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金版开篇——27备考导航　备课授课＋素材资源
【知识构建】
【命题趋势】
　　高考对导数的考查主要涉及导数的运算、导数的几何意义以及导数的应用，其中导数运算渗透在导数应用中考查[2025全国一卷T16(2)]，导数的几何意义多以客观题形式出现，难度中等及以下，主要与切线问题有关[2025全国一卷T12]；导数应用分为一般应用和综合应用，一般应用主要涉及利用导数研究函数的单调性、极值、最值，以客观题或解答题的形式出现，难度中等[2025全国二卷T13]，综合应用则以解答题呈现，设问方式多元，主要考查利用导数解决不等式证明、不等式恒成立、函数零点、双变量等问题，难度较大，多在压轴题位置考查，强调知识的融会贯通与方法的灵活多变，体现综合性、创新性和选拔性的考查要求[2025全国一卷T19，2025全国二卷T18].
1.题型设置：常以两个小题和一个大题的形式呈现.
2.内容考查：本章是高考必考内容，常考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质及与不等式等交汇问题.
3.能力考查：高考题凸显对数学抽象能力、直观想象能力、逻辑推理能力、模型构建能力、数学运算能力的考查.
【备考策略】
1.明晰重要概念，注重回归数学本质的复习：导数的几何意义、极值、最值等概念是解题的基础，应明确这些概念，把握概念内涵，理解概念的多元特征，建立概念之间的联系，才能更好地分析问题和解决问题.
2.重视知识的交汇与联系：导数与函数、不等式、方程等都有交汇与联系，应注意它们之间的联系，注意对相关知识的理解与运用.
3.强化通性通法的训练：通性通法是从数学的概念和原理出发，使用比较常规的通识性的基本数学方法，不追求特殊技巧.在本章复习中要理解和掌握用导数研究函数的单调性、凹凸性、极值、最值、恒成立、零点等，强调对导数概念本质的理解，抓住导数与单调性的关系这一核心，在一般方法的引领下，面对新颖或陌生的问题情境，让学生主动思考，积极探索，大胆尝试. 注重数学问题本质，注重方法的普适性，强调对学科基本方法的深刻理解，引导中学把备考重点从总结解题技巧转变到培养学生数学思维，转向到培养学生学科核心素养.
4.深化数学思想方法的渗透：(1)函数与方程思想：导数与函数、方程、不等式之间有着密切的联系，所以在处理不等式恒(能)成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究函数零点或方程解的问题时，常用到函数与方程思想.
(2)转化与化归思想：通过构造函数，将方程问题、不等式问题转化为函数的单调性、极值、最值等问题.
(3)数形结合思想：研究函数性质、函数零点(或方程根、图象交点)的个数、不等式的解集等问题.
(4)分类讨论思想：研究函数的单调性、极值、最值、恒成立问题、零点问题时经常用到分类讨论，要准确把握讨论的标准，以及有条不紊的进行讨论.
复习过程中要注意引导学生对数学思想方法的提炼，从而能够养成自觉运用数学思想分析问题和解决问题的习惯.
第17讲　导数的概念及其意义、导数的运算
【课程标准】　1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达， 体会导数的内涵与思想，体会极限思想.　2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.　3.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.　4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数.　5.会使用导数公式表.
1.导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f'(x0)或y'.
f'(x0)＝ ＝.
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)f'(x)＝ .
[微提醒]　f'(x)是一个函数，f'(x0)是函数f'(x)在x0处的函数值(常数)，不一定为0，(f(x0))'是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))'＝0.
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f'(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f'(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f'(x)＝cos x
f(x)＝cos x f'(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f'(x)＝axln a
f(x)＝ex f'(x)＝ex
f(x)＝logax (a＞0，且a≠1) f'(x)＝
f(x)＝ln x f'(x)＝
4.导数的四则运算法则
若f'(x)，g'(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]'＝f'(x)±g'(x).
(2)[f(x)g(x)]'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x).
(3)'＝(g(x)≠0).
(4)'＝cf'(x).
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
[微提醒]　在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆.
学生用书 第68页
【常用结论】
1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
2.'＝af'(x)＋bg'(x).
3.函数y＝f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小｜f'(x)｜反映了变化的快慢，｜f'(x)｜越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
【自测诊断】
1.(多选)下列结论错误的是(　　)
A.f'(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率
B.与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线
C.f'＝'
D.'＝－2sin 2x
答案：ABC
2.(链接人教A选择性必修二P59探究)跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　)
A.9.1米/秒 B.6.75米/秒
C.3.1米/秒 D.2.75米/秒
答案：C
解析：h'(t)＝－9.8t＋8，所以h'＝－9.8×0.5＋8＝3.1米/秒.故选C.
