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10.1 练习4　古典概型(二)
1. (2025·内蒙古三模)三人被邀请去参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为(　 　)
A. B. C. D.
2. (2025·四川攀枝花高二期末)随机抛掷两枚质地均匀的骰子，则得到的两枚骰子的点数之和是4的倍数的概率为(　 　)
A. B. C. D.
3. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码就能够成功开机的概率是(　 　)
A. B. C. D.
4. (2025·江苏南通高三期中)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n.设平面向量a＝(4，2)，b＝(m，n)，则向量a，b不能作为平面内的一组基底的概率为(　 　)
A. B. C. D.
5. (2025·广西柳州高二开学考试)现有7张分别标有1，2，3，4，5，6，7的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为a，剩下的2张卡片数字之和为b，则a≥3b的概率为(　 　)
A. B. C. D.
6. (2025·江西南昌高一检测)将95，96，97，98，99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为(　 　)
A. B. C. D.
7. 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样.在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一名男生和一名女生的概率分别为(　 　)
A. ， B. ， C. ， D. ，
8. (多选)(2025·辽宁六校协作体高一联考)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法中，正确的有(　 　)
A. 取出的两个球上标号为不同数字的概率为
B. 取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为
C. 取出的两个球上标号为相同数字的概率为
D. 甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为
9. (多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，下列结论中，正确的有(　 　)
A. 任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B. 每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本点总数为16
C. 每次抽取1件，不放回地抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D. 每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本点总数为16
10. 把一枚骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为a，b，则使得关于x的方程x2－ax＋b＝0有2个互不相等的实数根的概率为 .
11. (2025·吉林高二阶段练习)柜子里有3双不同的鞋子，分别用a1，a2，b1，b2，c1，c2表示6只鞋，从中有放回地取出2只，记事件M＝“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件M的概率是 .
12. 一个盒子里装有标号为1，2，3，4的四张标签，随机地选取两张标签，若选取标签时是不放回的，则两张标签上的数字为相邻整数的概率为 ；若选取标签时是有放回的，则两张标签上的数字为相邻整数的概率为 .
13. 如图所示为一个正方体的展开图.如果将它还原为正方体，在AB，CD，EF，GH这四条线段中任意选择两条，那么所在直线是异面直线的概率为(　 　)
A. B. C. D.
14. 盒子中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品.
(1)从盒子中取出1只，检验是否为正品后放回，再取出1只进行检验，求连续两次取出的都是正品的概率；
(2)从盒子中一次任取2只，求2只都是正品的概率.
15. 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区的商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
16. 有甲、乙两个盒子，其中甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有1个红球，4个白球(除颜色外，球的质地、大小完全相同).
(1)从甲盒中按先后顺序随机取两个球，取后不放回，则至少取得一个红球的概率是多少？
(2)现在从两个盒子中任意选择一个，再从中任意摸出一个球，如果摸到的是红球，你认为选择的是哪个盒子？做出你的判断，并说说你的想法，你认为能否做出完全正确的判断？(共28张PPT)
一、 随机事件与概率
练习4　古典概型(二)
概　率
第十章
高中数学 必修 第二册
必备知识练
必备知识练
关键能力练
1. (2025·内蒙古三模)三人被邀请去参加一个晚会，若晚会必须有人
去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为(　B　)
A. B. C. D.
【解析】 设三人为A，B，C，则参加晚会的情况有A，B，C，
AB，AC，BC，ABC，共7种，其中恰有一人参加晚会的情况有3种，
故所求的概率为 .
B
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2. (2025·四川攀枝花高二期末)随机抛掷两枚质地均匀的骰子，则得到
的两枚骰子的点数之和是4的倍数的概率为(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 随机抛掷两枚质地均匀的骰子，观察得到的点数，基本事件
总数n＝6×6＝36，所得点数之和是4的倍数为事件B，则事件B的结
果有(1，3)，(3，1)，(2，2)，(2，6)，(6，2)，(4，4)，(3，5)，(5，
3)，(6，6)，共9种，所求的概率为P(B)＝ ＝ .
C
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3. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是
M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则
小敏输入一次密码就能够成功开机的概率是(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵Ω＝{(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，
1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，
4)，(N，5)}，∴共15个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，正确
的开机密码只有1种，∴P＝ .
