资源简介

(共22张PPT)
五、空间直线、平面的平行
练习3　平面与平面平行
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. 在长方体ABCD－A'B'C'D'中，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩
平面A'B'C'D'＝E'F'，则EF与E'F'的位置关系是(　A　)
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 不确定
【解析】 由面面平行的性质定理易得EF∥E'F'.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对
截面是　(　A　)
A. 平面E1FG1与平面EGH1
B. 平面FHG1与平面F1H1G
C. 平面F1H1H与平面FHE1
D. 平面E1HG1与平面EH1G
【解析】 在平面E1FG1与平面EGH1中，∵E1G1∥EG，FG1∥EH1，
且E1G1∩FG1＝G1，EG∩EH1＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α
分别交线段PA，PB，PC于A'，B'，C'.若PA'∶AA'＝2∶3，则 ∶
等于(　B　)
A. 2∶25 B. 4∶25 C. 2∶5 D. 4∶5
B
【解析】 平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分
别为A'B'，AB，∴AB∥A'B'，同理B'C'∥BC，
易得△ABC∽△A'B'C'，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝ ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A，B
分别在平面α，β内运动时，所有的动点C(　B　)
A. 不共面
B. 不论点A，B如何移动，都共面
C. 当且仅当点A，B分别在两直线上移动时才共面
D. 当且仅当点A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
B
【解析】 如图所示，不论点A，B如何移动，点C都共面，且所在平面
与平面α，平面β平行.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. 如图所示，在一个平面内的三条不同的平行直线和两个平行平面相
交，则两个平行平面内以交点为顶点的两个三角形是(　B　)
A. 相似但不全等的三角形
B. 全等三角形
C. 面积相等的不全等三角形
D. 以上结论都不对
B
【解析】 由面面平行的性质定理，得AC∥A'C'，则四边形ACC'A'为平
行四边形，∴AC＝A'C'.同理BC＝B'C'，AB＝A'B'，
∴△ABC≌△A'B'C'.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与底面ABC
交于直线DE，其中D，E分别为棱AC，BC上的点，则DE与AB的位
置关系是(　B　)
A. 异面 B. 平行
C. 相交 D. 以上均有可能
B
【解析】 ∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，
平面A1B1C1∥平面ABC，平面ABC∩平面A1B1ED＝DE，
平面A1B1C1∩平面A1B1ED＝A1B1，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在B1D1上，点F在
A1B1上，且 ＝ ，过点E作EH∥B1B交BD于点H，则平面
EFH与平面BB1C1C的位置关系是(　A　)
A. 平行 B. 相交
C. 垂直 D. 以上都有可能
A
【解析】 在平面A1B1C1D1中，∵ ＝ ，
∴EF∥A1D1.由B1C1∥A1D1，知EF∥B1C1.又EH∥B1B，EH，
EF 平面EFH，BB1，B1C1 平面BB1C1C，EH∩EF＝E，BB1∩B1C1＝B1，∴平面EFH∥平面BB1C1C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. (多选)如图所示为正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列结论
中，正确的有(　BCD　)
A. BM与平面DE不平行
B. CN∥平面AFB
C. 平面BDM∥平面AFN
D. 平面BDE∥平面NCF
BCD
【解析】 以ABCD为下底面还原正方体，如图所示，则易判定A错误，B，C，D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. (多选)如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，
A1E＝2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则
(　AD　)
A. EF∥D1C B. EF＝ a
C. CF＝ a D. 三棱锥A－EFC的体积为 a3
AD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
【解析】 如图所示，连接AC，A1B，∵在正方体中，平面ABB1A1∥
平面CDD1C1，平面ABB1A1∩平面EFCD1＝EF，平面CDD1C1∩平面
EFCD1＝CD1，根据面面平行的性质可得EF∥D1C，A正确；EF＝
A1B＝ a，CF＝ ＝ a，B，C错误；
VA－EFC＝VE－AFC＝
× a× × a×a＝ a3，D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不同的直线.若
α∩β＝a，β∩γ＝b，且α∥γ，则a与b的位置关系是 　平行　.
【解析】 由平面与平面平行的性质定理可得a∥b.
平行　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个
与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则 ＝ 　 　.
【解析】 ∵平面MNE∥平面ACB1，∴ME∥AB1，NE∥CB1.
