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(共21张PPT)
六、空间直线、平面的垂直
练习2　直线与平面垂直的判定
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. 空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角
形的第三边AB的位置关系是(　B　)
A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 不确定
【解析】 由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交
于点C，∴直线l和三角形所在的平面垂直，又三角形的第三边AB在这
个平面内，∴l⊥AB.
B
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2. 直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于
(　B　)
A. 20° B. 70° C. 90° D. 110°
【解析】 ∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又
直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°.
B
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3. 已知两条不同的直线l，m和平面α，若m α，则“l⊥m”是
“l⊥α”的(　B　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 若l⊥α，m α，则l⊥m一定成立，即必要性成立.若
l⊥m，m α，则l⊥α不一定成立，只有当l垂直于平面α内的两条相交
直线时，该结论才成立，充分性不成立.综上，“l⊥m”是“l⊥α”
的必要不充分条件.
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4. 如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，
那么直线l与直线AC的关系是(　C　)
A. 异面 B. 平行 C. 垂直 D. 不确定
【解析】 ∵BA⊥α，α∩β＝l，∴l α，∴BA⊥l；同理BC⊥l；又
BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC. ∵AC 平面ABC，∴l⊥AC.
C
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5. 若直线a与平面α不垂直，则平面α内与直线a垂直的直线有(　C　)
A. 0条 B. 1条 C. 无数条 D. 不确定
C
【解析】 当a α时，易知α内与a垂直的直线有无数条.当a α时，如
图所示，a不与α垂直，A是a上一点，C是a与α的交点，AB⊥α，
B∈α，c α，AB⊥c，若c⊥BC，∵AB∩BC＝B，∴c⊥平面
ABC，又a 平面ABC，∴c⊥a，在平面α内与c平行的直线均与a垂
直，这样的直线有无数条.
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6. 如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，C是平面α内异于点A和点B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为(　B　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 无法确定
【解析】 ∵PB⊥α，AC α，∴PB⊥AC. ∵PC⊥AC，PB∩PC＝
P，∴AC⊥平面PBC，又BC 平面PBC，∴AC⊥BC，△ABC为直
角三角形.
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7. 在正三棱锥P－ABC中，AB＝3，PA＝2，则直线PA与平面ABC
所成角的大小为(　A　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【解析】 如图所示，取底面正三角形ABC的中心O，连接PO，则PO⊥平面ABC，连接AO并延长，交BC于点D，则D为BC的中点，∴AP在平面ABC上的射影为AO，∴PA与平面ABC所成角为∠PAO.
∵AB＝3，∴AO＝ .又PA＝2，在Rt△POA中，
cos ∠PAO＝ ＝ ，直线PA与平面ABC所成角的
大小为30°.
A
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8. (多选)下列说法中，正确的有(　AC　)
A. 若直线l垂直于α，则直线l垂直于α内任一直线
B. 若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交、可能异面、
也可能平行
C. 若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b
D. 若a⊥b，b⊥α，则a∥α
【解析】 由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时，l与α内的直线相
交或异面，但不会平行，B错误；C显然是正确的；而D中，a可能在α
内，∴D错误.
AC
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9. (多选)(2024·无锡高一期中)在正四面体ABCD中，E，F，G，H分
别是棱AB，BC，CD，AD的中点，则下列结论中，正确的有
(　ABC　)
A. EF∥平面ACD B. AC⊥BD
C. E，F，G，H四点共面 D. AB⊥平面FGH
ABC
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【解析】 对于A，∵E，F分别为棱AB，BC的中点，∴EF∥AC，
又AC 平面ACD，EF 平面ACD，∴EF∥平面ACD，A正确；对于
B，如图所示，取BD的中点M，连接AM，CM，∵四面体ABCD是正
四面体，∴AM⊥BD，CM⊥BD，又AM∩CM＝M，AM，CM 平
面AMC，∴BD⊥平面AMC，又AC 平面AMC，∴AC⊥BD，B正
确；对于C，∵G，H分别是CD，AD的中点，∴HG∥AC，又
EF∥AC，∴HG∥EF，则E，F，G，H四点共面，C正确；
对于D，由上述内容知EF∥AC，又△ABC是等边三角形，
∴AB与AC不垂直，AB与EF不垂直，若AB⊥平面FGH，
由上述内容知EF 平面FGH，则AB⊥EF，
与已知条件不符，D错误.
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10. 在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，PA⊥平面ABCD，PA＝
1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为 　30°　.
【解析】 由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角. 在Rt△PAC
中，tan∠PCA＝ ＝ ＝ ，∴∠PCA＝30°，即PC与平面ABCD
所成的角为30°.
30°　
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11. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1
和AB上的点.若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝ 　90°　.
90°　
【解析】 ∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN. 又MN⊥B1M，
∴MN⊥平面C1B1M. 又C1M 平面C1B1M，∴MN⊥C1M，
∴∠C1MN＝90°.
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12. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运
动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 　线段B1C　.
【解析】 ∵BD1⊥平面B1AC，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P
为B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1.
