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8.4 练习1　平面
1. 下列说法中，正确的是(　 　)
A. 平行四边形是一个平面
B. 任何一个平面图形都是一个平面
C. 平静的太平洋面就是一个平面
D. 一个平面可以将空间分成两部分
2. 如果空间内四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中，正确的是(　 　)
A. A，B，C，D四点中必有三点共线
B. A，B，C，D四点中不存在三点共线
C. 直线AB与CD相交
D. 直线AB与CD平行
3. 若直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(　 　)
A. l α B. l α C. l∩α＝M D. l∩α＝N
4. 经过同一条直线上的三个点的平面(　 　)
A. 有且仅有1个 B. 有无数个 C. 不存在 D. 有且仅有3个
5. 如图所示，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C l，直线AD∩l＝D，A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过(　 　)
A. 点A B. 点B C. 点C，但不过点D D. 点C和点D
6. 已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　 　)
A. 1条或2条 B. 2条或3条
C. 1条或3条 D. 1条或2条或3条
7. (2025·福建泉州高一期中)如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K.下列说法中，正确的个数是(　 　)
①M，N，K三点共线；②P，N，M，C四点共面；③BC∥NK.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. (多选)已知α，β为平面，A，B，M为点，a为直线.下列说法中，正确的有(　 　)
A. 若A∈a，A∈α，B∈a，B∈α，则a α
B. 若α∩β＝a，M∈α，M∈β，则M∈a
C. 若A∈α，A∈β，则α∩β＝A
D. 若A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线，则α，β重合
9. (多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. C1，M，O三点共线 B. C1，M，O，C四点共面
C. C1，O，A，M四点共面 D. D1，D，O，M四点共面
10. 点A∈平面α，点A∈平面β，平面α∩平面β＝直线l，则点A 直线l(用集合符号表示).
11. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是 .
12. 如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上.
①如果EH∩FG＝P，那么点P在直线 上；
②如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线 上.
13. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是(　 　)
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
14. 如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.证明：B，E，D三点共线.
15. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，证明：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)直线CE，D1F，DA三线共点.
16. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点.
(1)在图中作出平面AD1E和底面ABCD的交线，并说明理由；
(2)平面AD1E将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比.8.4 练习1　平面
1. 下列说法中，正确的是(　D　)
A. 平行四边形是一个平面
B. 任何一个平面图形都是一个平面
C. 平静的太平洋面就是一个平面
D. 一个平面可以将空间分成两部分
【解析】 A错误，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的；B错误，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的；C错误，太平洋再大也会有边际，不是一个平面；D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分.
2. 如果空间内四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中，正确的是(　B　)
A. A，B，C，D四点中必有三点共线
B. A，B，C，D四点中不存在三点共线
C. 直线AB与CD相交
D. 直线AB与CD平行
【解析】 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.
3. 若直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(　A　)
A. l α B. l α C. l∩α＝M D. l∩α＝N
【解析】 ∵M∈a，a α，∴M∈α，又N∈b，b α，∴N∈α，又M，N∈l，∴l α.
4. 经过同一条直线上的三个点的平面(　B　)
A. 有且仅有1个 B. 有无数个 C. 不存在 D. 有且仅有3个
【解析】 不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面，在同一条直线上的三个点所在的平面，就是以这条直线为轴，以任意角度旋转所得的平面，∴有无数个平面.　
5. 如图所示，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C l，直线AD∩l＝D，A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过(　D　)
A. 点A B. 点B C. 点C，但不过点D D. 点C和点D
【解析】点A，B，C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，C，D∈γ，且C，D∈β，点C，D在γ和β的交线上.
6. 已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　D　)
A. 1条或2条 B. 2条或3条
C. 1条或3条 D. 1条或2条或3条
【解析】 当α过β与γ的交线时，这三个平面有1条交线；当β与γ没有交线，α与β和γ各有一条交线时，这三个平面共有2条交线；当β∩γ＝b，α∩β＝a，α∩γ＝c且a，b，c不重合时，这三个平面共有3条交线.
7. (2025·福建泉州高一期中)如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K.下列说法中，正确的个数是(　B　)
①M，N，K三点共线；②P，N，M，C四点共面；③BC∥NK.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】 ∵M∈PQ，直线PQ 平面PQR，M∈BC，直线BC 平面BCD，∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，∴M在平面PQR与平面BCD的交线上，同理可证，N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上，∴M，N，K三点共线，∴①正确；∵N 平面PCM，∴②错误；∵BC∩NK＝M，∴③错误.
8. (多选)已知α，β为平面，A，B，M为点，a为直线.下列说法中，正确的有(　ABD　)
A. 若A∈a，A∈α，B∈a，B∈α，则a α
B. 若α∩β＝a，M∈α，M∈β，则M∈a
C. 若A∈α，A∈β，则α∩β＝A
D. 若A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线，则α，β重合
【解析】 A∈a，A∈α，B∈a，B∈α，由基本事实2可得a α，A正确；若M∈α，M∈β，则M在α与β的交线上，又α∩β＝a，∴M∈a，B正确；若A∈α，A∈β，则α∩β＝a，且A∈a，或α，β重合，C错误；若A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线，由基本事实1可得，α，β重合，D正确.