∵BE＝EB1，∴AM＝MB，BN＝NC，
∴MN＝ AC.
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. 如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A'B'C'分别在α，β内，线段
AA'，BB'，CC'交于点O，点O在平面α和平面β之间.若AB＝2，AC＝
2，∠BAC＝60°，OA∶OA'＝3∶2，则△A'B'C'的面积为 　 　.
　
【解析】 ∵AA'，BB'相交于点O，∴AA'，BB'确定的
平面与平面α、平面β的交线分别为AB，A'B'，
则AB∥A'B'， ＝ ＝ ＝ ，同理可得
AC∥A'C'， ＝ ＝ ，BC∥B'C'， ＝ ＝ ，
∴△ABC∽△A'B'C'，且 ＝ ，又S△ABC＝
AB·AC sin ∠BAC＝ ×2×2× ＝ ，
∴S△A'B'C'＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过
点C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积为(　C　)
A. 2 B. 4 C. D. 5
C
【解析】 如图所示，由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线，∴截面是梯形CD1MN，易求MN＝ ，CD1＝2 ，MD1＝NC＝ ，∴此截面的面积S＝ ×(＋2 )×
＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，点F在棱PA
上，且PF＝2FA，E为棱PD的中点，证明：CE∥平面BDF.
证明：取PF的中点M，连接ME，MC.
∵PF＝2FA，∴F为MA的中点.
连接AC，交BD于点O，连接OF.
∵四边形ABCD是正方形，∴O为AC的中点.
又F为MA的中点，∴OF∥MC.
∵OF 平面BDF，MC 平面BDF，∴MC∥平面BDF.
∵M，E分别为PF，PD的中点，∴ME∥FD，
又ME 平面BDF，FD 平面BDF，∴ME∥平面BDF.
∵MC∩ME＝M，MC 平面MCE，ME 平面MCE，∴平面
BDF∥平面MCE，又CE 平面MCE，∴CE∥平面BDF.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，AB⊥BC，
2AB＝2BC＝AD＝2，设E，F，O分别为PD，PA，AD的中点，证明：(1)CE∥平面PAB；
证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，连接EF，由E，F
分别为PD，PA的中点，得EF∥AD，EF＝ AD.
又BC∥AD，BC＝ AD，则EF∥BC，EF＝
BC，四边形BCEF为平行四边形，因此CE∥BF，
而CE 平面PAB，BF 平面PAB，∴CE∥平面PAB.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)平面BOF∥平面CDE.
证明：(2)由O为AD的中点，F为PA的中点，
得FO∥PD，又PD 平面CDE，FO 平面CDE，
∴FO∥平面CDE，由(1)知，CE∥BF，
而CE 平面CDE，BF 平面CDE，
∴BF∥平面CDE，又BF∩FO＝F，BF，FO 平面BOF，
∴平面BOF∥平面CDE.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，
A1C1上的点.
(1)当 等于何值时，BC1∥平面AB1D1？
解：(1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时 ＝1.
连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，
∴O为A1B的中点.在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，∴OD1∥BC1.又OD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1，∴当 ＝1时，BC1∥平面AB1D1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求 的值.
解：(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
得BC1∥D1O，∴ ＝ ，
又由(1)可知 ＝ ， ＝1，∴ ＝1，即 ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
168.5 练习3　平面与平面平行
1. 在长方体ABCD－A'B'C'D'中，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A'B'C'D'＝E'F'，则EF与E'F'的位置关系是(　A　)
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 不确定
【解析】 由面面平行的性质定理易得EF∥E'F'.
2. 在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是　(　A　)
A. 平面E1FG1与平面EGH1
B. 平面FHG1与平面F1H1G
C. 平面F1H1H与平面FHE1
D. 平面E1HG1与平面EH1G
【解析】 在平面E1FG1与平面EGH1中，∵E1G1∥EG，FG1∥EH1，且E1G1∩FG1＝G1，EG∩EH1＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1.
3. 如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A'，B'，C'.若PA'∶AA'＝2∶3，则'B'C'∶BC等于(　B　)
A. 2∶25 B. 4∶25 C. 2∶5 D. 4∶5
【解析】 平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A'B'，AB，∴AB∥A'B'，同理B'C'∥BC，易得△ABC∽△A'B'C'，∴S△A'B'C'∶S△ABC＝＝＝.
