为4π×12＝4π.
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6. 魏晋时期，数学家刘徽在其著作《九章算术注》中将一个正方体内
两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体称为“牟合方盖”.刘徽通过
计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若
正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为(　C　)
A. 16 B. 16 C. D.
C
【解析】 若正方体的棱长为2，则其内切球的半径r＝1，∴正方体的内切球的体积V球＝ π×13＝ π. 又 ＝ ，∴V牟合方盖＝ × ＝ .
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7. (2025·江西阶段练习)已知某棱长为2 的正四面体的各条棱都与同
一球面相切，则该球的表面积为(　A　)
A. 4π B. 2π C. D. π
A
【解析】 如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为2 的正四面体A－BCD ，显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，球的半径r＝1，则该球的表面积为S＝4πr2＝4π.
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8. (多选)一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一个球的球面
上，则该球的体积可能是(　BCD　)
A. π B. π C. π D. π
【解析】 设长方体未知的两棱长分别为a，b，则ab×1＝1，ab＝1，
设外接球半径为R，则2R＝ ，球的体积为V＝ πR3＝
(a2＋b2＋1 ，a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，
∴V≥ π.
BCD
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9. (多选)已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为2的
正三角形，则下列结论中，正确的有(　ABC　)
A. 该多面体的体积为
B. 该多面体的外接球的表面积为8π
C. 该多面体的内切球的体积为
D. 该多面体的表面积为8
ABC
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【解析】 如图所示，该多面体是棱长均为2的正八面体，其中四棱锥
A－BCDE和四棱锥F－BCDE均为正四棱锥，连接BD，CE，交于点
O，连接AO，则AO为正四棱锥A－BCDE的高，易知BD＝CE＝2 ，AO＝ ＝ ，∴该多面体的体积V＝2V四棱锥A－BCDE＝2× ×S四边形BCDE×AO＝2× ×2×2× ＝ ，该多面体的表面积S＝8 BC＝8× ×2×2× ＝8 ，A正确，D错误；
由题易知，该多面体的外接球的半径为 ，内切球的半
径为 ，该多面体的外接球的表面积为8π，内切球
的体积为 ，B，C正确.
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10. 若圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积
为 　100π　.
【解析】 如图所示，由已知条件知，O1A＝3，OO1＝4，∴OA＝5，
∴球的表面积为100π.
100π　
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11. 若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底
面半径分别为4和5，则该圆台的体积为 　61π　.
【解析】 设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则R＝5，r＝4.
由题意可知，圆台的下底面为球的大圆，∴圆台的高h＝ ＝3，∴其体积V＝ πh(R2＋r2＋Rr)＝ π×3×(52＋42＋5×4)＝61π.
61π　
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12. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为
2，则该球的表面积为 　 　.
　
【解析】 如图所示，设球的半径为R，底面中心为O'且球心为O，
∵在正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，∴AO'＝ .
∵PO'＝4，∴在Rt△AOO'中，AO2＝AO'2＋OO'2，
∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝ ，
∴该球的表面积为4πR2＝4π× ＝ .
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. 已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的
小正方体的体积的最大值是 　 　.
【解析】 设棱长为2的正方体的内切球的半径为r，则2r＝2，解得r＝
1.设所求的小正方体的棱长为a，当小正方体的体积最大时，有3a2＝
(2r)2，∴a＝ ＝ ，∴小正方体体积的最大值是a3＝ ＝ .
　
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14. 在正三棱锥P－ABC中，点P，A，B，C都在半径为 的球面
上，若PA，PB，PC两两垂直，求球心到截面ABC的距离.
解：由题可知PA＝PB＝PC，又PA，PB，PC两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即为以PA，PB，PC为三条棱的正方体的外接
球O. ∵球O的半径为 ，∴正方体的棱长为2，即PA＝PB＝PC＝
2，球心O到截面ABC的距离即为正方体的中心到截面ABC的距离.
