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(共20张PPT)
五、空间直线、平面的平行
练习1　直线与直线平行
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
1. 在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF等于(　D　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【解析】 由题意可知DE∥PB，EF∥BC，∴∠DEF＝∠PBC＝90°.
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2. 在三棱台A1B1C1－ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH
与B1C1(　C　)
A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 垂直
【解析】 如图所示，∵G，H分别是AB，AC的中点，∴GH∥BC，
又由三棱台的性质得BC∥B1C1，∴GH∥B1C1.
C
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3. 已知三条不同的直线l，m，n，且l∥m，则“m∥n”是
“l∥n”的(　C　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 若m∥n，又l∥m，则l∥n，充分性成立，反之，若
l∥n，又l∥m，则m∥n，必要性成立. “m∥n”是“l∥m”的充
要条件.
C
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4. 下列选项中，直线EF与MN可能平行的是(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 在A中，EF在底面内，MN与底面相交，且EF不经过MN与
底面的交点，可知EF与MN为异面直线.同理可知B和D中EF与MN不
平行.在C中，如果EF，MN都和底面与EF所在侧面的交线平行，那
么由基本事实4可知，EF∥MN.
C
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5. 如图所示，把一张长方形的纸左右对折两次，然后打开，得到三条
折痕a，b，c，则下列结论中，正确的是(　A　)
A. a∥b∥c B. a∥b，且a与c相交
C. b∥c，且a与c相交 D. a，b，c两两相交
A
【解析】 ∵长方形的对边都是互相平行的，左右对折两次后，长方形上得到三条折痕a，b，c，这三条折痕中每两条折痕又互相平行，∴三条折痕互相平行.
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6. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱
CC1，BB1及DD1的中点，∠GBC＝70°，则∠ED1F等于(　B　)
A. 70° B. 20° C. 45° D. 30°
B
【解析】 连接EF. 依题意得EC∥D1G，且EC＝D1G，
∴四边形ECGD1为平行四边形，∴GC∥D1E，同理可得
GB∥D1F，根据空间等角定理可知∠ED1F＝∠CGB，
或∠ED1F与∠CGB互补，显然∠ED1F与∠CGB不互补，∴∠ED1F＝∠CGB. 在长方体中，可知BC⊥CG，即∠BCG＝90°，又∠GBC＝70°，∴∠ED1F＝∠CGB＝20°.
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7. 如图1所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点.现将平面CDFE沿EF翻折，使CD到达C'D'的位置(如图2所示).若G，H分别为AD'，BC'的中点，则四边形EFGH的形状一定为(　A　)
图1 图2
A
A. 平行四边形 B. 菱形
C. 梯形 D. 矩形
【解析】 ∵四边形ABCD为梯形，
AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，
∴EF∥AB，且EF＝ (AB＋CD)，则AB∥EF∥C'D'.∵G，H分别为AD'，BC'的中点，∴GH∥AB，且GH＝ (AB＋C'D')＝ (AB＋CD)，∴GH平行且垂直EF，∴四边形EFGH一定为平行四边形.　
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8. (多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法中，可能成立的有(　CD　)
A. l与AD平行 B. l与AD相交
C. l与AC平行 D. l与BD平行
CD
【解析】 假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，
知l∥B1C1，这与l和B1C1不平行矛盾，
∴l与AD不平行. 又l在上底面中，AD在下底面中，
l与AD无公共点，l与AD不相交.C，D可能成立.
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9. (多选)在空间四边形ABCD中，顺次连接四边的中点所得的四边形可
能有(　BCD　)
A. 空间四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
BCD
【解析】 如图所示，设E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的
中点，则EH∥BD，且EH＝ BD，同理可得FG∥BD，且FG＝
BD，EF∥AC，且EF＝ AC，∴EH∥FG，且EH＝FG，则四边
形EFGH为平行四边形.①若AC⊥BD，则EH⊥EF，此时，
平行四边形EFGH为矩形；②若AC＝BD，则EH＝EF，
此时，平行四边形EFGH为菱形；③若AC⊥BD，
且AC＝BD，则EH⊥EF，且EH＝EF，此时，
平行四边形EFGH为正方形.
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10. 若l1，l2为异面直线，直线l3∥l1，则l3与l2的位置关系是 　异面或
相交　.
【解析】 ∵l1，l2为异面直线，直线l3∥l1，∴l3与l2的位置关系是异面
或相交.
异面或
相交　
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11. 如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，
则所有与∠A1AB相等的角是 　∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B　.
【解析】 ∵在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥CD，
∴∠A1AB＝∠D1DC，又侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，
∴∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等.
∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B　
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12. 如图所示，在空间四边形ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心.若BD＝m，则MN＝ 　 　.
　
【解析】 连接AM并延长交BC于点E，连接AN并延长交CD于点F，
再连接MN，EF，∴BE＝EC，CF＝FD，∴EF＝ BD＝ m，又
AM＝ AE，AN＝ AF，∴MN＝ EF＝ m.