4. 设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A，B分别在平面α，β内运动时，所有的动点C(　B　)
A. 不共面
B. 不论点A，B如何移动，都共面
C. 当且仅当点A，B分别在两直线上移动时才共面
D. 当且仅当点A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
【解析】 如图所示，不论点A，B如何移动，点C都共面，且所在平面与平面α，平面β平行.
5. 如图所示，在一个平面内的三条不同的平行直线和两个平行平面相交，则两个平行平面内以交点为顶点的两个三角形是(　B　)
A. 相似但不全等的三角形 B. 全等三角形
C. 面积相等的不全等三角形 D. 以上结论都不对
【解析】 由面面平行的性质定理，得AC∥A'C'，则四边形ACC'A'为平行四边形，∴AC＝A'C'.同理BC＝B'C'，AB＝A'B'，∴△ABC≌△A'B'C'.
6. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与底面ABC交于直线DE，其中D，E分别为棱AC，BC上的点，则DE与AB的位置关系是(　B　)
A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上均有可能
【解析】 ∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，平面A1B1C1∥平面ABC，平面ABC∩平面A1B1ED＝DE，平面A1B1C1∩平面A1B1ED＝A1B1，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.
7. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在B1D1上，点F在A1B1上，且＝，过点E作EH∥B1B交BD于点H，则平面EFH与平面BB1C1C的位置关系是(　A　)
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 以上都有可能
【解析】 在平面A1B1C1D1中，∵＝，∴EF∥A1D1.由B1C1∥A1D1，知EF∥B1C1.又EH∥B1B，EH，EF 平面EFH，BB1，B1C1 平面BB1C1C，EH∩EF＝E，BB1∩B1C1＝B1，∴平面EFH∥平面BB1C1C.
8. (多选)如图所示为正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列结论中，正确的有(　BCD　)
A. BM与平面DE不平行 B. CN∥平面AFB
C. 平面BDM∥平面AFN D. 平面BDE∥平面NCF
【解析】 以ABCD为下底面还原正方体，如图所示，则易判定A错误，B，C，D正确.
9. (多选)如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E＝2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则(　AD　)
A. EF∥D1C B. EF＝a
C. CF＝a D. 三棱锥A－EFC的体积为a3
【解析】 如图所示，连接AC，A1B，∵在正方体中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ABB1A1∩平面EFCD1＝EF，平面CDD1C1∩平面EFCD1＝CD1，根据面面平行的性质可得EF∥D1C，A正确；EF＝A1B＝a，CF＝＝a，B，C错误；VA－EFC＝VE－AFC＝×a××a×a＝a3，D正确.
10. 已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不同的直线.若α∩β＝a，β∩
γ＝b，且α∥γ，则a与b的位置关系是　平行　.
【解析】 由平面与平面平行的性质定理可得a∥b.
11. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则＝　　.
【解析】 ∵平面MNE∥平面ACB1，∴ME∥AB1，NE∥CB1. ∵BE＝EB1，
∴AM＝MB，BN＝NC，∴MN＝AC.
12. 如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A'B'C'分别在α，β内，线段AA'，BB'，CC'交于点O，点O在平面α和平面β之间.若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA'＝3∶2，则△A'B'C'的面积为　　.
【解析】 ∵AA'，BB'相交于点O，∴AA'，BB'确定的平面与平面α、平面β的交线分别为AB，A'B'，则AB∥A'B'，＝＝＝，同理可得AC∥A'C'，＝＝，BC∥B'C'，＝＝，∴△ABC∽△A'B'C'，且＝，又S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝×2×2×＝，∴S△A'B'C'＝.
13. 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过点C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积为(　C　)
A. 2 B. 4 C. D. 5
【解析】 如图所示，由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线，∴截面是梯形CD1MN，易求MN＝，CD1＝2，MD1＝NC＝，∴此截面的面积S＝×(＋2)×＝.
14. 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，点F在棱PA上，且PF＝2FA，E为棱PD的中点，证明：CE∥平面BDF.
证明：取PF的中点M，连接ME，MC.
∵PF＝2FA，∴F为MA的中点.
连接AC，交BD于点O，连接OF.
∵四边形ABCD是正方形，∴O为AC的中点.
又F为MA的中点，∴OF∥MC.