9. (多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列说法中，正确的有(　ABC　)
A. C1，M，O三点共线 B. C1，M，O，C四点共面
C. C1，O，A，M四点共面 D. D1，D，O，M四点共面
【解析】 如图所示，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M，∴C1，M，O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴A，B，C均正确，D错误.
10. 点A∈平面α，点A∈平面β，平面α∩平面β＝直线l，则点A　∈　直线l(用集合符号表示).
【解析】 ∵点A∈平面α，点A∈平面β，∴点A在两平面的交线上，又平面α∩平面β＝直线l，∴点A∈直线l.
11. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是　两条相交直线确定一个平面　.
【解析】 由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，∴工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.
12. 如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上.
①如果EH∩FG＝P，那么点P在直线　BD　上；
②如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线　AC　上.
【解析】 ①若EH∩FG＝P，则P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.　②若EF∩GH＝Q，则Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，∴Q∈AC.
13. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是(　C　)
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
【解析】 先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点.设直线C1M，CD相交于点E，直线C1N，CB相交于点F，连接EF交直线AD于点P，交直线AB于点Q，则五边形C1MPQN为所求截面图形.
14. 如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.证明：B，E，D三点共线.
证明：∵AB∥CD，∴AB，CD可确定一个平面，设为平面β，
∴AC在平面β内，即E在平面β内.又AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，
∴B，D，E为平面α与平面β的公共点，根据基本事实3可得，B，D，E三点共线.
15. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，证明：
(1)E，C，D1，F四点共面；
证明：(1)如图所示，连接EF，D1C，A1B.
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF∥A1B，且EF＝A1B，又A1B∥D1C，且A1B＝D1C，∴EF∥D1C，且EF＝D1C，∴E，F，D1，C四点共面.
(2)直线CE，D1F，DA三线共点.
解：(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE 平面ABCD，∴P∈平面ABCD.同理，P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.
16. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点.
(1)在图中作出平面AD1E和底面ABCD的交线，并说明理由；
解：(1)如图所示，在正方形DCC1D1中，直线D1E与直线DC相交，设D1E∩DC＝F，连接AF，则AF就是平面AD1E和底面ABCD的交线. 理由如下：
∵F∈DC，DC 平面ABCD，∴F∈平面ABCD.
∵F∈D1E，D1E 平面AD1E，∴F∈平面AD1E.
又A∈平面AD1E，A∈平面ABCD，∴平面AD1E∩平面ABCD＝AF.
(2)平面AD1E将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比.
解：(2)设BC∩AF＝G，连接GE，由E为CC1 的中点，得G为BC的中点，∴EG∥AD1，则平面AD1E将正方体分成的两部分中，一部分是三棱台CGE－DAD1.设正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱长为2，在△FDD1中，易得CF＝DC＝2，则V三棱台CGE－DAD1＝V三棱锥F－DAD1－V三棱锥F－CGE＝V三棱锥F－DAD1＝×S△DAD1×FD＝，∴另一部分几何体的体积为23－＝，∴两部分的体积之比为7∶17.(共21张PPT)
四、空间点、直线、平面之间的位置关系
练习1　平面
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. 下列说法中，正确的是(　D　)
A. 平行四边形是一个平面 B. 任何一个平面图形都是一个平面
C. 平静的太平洋面就是一个平面 D. 一个平面可以将空间分成两部分
D
【解析】 A错误，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的；B错误，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的；C错误，太平洋再大也会有边际，不是一个平面；D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分.
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2. 如果空间内四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中，正确的是
(　B　)
A. A，B，C，D四点中必有三点共线
B. A，B，C，D四点中不存在三点共线
C. 直线AB与CD相交
D. 直线AB与CD平行
【解析】 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确
定一个平面.
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3. 若直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，
N∈l，则(　A　)
A. l α B. l α
C. l∩α＝M D. l∩α＝N
【解析】 ∵M∈a，a α，∴M∈α，又N∈b，b α，∴N∈α，又
M，N∈l，∴l α.
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4. 经过同一条直线上的三个点的平面(　B　)
A. 有且仅有1个 B. 有无数个
C. 不存在 D. 有且仅有3个
【解析】 不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面，在同一条直
线上的三个点所在的平面，就是以这条直线为轴，以任意角度旋转所得
的平面，∴有无数个平面.　
B
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5. 如图所示，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C l，直线AD∩l＝D，
A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过(　D　)
A. 点A B. 点B
C. 点C，但不过点D D. 点C和点D
【解析】点A，B，C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，C，D∈γ，且C，D∈β，点C，D在γ和β的交线上.
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6. 已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　D　)
A. 1条或2条 B. 2条或3条
C. 1条或3条 D. 1条或2条或3条
【解析】 当α过β与γ的交线时，这三个平面有1条交线；当β与γ没有交
线，α与β和γ各有一条交线时，这三个平面共有2条交线；当β∩γ＝b，
α∩β＝a，α∩γ＝c且a，b，c不重合时，这三个平面共有3条交线.