C
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4. (2025·江苏南通高三期中)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点
数分别为m，n.设平面向量a＝(4，2)，b＝(m，n)，则向量a，b不
能作为平面内的一组基底的概率为(　A　)
A. B. C. D.
【解析】 a＝(4，2)，b＝(m，n)，且a，b不能作为基底，则4n＝
2m，即m＝2n，当m＝2时，n＝1；当m＝4时，n＝2；当m＝6
时，n＝3；两次投掷得到点数的可能结果有6×6＝36(种)，∴所求的概
率P＝ ＝ .
A
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5. (2025·广西柳州高二开学考试)现有7张分别标有1，2，3，4，5，6，
7的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为a，
剩下的2张卡片数字之和为b，则a≥3b的概率为(　D　)
A. B. C. D.
D
【解析】 ∵1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，∴a＋b＝28，故a＝28－b，
而a≥3b，∴28－b≥3b，解得b≤7，∴求b≤7的概率即可，从7张卡
片抽2张，基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(3，7)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(6，7)，共有21
个基本事件，且设b≤7的概率为P，符合题意的事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，共9种，
∴P＝ ＝ ，D正确.
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6. (2025·江西南昌高一检测)将95，96，97，98，99这5个数据作为总
体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，则该样本的平均数
与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为(　D　)
A. B. C. D.
D
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【解析】 依题意可知，总体平均数为97，从这5个数据中随机选取2个
数据作为一个样本，情况如下：选到95，96，则样本平均数为95.5，
∴｜95.5－97｜＝1.5，选到95，97，则样本平均数为96，∴｜96－
97｜＝1，选到95，98，则样本平均数为96.5，∴｜96.5－97｜＝0.5，
选到95，99，则样本平均数为97，∴｜97－97｜＝0，选到96，97，则
样本平均数为96.5，∴｜96.5－97｜＝0.5，选到96，98，则样本平均
数为97，∴｜97－97｜＝0，选到96，99，则样本平均数为97.5，
∴｜97.5－97｜＝0.5，选到97，98，则样本平均数为97.5，∴｜97.5－
97｜＝0.5，选到97，99，则样本平均数为98，∴｜98－97｜＝1，选到
98，99，则样本平均数为98.5，∴｜98.5－97｜＝1.5，∴该样本的平
均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为 ＝ .
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7. 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两
人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样.在以上两种
抽样方式下，抽到的两人是一名男生和一名女生的概率分别为(　A　)
A. ， B. ， C. ， D. ，
A
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【解析】 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽
取两人，记事件A＝“抽到的两人是一名男生和一名女生”，在不放回
简单随机抽样方式下的样本空间为Ω1＝{(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}，共12个样本点，其中A＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G2，B1)，(G2，B2)}，有8个样本点，∴P(A)＝ ＝ .在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为Ω2＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)}，共16个样本点，其中A＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G2，B1)，(G2，B2)}，有8个样本点，∴P(A)＝ ＝ .
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8. (多选)(2025·辽宁六校协作体高一联考)在甲、乙两个盒子中分别装有
标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个
球被取出的可能性相等.下列说法中，正确的有(　BCD　)
A. 取出的两个球上标号为不同数字的概率为
B. 取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为
C. 取出的两个球上标号为相同数字的概率为
D. 甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为
BCD
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【解析】 由题意得，样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，
(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}，共包含9个样本点.对于A，
取出的两个球上标号为不同数字的概率为 ＝ ，A错误；对于B，取出
的两个球上标号之积能被3整除包含的样本点有(1，3)，(2，3)，(3，
1)，(3，2)，(3，3)，共5个，∴所求概率为 ，B正确；对于C，取出的
两个球上标号为相同数字的概率为 ＝ ，C正确；
对于D，甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大包含的样本
点有(2，1)，(3，1)，(3，2)，共3个，∴甲盒中取出的球上标号比乙盒
中取出的球上标号大的概率为 ＝ ，D正确.
