资源简介

8.6 练习4　平面与平面垂直的判定
1. 已知直线l⊥平面α，则过l且与α垂直的平面(　C　)
A. 有1个 B. 有2个 C. 有无数个 D. 不存在
【解析】 由面面垂直的判定定理知，任何过l的平面都垂直于平面α，∴这样的平面有无数个.
2. 在三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有(　B　)
A. 平面ABC⊥平面ADC B. 平面ACD⊥平面BCD
C. 平面ABC⊥平面BDC D. 平面ABC⊥平面ADB
【解析】 如图所示，由于AD⊥BC，AD⊥CD，∴AD⊥平面BCD，而AD 平面ADC，∴平面ACD⊥平面BCD.
3. 自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是(　B　)
A. 相等 B. 互补 C. 互余 D. 无法确定
【解析】 如图所示，BD，CD为AB，AC所在平面与α，β的交线，则∠BDC为二面角α－l－β的平面角，且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°.
4. 已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，且满足l⊥α，m β，则“l∥m”是“α⊥β”的(　A　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 当l∥m时，结合l⊥α，可得m⊥α，又m β，∴α⊥β；当α⊥β，l⊥α，m β时，l与m不一定平行，∴“l∥m”是“α⊥β”的充分不必要条件.
5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BD－A的正切值为(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 如图所示，连接AC，与BD交于点O，连接A1O. ∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角.在Rt△A1OA中，tan∠A1OA＝＝，即二面角A1－BD－A的正切值为.
6. 若正四棱锥相邻两侧面形成的二面角的平面角为θ，则θ(　B　)
A. 一定是锐角 B. 一定是钝角
C. 可能是直角 D. 可能是锐角或钝角，但不是直角
【解析】 如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，连接AC，作AE垂直于SB，垂足为E，连接CE，易知CE⊥SB，则∠AEC为二面角A－SB－C的平面角θ.由题得AE＜AB，CE＜CB. 在正方形ABCD中，由勾股定理得AC2＝AB2＋CB2，∴AC2＞AE2＋CE2.在△AEC中，由余弦定理得cosθ＝cos∠AEC＝＜0，∴θ∈，则θ一定是钝角.
7. 如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，将△ABC沿AD翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为(　C　)
　
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【解析】 已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.
8. (多选)如图所示，在三棱锥V－ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°.下列结论中，正确的有(　ABD　)
A. 平面VAC⊥平面ABC B. 平面VAB⊥平面ABC
C. 平面VAC⊥平面VBC D. 平面VAB⊥平面VBC
【解析】 ∵VA⊥AB，VA⊥AC，且AB∩AC＝A，∴VA⊥平面ABC，又VA 平面VAB，VA 平面VAC，
∴平面VAC⊥平面ABC，平面VAB⊥平面ABC，则A，B正确；又VA⊥BC，BC⊥AB，且VA∩AB＝A，∴BC⊥平面VAB，又BC 平面VBC，从而平面VAB⊥平面VBC，D正确.
9. (多选)如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2，得到四棱锥P－EBCD，则(　AC　)
A. 平面PED⊥平面EBCD　
B. PC⊥ED
C. 二面角P－DC－B的大小为
D. 直线PC与平面PED所成的角的正切值为
【解析】 ∵PD＝AD＝＝＝2，∴在△PDC中，可得PD2＋CD2＝PC2，∴PD⊥CD.又CD⊥DE，PD∩DE＝D，∴CD⊥平面PED，又CD 平面EBCD，∴平面PED⊥平面EBCD，A正确；假设PC⊥ED，则由ED⊥CD，PC∩CD＝C，可得ED⊥平面PDC，则ED⊥PD，而∠EDP＝∠EDA，不符合题意，假设不成立，B错误；易知二面角P－DC－B的平面角为∠PDE，根据题意知∠PDE＝∠ADE＝，C正确；由上面分析可知，∠CPD为直线PC与平面PED所成的角，在Rt△PCD中，tan∠CPD＝＝，D错误.
10. 已知两个不重合的平面α，β，若直线l α，则当　l⊥β　时，可得到α⊥β.
