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8.6 练习3　直线与平面垂直的性质
1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1B1C1D1，则(　 　)
A. B1B⊥l B. B1B∥l
C. B1B与l异面但不垂直 D. B1B与l相交但不垂直
2. 在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　 　)
A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 相交或平行
3. 如图所示， ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE等于(　 　)
A. 2 B. 3 C. D.
4. 已知平面α∥平面β，m α，n β，且直线m与n不平行. 记平面α，β之间的距离为d1，直线m，n之间的距离为d2，则(　 　)
A. d1＜d2 B. d1＝d2 C. d1＞d2 D. d1与 d2大小不确定
5. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AB的中点，AB＝4，则MN与平面BCC1B1之间的距离为(　 　)
A. 4 B. 2 C. 2 D.
6. 已知直线l∩平面α＝O，A∈l，B∈l，A α，B α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD等于(　 　)
A. 2 B. 1 C. D.
7. 如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ、一段连接绳QO和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，O为上底面圆的圆心，在圆柱上、下底面圆周上分别有一点A，B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为(　 　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8. 如图所示，在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，已知OA＝OB＝2，OC＝1，则点O到平面ABC的距离为(　 　)
A. B. C. D.
9. (多选)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面.下列四个命题中，是真命题的有(　 　)
A. 若m⊥n，n α，则m⊥α
B. 若m⊥α，n α，则m⊥n
C. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n
D. 若m α，n β，α∥β，则m∥n
10. 已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题： (用序号表示).
11. 线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为 .
12. 直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是 (只填序号).
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直.
13. 如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D PC，则DE与平面PAC的位置关系是 .
14. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.
证明：l∥AE.
15. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，AD＝1，E是棱PB的中点.求直线AB与平面ECD之间的距离.
16. 如图所示，直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α)，从点P看地面上一物体B(不同于点A)，直线PB垂直于飞机玻璃窗所在的平面β.
试探讨平面β与平面α的位置关系.8.6 练习3　直线与平面垂直的性质
1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1B1C1D1，则(　B　)
A. B1B⊥l B. B1B∥l
C. B1B与l异面但不垂直 D. B1B与l相交但不垂直
【解析】 ∵B1B⊥平面A1B1C1D1，又l⊥平面A1B1C1D1，∴l∥B1B.
2. 在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　B　)
A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 相交或平行
【解析】 由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，∴它们平行.
3. 如图所示， ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE等于(　D　)
A. 2 B. 3 C. D.
【解析】 ∵ ADEF的边AF垂直于平面ABCD，∴DE⊥平面ABCD，而CD 平面ABCD，则DE⊥CD，可知△CDE为直角三角形.又DE＝AF＝2，CD＝3，
∴CE＝＝.
4. 已知平面α∥平面β，m α，n β，且直线m与n不平行. 记平面α，β之间的距离为d1，直线m，n之间的距离为d2，则(　B　)
A. d1＜d2 B. d1＝d2 C. d1＞d2 D. d1与 d2大小不确定
【解析】 ∵平面α∥平面β，m α，n β，且直线m与n不平行，∴平面α，β之间的距离等于直线m，n之间的距离，∴d1＝
5. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AB的中点，AB＝4，则MN与平面BCC1B1之间的距离为(　C　)
A. 4 B. 2 C. 2 D.
【解析】 如图所示，MN∥BC1，又BC1 平面BCC1B1，MN∥平面BCC1B1，∴MN与平面BCC1B1之间的距离为N到面BCC1B1的距离.又N到平面BCC1B1的距离为NB＝AB＝2，∴MN与平面BCC1B1之间的距离为2.
6. 已知直线l∩平面α＝O，A∈l，B∈l，A α，B α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD等于(　A　)
A. 2 B. 1 C. D.
【解析】 ∵AC⊥平面α，BD⊥平面α，∴AC∥BD.连接OD，∴＝. ∵OA＝AB，∴＝. ∵AC＝1，∴BD＝2.
7. 如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ、一段连接绳QO和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，O为上底面圆的圆心，在圆柱上、下底面圆周上分别有一点A，B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为(　A　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【解析】 如图所示，作出平面CDEF，使得PQ⊥平面CDEF，当PQ⊥AB时，AB∥平面CDEF或AB 平面CDEF，结合旋转分析可知，有2次使得PQ⊥AB.