设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P－ABC的体积V＝
S△ABC×h＝ S△PAB×PC＝ × ×2×2×2＝ ，又△ABC是边长
为2 的正三角形，∴S△ABC＝ ×(2 )2＝2 ，∴h＝ ＝
，∴球心O到截面ABC的距离为 － ＝ .
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15. 一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，圆锥里又有一个内
切球.求：
(1)圆锥的侧面积；
解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接
于圆O，而圆O1内切于△SAB.
设圆O的半径为R，则有 πR3＝972π，∴R＝9，
SE＝2R＝18.∵SD＝16，∴ED＝2.
连接AE，又SE是圆O的直径，∴SA⊥AE，∴SA2＝SD×SE＝
16×18＝288，SA＝12 .∵AB⊥SD，D为AB的中点，∴AD2＝
SD·DE＝16×2＝32，AD＝4 ，∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×
4 ×12 ＝96π.
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(2)圆锥的内切球的体积.
解：(2)设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r，
∵△SAB的周长为2×(12 ＋4 )＝32 ，
∴ r×32 ＝ ×8 ×16，解得r＝4.
圆锥的内切球的体积V球＝ πr3＝ π.
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16. (2025·绍兴高一期中)在桌面上放置四个半径都是2的玻璃小球，并
用一个半球形容器罩住这四个小球，求这个容器的内壁半径的最小值.
解：要使半球形容器内壁的半径最小，只需保证四个小球的球心构成正
方形，相邻的两个小球相切，且四个小球与半球形容器的内壁都相切.
如图所示，
O为半球的球心，A为其中一个小球的球心，连接OA，则OA是棱长为2的正方体的体对角线，且该小球与半球形容器内壁的切点和点O，A共线，∴半球形容器内壁的半径的最小值是小球半径与OA长度之和，即2 ＋2.
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168.3 练习3　与球有关的切、接问题
1. 将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为(　B　)
A. π B. C. π D. 4π
【解析】 根据题意知，此球为正方体的内切球，∴球的直径等于正方体的棱长，
r＝1，∴V＝πr3＝π.
2. 表面积为16π的球的内接正方体的体积为(　C　)
A. 8 B. C. D. 16
【解析】 设表面积为16π的球的半径为r，则4πr2＝16π，解得r＝2. 设内接正方体的棱长为a，则a＝2r，∴a＝，∴内接正方体的体积V＝a3＝＝.
3. 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和2，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 由题意，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成长方体，如图所示，则该长方体的体对角线为＝4，设长方体的外接球的半径为R，则2R＝4，R＝2，∴该长方体的外接球的体积V＝πR3＝.
4. 在正三棱柱ABC－A1B1C1内，有一个体积为V的球.若AB＝6，AA1＝4，则V的最大值是(　D　)
A. 16π B. C. 12π D. 4π
【解析】 由题意知正三角形ABC的边长为6，其内切圆的半径r＝＜AA1＝2，∴正三棱柱ABC－A1B1C1内的球的半径的最大值是，则V的最大值是πr3＝4π.
5. 如图所示，在四面体ABCD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝2，则四面体ABCD外接球的表面积为(　B　)
A. 2π B. 4π C. 8π D.
【解析】 如图所示，设O是AB的中点，连接OC，OD，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴O是四面体ABCD外接球的球心，外接球的半径为OA＝OB＝OC＝OD＝AB＝1，∴外接球的表面积为4π×12＝4π.
6. 魏晋时期，数学家刘徽在其著作《九章算术注》中将一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体称为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为(　C　)
A. 16 B. 16 C. D.
【解析】 若正方体的棱长为2，则其内切球的半径r＝1，∴正方体的内切球的体积V球＝π×13＝π. 又＝，∴V牟合方盖＝×π＝.
7. (2025·江西阶段练习)已知某棱长为2的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为(　A　)
A. 4π B. 2π C. D. π
【解析】 如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为2的正四面体A－BCD ，显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，球的半径r＝1，则该球的表面积为S＝4πr2＝4π.
8. (多选)一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一个球的球面上，则该球的体积可能是(　BCD　)
A. π B. π C. π D. π
【解析】 设长方体未知的两棱长分别为a，b，则ab×1＝1，ab＝1，设外接球半径为R，则2R＝，球的体积为V＝πR3＝(a2＋b2＋1，a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，∴V≥π.