【解析】 由面面垂直的判定定理知，两个不重合的平面α，β，若直线l α，则当l⊥β时，可得到α⊥β.
11. 在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是　垂直　.
【解析】 ∵PA＝PB＝PC，∴P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上，
又Rt△ABC的外心为BC的中点，设为O，则PO⊥平面ABC，又PO 平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABC.
12. 如图所示，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是　　.
【解析】 如图所示，作AO⊥β于点O，AC⊥l于点C，连接OB，OC，则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，
由图得sin θ＝＝·＝sin 30°×sin 60°＝.
13. (多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，则下列结论中，正确的有(　ABC　)
A. 平面CBP⊥平面BB1P
B. DC1⊥PC
C. 三棱锥C1－D1PC的体积为定值
D. ∠APD1的取值范围是
【解析】 连接PB1，∵CB⊥平面BB1P，CB 平面CBP，∴平面CBP⊥平面BB1P，A正确；连接DC1，CD1，由DC1⊥对角面BCD1A1，可得DC1⊥PC，B正确；连接CD1，C1P，三棱锥C1－D1PC的体积等于三棱锥P－C1D1C的体积，底面积S△C1D1C为定值，高BC为定值，因此体积为定值，C正确；连接AD1，取P为A1B的中点时，不妨设AP＝1，则AD1＝2，PD1＝＝，可得AP2＋P＝A，∴∠APD1＝，D错误.
14. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点.
证明：
(1)直线A1B1∥平面ABD；
证明：(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB，
∵A1B1 平面ABD，AB 平面ABD，
∴直线A1B1∥平面ABD.
(2)平面ABD⊥平面BCC1B1.
证明：(2)∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥BB1.又AB⊥BC，BB1 平面BCC1B1，BC 平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，∴AB⊥平面BCC1B1.
又AB 平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCC1B1.
15. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿对角线BD把△BCD折起，使点C移到点C'，且点C'在平面ABD内的射影O恰好落在AB上.
(1)证明：平面DBC'⊥平面ADC'；
(1)证明：C'在平面ABD内的射影O恰好落在AB上，即OB为BC'在平面ABD上的射影，而AB⊥AD，∴BC'⊥AD，
∵BC'⊥C'D，C'D∩AD＝D，∴BC'⊥平面ADC'，又BC' 平面DBC'，
∴平面DBC'⊥平面ADC'.
(2)求二面角C'－AD－B的余弦值.
(2)解：由(1)知，BC'⊥AC'，在Rt△AC'B中，
有AC'＝3，即C'A2＋AD2＝C'D2，
∴C'A⊥AD，又AB⊥AD，C'A∩AB＝A，即AD⊥平面C'AB，
∴二面角C'－AD－B的平面角是∠C'AB，
∴cos∠C'AB＝＝，
∴二面角C'－AD－B的余弦值是.
16. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起，使得点A到达点P的位置，且PE⊥EB，得到四棱锥P－BCDE，已知M为棱PB的中点，N为棱BC上的动点(与点B，C不重合).
(1)证明：平面EMN⊥平面PBC；
(1)证明：∵PE⊥ED，PE⊥EB，EB∩ED＝E，∴PE⊥平面EBCD，又BC 平面EBCD，∴PE⊥BC.∵BC⊥EB，EB∩PE＝E，∴BC⊥平面PEB，又EM 平面PEB，∴BC⊥EM.∵PE＝EB，PM＝MB，∴EM⊥PB，又BC∩PB＝B，∴EM⊥平面PBC.∵EM 平面EMN，∴平面EMN⊥平面PBC.
(2)是否存在点N，使得二面角B－EN－M的正切值为？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由.