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9. (多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产
品，下列结论中，正确的有(　ACD　)
A. 任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B. 每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本点总数为16
C. 每次抽取1件，不放回地抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概
率是
D. 每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本点总数为16
ACD
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【解析】 记4件产品分别为1，2，3，a，其中a表示次品.对于A，样本
空间Ω1＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，3)，(2，a)，(3，a)}，共6个
样本点，且每个样本点出现的可能性相等，“恰有一件次品”的样本点
为(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率p＝ ＝ ，A正确；每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本空间Ω2＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)}，因此n(Ω2)＝12，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点个数为6，其概率为 ，B错误，C正确；
在D中，每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本空间Ω3＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，
(3，3)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，a)}，因此n(Ω3)＝16，
D正确.
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10. 把一枚骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为a，b，则使得关于x
的方程x2－ax＋b＝0有2个互不相等的实数根的概率为 　 　.
【解析】 若关于x的方程x2－ax＋b＝0有2个互不相等的实数根，则
a2－4b＞0.将一枚骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为a，b，记为
(a，b)，所有的样本点有36个，其中满足题意的有(3，1)，(3，2)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，
(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共17个.
故使得关于x的方程x2－ax＋b＝0有2个互不相等的实数根的概率为 .
　
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11. (2025·吉林高二阶段练习)柜子里有3双不同的鞋子，分别用a1，a2，b1，b2，c1，c2表示6只鞋，从中有放回地取出2只，记事件M＝“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件M的概率是 　 　.
　
【解析】 设a1，b1，c1表示三只左脚的鞋，a2，b2，c2表示三只右脚的
鞋，则从中有放回地取出2只的所有可能结果为(a1，a1)，(a1，a2)，
(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，(b2，b2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，a1)，(c1，a2)，(c1，b1)，(c1，b2)，(c1，c1)，(c1，c2)，(c2，a1)，(c2，a2)，(c2，b1)，(c2，b2)，(c2，c1)，(c2，c2)，共36种，其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的有12种，∴P(M)＝ ＝ .
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12. 一个盒子里装有标号为1，2，3，4的四张标签，随机地选取两张标
签，若选取标签时是不放回的，则两张标签上的数字为相邻整数的概率
为 　 　；若选取标签时是有放回的，则两张标签上的数字为相邻整数
的概率为 　 　.
　
　
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【解析】 若选取标签时是不放回的，则样本空间中的样本点有(1，2)，
(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12个，其中，事件“两张标签上的数字为相
邻整数”包含的样本点有(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，
(4，3)，共6个，∴两张标签上的数字为相邻整数的概率为 ＝ .若选
取标签时是有放回的，则样本空间中的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个，其中，事件“两张标签上的数字为相邻整数”包含的样本点有(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，共6个，∴两张标签上的数字为相邻整数的概率为 ＝ .
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关键能力练
必备知识练
关键能力练
13. 如图所示为一个正方体的展开图.如果将它还原为正方体，在AB，CD，EF，GH这四条线段中任意选择
两条，那么所在直线是异面直线的概率为(　A　)
A. B. C. D.
A
【解析】 由题意得到如图所示的正方体，在AB，CD，
EF，GH这四条线段中任意选择两条，样本点有(GH，
AB)，(GH，EF)，(GH，CD)，(AB，CD)，(AB，EF)，
(EF，CD)，共6个，其中异面直线的样本点有(GH，AB)，
(GH，EF)，(AB，CD)，共3个，故在AB，CD，EF，GH
这四条线段中任意选择两条，那么所在直线是异面直线的概率为 ＝ .
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14. 盒子中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品.
(1)从盒子中取出1只，检验是否为正品后放回，再取出1只进行检验，
求连续两次取出的都是正品的概率；
解：(1)将灯泡中的2只正品记为a1，a2，1只次品记为b，第一次取灯泡
时有3种等可能的结果，第二次取灯泡时也有3种等可能的结果.该试验
的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，
(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}，共9个样本点，连续两次取得正
品的样本点的个数为4，故所求概率为 .
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(2)从盒子中一次任取2只，求2只都是正品的概率.
解：(2)“从中一次任取2只”得到的样本空间包含的样本点有(a1，
a2)，(a1，b)，(a2，b)，则“2只都是正品”的事件包含的样本点的个
数是1，即(a1，a2)，故所求概率为 .
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15. 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检
测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用
分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区的商品的数量；
解：(1)∵样本量与总体中的个体数的比是 ＝ ，
∴样本包含三个地区的个体数分别是
50× ＝1，150× ＝3，100× ＝2，
∴这6件样品中来自A，B，C三个地区的件数分别为1，3，2.
