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8.5 练习2　直线与平面平行
1. 如图所示，在正方体ABCD－A'B'C'D'中，E，F分别为平面ABCD和平面A'B'C'D'的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　 　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 若直线l不平行于平面α，且l α，则(　 　)
A. α内的所有直线与l异面
B. α内不存在与l平行的直线
C. α内存在唯一的直线与l平行
D. α内的直线与l都相交
3. 如图所示，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN等于(　 　)
A. 4.5 B. 5 C. 5.4 D. 5.5
4. 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P，D两点，则四边形EFBC是(　 　)
A. 空间四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 平行四边形
5. 若直线a，b为异面直线，则过直线a且与直线b平行的平面(　 　)
A. 有且只有一个 B. 有无数个
C. 有且只有一个或不存在 D. 不存在
6. 已知平面α∩平面β＝l，直线a∥α，a∥β，则直线a与l的位置关系是(　 　)
A. 平行或异面 B. 相交
C. 平行 D. 异面
7. 若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥的棱中与平面α平行的有(　 　)
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 1条或2条
8. (多选)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点(不包括端点)， 且MN∥平面PAD，则(　 　)
A. MN∥PD B. MN∥平面PAB
C. MN∥AD D. MN∥PA
9. (多选)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点.若该平行六面体的各棱长均相等， 则下列说法中，正确的有(　 　)
A. A1M∥D1P B. A1M∥B1Q
C. A1M∥平面DCC1D1 D. A1M∥ 平面D1PQB1
10. 假设α为平面，a，b为两条不同的直线，若要得到b∥α，则需要在条件“a α，b∥a”之外补充的一个条件是 .
11. 如图1所示，已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图2所示，则BF与平面ADE的位置关系是 .
图1　　图2
12. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则的值为 .
13. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，E是棱PC上的点(不与端点重合)，平面ABE与棱PD交于点F.
证明：(1)AB∥平面PCD；(2)AB∥EF.
(2)AB∥EF.
14. 一正四面体木块如图所示，P是棱VA的中点.
(1)过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？
(2)在面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？
15. 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝8，点P在棱AA1上，且AP＝2.若EF∥平面PBD，则CF＝ .
16. 如图所示，已知E，F分别是菱形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试确定点M的位置.8.5 练习2　直线与平面平行
1. 如图所示，在正方体ABCD－A'B'C'D'中，E，F分别为平面ABCD和平面A'B'C'D'的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　D　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解析】 由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AA'B'B，平面BB'C'C，平面CC'D'D，平面AA'D'D均平行，∴与EF平行的平面有4个.
2. 若直线l不平行于平面α，且l α，则(　B　)
A. α内的所有直线与l异面
B. α内不存在与l平行的直线
C. α内存在唯一的直线与l平行
D. α内的直线与l都相交
【解析】 若在平面α内存在与直线l平行的直线，∵l α，∴l∥α，这与已知条件矛盾.
3. 如图所示，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN等于(　B　)
A. 4.5 B. 5 C. 5.4 D. 5.5
【解析】 ∵AB∥平面α，AB 平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB∥MN. 又M是AC的中点，∴MN是梯形ABDC的中位线，
MN＝(AB＋CD)＝5.
4. 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P，D两点，则四边形EFBC是(　C　)
A. 空间四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 平行四边形
【解析】 ∵BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵BC 平面EFBC，平面EFBC∩平面PAD＝EF，∴BC∥EF.∵BC＝AD，EF＜AD，∴EF＜BC，∴四边形EFBC为梯形.
5. 若直线a，b为异面直线，则过直线a且与直线b平行的平面(　A　)
A. 有且只有一个 B. 有无数个
C. 有且只有一个或不存在 D. 不存在
【解析】 在直线a上任取一点A，则过点A与直线b平行的直线有且只有一条，设为b'，∵a∩b'＝A，∴直线a与直线b'确定一个平面α，则平面α即为过直线a且与直线b平行的平面，可知它是唯一的.