9. (多选)已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为2的正三角形，则下列结论中，正确的有(　ABC　)
A. 该多面体的体积为
B. 该多面体的外接球的表面积为8π
C. 该多面体的内切球的体积为
D. 该多面体的表面积为8
【解析】 如图所示，该多面体是棱长均为2的正八面体，其中四棱锥A－BCDE和四棱锥F－BCDE均为正四棱锥，连接BD，CE，交于点O，连接AO，则AO为正四棱锥A－BCDE的高，易知BD＝CE＝2，AO＝＝，∴该多面体的体积V＝2V四棱锥A－BCDE＝2××S四边形BCDE×AO＝2××2×2×＝，该多面体的表面积S＝8BC＝8××2×2×＝8，A正确，D错误；由题易知，该多面体的外接球的半径为，内切球的半径为，该多面体的外接球的表面积为8π，内切球的体积为，B，C正确.
10. 若圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为　100π　.
【解析】 如图所示，由已知条件知，O1A＝3，OO1＝4，∴OA＝5，∴球的表面积为100π.
11. 若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为　61π　.
【解析】 设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则R＝5，r＝4.由题意可知，圆台的下底面为球的大圆，∴圆台的高h＝＝3，∴其体积V＝πh(R2＋r2＋Rr)＝π×3×(52＋42＋5×4)＝61π.
12. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为　　.
【解析】 如图所示，设球的半径为R，底面中心为O'且球心为O，∵在正四棱锥
P－ABCD中，AB＝2，∴AO'＝. ∵PO'＝4，∴在Rt△AOO'中，AO2＝AO'2＋OO'2，∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，∴该球的表面积为4πR2＝4π×＝.
13. 已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值是　　.
【解析】 设棱长为2的正方体的内切球的半径为r，则2r＝2，解得r＝1.设所求的小正方体的棱长为a，当小正方体的体积最大时，有3a2＝(2r)2，∴a＝＝，
∴小正方体体积的最大值是a3＝＝.
14. 在正三棱锥P－ABC中，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，求球心到截面ABC的距离.
解：由题可知PA＝PB＝PC，又PA，PB，PC两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即为以PA，PB，PC为三条棱的正方体的外接球O.∵球O的半径为，∴正方体的棱长为2，即PA＝PB＝PC＝2，球心O到截面ABC的距离即为正方体的中心到截面ABC的距离.
设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P－ABC的体积V＝S△ABC×h＝S△PAB×PC＝××2×2×2＝，又△ABC是边长为2的正三角形，
∴S△ABC＝×(2)2＝2，∴h＝＝，
∴球心O到截面ABC的距离为－＝.
15. 一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，圆锥里又有一个内切球.求：
(1)圆锥的侧面积；
解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB.
设圆O的半径为R，则有πR3＝972π，∴R＝9，SE＝2R＝18.∵SD＝16，
∴ED＝2.
连接AE，又SE是圆O的直径，∴SA⊥AE，∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，
SA＝12.∵AB⊥SD，D为AB的中点，∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4，∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4×12＝96π.
(2)圆锥的内切球的体积.
解：(2)设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r，
∵△SAB的周长为2×(12＋4)＝32，∴r×32＝×8×16，解得r＝4.圆锥的内切球的体积V球＝πr3＝π.
16. (2025·绍兴高一期中)在桌面上放置四个半径都是2的玻璃小球，并用一个半球形容器罩住这四个小球，求这个容器的内壁半径的最小值.
解：要使半球形容器内壁的半径最小，只需保证四个小球的球心构成正方形，相邻的两个小球相切，且四个小球与半球形容器的内壁都相切.如图所示，
O为半球的球心，A为其中一个小球的球心，连接OA，则OA是棱长为2的正方体的体对角线，且该小球与半球形容器内壁的切点和点O，A共线，∴半球形容器内壁的半径的最小值是小球半径与OA长度之和，即2＋2.

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