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(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件
商品来自相同地区的概率.
解：(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，
B3；C1，C2，则从这6件样品中抽取的2件商品，样本空间Ω＝{(A，
B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，
(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，
(B3，C2)，(C1，C2)}，共15个样本点.每个样品被抽到的机会均等，因
此这些样本点的出现是等可能的.
记事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本
点有(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)，共4个，∴P(D)＝ ，
即这2件商品来自相同地区的概率为 .
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16. 有甲、乙两个盒子，其中甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有1
个红球，4个白球(除颜色外，球的质地、大小完全相同).
(1)从甲盒中按先后顺序随机取两个球，取后不放回，则至少取得一个
红球的概率是多少？
解：(1)甲盒中的3个红球记为a1，a2，a3，2个白球记为b1，b2，从甲盒
中按先后顺序随机取两个球，取后不放回，样本空间中每个样本点用
(M，N)表示，其中M，N都取自5个球中的任意一个，且不能重复，
即对M的每一种情况，N都有4种不同的情况与之对应，
而M有5种不同的情况，列举可知共有5×4＝20(个)样本点.
取到的两个球都是白球包含的样本点有(b1，b2)，(b2，b1)，共2个，故
至少取得一个红球的概率P＝ ＝ .
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(2)现在从两个盒子中任意选择一个，再从中任意摸出一个球，如果摸
到的是红球，你认为选择的是哪个盒子？做出你的判断，并说说你的想
法，你认为能否做出完全正确的判断？
解：(2)参考答案一：选择的是甲盒，理由如下：
在甲盒中摸到红球的概率是 ，在乙盒中摸到红球的概率是 ，在甲盒
中摸到红球的概率大于乙盒，故选择的应该是甲盒，但这种判断并不能
保证完全正确，也存在选择乙盒的可能性.
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参考答案二：选择的是乙盒，理由如下：
在甲盒中摸到红球的概率是 ，在乙盒中摸到红球的概率是 ，在乙盒
中摸到红球的概率较低，但并不是0，∴存在选择乙盒的可能性，但这
种判断并不能保证完全正确，也存在选择甲盒的可能性.
参考答案三：无法判断，理由如下：
在甲盒中摸到红球的概率是 ，在乙盒中摸到红球的概率是 ，都是概
率不为0的随机事件，都有可能发生，∴无法判断.
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1610.1 练习4　古典概型(二)
1. (2025·内蒙古三模)三人被邀请去参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为(　B　)
A. B. C. D.
【解析】 设三人为A，B，C，则参加晚会的情况有A，B，C，AB，AC，BC，ABC，共7种，其中恰有一人参加晚会的情况有3种，故所求的概率为.
2. (2025·四川攀枝花高二期末)随机抛掷两枚质地均匀的骰子，则得到的两枚骰子的点数之和是4的倍数的概率为(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 随机抛掷两枚质地均匀的骰子，观察得到的点数，基本事件总数n＝6×
6＝36，所得点数之和是4的倍数为事件B，则事件B的结果有(1，3)，(3，1)，(2，2)，(2，6)，(6，2)，(4，4)，(3，5)，(5，3)，(6，6)，共9种，所求的概率为P(B)＝＝.
3. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码就能够成功开机的概率是(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵Ω＝{(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)}，∴共15个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，正确的开机密码只有1种，∴P＝.
4. (2025·江苏南通高三期中)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n.设平面向量a＝(4，2)，b＝(m，n)，则向量a，b不能作为平面内的一组基底的概率为(　A　)
A. B. C. D.
【解析】 a＝(4，2)，b＝(m，n)，且a，b不能作为基底，则4n＝2m，即m＝2n，当m＝2时，n＝1；当m＝4时，n＝2；当m＝6时，n＝3；两次投掷得到点数的可能结果有6×6＝36(种)，∴所求的概率P＝＝.
5. (2025·广西柳州高二开学考试)现有7张分别标有1，2，3，4，5，6，7的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为a，剩下的2张卡片数字之和为b，则a≥3b的概率为(　D　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，∴a＋b＝28，故a＝28－b，而a≥3b，∴28－b≥3b，解得b≤7，∴求b≤7的概率即可，从7张卡片抽2张，基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(6，7)，共有21个基本事件，且设b≤7的概率为P，符合题意的事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，共9种，∴P＝＝，D正确.