6. 已知平面α∩平面β＝l，直线a∥α，a∥β，则直线a与l的位置关系是(　C　)
A. 平行或异面 B. 相交
C. 平行 D. 异面
【解析】 如图所示，平面α∩平面β＝l，直线a∥α，a∥β，过a作平面γ∩α＝m，∵a∥α，∴易证m∥a.过a作平面η∩β＝n，∵a∥β，∴易证n∥a，∴m∥n.∵m β，n β，∴m∥β，而m α，平面α∩平面β＝l，∴m∥l.综上，a∥l.
7. 若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥的棱中与平面α平行的有(　C　)
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 1条或2条
【解析】 如图所示，平面α截三棱锥A－BCD所得截面为平行四边形EFGH，则EF∥GH.∵EF 平面BCD，GH 平面BCD，EF∥GH，∴EF∥平面BCD.∵EF 平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD，又EF 平面EFGH，CD 平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.同理可得AB∥平面EFGH.
8. (多选)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点(不包括端点)， 且MN∥平面PAD，则(　BD　)
A. MN∥PD B. MN∥平面PAB
C. MN∥AD D. MN∥PA
【解析】 在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，∵MN 平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，∴由直线与平面平行的性质定理可得MN∥PA.∵MN 平面PAB，PA 平面PAB，∴MN∥平面PAB.
9. (多选)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点.若该平行六面体的各棱长均相等， 则下列说法中，正确的有(　ACD　)
A. A1M∥D1P B. A1M∥B1Q
C. A1M∥平面DCC1D1 D. A1M∥ 平面D1PQB1
【解析】 连接PM，∵M，P分别为棱AB，CD的中点，∴PM∥AD，且PM＝AD，由题意知AD∥A1D1，且AD＝A1D1，∴PM∥A1D1，且PM＝A1D1，∴四边形PMA1D1为平行四边形，∴A1M∥D1P，A正确；显然A1M与B1Q为异面直线，B错误；∵A1M∥D1P，D1P 平面DCC1D1，D1P 平面D1PQB1，A1M 平面DCC1D1，A1M 平面D1PQB1，∴A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1，C，D正确.
10. 假设α为平面，a，b为两条不同的直线，若要得到b∥α，则需要在条件“a α，b∥a”之外补充的一个条件是　b α　.
【解析】 由直线与平面平行的判定定理可知，还要保证直线b在平面α外，即b α.
11. 如图1所示，已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图2所示，则BF与平面ADE的位置关系是　平行　.
图1　　图2
【解析】 由图1可知BF∥ED，由图2可知，BF 平面AED，ED 平面AED，∴BF∥平面AED.
12. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则的值为　1　.
【解析】 连接BC1，设B1C∩BC1＝O，连接DO.∵A1B∥平面B1CD，A1B 平面A1BC1，且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD. ∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，即＝1.
13. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，E是棱PC上的点(不与端点重合)，平面ABE与棱PD交于点F.
证明：(1)AB∥平面PCD；(2)AB∥EF.
证明：(1)由题意，底面ABCD是菱形，可得AB∥CD，
∵AB 平面PCD，且CD 平面PCD，
根据线面平行的判定定理，可得AB∥平面PCD.
(2)AB∥EF.
证明：(2)由(1)知AB∥平面PCD，
又由AB 平面ABE，且平面ABE∩平面PCD＝EF，根据线面平行的性质定理，可得AB∥EF.
14. 一正四面体木块如图所示，P是棱VA的中点.
(1)过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？
解：(1)取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F，
分别连接PD，PF，EF，DE，则PD，PF，EF，DE即为在木块表面画的线.
(2)在面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？
解：(2)在面ABC中所画的线EF与棱AC平行，证明如下：
∵PF∥DE，∴P，D，E，F四点共面，且AC∥平面PDEF，∵平面ABC∩平面PDEF＝EF，∴AC∥EF.
15. 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝8，点P在棱AA1上，且AP＝2.若EF∥平面PBD，则CF＝　2　.
【解析】 如图所示，连接AC，交BD于点O，连接PO，过点C作CQ∥OP，交AA1于点Q. ∵EF∥平面PBD，EF 平面EACF，平面EACF∩平面PBD＝PO，∴EF∥PO.∵CQ∥OP，∴EF∥QC，又EQ∥CF，∴四边形EQCF为平行四边形，∴QE＝CF.∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点，又CQ∥OP，∴PQ＝AP＝2.∵AE＋CF＝AP＋PQ＋QE＋CF＝2＋2＋CF＋CF＝8，∴CF＝2.