8. 如图所示，在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，已知OA＝OB＝2，OC＝1，则点O到平面ABC的距离为(　D　)
A. B. C. D.
【解析】 由题意得AB＝2，AC＝，BC＝，在△ABC中，由余弦定理得cos∠ACB＝＝，∴sin∠ACB＝，∴S△ABC＝×××＝.设点O到平面ABC的距离为d，由VA－BOC＝VO－ABC，得××2×1×2＝×·d，解得d＝，即点O到平面ABC的距离为.
9. (多选)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面.下列四个命题中，是真命题的有(　BC　)
A. 若m⊥n，n α，则m⊥α
B. 若m⊥α，n α，则m⊥n
C. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n
D. 若m α，n β，α∥β，则m∥n
【解析】 直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，A不是真命题；B是直线与平面垂直的定义的应用，B是真命题；C是直线与平面垂直的性质定理，C是真命题；对于D，分别在两个平行平面α，β内的直线m，n平行或异面，D不是真命题.
10. 已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：　若②③，则①(答案不唯一)　(用序号表示).
【解析】 由l，m是平面α外的两条不同直线，得若l⊥α，m∥α，则由线面垂直、线面平行的性质定理得l⊥m.
11. 线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为　4　.
【解析】 如图所示，设AB的中点为M，分别过点A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，
则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.
12. 直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是　①②③　(只填序号).
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直.
【解析】 ①根据线面垂直的性质定理判断；②根据面面平行的性质定理判断；③根据基本事实4判断；只有④错误.
13. 如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D PC，则DE与平面PAC的位置关系是　平行　.
【解析】 ∵DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，∴DE∥PA.又DE 平面PAC，PA 平面PAC，∴DE∥平面PAC.
14. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.
证明：l∥AE.
证明：∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD.
又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD.
∵PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，∴CD⊥平面PAD.又AE 平面PAD，∴AE⊥CD.
∵AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD 平面PCD，CD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.∵l⊥平面PCD，∴l∥AE.
15. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，AD＝1，E是棱PB的中点.求直线AB与平面ECD之间的距离.
解：如图所示，取PA的中点F，连接EF，FD，
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵底面ABCD为矩形，
∴AD⊥CD，
又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，
又CD 平面EFDC，∴平面EFDC⊥平面PAD，
∵平面EFDC∩平面PAD＝FD，
∴点A到FD的距离，即为点A到平面EFDC的距离，∵AB∥CD，AB 平面EFDC，CD 平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∴点A到平面EFDC的距离，即为直线AB到平面EFDC的距离，
在Rt△AFD中，AF＝，AD＝1，DF＝，
∴点A到FD的距离为d＝＝.
16. 如图所示，直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α)，从点P看地面上一物体B(不同于点A)，直线PB垂直于飞机玻璃窗所在的平面β.
试探讨平面β与平面α的位置关系.
解：平面β与平面α必相交.假设平面α与平面β平行.
∵PA⊥平面α，∴PA⊥平面β.∵PB⊥平面β，由线面垂直的性质定理，可得PA∥PB，与已知PA∩PB＝P矛盾，∴平面β必与平面α相交.(共20张PPT)
六、空间直线、平面的垂直
练习3　直线与平面垂直的性质
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面
A1B1C1D1，则(　B　)
A. B1B⊥l B. B1B∥l
C. B1B与l异面但不垂直 D. B1B与l相交但不垂直
【解析】 ∵B1B⊥平面A1B1C1D1，又l⊥平面A1B1C1D1，∴l∥B1B.
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2. 在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一
个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是
(　B　)
A. 相交 B. 平行
C. 异面 D. 相交或平行
【解析】 由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，∴它们平行.
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3. 如图所示， ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE等于(　D　)
A. 2 B. 3 C. D.
【解析】 ∵ ADEF的边AF垂直于平面ABCD，
∴DE⊥平面ABCD，而CD 平面ABCD，则DE⊥CD，
可知△CDE为直角三角形.又DE＝AF＝2，CD＝3，
∴CE＝ ＝ .
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4. 已知平面α∥平面β，m α，n β，且直线m与n不平行. 记平面α，
β之间的距离为d1，直线m，n之间的距离为d2，则(　B　)
A. d1＜d2 B. d1＝d2
C. d1＞d2 D. d1与 d2大小不确定
【解析】 ∵平面α∥平面β，m α，n β，且直线m与n不平行，∴平
面α，β之间的距离等于直线m，n之间的距离，∴d1＝
B
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5. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AB的中点，
AB＝4，则MN与平面BCC1B1之间的距离为(　C　)
A. 4 B. 2 C. 2 D.
C
【解析】 如图所示，MN∥BC1，又BC1 平面BCC1B1，MN∥平面
BCC1B1，∴MN与平面BCC1B1之间的距离为N到面
BCC1B1的距离.又N到平面BCC1B1的距离为
NB＝ AB＝2，∴MN与平面BCC1B1之间的距离为2.