6. (2025·江西南昌高一检测)将95，96，97，98，99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为(　D　)
A. B. C. D.
【解析】 依题意可知，总体平均数为97，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，情况如下：选到95，96，则样本平均数为95.5，∴｜95.5－97｜＝1.5，选到95，97，则样本平均数为96，∴｜96－97｜＝1，选到95，98，则样本平均数为96.5，∴｜96.5－97｜＝0.5，选到95，99，则样本平均数为97，∴｜97－97｜＝0，选到96，97，则样本平均数为96.5，∴｜96.5－97｜＝0.5，选到96，98，则样本平均数为97，∴｜97－97｜＝0，选到96，99，则样本平均数为97.5，∴｜97.5－97｜＝0.5，选到97，98，则样本平均数为97.5，∴｜97.5－97｜＝0.5，选到97，99，则样本平均数为98，∴｜98－97｜＝1，选到98，99，则样本平均数为98.5，∴｜98.5－97｜＝1.5，∴该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为＝.
7. 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样.在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一名男生和一名女生的概率分别为(　A　)
A. ， B. ， C. ， D. ，
【解析】 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人，记事件A＝“抽到的两人是一名男生和一名女生”，在不放回简单随机抽样方式下的样本空间为Ω1＝{(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}，共12个样本点，其中A＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G2，B1)，(G2，B2)}，有8个样本点，∴P(A)＝＝.在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为Ω2＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)}，共16个样本点，其中A＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G2，B1)，(G2，B2)}，有8个样本点，
∴P(A)＝＝.
8. (多选)(2025·辽宁六校协作体高一联考)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法中，正确的有(　BCD　)
A. 取出的两个球上标号为不同数字的概率为
B. 取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为
C. 取出的两个球上标号为相同数字的概率为
D. 甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为
【解析】 由题意得，样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}，共包含9个样本点.对于A，取出的两个球上标号为不同数字的概率为＝，A错误；对于B，取出的两个球上标号之积能被3整除包含的样本点有(1，3)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共5个，∴所求概率为，B正确；对于C，取出的两个球上标号为相同数字的概率为＝，C正确；对于D，甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大包含的样本点有(2，1)，(3，1)，(3，2)，共3个，∴甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为＝，D正确.
9. (多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，下列结论中，正确的有(　ACD　)
A. 任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B. 每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本点总数为16
C. 每次抽取1件，不放回地抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D. 每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本点总数为16
【解析】 记4件产品分别为1，2，3，a，其中a表示次品.对于A，样本空间Ω1＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，3)，(2，a)，(3，a)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，“恰有一件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率p＝＝，A正确；每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本空间Ω2＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)}，因此n(Ω2)＝12，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点个数为6，其概率为，B错误，C正确；在D中，每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本空间Ω3＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，a)}，因此n(Ω3)＝16，D正确.
10. 把一枚骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为a，b，则使得关于x的方程x2－ax＋b＝0有2个互不相等的实数根的概率为　　.
【解析】 若关于x的方程x2－ax＋b＝0有2个互不相等的实数根，则a2－4b＞0.将一枚骰子连续抛掷两次，得到的点数依次为a，b，记为(a，b)，所有的样本点有36个，其中满足题意的有(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共17个. 故使得关于x的方程x2－ax＋b＝0有2个互不相等的实数根的概率为.
11. (2025·吉林高二阶段练习)柜子里有3双不同的鞋子，分别用a1，a2，b1，b2，c1，c2表示6只鞋，从中有放回地取出2只，记事件M＝“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件M的概率是　　.
【解析】 设a1，b1，c1表示三只左脚的鞋，a2，b2，c2表示三只右脚的鞋，则从中有放回地取出2只的所有可能结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，(b2，b2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，a1)，(c1，a2)，(c1，b1)，(c1，b2)，(c1，c1)，(c1，c2)，(c2，a1)，(c2，a2)，(c2，b1)，(c2，b2)，(c2，c1)，(c2，c2)，共36种，其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的有12种，∴P(M)＝＝.