16. 如图所示，已知E，F分别是菱形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试确定点M的位置.
解：如图所示，连接BD交AC于点O1，连接OM.
∵PC∥平面MEF，PC 平面PAC，平面PAC∩平面MEF＝OM，∴PC∥OM，∴＝.
在菱形ABCD中，∵E，F分别为边BC，CD的中点，∴＝.又AO1＝O1C，∴＝＝，PM∶MA＝1∶3，
即M为线段PA上靠近点P的四等分点.(共22张PPT)
五、空间直线、平面的平行
练习2　直线与平面平行
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
1. 如图所示，在正方体ABCD－A'B'C'D'中，E，F分别为平面ABCD和平面A'B'C'D'的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　D　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
【解析】 由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AA'B'B，平面BB'C'C，平面CC'D'D，平面AA'D'D均平行，∴与EF平行的平面有4个.
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2. 若直线l不平行于平面α，且l α，则(　B　)
A. α内的所有直线与l异面
B. α内不存在与l平行的直线
C. α内存在唯一的直线与l平行
D. α内的直线与l都相交
【解析】 若在平面α内存在与直线l平行的直线，∵l α，∴l∥α，这
与已知条件矛盾.
B
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3. 如图所示，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是
AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN等于
(　B　)
A. 4.5 B. 5 C. 5.4 D. 5.5
B
【解析】 ∵AB∥平面α，AB 平面ABDC，
平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB∥MN.
又M是AC的中点，∴MN是梯形ABDC的中位线，
MN＝ (AB＋CD)＝5.
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4. 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与
平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P，D两点，则四边形EFBC
是(　C　)
A. 空间四边形 B. 矩形
C. 梯形 D. 平行四边形
C
【解析】 ∵BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，∴BC∥平
面PAD. ∵BC 平面EFBC，平面EFBC∩平面PAD＝EF，
∴BC∥EF. ∵BC＝AD，EF＜AD，∴EF＜BC，∴四边形EFBC
为梯形.
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5. 若直线a，b为异面直线，则过直线a且与直线b平行的平面(　A　)
A. 有且只有一个 B. 有无数个
C. 有且只有一个或不存在 D. 不存在
【解析】 在直线a上任取一点A，则过点A与直线b平行的直线有且只
有一条，设为b'，∵a∩b'＝A，∴直线a与直线b'确定一个平面α，则
平面α即为过直线a且与直线b平行的平面，可知它是唯一的.
A
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6. 已知平面α∩平面β＝l，直线a∥α，a∥β，则直线a与l的位置关系
是(　C　)
A. 平行或异面 B. 相交 C. 平行 D. 异面
C
【解析】 如图所示，平面α∩平面β＝l，直线a∥α，a∥β，过a作平面γ∩α＝m，∵a∥α，∴易证m∥a.
过a作平面η∩β＝n，∵a∥β，∴易证n∥a，
∴m∥n.∵m β，n β，∴m∥β，而m α，
平面α∩平面β＝l，∴m∥l.综上，a∥l.
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7. 若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥的棱中与平面
α平行的有(　C　)
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 1条或2条
C
【解析】 如图所示，平面α截三棱锥A－BCD所得截面为平行四边形
EFGH，则EF∥GH. ∵EF 平面BCD，GH 平面BCD，EF∥GH，∴EF∥平面BCD. ∵EF 平面ACD，平面BCD∩平面
ACD＝CD，∴EF∥CD，又EF 平面EFGH，
CD 平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.
同理可得AB∥平面EFGH.
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8. (多选)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上
的点(不包括端点)， 且MN∥平面PAD，则(　BD　)
A. MN∥PD B. MN∥平面PAB
C. MN∥AD D. MN∥PA
BD
【解析】 在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，
PC上的点，且MN∥平面PAD，∵MN 平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，∴由直线与平面平行的性质定理可得MN∥PA. ∵MN 平面PAB，PA 平面PAB，∴MN∥平面PAB.
