资源简介

8.6 练习5　平面与平面垂直的性质
1. 已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　 　)
A. m∥l B. m∥n C. n⊥l D. m⊥n
2. 已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n α，要使n⊥β，则应增加的条件是(　 　)
A. m∥n B. n⊥m C. n∥α D. n⊥α
3. 如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　 　)
A. PD 平面ABC B. PD⊥平面ABC
C. PD与平面ABC相交但不垂直 D. PD∥平面ABC
4. 已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是(　 　)
A. 异面 B. 相交但不垂直 C. 平行 D. 相交且垂直
5. 已知平面α，β，γ，则下列命题中，正确的是(　 　)
A. 若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B. 若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ
C. 若α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b
D. 若α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α
6. 如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影点H必在(　 　)
A. 直线AB上 B. 直线BC上
C. 直线AC上 D. △ABC内部(不包括边界)
7. 如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(　 　)
A. 一条线段 B. 一条直线
C. 一个圆 D. 一个圆，但要去掉两个点
8. (多选)若平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈α，P l，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 过点P且垂直于l的平面垂直于β
B. 过点P且垂直于l的直线垂直于β
C. 过点P且垂直于α的直线平行于β
D. 过点P且垂直于β的直线在α内
9. (多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段A1B上运动，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. PB∥平面CDD1C1 B. BC⊥AP
C. C1D⊥平面A1D1P D. 平面PB1C1与平面A1AP不垂直
10. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面ABCD，则EF与AA1的位置关系是 .
11. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为 .
12. 在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上一动点，则PM的最小值是 .
13. 三棱锥P－ABC的高为PH，若其三个侧面两两垂直，则H为△ABC的 心.
14. 如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角.证明：
(1)AB⊥平面BCD；
　
(2)平面ACD⊥平面ABD.
　
15. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点.
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
(2)证明：平面PAB⊥平面PCD.
16. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，∠BAP＝∠CDP＝90°，△PAD是正三角形，且PA＝AB.
(1)当点M在线段PA上的什么位置时，有DM⊥平面PAB？
(2)在(1)的条件下，点N在线段PB上的什么位置时，有平面DMN⊥平面PBC？(共23张PPT)
六、空间直线、平面的垂直
练习5　平面与平面垂直的性质
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. 已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，
n⊥β，则(　C　)
A. m∥l B. m∥n C. n⊥l D. m⊥n
【解析】 ∵α∩β＝l，∴l β，又n⊥β，∴n⊥l.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n α，要使
n⊥β，则应增加的条件是(　B　)
A. m∥n B. n⊥m C. n∥α D. n⊥α
【解析】 已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n α，应
增加条件n⊥m，才能使得n⊥β.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝
PB，AD＝DB，则(　B　)
A. PD 平面ABC B. PD⊥平面ABC
C. PD与平面ABC相交但不垂直 D. PD∥平面ABC
B
【解析】 ∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB. 又平面ABC⊥平面
PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是(　C　)
A. 异面 B. 相交但不垂直
C. 平行 D. 相交且垂直
【解析】 ∵α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，∴n⊥α.又m⊥α，∴m∥n.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. 已知平面α，β，γ，则下列命题中，正确的是(　B　)
A. 若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B. 若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ
C. 若α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b
D. 若α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α
B
【解析】 A中α，γ可以相交；C中如图所示，a与b不一定垂直；D中b
仅垂直于α的一条直线a，不能据此判定b⊥α.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. 如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，
BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影点H必在(　A　)
A. 直线AB上 B. 直线BC上
C. 直线AC上 D. △ABC内部(不包括边界)
A
【解析】 连接AC1(图略).∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，
∴AC⊥平面ABC1.又AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点
C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面
PAC⊥平面PBC，P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(　D　)
A. 一条线段 B. 一条直线
C. 一个圆 D. 一个圆，但要去掉两个点
【解析】 ∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，∴AC⊥平面PBC. 又BC 平面PBC，
∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆
(除去A和B两点).