(2)解：假设存在点N满足题意，过点M作MQ⊥EB于点Q，∵PE⊥EB，∴PE∥MQ，由(1)知PE⊥平面EBCD，∴MQ⊥平面EBCD，又EN 平面EBCD，∴MQ⊥EN.过点Q作QR⊥EN于点R，连接MR，∵MQ∩QR＝Q，∴EN⊥平面MQR，又MR 平面MQR，∴EN⊥MR，∴∠MRQ为二面角B－EN－M的平面角.不妨设PE＝EB＝BC＝2，则MQ＝1，在Rt△EBN中，设BN＝
x(0＜x＜2)，∵Rt△EBN∽Rt△ERQ，∴＝，∴＝，得RQ＝，∴tan∠MRQ＝＝＝，可得x＝1，此时N为BC的中点.综上，存在点N，使得二面角B－EN－M的正切值为，此时N为BC的中点.8.6 练习4　平面与平面垂直的判定
1. 已知直线l⊥平面α，则过l且与α垂直的平面(　 　)
A. 有1个 B. 有2个 C. 有无数个 D. 不存在
2. 在三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有(　 　)
A. 平面ABC⊥平面ADC B. 平面ACD⊥平面BCD
C. 平面ABC⊥平面BDC D. 平面ABC⊥平面ADB
3. 自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是(　 　)
A. 相等 B. 互补 C. 互余 D. 无法确定
4. 已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，且满足l⊥α，m β，则“l∥m”是“α⊥β”的(　 　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BD－A的正切值为(　 　)
A. B. C. D.
6. 若正四棱锥相邻两侧面形成的二面角的平面角为θ，则θ(　 　)
A. 一定是锐角 B. 一定是钝角
C. 可能是直角 D. 可能是锐角或钝角，但不是直角
7. 如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，将△ABC沿AD翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为(　 　)
　
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
8. (多选)如图所示，在三棱锥V－ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°.下列结论中，正确的有(　 　)
A. 平面VAC⊥平面ABC B. 平面VAB⊥平面ABC
C. 平面VAC⊥平面VBC D. 平面VAB⊥平面VBC
9. (多选)如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2，得到四棱锥P－EBCD，则(　 　)
A. 平面PED⊥平面EBCD　
B. PC⊥ED
C. 二面角P－DC－B的大小为
D. 直线PC与平面PED所成的角的正切值为
10. 已知两个不重合的平面α，β，若直线l α，则当 时，可得到α⊥β.
11. 在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是 .
12. 如图所示，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是 .
13. (多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. 平面CBP⊥平面BB1P
B. DC1⊥PC
C. 三棱锥C1－D1PC的体积为定值
D. ∠APD1的取值范围是
14. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点.
证明：
(1)直线A1B1∥平面ABD；
(2)平面ABD⊥平面BCC1B1.
15. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿对角线BD把△BCD折起，使点C移到点C'，且点C'在平面ABD内的射影O恰好落在AB上.
(1)证明：平面DBC'⊥平面ADC'；
(2)求二面角C'－AD－B的余弦值.
16. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起，使得点A到达点P的位置，且PE⊥EB，得到四棱锥P－BCDE，已知M为棱PB的中点，N为棱BC上的动点(与点B，C不重合).
(1)证明：平面EMN⊥平面PBC；
(2)是否存在点N，使得二面角B－EN－M的正切值为？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由.(共25张PPT)
六、空间直线、平面的垂直
练习4　平面与平面垂直的判定
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. 已知直线l⊥平面α，则过l且与α垂直的平面(　C　)
A. 有1个 B. 有2个
C. 有无数个 D. 不存在
【解析】 由面面垂直的判定定理知，任何过l的平面都垂直于平面α，
∴这样的平面有无数个.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 在三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有(　B　)
A. 平面ABC⊥平面ADC B. 平面ACD⊥平面BCD
C. 平面ABC⊥平面BDC D. 平面ABC⊥平面ADB
B
【解析】 如图所示，由于AD⊥BC，AD⊥CD，∴AD⊥平面BCD，
而AD 平面ADC，∴平面ACD⊥平面BCD.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二
面角的平面角的关系是(　B　)
A. 相等 B. 互补 C. 互余 D. 无法确定
B
【解析】 如图所示，BD，CD为AB，AC所在平面与α，β的交线，则∠BDC为二面角α－l－β的平面角，且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，且满足
l⊥α，m β，则“l∥m”是“α⊥β”的(　A　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 当l∥m时，结合l⊥α，可得m⊥α，又m β，∴α⊥β；当
α⊥β，l⊥α，m β时，l与m不一定平行，∴“l∥m”是“α⊥β”的
充分不必要条件.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BD－A的正切值为
(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 如图所示，连接AC，与BD交于点O，连接A1O.
∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，
∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，
∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角.在Rt△A1OA
中，tan∠A1OA＝ ＝ ，即二面角A1－BD－A的正切值为 .
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. 若正四棱锥相邻两侧面形成的二面角的平面角为θ，则θ(　B　)
A. 一定是锐角 B. 一定是钝角
C. 可能是直角 D. 可能是锐角或钝角，但不是直角
B
【解析】 如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，连接AC，作AE垂直
于SB，垂足为E，连接CE，易知CE⊥SB，则∠AEC为二面角A－
SB－C的平面角θ.由题得AE＜AB，CE＜CB. 在正方形ABCD中，
由勾股定理得AC2＝AB2＋CB2，∴AC2＞AE2＋CE2.
在△AEC中，由余弦定理得 cos θ＝ cos ∠AEC＝
＜0，∴θ∈ ，则θ一定是钝角.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积
的2倍，将△ABC沿AD翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角
B－AD－C的大小为(　C　)
　
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
C
【解析】 已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，
而AD⊥BD，CD⊥AD，∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其
大小为60°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. (多选)如图所示，在三棱锥V－ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°.下列结论中，正确的有(　ABD　)
A. 平面VAC⊥平面ABC B. 平面VAB⊥平面ABC
C. 平面VAC⊥平面VBC D. 平面VAB⊥平面VBC
ABD
【解析】 ∵VA⊥AB，VA⊥AC，且AB∩AC＝A，∴VA⊥平面
ABC，又VA 平面VAB，VA 平面VAC，
∴平面VAC⊥平面ABC，平面VAB⊥平面ABC，则A，B正确；又
VA⊥BC，BC⊥AB，且VA∩AB＝A，∴BC⊥平面VAB，又BC
平面VBC，从而平面VAB⊥平面VBC，D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. (多选)如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝ AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点
A到达点P的位置，且PC＝2 ，得到四棱锥P－EBCD，则(　AC　)
A. 平面PED⊥平面EBCD
B. PC⊥ED
C. 二面角P－DC－B的大小为
D. 直线PC与平面PED所成的角的正切值为
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
【解析】 ∵PD＝AD＝ ＝ ＝2 ，∴在△PDC
中，可得PD2＋CD2＝PC2，∴PD⊥CD. 又CD⊥DE，PD∩DE＝
D，∴CD⊥平面PED，又CD 平面EBCD，∴平面PED⊥平面EBCD，A正确；假设PC⊥ED，则由ED⊥CD，PC∩CD＝C，可得ED⊥平面PDC，则ED⊥PD，而∠EDP＝∠EDA，不符合题意，假设不成立，B错误；易知二面角P－DC－B的平面角为∠PDE，根据题意知∠PDE＝∠ADE＝ ，C正确；由上面分析可知，∠CPD为直线PC与平面PED所成的角，在Rt△PCD中，tan∠CPD＝ ＝ ，D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 已知两个不重合的平面α，β，若直线l α，则当 　l⊥β　时，可得
到α⊥β.
【解析】 由面面垂直的判定定理知，两个不重合的平面α，β，若直线
l α，则当l⊥β时，可得到α⊥β.
l⊥β　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝
PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是 　垂直　.
【解析】 ∵PA＝PB＝PC，∴P在△ABC所在平面上的射影必落在
△ABC的外心上，又Rt△ABC的外心为BC的中点，设为O，则PO⊥平面ABC，又PO 平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABC.
垂直　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. 如图所示，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB α，B∈l，
AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是 　 　.
