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四、空间点、直线、平面之间的位置关系
练习2　空间点、直线、平面之间的位置关系
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. (2025·北京学业考试)若空间内两条直线a和b没有公共点，则a与b
的位置关系是(　D　)
A. 共面 B. 平行
C. 异面 D. 平行或异面
【解析】 若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则
由题意可知a与b是异面直线.
D
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2. 圆柱的两个底面的位置关系是(　B　)
A. 相交 B. 平行
C. 平行或异面 D. 相交或异面
【解析】 圆柱的两个底面无公共点，则它们平行.
B
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3. 棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置
关系是(　B　)
A. 平行 B. 相交
C. 平行或相交 D. 不相交
【解析】 ∵棱台的侧棱延长后交于一点，∴侧棱所在的直线与不含这
条侧棱的侧面所在平面的位置关系是相交.　
B
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4. 直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位
置关系是(　D　)
A. 相交 B. 平行
C. 异面 D. 以上都有可能
D
【解析】 可借助长方体来判断.如图所示，在长方体
ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；AD与AA1相交，AB与AD相交，AA1与AB相交；A1D1与AA1相交，AB与AA1相交，AB与A1D1异面.
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5. 若异面直线m，n分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l(　D　)
A. 与m，n都相交
B. 与m，n都平行
C. 与m，n中的一条相交，另一条平行
D. 至少与m，n中的一条相交
【解析】 ∵α∩β＝l，∴l α，l β，则l与m平行或相交，l与n平行
或相交，又m，n为异面直线，∴l不能同时与m，n平行，即l与m，
n可能都相交，也可能与其中一条相交，A，B，C错误，D正确.
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6. 正方体上的点M，N，P，Q是所在棱的中点，则下列各图中，直
线MN与直线PQ是异面直线的为(　B　)
A. B. C. D.
B
【解析】 对于A，直线MN与直线PQ相交，不是异面直线，不符合题
意；对于B，直线MN与直线PQ是异面直线，符合题意；对于C，直线
MN与直线PQ相交，不是异面直线，不符合题意；对于D，直线MN与
直线PQ平行，不是异面直线，不符合题意.
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7. 过直线l外两点可以作l的平行线的条数为(　D　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0或1
D
【解析】 以如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1为例.
令A1B1所在直线为直线l，过l外的两点A，B可以作一条直线与l平行，过l外的两点B，C不能作直线与l平行.
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8. (多选)下列四个命题中，正确的有(　AC　)
A. 三个平面最多可以把空间分成八个部分
B. 若直线a 平面α，直线b 平面β，则“a与b相交”和“α与β相交”
等价
C. 若α∩β＝l，直线a 平面α，直线b 平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D. 若n条直线中任意两条共面，则这n条直线共面
【解析】 对于B，由“α与β相交”逆推推不出“a与b相交”，也可能
a∥b，B错误；对于D，正方体的侧棱中任意两条都共面，但这4条侧
棱却不共面，D错误.
AC
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9. (多选)下列命题中，为真命题的有(　CD　)
A. 若直线a不在平面α内，则a∥α
B. 若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
C. 若l∥α，则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点
D. 平行于同一平面的两直线可以相交
CD
【解析】 直线a也可能与平面α相交，A是假命题；直线l与平面α相交
时，l上也有无数个点不在平面α内，B是假命题；l∥α时，l与α没有公
共点，∴l与α内任何一条直线都没有公共点，C是真命题；在长方体
ABCD－A1B1C1D1中，A1C1与B1D1都和平面ABCD平行，且A1C1与
B1D1相交，D是真命题.
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10. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的
棱有 　5　条.
【解析】 与AB平行、CC1相交的直线是CD，C1D1；与CC1平行，AB
相交的直线是BB1，AA1；与AB，CC1都相交的直线是BC，满足条件
的棱有5条.
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11. 若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系
是 　b α，b∥α或b与α相交　.
【解析】 b与α有如下情况：
图①　 图②　 图③
b α，b∥α或b与α相交　
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12. 不在同一条直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A α，给出以下三个命题：①△ABC中至少有一条边所在直线平行于α；
②△ABC中至多有两条边所在直线平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是 　①　(填序号).
【解析】 如图所示，三点A，B，C可能在α的同侧，也可能在α的两
侧，当A，B，C在α的同侧时，AB，BC，
AC均与α平行，当A，B，C在α的两侧时，
△ABC的两条边与α相交，另一条边所在
直线与α平行，只有①是真命题.