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. (多选)若平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈α，P l，则下列说法中，
正确的有(　ACD　)
A. 过点P且垂直于l的平面垂直于β
B. 过点P且垂直于l的直线垂直于β
C. 过点P且垂直于α的直线平行于β
D. 过点P且垂直于β的直线在α内
ACD
【解析】 易知A正确；对于B，当过点P且垂直于l的直线不在α内时，
该直线不与β垂直，B错误；对于C，由平面α⊥平面β，α∩β＝l，点
P∈α，P l，在β内作直线m⊥l，由面面垂直的性质定理得m⊥α，设
过点P且垂直于α的直线为n，即n⊥α，则m∥n，由线面平行的判定
定理可知n∥β，C正确；对于D，由面面垂直的性质定理可知D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. (多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段A1B
上运动，则下列结论中，正确的有(　ABC　)
A. PB∥平面CDD1C1 B. BC⊥AP
C. C1D⊥平面A1D1P D. 平面PB1C1与平面A1AP不垂直
ABC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
【解析】 ∵几何体ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴平面ABB1A1∥平
面CDD1C1，AP 平面ABB1A1，∴AP∥平面CDD1C1，A正确；
∵BC⊥平面ABB1A1，AP 平面ABB1A1，∴BC⊥AP，B正确；∵四
边形CDD1C1是正方形，∴C1D⊥CD1，∵A1D1⊥平面CDD1C1，
C1D 平面CDD1C1，∴C1D⊥A1D1，A1B∥CD1，∴平面A1D1P即为
平面A1D1CB，A1D1∩CD1＝D1，A1D1，CD1 平面A1D1P，
∴C1D⊥平面A1D1P，C正确；∵B1C1⊥平面A1AP，B1C1 平面
PB1C1，∴平面PB1C1⊥平面A1AP，D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面
A1B1C1D1，且EF⊥平面ABCD，则EF与AA1的位置关系是 　平行　.
【解析】 ∵AA1⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，∴AA1∥EF.
平行　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折
起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面
中，互相垂直的平面的对数为 　3　.
3　
【解析】 ∵平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.
又AB 平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，∵AB⊥BD，AB∥CD，∴CD⊥BD. 又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，
∴平面ACD⊥平面ABD，共3对.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. 在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，
△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上一动点，则PM
的最小值是 　2 　.
【解析】 如图所示，连接CM，
2 　
则由题意知PC⊥平面ABC，∵CM 平面ABC，
∴PC⊥CM，∴PM＝ .要求PM的
最小值，只需求出CM的最小值即可.在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4× ＝2 ，∴PM的最小值是2 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. 三棱锥P－ABC的高为PH，若其三个侧面两两垂直，则H为
△ABC的 　垂　心.
【解析】 连接AH，BH，CH. 由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两
垂直，易得PA⊥平面PBC，PB⊥平面PAC，PC⊥平面PAB，则有
BC⊥PA，AB⊥PC，CA⊥PB. 由BC⊥PA，PH⊥BC，PA∩
PH＝P，得BC⊥平面PAH，则BC⊥AH. 同理可得AB⊥CH，
CA⊥BH，∴H为△ABC的垂心.
垂　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝
a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角.证明：
(1)AB⊥平面BCD；
　
证明：(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝ a，∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD. 又平面ABD⊥平面BCD，平面
ABD∩平面BCD＝BD，AB 平面ABD，∴AB⊥平面BCD.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)平面ACD⊥平面ABD.
　
证明：(2)∵折叠前四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BD，
∴CD⊥BD. ∵AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，∴AB⊥CD，
∵AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABD，∴CD⊥平面ABD. 又CD
平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱
PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，
AD＝3BC，O是AD上一点.
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
(1)解：∵CD∥平面PBO，CD 平面ABCD，
且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD.
又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形.则BC＝OD，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即O是线段AD上靠近点D的一个三等分点.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)证明：平面PAB⊥平面PCD.
(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，
侧面PAD∩底面ABCD＝AD，
AB 底面ABCD，且AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD. 又PD 平面PAD，∴AB⊥PD.
又PA⊥PD，且PA 平面PAB，AB 平面PAB，
AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB. 又PD 平面PCD，
∴平面PAB⊥平面PCD.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，
∠BAP＝∠CDP＝90°，△PAD是正三角形，且PA＝AB.
(1)当点M在线段PA上的什么位置时，有DM⊥平面PAB？
解：(1)当点M为线段PA的中点时，有DM⊥平面PAB.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.