线段B1C　
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件 　A1C1⊥B1C1(答案不唯一)　时，有AB1⊥BC1(注：填写你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况).
A1C1⊥B1C1(答案不唯一)　
【解析】 如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，
可得BC1⊥B1C.因此，要证AB1⊥BC1，
则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1.
由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC. ∵A1C1∥AC，
B1C1∥BC，只要证A1C1⊥B1C1
(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等).
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14. 如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面
圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°.求直线BD与平面ACD
所成角的大小.
解：取AC的中点E，连接BE，DE.
由题意知AB⊥平面BCD，AB⊥CD. 又BD是底面圆的直径，
∴∠BCD＝90°，即CD⊥BC. ∵AB∩BC＝B，AB，
BC 平面ABC，∴CD⊥平面ABC，又BE 平面ABC，
∴CD⊥BE. 又AB＝BC＝2，AB⊥BC，
∴BE⊥AC且BE＝ ，又AC∩CD＝C，AC，CD 平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴∠BDE即为BD与平面ACD所成的角，又BD＝ BC＝2 ，∴ sin ∠BDE＝ ＝ ＝ ，∴∠BDE＝30°，即BD与平面ACD所成的角为30°.
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15. 如图所示，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆
周上异于A，B两点的任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
(1)证明：AN⊥平面PBM；
证明：(1)∵AB为☉O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，∴PA⊥BM，
又PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，∴BM⊥平面PAM，
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN，
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，
∴AN⊥平面PBM .
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(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，证明：NQ⊥PB.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB 平面PBM，
∴AN⊥PB.又AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，
AQ 平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ. 又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ. 　
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16. 地面上插有一根直杆，将地面看成平面，只借助于绳子与米尺，你
能检测出直杆与地面是否垂直吗？写出你的方案并说明理由.
解：如图所示，将绳子的一端固定在直杆的A处，并使得AB＝0.8 m.
截取绳子的长度，使得绳长为1 m.拉紧绳子，并把它不固定的那端放在
地面上与B不共线的两点C，D处.测量BC与BD的长度，如果它们的
长度都是0.6 m，那么直杆就和地面垂直.
∵在△ABC中，AB＝0.8 m，AC＝1 m，BC＝0.6 m，
∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC.
同理可知BD＝0.6 m时，有AB⊥BD. 又B，C，
D三点不共线，∴AB⊥平面BCD，即直杆与地面垂直.
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168.6 练习2　直线与平面垂直的判定
1. 空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(　B　)
A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 不确定
【解析】 由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，
∴直线l和三角形所在的平面垂直，又三角形的第三边AB在这个平面内，∴l⊥AB.
2. 直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于(　B　)
A. 20° B. 70° C. 90° D. 110°
【解析】 ∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°.
3. 已知两条不同的直线l，m和平面α，若m α，则“l⊥m”是“l⊥α”的(　B　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 若l⊥α，m α，则l⊥m一定成立，即必要性成立.若l⊥m，m α，则l⊥α不一定成立，只有当l垂直于平面α内的两条相交直线时，该结论才成立，充分性不成立.综上，“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分条件.
4. 如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　C　)
A. 异面 B. 平行 C. 垂直 D. 不确定
【解析】 ∵BA⊥α，α∩β＝l，∴l α，∴BA⊥l；同理BC⊥l；又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC 平面ABC，∴l⊥AC.
5. 若直线a与平面α不垂直，则平面α内与直线a垂直的直线有(　C　)
A. 0条 B. 1条 C. 无数条 D. 不确定
【解析】 当a α时，易知α内与a垂直的直线有无数条.当a α时，如图所示，a不与α垂直，A是a上一点，C是a与α的交点，AB⊥α， B∈α，c α，AB⊥c，若c⊥BC，∵AB∩BC＝B，∴c⊥平面ABC，又a 平面ABC，∴c⊥a，在平面α内与c平行的直线均与a垂直，这样的直线有无数条.
6. 如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，C是平面α内异于点A和点B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为(　B　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 无法确定
【解析】 ∵PB⊥α，AC α，∴PB⊥AC.∵PC⊥AC，PB∩PC＝P，∴AC⊥平面PBC，又BC 平面PBC，∴AC⊥BC，△ABC为直角三角形.
7. 在正三棱锥P－ABC中，AB＝3，PA＝2，则直线PA与平面ABC所成角的大小为(　A　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【解析】 如图所示，取底面正三角形ABC的中心O，连接PO，则PO⊥平面ABC，连接AO并延长，交BC于点D，则D为BC的中点，∴AP在平面ABC上的射影为AO，∴PA与平面ABC所成角为∠PAO.∵AB＝3，∴AO＝.又PA＝2，在Rt△POA中，cos∠PAO＝＝，直线PA与平面ABC所成角的大小为30°.
8. (多选)下列说法中，正确的有(　AC　)
A. 若直线l垂直于α，则直线l垂直于α内任一直线
B. 若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交、可能异面、也可能平行
C. 若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b
D. 若a⊥b，b⊥α，则a∥α
【解析】 由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，B错误；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，∴D错误.