　
【解析】 如图所示，作AO⊥β于点O，AC⊥l于点C，连接OB，
OC，则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，
由图得 sin θ＝ ＝ · ＝ sin 30°× sin 60°＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. (多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1B上
的动点(不含端点)，则下列结论中，正确的有(　ABC　)
A. 平面CBP⊥平面BB1P
B. DC1⊥PC
C. 三棱锥C1－D1PC的体积为定值
D. ∠APD1的取值范围是
ABC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
【解析】 连接PB1，∵CB⊥平面BB1P，CB 平面CBP，∴平面
CBP⊥平面BB1P，A正确；连接DC1，CD1，由DC1⊥对角面BCD1A1，可得DC1⊥PC，B正确；连接CD1，C1P，三棱锥C1－D1PC的体积等于三棱锥P－C1D1C的体积，底面积S△C1D1C为定值，高BC为定值，因此体积为定值，C正确；连接AD1，取P为A1B的中点时，不妨设AP＝1，则AD1＝2，PD1＝ ＝ ，可得AP2＋P ＝A ，∴∠APD1＝ ，D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点.
证明：
(1)直线A1B1∥平面ABD；
证明：(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB，
∵A1B1 平面ABD，AB 平面ABD，
∴直线A1B1∥平面ABD.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)平面ABD⊥平面BCC1B1.
证明：(2)∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
∴AB⊥BB1.又AB⊥BC，BB1 平面BCC1B1，
BC 平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，
∴AB⊥平面BCC1B1.又AB 平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCC1B1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3 ，BC＝3，沿对角线BD把
△BCD折起，使点C移到点C'，且点C'在平面ABD内的射影O恰好落
在AB上.
(1)证明：平面DBC'⊥平面ADC'；
(1)证明：C'在平面ABD内的射影O恰好落在AB上，
即OB为BC'在平面ABD上的射影，而AB⊥AD，∴BC'⊥AD，
∵BC'⊥C'D，C'D∩AD＝D，∴BC'⊥平面ADC'，又BC' 平面
DBC'，∴平面DBC'⊥平面ADC'.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)求二面角C'－AD－B的余弦值.
(2)解：由(1)知，BC'⊥AC'，在Rt△AC'B中，
有AC'＝3 ，即C'A2＋AD2＝C'D2，
∴C'A⊥AD，又AB⊥AD，C'A∩AB＝A，即AD⊥平面C'AB，
∴二面角C'－AD－B的平面角是∠C'AB，
∴ cos ∠C'AB＝ ＝ ，
∴二面角C'－AD－B的余弦值是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起，使得点A到达
点P的位置，且PE⊥EB，得到四棱锥P－BCDE，已知M为棱PB的
中点，N为棱BC上的动点(与点B，C不重合).
(1)证明：平面EMN⊥平面PBC；
(1)证明：∵PE⊥ED，PE⊥EB，
EB∩ED＝E，∴PE⊥平面EBCD，
又BC 平面EBCD，∴PE⊥BC.
∵BC⊥EB，EB∩PE＝E，
∴BC⊥平面PEB，又EM 平面PEB，∴BC⊥EM. ∵PE＝EB，
PM＝MB，∴EM⊥PB，又BC∩PB＝B，∴EM⊥平面PBC.
∵EM 平面EMN，∴平面EMN⊥平面PBC.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)是否存在点N，使得二面角B－EN－M的正切值为 ？若存在，
确定点N的位置；若不存在，请说明理由.
(2)解：假设存在点N满足题意，过点M作MQ⊥EB于点Q，
∵PE⊥EB，∴PE∥MQ，由(1)知PE⊥平面EBCD，∴MQ⊥平面
EBCD，又EN 平面EBCD，∴MQ⊥EN.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
过点Q作QR⊥EN于点R，连接MR，∵MQ∩QR＝Q，∴EN⊥平
面MQR，又MR 平面MQR，∴EN⊥MR，∴∠MRQ为二面角B－
EN－M的平面角.不妨设PE＝EB＝BC＝2，则MQ＝1，在Rt△EBN
中，设BN＝x(0＜x＜2)，∵Rt△EBN∽Rt△ERQ，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，得RQ＝ ，∴tan∠MRQ＝ ＝ ＝ ，可得x＝1，此时N为BC的中点.综上，存在点N，使得二面角B－EN－M
的正切值为 ，此时N为BC的中点.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

展开更多......

收起↑