　
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关键能力练
拓展突破练
13. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中点.证
明：BF∥ED1.
证明：如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE，
∵F为CC1的中点，∴BG平行且垂直C1F，
∴四边形BGC1F为平行四边形，
∴BF∥GC1，又EG∥A1B1，A1B1∥C1D1 ，
∴EG∥C1D1，∴四边形EGC1D1为平行四边形，
∴ED1∥GC1，∴BF∥ED1.
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14. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是
AB，BB1，BC的中点，证明：△EFG∽△C1DA1.
证明：如图所示，连接B1C.
∵G，F分别为BC，BB1的中点，∴GF∥B1C，
且GF＝ B1C.∵几何体ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴CD∥AB，且CD＝AB，A1B1∥AB，且A1B1＝AB，
由基本事实4知CD∥A1B1，且CD＝A1B1，
∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴A1D∥B1C，且
A1D＝B1C. 又B1C∥FG，∴由基本事实4知A1D∥FG.
同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF. ∵∠DA1C1与∠EGF，
∠A1C1D与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角，
∴∠DA1C1＝∠EGF，∠A1C1D＝∠GEF，
∴△EFG∽△C1DA1.
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关键能力练
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15. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中
点，F，G分别是CB，CD上的点，且 ＝ ＝ .若BD＝6，四边
形EFGH的面积为28，则直线EH，FG之间的距离是 　8　.
8　
【解析】 由题意得EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD，
且EH＝ BD＝3，又 ＝ ＝ ，∴GF∥BD，
且GF＝ BD＝4，由基本事实4知，EH∥GF，
且EH≠GF，∴四边形EFGH是梯形，而直线EH，
FG之间的距离就是梯形EFGH的高，设为h，
即 ＝28，得h＝8.
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16. 如图所示为一块长方体木料，木料的面A1C1内有一点P，经过点P
作棱BC的平行线，应该怎样画？请说明理由.
解：如图所示，在面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，
交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求.
理由如下：∵EF∥B1C1，BC∥B1C1，∴EF∥BC.
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168.5 练习1　直线与直线平行
1. 在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF等于(　 　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
2. 在三棱台A1B1C1－ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与B1C1(　 　)
A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 垂直
3. 已知三条不同的直线l，m，n，且l∥m，则“m∥n”是“l∥n”的(　 　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 下列选项中，直线EF与MN可能平行的是(　 　)
A. B. C. D.
5. 如图所示，把一张长方形的纸左右对折两次，然后打开，得到三条折痕a，b，c，则下列结论中，正确的是(　 　)
A. a∥b∥c B. a∥b，且a与c相交
C. b∥c，且a与c相交 D. a，b，c两两相交
6. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1及DD1的中点，∠GBC＝70°，则∠ED1F等于(　 　)
A. 70° B. 20° C. 45° D. 30°
7. 如图1所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点.现将平面CDFE沿EF翻折，使CD到达C'D'的位置(如图2所示).若G，H分别为AD'，BC'的中点，则四边形EFGH的形状一定为(　 　)
图1　　图2
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 梯形 D. 矩形
8. (多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法中，可能成立的有(　 　)
A. l与AD平行 B. l与AD相交
C. l与AC平行 D. l与BD平行
9. (多选)在空间四边形ABCD中，顺次连接四边的中点所得的四边形可能有(　 　)
A. 空间四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
10. 若l1，l2为异面直线，直线l3∥l1，则l3与l2的位置关系是 .
11. 如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是 .
12. 如图所示，在空间四边形ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心.若BD＝m，则MN＝ .
　
13. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中点.证明：BF∥ED1.
14. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，证明：△EFG∽△C1DA1.
15. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝.若BD＝6，四边形EFGH的面积为28，则直线EH，FG之间的距离是 .
16. 如图所示为一块长方体木料，木料的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？请说明理由.8.5 练习1　直线与直线平行
1. 在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF等于(　D　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【解析】 由题意可知DE∥PB，EF∥BC，∴∠DEF＝∠PBC＝90°.
2. 在三棱台A1B1C1－ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与B1C1(　C　)
A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 垂直
【解析】 如图所示，∵G，H分别是AB，AC的中点，∴GH∥BC，
又由三棱台的性质得BC∥B1C1，∴GH∥B1C1.
3. 已知三条不同的直线l，m，n，且l∥m，则“m∥n”是“l∥n”的(　C　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 若m∥n，又l∥m，则l∥n，充分性成立，反之，若l∥n，又l∥m，则m∥n，必要性成立. “m∥n”是“l∥m”的充要条件.
4. 下列选项中，直线EF与MN可能平行的是(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 在A中，EF在底面内，MN与底面相交，且EF不经过MN与底面的交点，可知EF与MN为异面直线.同理可知B和D中EF与MN不平行.在C中，
如果EF，MN都和底面与EF所在侧面的交线平行，那么由基本事实4可知，EF∥MN.
