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(共21张PPT)
六、空间直线、平面的垂直
练习1　直线与直线垂直
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱的条数有
(　D　).
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【解析】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AA1垂直的棱为A1B1，
B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条.
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2. 如图所示，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝
BC＝1. 则异面直线B1C1与AC所成角的大小为(　A　)
A. 45° B. 60° C. 30° D. 90°
A
【解析】 ∵BC∥B1C1，∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角).∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，∴∠ACB＝45°，∴异面直线B1C1与AC所成角的大小为45°.
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3. 教室内有一把直尺，无论怎样放置，在地面上总有直线与直尺所在
的直线(　D　)
A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 垂直
【解析】 若直尺与地面相交，则C错误；若直尺平行于地面，则B错
误；若直尺放在地面上，则A错误.
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4. 已知异面直线a，b所成的角为50°，a∥c，则b与c所成的角是
(　A　)
A. 50° B. 40°
C. 50°或130° D. 130°
A
【解析】 在直线b上取一点作c'∥c，如图所示.
∵c∥a，∴c'∥a，则相交直线b，c'所成的角就是异面直线a，b所成的角，∴相交直线b，c'所成的角为50°，∴b与c所成的角是50°.
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5. 如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，
G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，
EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为(　B　)
A. 90° B. 60° C. 45° D. 0°
B
【解析】 将三角形折成三棱锥，如图所示，GH与IJ为异面直线，在三棱锥A－DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，∴∠ADF即为所求，因此GH与IJ所成角为60°.
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6. 在空间四边形ABCD中，AC⊥BD，则顺次连接四边的中点形成的
四边形一定是(　B　)
A. 空间四边形 B. 矩形
C. 菱形 D. 正方形
B
【解析】 如图所示，易知四边形EFGH为平行四边形.
∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC. 同理可得FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.∵AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，四边形EFGH为矩形.
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7. 设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　A　)
A. 有无数条 B. 有两条
C. 至多有两条 D. 有一条
【解析】 如图所示，过点P作直线l'∥l，以l'为轴，与l'成30°角的圆
锥面的所有母线都与l成30°角.
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8. (多选)如图所示，四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别
为PA，CD的中点.下列说法中，正确的有(　ABD　)
A. MN与PD是异面直线 B. MN∥平面PBC
C. MN∥AC D. MN⊥PB
ABD
【解析】 如图所示，连接MN，易知MN与PD是异
面直线，A正确；取PB的中点为H，连接MH，HC，可得MN∥HC，
又HC 平面PBC，MN 平面PBC，∴MN∥平面PBC，B正确；
由MN∥HC，HC∩AC＝C，得MN不平行于AC，C错误；
∵HC⊥PB，∴MN⊥PB，D正确.
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9. (多选)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是
正三角形，E是BC的中点，则下列说法中，正确的有(　ACD　)
A. 直线CC1与直线B1E相交 B. CC1与AE共面
C. AE与B1C1是异面直线 D. AE与B1C1垂直
ACD
【解析】 ∵CE∥B1C1，且CE＝ B1C1，
∴四边形CEB1C1为梯形，CC1与B1E必相交，A正确；由几何图形可知B错误，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，∴AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D正确.
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10. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所
成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共
有 　1　条.
【解析】 与AD1异面的面对角线分别为A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.
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11. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与B1D1所成的角
为 　90°　，AC与D1C1所成的角为 　45°　.
90°　
45°　
【解析】 B1D1与AC是异面直线，连接BD，交AC于点O(图略)，易知BD∥B1D1，∴∠DOC或其补角为B1D1与AC所成的角. ∵BD⊥AC，∴∠DOC＝90°，∴B1D1与AC所成的角是90°.∵DC∥D1C1，
∴∠ACD是AC与D1C1所成的角，又∠ACD＝45°，∴AC与D1C1所成的角是45°.
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12. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为底面
ABCD内(包括边界)的动点，满足D1P与直线CC1所成角的大小为 ，则
线段DP扫过的面积为 　 　.
　
【解析】 由题意知DD1∥CC1，要使D1P与直线CC1
所成角的大小为 ，只需D1P与直线DD1所成角的大
小为 ，∴∠DD1P＝ ，又DD1＝1，DD1⊥DP，
∴DP＝ .如图所示，
P的轨迹是以点D为圆心， 为半径的四分之一圆，
∴线段DP扫过的面积为 × ×π＝ .
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. 当动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线
D1P与BC1所成角的取值范围是 　 　.