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7. (2025·福建泉州高一期中)如图所示，在四面体ABCD中作截面
PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，
RP，DC的延长线交于点K. 下列说法中，正确的个数是(　B　)
B
①M，N，K三点共线；②P，N，M，C四点共面；③BC∥NK.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】 ∵M∈PQ，直线PQ 平面PQR，
M∈BC，直线BC 平面BCD，∴M是平面PQR
与平面BCD的一个公共点，∴M在平面PQR与平面
BCD的交线上，同理可证，N，K也在平面PQR
与平面BCD的交线上，∴M，N，K三点共线，∴①正确；
∵N 平面PCM，∴②错误；∵BC∩NK＝M，∴③错误.
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8. (多选)已知α，β为平面，A，B，M为点，a为直线.下列说法中，
正确的有(　ABD　)
A. 若A∈a，A∈α，B∈a，B∈α，则a α
B. 若α∩β＝a，M∈α，M∈β，则M∈a
C. 若A∈α，A∈β，则α∩β＝A
D. 若A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线，则α，β
重合
ABD
【解析】 A∈a，A∈α，B∈a，B∈α，由基本事实2可得a α，A正
确；若M∈α，M∈β，则M在α与β的交线上，又α∩β＝a，
∴M∈a，B正确；若A∈α，A∈β，则α∩β＝a，且A∈a，或α，β重
合，C错误；若A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共
线，由基本事实1可得，α，β重合，D正确.
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9. (多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，
直线A1C交平面C1BD于点M，则下列说法中，正确的有(　ABC　)
A. C1，M，O三点共线
B. C1，M，O，C四点共面
C. C1，O，A，M四点共面
D. D1，D，O，M四点共面
ABC
【解析】 如图所示，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，又A1C∩平
面C1BD＝M，∴C1，M，O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线
上，即C1，M，O三点共线，∴A，B，C均正确，D错误.
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10. 点A∈平面α，点A∈平面β，平面α∩平面β＝直线l，则点
A 　∈　直线l(用集合符号表示).
【解析】 ∵点A∈平面α，点A∈平面β，∴点A在两平面的交线上，又
平面α∩平面β＝直线l，∴点A∈直线l.
∈　
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11. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连
接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人
师傅运用的数学原理是 　两条相交直线确定一个平面　.
【解析】 由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它
们是否合格，∴工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平
面”.
两条相交直线确定一个平面　
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12. 如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别
在线段AB，BC，CD，DA上.
①如果EH∩FG＝P，那么点P在直线 　BD　上；
②如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线 　AC　上.
BD　
AC　
【解析】 ①若EH∩FG＝P，则P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平
面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD. 　②若EF∩GH＝Q，则Q∈
平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴Q∈AC.
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必备知识练
关键能力练
13. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的
点，MD＝ DD1，NB＝ BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图
形是(　C　)
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
C
【解析】 先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点.设直线C1M，CD相交于点E，直线C1N，CB相交于点F，连接EF交直线AD于点P，交直线AB于点Q，则五边形C1MPQN为所求截面图形.
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14. 如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E. 证
明：B，E，D三点共线.
证明：∵AB∥CD，∴AB，CD可确定一个平面，设为平面β，
∴AC在平面β内，即E在平面β内.又AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，∴B，D，E为平面α与平面β的公共点，根据基本事实3可得，B，D，E三点共线.
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15. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是
A1A的中点，证明：
(1)E，C，D1，F四点共面；
证明：(1)如图所示，连接EF，D1C，A1B.
∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF∥A1B，且EF＝ A1B，
又A1B∥D1C，且A1B＝D1C，∴EF∥D1C，且EF＝ D1C，∴E，F，D1，C四点共面.
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(2)直线CE，D1F，DA三线共点.
解：(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE 平面ABCD，∴P∈平面ABCD. 同理，P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.
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16. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点.
(1)在图中作出平面AD1E和底面ABCD的交线，并说明理由；
解：(1)如图所示，在正方形DCC1D1中，直线D1E与
直线DC相交，设D1E∩DC＝F，连接AF，则AF
就是平面AD1E和底面ABCD的交线. 理由如下：
∵F∈DC，DC 平面ABCD，∴F∈平面ABCD.
∵F∈D1E，D1E 平面AD1E，∴F∈平面AD1E.
又A∈平面AD1E，A∈平面ABCD，
∴平面AD1E∩平面ABCD＝AF.
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(2)平面AD1E将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比.
解：(2)设BC∩AF＝G，连接GE，由E为CC1 的中点，
得G为BC的中点，∴EG∥AD1，则平面AD1E将正方
体分成的两部分中，一部分是三棱台CGE－DAD1.
设正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱长为2，在△FDD1中，
易得CF＝DC＝2，则V三棱台CGE－DAD1＝V三棱锥F－DAD1－
V三棱锥F－CGE＝ V三棱锥F－DAD1＝ × S△DAD1×FD＝ ，∴另一部分几何体的体积为23－ ＝ ，∴两部分的体积之比为7∶17.
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