5. 如图所示，把一张长方形的纸左右对折两次，然后打开，得到三条折痕a，b，c，则下列结论中，正确的是(　A　)
A. a∥b∥c B. a∥b，且a与c相交
C. b∥c，且a与c相交 D. a，b，c两两相交
【解析】 ∵长方形的对边都是互相平行的，左右对折两次后，长方形上得到三条折痕a，b，c，这三条折痕中每两条折痕又互相平行，∴三条折痕互相平行.
6. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1及DD1的中点，∠GBC＝70°，则∠ED1F等于(　B　)
A. 70° B. 20° C. 45° D. 30°
【解析】 连接EF.依题意得EC∥D1G，且EC＝D1G，∴四边形ECGD1为平行四边形，∴GC∥D1E，同理可得GB∥D1F，根据空间等角定理可知∠ED1F＝∠CGB，或∠ED1F与∠CGB互补，显然∠ED1F与∠CGB不互补，∴∠ED1F＝∠CGB. 在长方体中，可知BC⊥CG，即∠BCG＝90°，又∠GBC＝70°，∴∠ED1F＝∠CGB＝20°.
7. 如图1所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点.现将平面CDFE沿EF翻折，使CD到达C'D'的位置(如图2所示).若G，H分别为AD'，BC'的中点，则四边形EFGH的形状一定为(　A　)
图1　　图2
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 梯形 D. 矩形
【解析】 ∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，∴EF∥AB，且EF＝(AB＋CD)，则AB∥EF∥C'D'.∵G，H分别为AD'，BC'的中点，∴GH∥AB，且GH＝(AB＋C'D')＝(AB＋CD)，∴GH綉EF，∴四边形EFGH一定为平行四边形.　
8. (多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法中，可能成立的有(　CD　)
A. l与AD平行 B. l与AD相交
C. l与AC平行 D. l与BD平行
【解析】 假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l和B1C1不平行矛盾，∴l与AD不平行. 又l在上底面中，AD在下底面中，l与AD无公共点，l与AD不相交.C，D可能成立.
9. (多选)在空间四边形ABCD中，顺次连接四边的中点所得的四边形可能有(　BCD　)
A. 空间四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
【解析】 如图所示，设E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则EH∥BD，且EH＝BD，同理可得FG∥BD，且FG＝BD，EF∥AC，且EF＝AC，∴EH∥FG，且EH＝FG，则四边形EFGH为平行四边形.①若AC⊥BD，则EH⊥EF，此时，平行四边形EFGH为矩形；②若AC＝BD，则EH＝EF，此时，平行四边形EFGH为菱形；③若AC⊥BD，且AC＝BD，则EH⊥EF，且EH＝EF，此时，平行四边形EFGH为正方形.
10. 若l1，l2为异面直线，直线l3∥l1，则l3与l2的位置关系是　异面或相交　.
【解析】 ∵l1，l2为异面直线，直线l3∥l1，∴l3与l2的位置关系是异面或相交.
11. 如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是　∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B　.
【解析】 ∵在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥CD，∴∠A1AB＝∠D1DC，又侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，∴∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等.
12. 如图所示，在空间四边形ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心.若BD＝m，则MN＝　　.
　
【解析】 连接AM并延长交BC于点E，连接AN并延长交CD于点F，再连接MN，EF，∴BE＝EC，CF＝FD，∴EF＝BD＝m，又AM＝AE，AN＝AF，∴MN＝EF＝m.
13. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中点.证明：BF∥ED1.
证明：如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE，
∵F为CC1的中点，∴BG綉C1F，∴四边形BGC1F为平行四边形，∴BF∥GC1，又EG∥A1B1，A1B1∥C1D1 ，∴EG∥C1D1，∴四边形EGC1D1为平行四边形，∴ED1∥GC1，∴BF∥ED1.
14. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，证明：△EFG∽△C1DA1.
证明：如图所示，连接B1C.
∵G，F分别为BC，BB1的中点，∴GF∥B1C，且GF＝B1C.
∵几何体ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴CD∥AB，且CD＝AB，A1B1∥AB，
且A1B1＝AB，
由基本事实4知CD∥A1B1，且CD＝A1B1，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴A1D∥B1C，且A1D＝B1C. 又B1C∥FG，∴由基本事实4知A1D∥FG. 同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF.∵∠DA1C1与∠EGF，∠A1C1D与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角，∴∠DA1C1＝∠EGF，∠A1C1D＝∠GEF，∴△EFG∽△C1DA1.
15. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝.若BD＝6，四边形EFGH的面积为28，则直线EH，FG之间的距离是　8　.
【解析】 由题意得EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD，且EH＝BD＝3，又＝＝，∴GF∥BD，且GF＝BD＝4，由基本事实4知，EH∥GF，且EH≠GF，∴四边形EFGH是梯形，而直线EH，FG之间的距离就是梯形EFGH的高，设为h，即＝28，得h＝8.
16. 如图所示为一块长方体木料，木料的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？请说明理由.
解：如图所示，在面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求.
理由如下：∵EF∥B1C1，BC∥B1C1，∴EF∥BC.

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