【解析】 设正方体的棱长为1，DP＝x，则x∈[0，1]，连接AD1，
AP(图略)，由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P
与BC1所成角.在△AD1P中，AD1＝ ，AP＝D1P＝ ， cos
∠AD1P＝ ，又x∈[0，1]，∴ cos ∠AD1P＝ ∈ ，
又∠AD1P∈(0，π)，∴∠AD1P∈ .
　
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14. 如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA＝4，BC＝6.
(1)在该棱锥的6条棱所在的直线中，共有多少对异面直线？请一一
列出；
解：(1)在该棱锥的6条棱所在的直线中，共有3对异面直线，分别是PA
与BC，PB与AC，PC与AB.
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(2)若棱PB的中点为M，棱AC的中点为N，MN＝4，求异面直线PA
与BC所成的角的余弦值.
解：(2)如图所示，取AB的中点O，连接OM，ON，
∵PB的中点为M，AC的中点为N，
∴OM∥PA，ON∥BC，
∴异面直线PA与BC所成的角为∠MON或其补角.　
∵PA＝4，BC＝6，∴OM＝2，ON＝3，又MN＝4，
∴在△MON中，由余弦定理可得 cos ∠MON＝
＝ ＝－ ，
∴异面直线PA与BC所成的角的余弦值为 .
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15. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分
别是BD1和AD的中点，证明：CD1⊥EF.
证明：如图所示，取CD1的中点G，连接EG，DG，
∵E是BD1的中点，∴EG∥BC，EG＝ BC.
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝ BC，∴EG∥DF，EG＝DF，
∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，又G为CD1的中点，
∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，∴CD1⊥EF.
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16. 如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面
四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2 ，∠ABC＝120°.若异面直线
A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1的长.
解：如图所示，连接CD1，AC.
由题意得，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.
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∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C＝90°.
又AB＝BC＝2 ，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝ AC.
∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2 ，∠ABC＝120°，
∴AC＝2 × sin 60°×2＝6，∴AD1＝ AC＝3 ，
∴AA1＝ ＝ ＝ .
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168.6 练习1　直线与直线垂直
1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱的条数有(　D　).
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【解析】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条.
2. 如图所示，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1. 则异面直线B1C1与AC所成角的大小为(　A　)
A. 45° B. 60° C. 30° D. 90°
【解析】 ∵BC∥B1C1，∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角).∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，∴∠ACB＝45°，∴异面直线B1C1与AC所成角的大小为45°.
3. 教室内有一把直尺，无论怎样放置，在地面上总有直线与直尺所在的直线(　D　)
A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 垂直
【解析】 若直尺与地面相交，则C错误；若直尺平行于地面，则B错误；若直尺放在地面上，则A错误.
4. 已知异面直线a，b所成的角为50°，a∥c，则b与c所成的角是(　A　)
A. 50° B. 40° C. 50°或130° D. 130°
【解析】 在直线b上取一点作c'∥c，如图所示.∵c∥a，∴c'∥a，则相交直线b，c'所成的角就是异面直线a，b所成的角，∴相交直线b，c'所成的角为50°，∴b与c所成的角是50°.
5. 如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为(　B　)
A. 90° B. 60° C. 45° D. 0°
【解析】 将三角形折成三棱锥，如图所示，GH与IJ为异面直线，在三棱锥A－DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，∴∠ADF即为所求，因此GH与IJ所成角为60°.
6. 在空间四边形ABCD中，AC⊥BD，则顺次连接四边的中点形成的四边形一定是(　B　)
A. 空间四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
【解析】 如图所示，易知四边形EFGH为平行四边形.∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC. 同理可得FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.∵AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，四边形EFGH为矩形.
7. 设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　A　)
A. 有无数条 B. 有两条 C. 至多有两条 D. 有一条
【解析】 如图所示，过点P作直线l'∥l，以l'为轴，与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.
8. (多选)如图所示，四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点.下列说法中，正确的有(　ABD　)
A. MN与PD是异面直线 B. MN∥平面PBC
C. MN∥AC D. MN⊥PB
【解析】 如图所示，连接MN，易知MN与PD是异面直线，A正确；
取PB的中点为H，连接MH，HC，可得MN∥HC，又HC 平面PBC，MN 平面PBC，∴MN∥平面PBC，B正确；由MN∥HC，HC∩AC＝C，得MN不平行于AC，C错误；∵HC⊥PB，∴MN⊥PB，D正确.
9. (多选)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列说法中，正确的有(　ACD　)
A. 直线CC1与直线B1E相交 B. CC1与AE共面
C. AE与B1C1是异面直线 D. AE与B1C1垂直
【解析】 ∵CE∥B1C1，且CE＝B1C1，∴四边形CEB1C1为梯形，CC1与B1E必相交，A正确；由几何图形可知B错误，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，∴AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D正确.
10. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有　1　条.
【解析】 与AD1异面的面对角线分别为A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.
11. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与B1D1所成的角为　90°　，AC与D1C1所成的角为　45°　.
【解析】 B1D1与AC是异面直线，连接BD，交AC于点O(图略)，易知BD∥B1D1，∴∠DOC或其补角为B1D1与AC所成的角. ∵BD⊥AC，∴∠DOC＝90°，∴B1D1与AC所成的角是90°.∵DC∥D1C1，∴∠ACD是AC与D1C1所成的角，又∠ACD＝45°，∴AC与D1C1所成的角是45°.
12. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为底面ABCD内(包括边界)的动点，满足D1P与直线CC1所成角的大小为，则线段DP扫过的面积为　　.
【解析】 由题意知DD1∥CC1，要使D1P与直线CC1所成角的大小为，只需D1P与直线DD1所成角的大小为，∴∠DD1P＝，又DD1＝1，DD1⊥DP，∴DP＝.如图所示，
P的轨迹是以点D为圆心，为半径的四分之一圆，∴线段DP扫过的面积为××π＝.
13. 当动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是　　.
【解析】 设正方体的棱长为1，DP＝x，则x∈[0，1]，连接AD1，AP(图略)，由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成角.在△AD1P中，AD1＝，AP＝D1P＝，cos∠AD1P＝，又x∈[0，1]，∴cos∠AD1P＝∈，又∠AD1P∈(0，π)，∴∠AD1P∈.
14. 如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA＝4，BC＝6.
(1)在该棱锥的6条棱所在的直线中，共有多少对异面直线？请一一列出；
解：(1)在该棱锥的6条棱所在的直线中，共有3对异面直线，分别是PA与BC，PB与AC，PC与AB.
(2)若棱PB的中点为M，棱AC的中点为N，MN＝4，求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.
解：(2)如图所示，取AB的中点O，连接OM，ON，
∵PB的中点为M，AC的中点为N，∴OM∥PA，ON∥BC，∴异面直线PA与BC所成的角为∠MON或其补角.　
∵PA＝4，BC＝6，∴OM＝2，ON＝3，又MN＝4，∴在△MON中，由余弦定理可得cos∠MON＝＝＝－，∴异面直线PA与BC所成的角的余弦值为.
15. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，证明：CD1⊥EF.
证明：如图所示，取CD1的中点G，连接EG，DG，∵E是BD1的中点，∴EG∥BC，EG＝BC.∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A＝AB，∴四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，又G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，∴CD1⊥EF.
16. 如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1的长.
解：如图所示，连接CD1，AC.
由题意得，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.
∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C＝90°.又AB＝BC＝2，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝AC.∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∴AC＝2×sin 60°×2＝6，∴AD1＝AC＝3，
∴AA1＝＝＝.8.6 练习1　直线与直线垂直
1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱的条数有(　 　).
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2. 如图所示，在直三棱柱ABC －A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1. 则异面直线B1C1与AC所成角的大小为(　 　)
A. 45° B. 60° C. 30° D. 90°
3. 教室内有一把直尺，无论怎样放置，在地面上总有直线与直尺所在的直线(　 　)
A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 垂直
4. 已知异面直线a，b所成的角为50°，a∥c，则b与c所成的角是(　 　)
A. 50° B. 40° C. 50°或130° D. 130°
5. 如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为(　 　)
A. 90° B. 60° C. 45° D. 0°
6. 在空间四边形ABCD中，AC⊥BD，则顺次连接四边的中点形成的四边形一定是(　 　)
A. 空间四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
7. 设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　 　)
A. 有无数条 B. 有两条 C. 至多有两条 D. 有一条
8. (多选)如图所示，四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点.下列说法中，正确的有(　 　)
A. MN与PD是异面直线 B. MN∥平面PBC
C. MN∥AC D. MN⊥PB
9. (多选)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 直线CC1与直线B1E相交 B. CC1与AE共面
C. AE与B1C1是异面直线 D. AE与B1C1垂直
10. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有 条.
11. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与B1D1所成的角为 ，AC与D1C1所成的角为 .
12. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为底面ABCD内(包括边界)的动点，满足D1P与直线CC1所成角的大小为，则线段DP扫过的面积为 .
13. 当动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是 .
14. 如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA＝4，BC＝6.
(1)在该棱锥的6条棱所在的直线中，共有多少对异面直线？请一一列出；
(2)若棱PB的中点为M，棱AC的中点为N，MN＝4，求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.
15. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，证明：CD1⊥EF.
16. 如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1的长.

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