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9. (多选)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，P，Q
分别为棱AB，CD，BC的中点.若该平行六面体的各棱长均相等， 则
下列说法中，正确的有(　ACD　)
A. A1M∥D1P B. A1M∥B1Q
C. A1M∥平面DCC1D1 D. A1M∥ 平面D1PQB1
ACD
【解析】 连接PM，∵M，P分别为棱AB，CD的中点，
∴PM∥AD，且PM＝AD，由题意知AD∥A1D1，
且AD＝A1D1，∴PM∥A1D1，且PM＝A1D1，
∴四边形PMA1D1为平行四边形，∴A1M∥D1P，A正确；显然A1M与B1Q为异面直线，B错误；∵A1M∥D1P，D1P 平面DCC1D1，D1P 平面D1PQB1，A1M 平面DCC1D1，A1M 平面D1PQB1，∴A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1，C，D正确.
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10. 假设α为平面，a，b为两条不同的直线，若要得到b∥α，则需要
在条件“a α，b∥a”之外补充的一个条件是 　b α　.
【解析】 由直线与平面平行的判定定理可知，还要保证直线b在平面α
外，即b α.
b α　
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11. 如图1所示，已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，
将△ADE沿DE折起，如图2所示，则BF与平面ADE的位置关系是
　平行　.
图1 图2
【解析】 由图1可知BF∥ED，由图2可知，BF 平面AED，ED 平
面AED，∴BF∥平面AED.
平行　
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12. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是A1C1上的点且A1B∥
平面B1CD，则 的值为 　1　.
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【解析】 连接BC1，设B1C∩BC1＝O，连接DO.
∵A1B∥平面B1CD，A1B 平面A1BC1，
且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD.
∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴O为BC1的中点，
∴D为A1C1的中点，即 ＝1.
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
拓展突破练
13. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，E是棱PC
上的点(不与端点重合)，平面ABE与棱PD交于点F.
证明：(1)AB∥平面PCD；
证明：(1)由题意，底面ABCD是菱形，可得AB∥CD，
∵AB 平面PCD，且CD 平面PCD，
根据线面平行的判定定理，可得AB∥平面PCD.
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(2)AB∥EF.
证明：(2)由(1)知AB∥平面PCD，
又由AB 平面ABE，
且平面ABE∩平面PCD＝EF，
根据线面平行的性质定理，可得AB∥EF.
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14. 一正四面体木块如图所示，P是棱VA的中点.
(1)过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该
怎样画线？
解：(1)取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F，
分别连接PD，PF，EF，DE，则PD，PF，EF，
DE即为在木块表面画的线.
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(2)在面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？
解：(2)在面ABC中所画的线EF与棱AC平行，证明如下：
∵PF∥DE，∴P，D，E，F四点共面，
且AC∥平面PDEF，
∵平面ABC∩平面PDEF＝EF，
∴AC∥EF.
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关键能力练
拓展突破练
15. 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝8，点P在棱AA1上，且
AP＝2.若EF∥平面PBD，则CF＝ 　2　.
2　
【解析】 如图所示，连接AC，交BD于点O，连接PO，过点C作CQ∥OP，交AA1于点Q. ∵EF∥平面PBD，EF 平面EACF，平面EACF∩平面PBD＝PO，∴EF∥PO. ∵CQ∥OP，∴EF∥QC，又EQ∥CF，∴四边形EQCF为平行四边形，∴QE＝CF. ∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点，又CQ∥OP，∴PQ＝AP＝2.∵AE＋CF＝AP＋PQ＋QE＋CF＝2＋2＋CF＋CF＝8，∴CF＝2.
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16. 如图所示，已知E，F分别是菱形ABCD的边BC，CD的中点，
EF与AC交于点O，点P在平面ABCD外，M是线段PA上一动点，若
PC∥平面MEF，试确定点M的位置.
解：如图所示，连接BD交AC于点O1，连接OM.
∵PC∥平面MEF，PC 平面PAC，平面PAC∩平面MEF＝OM，∴PC∥OM，∴ ＝ .
在菱形ABCD中，∵E，F分别为边BC，CD的中点，
∴ ＝ .又AO1＝O1C，∴ ＝ ＝ ，PM∶MA＝1∶3，
即M为线段PA上靠近点P的四等分点.
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