又∠BAP＝∠CDP＝90°，即AB⊥AP，CD⊥DP，
∴AB⊥DP，DP 平面PAD，AP 平面PAD，
PD∩AP＝P，从而AB⊥平面PAD，DM 平面PAD.
∴AB⊥DM. ∵△PAD是正三角形，PM＝MA，
∴DM⊥AP，又AP∩AB＝A，AP 平面PAB，
AB 平面PAB，∴DM⊥平面PAB.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)在(1)的条件下，点N在线段PB上的什么位置时，有平面DMN⊥平面PBC？
解：(2)在(1)的条件下，点DN⊥PB时，有平面DMN⊥平面PBC，即
点N在线段PB的靠近点P的四等分点时，有平面DMN⊥平面PBC.
在(1)的条件下，DM⊥平面PAB，PB 平面PAB. ∴DM⊥PB，又
DN⊥PB. DN∩DM＝D，DN 平面DMN，DM 平面DMN，
∴PB⊥平面DMN. ∵PB 平面PBC，∴平面DMN⊥平面PBC. 不妨
设AB＝2，则PB＝2 ＝BD，PD＝2.则PD2＝PB2＋BD2－
2PB·BD cos B，即22＝(2 )2＋(2 )2－2×2 ×2 cos B，解得
cos B＝ ，∴BN＝BD cos B＝2 × ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，∴点N在线段PB的靠近点P的
四等分点时，有平面DMN⊥平面PBC.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
168.6 练习5　平面与平面垂直的性质
1. 已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　C　)
A. m∥l B. m∥n C. n⊥l D. m⊥n
【解析】 ∵α∩β＝l，∴l β，又n⊥β，∴n⊥l.
2. 已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n α，要使n⊥β，则应增加的条件是(　B　)
A. m∥n B. n⊥m C. n∥α D. n⊥α
【解析】 已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n α，应增加条件n⊥m，才能使得n⊥β.
3. 如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　B　)
A. PD 平面ABC B. PD⊥平面ABC
C. PD与平面ABC相交但不垂直 D. PD∥平面ABC
【解析】 ∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.
4. 已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是(　C　)
A. 异面 B. 相交但不垂直 C. 平行 D. 相交且垂直
【解析】 ∵α⊥β，α∩β＝l，n β，n⊥l，∴n⊥α.又m⊥α，∴m∥n.
5. 已知平面α，β，γ，则下列命题中，正确的是(　B　)
A. 若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B. 若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ
C. 若α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b
D. 若α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α
【解析】 A中α，γ可以相交；C中如图所示，a与b不一定垂直；D中b仅垂直于α的一条直线a，不能据此判定b⊥α.
6. 如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影点H必在(　A　)
A. 直线AB上 B. 直线BC上
C. 直线AC上 D. △ABC内部(不包括边界)
【解析】 连接AC1(图略).∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上.
7. 如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(　D　)
A. 一条线段 B. 一条直线
C. 一个圆 D. 一个圆，但要去掉两个点
【解析】 ∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又BC 平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆(除去A和B两点).
8. (多选)若平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈α，P l，则下列说法中，正确的有(　ACD　)
A. 过点P且垂直于l的平面垂直于β
B. 过点P且垂直于l的直线垂直于β
C. 过点P且垂直于α的直线平行于β
D. 过点P且垂直于β的直线在α内
【解析】 易知A正确；对于B，当过点P且垂直于l的直线不在α内时，该直线不与β垂直，B错误；对于C，由平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈α，P l，在β内作直线m⊥l，由面面垂直的性质定理得m⊥α，设过点P且垂直于α的直线为n，即n⊥α，则m∥n，由线面平行的判定定理可知n∥β，C正确；对于D，由面面垂直的性质定理可知D正确.