①　
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13. (多选)如图所示为一个正方体的展开图，若将它还原为
正方体，则下列结论中，正确的有(　ABD　)
A. C∈GH B. CD与EF是共面直线
C. AB∥EF D. GH与EF是异面直线
ABD
【解析】 还原后的正方体如图所示，其中点C与G重合，点F与B重合，则C∈GH，A正确；CD与EF平行，CD与EF是共面直线，B正确；AB与EF是相交直线，C错误；GH与EF是异面直线，D正确.
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14. 三个平面α，β，γ，已知α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c β，
c∥b.
(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；
解：(1)c∥α.理由如下：
∵α∥β，∴α与β没有公共点，
又c β，∴c与α无公共点，则c∥α.
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(2)判断c与a的位置关系，并说明理由.
解：(2)c∥a.理由如下：
∵α∥β，∴α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a α，b β，
且a，b γ，∴a，b没有公共点.由于a，b都在平面γ内，因此
a∥b，又c∥b，∴c∥a.
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15. 如图所示，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点
C∈β，且点A l，点B l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面
β的交线和l有什么关系？证明你的结论.
解：平面ABC与平面β的交线与l相交.
证明如下：
∵AB与l不平行，且AB α，l α，∴AB与l是相交直线.
设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.
又AB 平面ABC，l β，∴P∈平面ABC，且P∈平面β，即P是平面
ABC与平面β的一个公共点，
而C也是平面ABC与平面β的一个公共点，
又P，C不重合，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，
即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，
∴平面ABC与平面β的交线和l相交.
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16. 试画图说明三个平面可把空间分成几个部分.
解：三个平面可把空间分成4(如图①所示)、6(如图②③所示)、7(如图
④所示)或8(如图⑤所示)个部分.
图①　 图②　 图③ 　图④　 图⑤
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168.4 练习2　空间点、直线、平面之间的位置关系
1. (2025·北京学业考试)若空间内两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　D　)
A. 共面 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面
【解析】 若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.
2. 圆柱的两个底面的位置关系是(　B　)
A. 相交 B. 平行 C. 平行或异面 D. 相交或异面
【解析】 圆柱的两个底面无公共点，则它们平行.
3. 棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是(　B　)
A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. 不相交
【解析】 ∵棱台的侧棱延长后交于一点，∴侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是相交.　
4. 直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是(　D　)
A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 以上都有可能
【解析】 可借助长方体来判断.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；AD与AA1相交，AB与AD相交，AA1与AB相交；A1D1与AA1相交，AB与AA1相交，AB与A1D1异面.
5. 若异面直线m，n分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l(　D　)
A. 与m，n都相交
B. 与m，n都平行
C. 与m，n中的一条相交，另一条平行
D. 至少与m，n中的一条相交
【解析】 ∵α∩β＝l，∴l α，l β，则l与m平行或相交，l与n平行或相交，又m，n为异面直线，∴l不能同时与m，n平行，即l与m，n可能都相交，也可能与其中一条相交，A，B，C错误，D正确.
6. 正方体上的点M，N，P，Q是所在棱的中点，则下列各图中，直线MN与直线PQ是异面直线的为(　B　)
A. B. C. D.
【解析】 对于A，直线MN与直线PQ相交，不是异面直线，不符合题意；对于B，直线MN与直线PQ是异面直线，符合题意；对于C，直线MN与直线PQ相交，不是异面直线，不符合题意；对于D，直线MN与直线PQ平行，不是异面直线，不符合题意.
7. 过直线l外两点可以作l的平行线的条数为(　D　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0或1
【解析】 以如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1为例.
令A1B1所在直线为直线l，过l外的两点A，B可以作一条直线与l平行，过l外的两点B，C不能作直线与l平行.
8. (多选)下列四个命题中，正确的有(　AC　)
A. 三个平面最多可以把空间分成八个部分
B. 若直线a 平面α，直线b 平面β，则“a与b相交”和“α与β相交”等价
C. 若α∩β＝l，直线a 平面α，直线b 平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D. 若n条直线中任意两条共面，则这n条直线共面
【解析】 对于B，由“α与β相交”逆推推不出“a与b相交”，也可能a∥b，B错误；对于D，正方体的侧棱中任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，D错误.
9. (多选)下列命题中，为真命题的有(　CD　)
A. 若直线a不在平面α内，则a∥α
B. 若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
C. 若l∥α，则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点
D. 平行于同一平面的两直线可以相交
【解析】 直线a也可能与平面α相交，A是假命题；直线l与平面α相交时，l上也有无数个点不在平面α内，B是假命题；l∥α时，l与α没有公共点，∴l与α内任何一条直线都没有公共点，C是真命题；在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1与B1D1都和平面ABCD平行，且A1C1与B1D1相交，D是真命题.
10. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有　5　条.
【解析】 与AB平行、CC1相交的直线是CD，C1D1；与CC1平行，AB相交的直线是BB1，AA1；与AB，CC1都相交的直线是BC，满足条件的棱有5条.
11. 若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是　b α，b∥α或b与α相交　.
【解析】 b与α有如下情况：
图①　 图②　 图③
12. 不在同一条直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A α，给出以下三个命题：①△ABC中至少有一条边所在直线平行于α；②△ABC中至多有两条边所在直线平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是　①　(填序号).
【解析】 如图所示，三点A，B，C可能在α的同侧，也可能在α的两侧，当A，B，C在α的同侧时，AB，BC，AC均与α平行，当A，B，C在α的两侧时，△ABC的两条边与α相交，另一条边所在直线与α平行，只有①是真命题.
13. (多选)如图所示为一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则下列结论中，正确的有(　ABD　)
A. C∈GH B. CD与EF是共面直线
C. AB∥EF D. GH与EF是异面直线
【解析】 还原后的正方体如图所示，其中点C与G重合，点F与B重合，则C∈GH，A正确；CD与EF平行，CD与EF是共面直线，B正确；AB与EF是相交直线，C错误；GH与EF是异面直线，D正确.
14. 三个平面α，β，γ，已知α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c β，c∥b.
(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；
解：(1)c∥α.理由如下：
∵α∥β，∴α与β没有公共点，
又c β，∴c与α无公共点，则c∥α.
(2)判断c与a的位置关系，并说明理由.
解：(2)c∥a.理由如下：
∵α∥β，∴α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a α，b β，且a，b γ，∴a，b没有公共点.由于a，b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，∴c∥a.
15. 如图所示，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且点A l，点B l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线和l有什么关系？证明你的结论.
解：平面ABC与平面β的交线与l相交.
证明如下：
∵AB与l不平行，且AB α，l α，∴AB与l是相交直线.
设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.
又AB 平面ABC，l β，∴P∈平面ABC，且P∈平面β，即P是平面ABC与平面β的一个公共点，
而C也是平面ABC与平面β的一个公共点，
又P，C不重合，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，
即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，
∴平面ABC与平面β的交线和l相交.
16. 试画图说明三个平面可把空间分成几个部分.
解：三个平面可把空间分成4(如图①所示)、6(如图②③所示)、7(如图④所示)或8(如图⑤所示)个部分.
图①　 图②　 图③　 图④　 图⑤8.4 练习2　空间点、直线、平面之间的位置关系
1. (2025·北京学业考试)若空间内两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　 　)
A. 共面 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面
2. 圆柱的两个底面的位置关系是(　 　)
A. 相交 B. 平行 C. 平行或异面 D. 相交或异面
3. 棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是(　 　)
A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. 不相交
4. 直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是(　 　)
A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 以上都有可能
5. 若异面直线m，n分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l(　 　)
A. 与m，n都相交
B. 与m，n都平行
C. 与m，n中的一条相交，另一条平行
D. 至少与m，n中的一条相交
6. 正方体上的点M，N，P，Q是所在棱的中点，则下列各图中，直线MN与直线PQ是异面直线的为(　 　)
A. B. C. D.
7. 过直线l外两点可以作l的平行线的条数为(　 　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0或1
8. (多选)下列四个命题中，正确的有(　 　)
A. 三个平面最多可以把空间分成八个部分
B. 若直线a 平面α，直线b 平面β，则“a与b相交”和“α与β相交”等价
C. 若α∩β＝l，直线a 平面α，直线b 平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D. 若n条直线中任意两条共面，则这n条直线共面
9. (多选)下列命题中，为真命题的有(　 　)
A. 若直线a不在平面α内，则a∥α
B. 若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
C. 若l∥α，则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点
D. 平行于同一平面的两直线可以相交
10. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有 条.
11. 若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是 .
12. 不在同一条直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A α，给出以下三个命题：①△ABC中至少有一条边所在直线平行于α；②△ABC中至多有两条边所在直线平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是 (填序号).
13. (多选)如图所示为一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. C∈GH B. CD与EF是共面直线
C. AB∥EF D. GH与EF是异面直线
14. 三个平面α，β，γ，已知α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c β，c∥b.
(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与a的位置关系，并说明理由.
15. 如图所示，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且点A l，点B l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线和l有什么关系？证明你的结论.
16. 试画图说明三个平面可把空间分成几个部分.

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