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6. 已知直线l∩平面α＝O，A∈l，B∈l，A α，B α，且OA＝
AB. 若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则
BD等于(　A　)
A. 2 B. 1 C. D.
A
【解析】 ∵AC⊥平面α，BD⊥平面α，∴AC∥BD. 连接OD，
∴ ＝ . ∵OA＝AB，∴ ＝ .
∵AC＝1，∴BD＝2.
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7. 如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ、一段连接绳QO和一个圆柱组
成，提竿平行于圆柱的底面，O为上底面圆的圆心，在圆柱上、下底面
圆周上分别有一点A，B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其
旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为(　A　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
A
【解析】 如图所示，作出平面CDEF，使得PQ⊥平面
CDEF，当PQ⊥AB时，AB∥平面CDEF或AB 平面
CDEF，结合旋转分析可知，有2次使得PQ⊥AB.
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8. 如图所示，在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，已知
OA＝OB＝2，OC＝1，则点O到平面ABC的距离为(　D　)
A. B. C. D.
D
【解析】 由题意得AB＝2 ，AC＝ ，BC＝ ，
在△ABC中，由余弦定理得 cos ∠ACB＝ ＝ ，
∴ sin ∠ACB＝ ，∴S△ABC＝ × × × ＝
.设点O到平面ABC的距离为d，由VA－BOC＝VO－ABC，得 ×
×2×1×2＝ × ·d，解得d＝ ，即点O到平面ABC的距离为 .
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9. (多选)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面.下
列四个命题中，是真命题的有(　BC　)
A. 若m⊥n，n α，则m⊥α B. 若m⊥α，n α，则m⊥n
C. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n D. 若m α，n β，α∥β，则m∥n
BC
【解析】 直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一
定垂直，A不是真命题；B是直线与平面垂直的定义的应用，B是真命
题；C是直线与平面垂直的性质定理，C是真命题；对于D，分别在两
个平行平面α，β内的直线m，n平行或异面，D不是真命题.
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10. 已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命
题： 　若②③，则①(答案不唯一)　(用序号表示).
【解析】 由l，m是平面α外的两条不同直线，得若l⊥α，m∥α，则由
线面垂直、线面平行的性质定理得l⊥m.
若②③，则①(答案不唯一)　
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11. 线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中
点到α的距离为 　4　.
【解析】 如图所示，设AB的中点为M，分别过点
A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，
则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边
形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为
其中位线，∴MM1＝4.
4　
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12. 直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使
a∥b成立的条件是 　①②③　(只填序号).
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直.
【解析】 ①根据线面垂直的性质定理判断；②根据面面平行的性质定
理判断；③根据基本事实4判断；只有④错误.
①②③　
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. 如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC
上一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D PC，则DE与平面
PAC的位置关系是 　平行　.
平行　
【解析】 ∵DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，
∴DE∥PA. 又DE 平面PAC，PA 平面PAC，
∴DE∥平面PAC.
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14. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形
ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.
证明：l∥AE.
证明：∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD. 又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD.
∵PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD. 又AE 平面PAD，∴AE⊥CD.
∵AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD 平面PCD，CD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD. ∵l⊥平面PCD，∴l∥AE.
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15. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底
面ABCD，PA＝AB＝ ，AD＝1，E是棱PB的中点.求直线AB与
平面ECD之间的距离.
解：如图所示，取PA的中点F，连接EF，FD，
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵底面ABCD为矩形，
∴AD⊥CD，
又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，
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又CD 平面EFDC，∴平面EFDC⊥平面PAD，
∵平面EFDC∩平面PAD＝FD，
∴点A到FD的距离，即为点A到平面EFDC的距离，∵AB∥CD，
AB 平面EFDC，CD 平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∴点A到平
面EFDC的距离，即为直线AB到平面EFDC的距离，
在Rt△AFD中，AF＝ ，AD＝1，DF＝ ，
∴点A到FD的距离为d＝ ＝ .
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16. 如图所示，直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α)，
从点P看地面上一物体B(不同于点A)，直线PB垂直于飞机玻璃窗所在
的平面β.
试探讨平面β与平面α的位置关系.
解：平面β与平面α必相交.假设平面α与平面β平行.
∵PA⊥平面α，∴PA⊥平面β.∵PB⊥平面β，
由线面垂直的性质定理，可得PA∥PB，
与已知PA∩PB＝P矛盾，∴平面β必与平面α相交.
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