9. (多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段A1B上运动，则下列结论中，正确的有(　ABC　)
A. PB∥平面CDD1C1 B. BC⊥AP
C. C1D⊥平面A1D1P D. 平面PB1C1与平面A1AP不垂直
【解析】 ∵几何体ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1，AP 平面ABB1A1，∴AP∥平面CDD1C1，A正确；∵BC⊥平面ABB1A1，AP 平面ABB1A1，∴BC⊥AP，B正确；∵四边形CDD1C1是正方形，∴C1D⊥CD1，∵A1D1⊥平面CDD1C1，C1D 平面CDD1C1，∴C1D⊥A1D1，A1B∥CD1，∴平面A1D1P即为平面A1D1CB，A1D1∩CD1＝D1，A1D1，CD1 平面A1D1P，∴C1D⊥平面A1D1P，C正确；∵B1C1⊥平面A1AP，B1C1 平面PB1C1，∴平面PB1C1⊥平面A1AP，D错误.
10. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面ABCD，则EF与AA1的位置关系是　平行　.
【解析】 ∵AA1⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，∴AA1∥EF.
11. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为　3　.
【解析】 ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又AB 平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，∵AB⊥BD，AB∥CD，∴CD⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，∴平面ACD⊥平面ABD，共3对.
12. 在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上一动点，则PM的最小值是　2　.
【解析】 如图所示，连接CM，
则由题意知PC⊥平面ABC，∵CM 平面ABC，∴PC⊥CM，∴PM＝.要求PM的最小值，只需求出CM的最小值即可.在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，∴PM的最小值是2.
13. 三棱锥P－ABC的高为PH，若其三个侧面两两垂直，则H为△ABC的　垂　心.
【解析】 连接AH，BH，CH.由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，易得PA⊥平面PBC，PB⊥平面PAC，PC⊥平面PAB，则有BC⊥PA，AB⊥PC，CA⊥PB.由BC⊥PA，PH⊥BC，PA∩PH＝P，得BC⊥平面PAH，则BC⊥AH.同理可得AB⊥CH，CA⊥BH，∴H为△ABC的垂心.
14. 如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角.证明：
(1)AB⊥平面BCD；
　
证明：(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝a，∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB 平面ABD，∴AB⊥平面BCD.
(2)平面ACD⊥平面ABD.
　
证明：(2)∵折叠前四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BD，∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，∴AB⊥CD，∵AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABD，∴CD⊥平面ABD.又CD 平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.
15. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点.
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
(1)解：∵CD∥平面PBO，CD 平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD.又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形.则BC＝OD，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即O是线段AD上靠近点D的一个三等分点.
(2)证明：平面PAB⊥平面PCD.
(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB 底面ABCD，且AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.又PD 平面PAD，∴AB⊥PD.又PA⊥PD，且PA 平面PAB，AB 平面PAB，AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB.
又PD 平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD.
16. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，∠BAP＝∠CDP＝90°，△PAD是正三角形，且PA＝AB.
(1)当点M在线段PA上的什么位置时，有DM⊥平面PAB？
解：(1)当点M为线段PA的中点时，有DM⊥平面PAB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.又∠BAP＝∠CDP＝90°，即AB⊥AP，CD⊥DP，∴AB⊥DP，DP 平面PAD，AP 平面PAD，PD∩AP＝P，从而AB⊥平面PAD，DM 平面PAD.∴AB⊥DM.
∵△PAD是正三角形，PM＝MA，∴DM⊥AP，又AP∩AB＝A，AP 平面PAB，AB 平面PAB，∴DM⊥平面PAB.
(2)在(1)的条件下，点N在线段PB上的什么位置时，有平面DMN⊥平面PBC？
解：(2)在(1)的条件下，点DN⊥PB时，有平面DMN⊥平面PBC，即点N在线段PB的靠近点P的四等分点时，有平面DMN⊥平面PBC.
在(1)的条件下，DM⊥平面PAB，PB 平面PAB.∴DM⊥PB，又DN⊥PB.DN∩DM＝D，DN 平面DMN，DM 平面DMN，∴PB⊥平面DMN.∵PB 平面PBC，∴平面DMN⊥平面PBC.不妨设AB＝2，则PB＝2＝BD，PD＝2.则PD2＝PB2＋BD2－2PB·BDcosB，即22＝(2)2＋(2)2－2×2×2cosB，解得cosB＝，∴BN＝BDcosB＝2×＝，∴＝＝，∴点N在线段PB的靠近点P的四等分点时，有平面DMN⊥平面PBC.

展开更多......

收起↑