9. (多选)(2024·无锡高一期中)在正四面体ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，则下列结论中，正确的有(　ABC　)
A. EF∥平面ACD B. AC⊥BD
C. E，F，G，H四点共面 D. AB⊥平面FGH
【解析】 对于A，∵E，F分别为棱AB，BC的中点，∴EF∥AC，又AC 平面ACD，EF 平面ACD，∴EF∥平面ACD，A正确；对于B，如图所示，取BD的中点M，连接AM，CM，∵四面体ABCD是正四面体，∴AM⊥BD，CM⊥BD，又AM∩CM＝M，AM，CM 平面AMC，∴BD⊥平面AMC，又AC 平面AMC，∴AC⊥BD，B正确；对于C，∵G，H分别是CD，AD的中点，∴HG∥AC，又EF∥AC，∴HG∥EF，则E，F，G，H四点共面，C正确；对于D，由上述内容知EF∥AC，又△ABC是等边三角形，∴AB与AC不垂直，AB与EF不垂直，若AB⊥平面FGH，由上述内容知EF 平面FGH，则AB⊥EF，与已知条件不符，D错误.
10. 在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为　30°　.
【解析】 由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角. 在Rt△PAC中，tan∠PCA＝＝＝，∴∠PCA＝30°，即PC与平面ABCD所成的角为30°.
11. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点.若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝　90°　.
【解析】 ∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又MN⊥B1M，∴MN⊥平面C1B1M.又C1M 平面C1B1M，∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°.
12. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是　线段B1C　.
【解析】 ∵BD1⊥平面B1AC，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P为B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1.
13. 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件　A1C1⊥B1C1(答案不唯一)　时，有AB1⊥BC1(注：填写你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况).
【解析】 如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C.
因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1. 由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC.∵A1C1∥AC，B1C1∥BC，只要证A1C1⊥B1C1(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等).
14. 如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°.求直线BD与平面ACD所成角的大小.
解：取AC的中点E，连接BE，DE.
由题意知AB⊥平面BCD，AB⊥CD.又BD是底面圆的直径，∴∠BCD＝90°，
即CD⊥BC.
∵AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，∴CD⊥平面ABC，又BE 平面ABC，∴CD⊥BE.又AB＝BC＝2，AB⊥BC，∴BE⊥AC且BE＝，又AC∩CD＝C，AC，CD 平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴∠BDE即为BD与平面ACD所成的角，
又BD＝BC＝2，∴sin∠BDE＝＝＝，
∴∠BDE＝30°，即BD与平面ACD所成的角为30°.
15. 如图所示，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上异于A，B两点的任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
(1)证明：AN⊥平面PBM；
证明：(1)∵AB为☉O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，∴PA⊥BM，
又PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，∴BM⊥平面PAM，
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN，
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，
∴AN⊥平面PBM .
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，证明：NQ⊥PB.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ.又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.　
16. 地面上插有一根直杆，将地面看成平面，只借助于绳子与米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗？写出你的方案并说明理由.
解：如图所示，将绳子的一端固定在直杆的A处，并使得AB＝0.8 m.截取绳子的长度，使得绳长为1 m.拉紧绳子，并把它不固定的那端放在地面上与B不共线的两点C，D处.测量BC与BD的长度，如果它们的长度都是0.6 m，那么直杆就和地面垂直.
∵在△ABC中，AB＝0.8 m，AC＝1 m，BC＝0.6 m，∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC.
同理可知BD＝0.6 m时，有AB⊥BD.又B，C，D三点不共线，∴AB⊥平面BCD，即直杆与地面垂直.8.6 练习2　直线与平面垂直的判定
1. 空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(　 　)
A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 不确定
2. 直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于(　 　)
A. 20° B. 70° C. 90° D. 110°
3. 已知两条不同的直线l，m和平面α，若m α，则“l⊥m”是“l⊥α”的(　 　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　 　)
A. 异面 B. 平行 C. 垂直 D. 不确定
5. 若直线a与平面α不垂直，则平面α内与直线a垂直的直线有(　 　)
A. 0条 B. 1条 C. 无数条 D. 不确定
6. 如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，C是平面α内异于点A和点B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为(　 　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 无法确定
7. 在正三棱锥P－ABC中，AB＝3，PA＝2，则直线PA与平面ABC所成角的大小为(　 　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
8. (多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 若直线l垂直于α，则直线l垂直于α内任一直线
B. 若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交、可能异面、也可能平行
C. 若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b
D. 若a⊥b，b⊥α，则a∥α
9. (多选)(2024·无锡高一期中)在正四面体ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. EF∥平面ACD B. AC⊥BD
C. E，F，G，H四点共面 D. AB⊥平面FGH
10. 在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为 .
11. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点.若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝ .
12. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 .
13. 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件 时，有AB1⊥BC1(注：填写你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况).
14. 如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°.求直线BD与平面ACD所成角的大小.
15. 如图所示，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上异于A，B两点的任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
(1)证明：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，证明：NQ⊥PB.
16. 地面上插有一根直杆，将地面看成平面，只借助于绳子与米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗？写出你的方案并说明理由.

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