12. 一个盒子里装有标号为1，2，3，4的四张标签，随机地选取两张标签，若选取标签时是不放回的，则两张标签上的数字为相邻整数的概率为　　；若选取标签时是有放回的，则两张标签上的数字为相邻整数的概率为　　.
【解析】 若选取标签时是不放回的，则样本空间中的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12个，其中，事件“两张标签上的数字为相邻整数”包含的样本点有(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，共6个，∴两张标签上的数字为相邻整数的概率为＝.若选取标签时是有放回的，则样本空间中的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个，其中，事件“两张标签上的数字为相邻整数”包含的样本点有(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，共6个，∴两张标签上的数字为相邻整数的概率为＝.
13. 如图所示为一个正方体的展开图.如果将它还原为正方体，在AB，CD，EF，GH这四条线段中任意选择两条，那么所在直线是异面直线的概率为(　A　)
A. B. C. D.
【解析】 由题意得到如图所示的正方体，在AB，CD，EF，GH这四条线段中任意选择两条，样本点有(GH，AB)，(GH，EF)，(GH，CD)，(AB，CD)，(AB，EF)，(EF，CD)，共6个，
其中异面直线的样本点有(GH，AB)，(GH，EF)，(AB，CD)，共3个，故在AB，CD，EF，GH这四条线段中任意选择两条，那么所在直线是异面直线的概率为＝.
14. 盒子中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品.
(1)从盒子中取出1只，检验是否为正品后放回，再取出1只进行检验，求连续两次取出的都是正品的概率；
解：(1)将灯泡中的2只正品记为a1，a2，1只次品记为b，第一次取灯泡时有3种等可能的结果，第二次取灯泡时也有3种等可能的结果.该试验的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}，共9个样本点，连续两次取得正品的样本点的个数为4，故所求概率为.
(2)从盒子中一次任取2只，求2只都是正品的概率.
解：(2)“从中一次任取2只”得到的样本空间包含的样本点有(a1，a2)，(a1，b)，(a2，b)，则“2只都是正品”的事件包含的样本点的个数是1，即(a1，a2)，故所求概率为.
15. 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区的商品的数量；
解：(1)∵样本量与总体中的个体数的比是＝，
∴样本包含三个地区的个体数分别是
50×＝1，150×＝3，100×＝2，
∴这6件样品中来自A，B，C三个地区的件数分别为1，3，2.
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
解：(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2，则从这6件样品中抽取的2件商品，样本空间Ω＝{(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)}，共15个样本点.每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的.记事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)，共4个，∴P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.
16. 有甲、乙两个盒子，其中甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有1个红球，4个白球(除颜色外，球的质地、大小完全相同).
(1)从甲盒中按先后顺序随机取两个球，取后不放回，则至少取得一个红球的概率是多少？
解：(1)甲盒中的3个红球记为a1，a2，a3，2个白球记为b1，b2，从甲盒中按先后顺序随机取两个球，取后不放回，样本空间中每个样本点用(M，N)表示，其中M，N都取自5个球中的任意一个，且不能重复，即对M的每一种情况，N都有4种不同的情况与之对应，
而M有5种不同的情况，列举可知共有5×4＝20(个)样本点.
取到的两个球都是白球包含的样本点有(b1，b2)，(b2，b1)，共2个，故至少取得一个红球的概率P＝＝.
(2)现在从两个盒子中任意选择一个，再从中任意摸出一个球，如果摸到的是红球，你认为选择的是哪个盒子？做出你的判断，并说说你的想法，你认为能否做出完全正确的判断？
解：(2)参考答案一：选择的是甲盒，理由如下：
在甲盒中摸到红球的概率是，在乙盒中摸到红球的概率是，在甲盒中摸到红球的概率大于乙盒，故选择的应该是甲盒，但这种判断并不能保证完全正确，也存在选择乙盒的可能性.
参考答案二：选择的是乙盒，理由如下：
在甲盒中摸到红球的概率是，在乙盒中摸到红球的概率是，在乙盒中摸到红球的概率较低，但并不是0，∴存在选择乙盒的可能性，但这种判断并不能保证完全正确，也存在选择甲盒的可能性.
参考答案三：无法判断，理由如下：
在甲盒中摸到红球的概率是，在乙盒中摸到红球的概率是，都是概率不为0的随机事件，都有可能发生，∴无法判断.

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