∵OF 平面BDF，MC 平面BDF，∴MC∥平面BDF.
∵M，E分别为PF，PD的中点，∴ME∥FD，
又ME 平面BDF，FD 平面BDF，∴ME∥平面BDF.
∵MC∩ME＝M，MC 平面MCE，ME 平面MCE，∴平面BDF∥平面MCE，又CE 平面MCE，∴CE∥平面BDF.
15. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，AB⊥BC，2AB＝2BC＝AD＝2，设E，F，O分别为PD，PA，AD的中点，证明：
(1)CE∥平面PAB；
证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，连接EF，由E，F分别为PD，PA的中点，得EF∥AD，EF＝AD.
又BC∥AD，BC＝AD，则EF∥BC，EF＝BC，四边形BCEF为平行四边形，因此CE∥BF，而CE 平面PAB，BF 平面PAB，∴CE∥平面PAB.
(2)平面BOF∥平面CDE.
证明：(2)由O为AD的中点，F为PA的中点，得FO∥PD，
又PD 平面CDE，FO 平面CDE，∴FO∥平面CDE，
由(1)知，CE∥BF，而CE 平面CDE，BF 平面CDE，
∴BF∥平面CDE，又BF∩FO＝F，BF，FO 平面BOF，
∴平面BOF∥平面CDE.
16. 如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点.
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1？
解：(1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1.
连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，∴O为A1B的中点.在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，∴OD1∥BC1.又OD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1，∴当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值.
解：(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
得BC1∥D1O，∴＝，
又由(1)可知＝，＝1，∴＝1，即＝1.8.5 练习3　平面与平面平行
1. 在长方体ABCD－A'B'C'D'中，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A'B'C'D'＝E'F'，则EF与E'F'的位置关系是(　 　)
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 不确定
2. 在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是　(　 　)
A. 平面E1FG1与平面EGH1
B. 平面FHG1与平面F1H1G
C. 平面F1H1H与平面FHE1
D. 平面E1HG1与平面EH1G
3. 如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A'，B'，C'.若PA'∶AA'＝2∶3，则'B'C'∶BC等于(　 　)
A. 2∶25 B. 4∶25 C. 2∶5 D. 4∶5
4. 设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A，B分别在平面α，β内运动时，所有的动点C(　 　)
A. 不共面
B. 不论点A，B如何移动，都共面
C. 当且仅当点A，B分别在两直线上移动时才共面
D. 当且仅当点A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
5. 如图所示，在一个平面内的三条不同的平行直线和两个平行平面相交，则两个平行平面内以交点为顶点的两个三角形是(　 　)
A. 相似但不全等的三角形 B. 全等三角形
C. 面积相等的不全等三角形 D. 以上结论都不对
6. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与底面ABC交于直线DE，其中D，E分别为棱AC，BC上的点，则DE与AB的位置关系是(　 　)
A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上均有可能
7. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在B1D1上，点F在A1B1上，且＝，过点E作EH∥B1B交BD于点H，则平面EFH与平面BB1C1C的位置关系是(　 　)
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 以上都有可能
8. (多选)如图所示为正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列结论中，正确的有(　 　)
A. BM与平面DE不平行 B. CN∥平面AFB
C. 平面BDM∥平面AFN D. 平面BDE∥平面NCF
9. (多选)如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E＝2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则(　 　)
A. EF∥D1C B. EF＝a
C. CF＝a D. 三棱锥A－EFC的体积为a3
10. 已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不同的直线.若α∩β＝a，β∩
γ＝b，且α∥γ，则a与b的位置关系是 .
11. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则＝ .
12. 如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A'B'C'分别在α，β内，线段AA'，BB'，CC'交于点O，点O在平面α和平面β之间.若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA'＝3∶2，则△A'B'C'的面积为 .
13. 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过点C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积为(　 　)
A. 2 B. 4 C. D. 5
14. 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，点F在棱PA上，且PF＝2FA，E为棱PD的中点，证明：CE∥平面BDF.
15. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，AB⊥BC，2AB＝2BC＝AD＝2，设E，F，O分别为PD，PA，AD的中点，证明：
(1)CE∥平面PAB；
(2)平面BOF∥平面CDE.
16. 如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点.
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1？
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值.

展开更多......

收起↑