3.(链接人教A选择性必修二P81练习T2)设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f'(0)＝　　　　.
答案：－
解析：因为f'(x)＝－2sin 2x，所以f'(0)＝－.
4.(链接人教A选择性必修二P81T7)函数f(x)＝ex＋在x＝1处的切线方程为　　　　　　　.
答案：y＝(e－1)x＋2
解析：由题意得，f'(x)＝ex－，所以f'(1)＝e－1，又因为f(1)＝e＋1，所以切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f'(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.
考点一　导数的概念 自主练透
1.设f(x)在x＝x0处可导，下列式子与f'(x0)相等的是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：对于A，＝－＝－f'(x0)，故A错误；对于B，＝f'(x0)，故B正确；对于C，＝2＝2f'(x0)，故C错误；对于D，＝－＝－f'(x0)，故D错误.故选B.
2.若函数f(x)在x＝1处的导数为2，则＝(　　)
A.6 B.2
C.1 D.
答案：C
解析：由函数f(x)在x＝1处的导数为2，得f'(1)＝2，所以＝＝f'(1)＝1.故选C.
3.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　)
A.a＜f'(2)＜f'(4) B.f'(2)＜f'(4)＜a
C.f'(4)＜f'(2)＜a D.f'(2)＜a＜f'(4)
答案：D
解析：从函数的图象可知，函数值在[2，4]上的增长越来越快，故函数在[2，4]上各点处的斜率也越来越大.因为＝a，所以f'(2)＜a＜f'(4).故选D.
求函数f(x)在x＝x0处的导数的步骤 第一步：求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； 第二步：求平均变化率＝； 第三步：求瞬时变化率，即取极限，得到f'(x0). 简记作：一差、二比、三极限.
考点二　导数的运算 师生共研
(1)(多选)下列求导正确的是(　　)
A.'＝9
B.'＝3x2ln x＋x2
C.'＝
D.'＝2xln 2－sin x
(2)(2025·海南海口二模)函数f＝f'x2＋在x＝1时的瞬时变化率为(　　)
A.－2 B. －1
C. 0 D. 1
答案：(1)ABD　(2)A
解析：(1)对于A，'＝'＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，'＝'ln x＋x3'＝3x2ln x＋x2，故B正确；对于C，'＝＝，故C错误；对于D，'＝(2x)'＋'＝2xln 2－sin x，故D正确.故选ABD.
(2)f'＝2f'x＋＝2f'x＋，令x＝1，可得f'＝2f'＋2，解得f'＝－2，故选A.
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导数运算的6种形式及技巧 连乘积形式先展开化为多项式的形式，再求导分式形式观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导对数形式先化为和、差的形式，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导复合形式先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
注意：求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错.
对点练1.(多选)下列求导运算正确的是(　　)
A.(ln 2 026)'＝
B.[(x2＋2)sin x]'＝2xsin x＋(x2＋2)cos x
C.'＝
D.[ln(3x＋2)]'＝
答案：BC
解析：对于A，(ln 2 026)'＝0，故A错误；对于B，[(x2＋2)sin x]'＝2xsin x＋(x2＋2)cos x，故B正确；对于C，'＝＝，故C正确；对于D，[ln(3x＋2)]'＝，故D错误.故选BC.
对点练2.设函数f(x)＝，若f'(1)＝，则a＝　　　　.
答案：1
解析：因为函数f(x)＝，所以f'(x)＝，所以f'(1)＝.又因为f'(1)＝，所以＝，解得a＝1.
考点三　导数的几何意义 (高考超重点)多维探究
角度1　求切线方程
(1)(2024·全国甲卷理)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
【溯源教材7】
溯源 (人教A选择性必修二P81T5)求曲线y＝在点M(π，0)处的切线方程.
透视 本题与教材习题非常类似，给出的函数都是与正弦函数相关的分式函数，都属于简单的求切线方程问题
预测 (多选)下列函数的图象与直线y＝x＋1相切的有(　　) A.y＝ex B.y＝ln x C.y＝sin x＋1 D.y＝x3＋1 答案：AC 解析：对于A，若y＝ex与y＝x＋1相切，设切点为，易知y'＝ex，则＝1，解得x1＝0，即切点为，切线为y＝x＋1，故A正确；对于B，若y＝ln x与y＝x＋1相切，设切点为，易知y'＝'＝，则＝1，解得x2＝1，切点为，切线方程为y＝x－1，故B错误；对于C，若y＝sin x＋1与y＝x＋1相切，设切点为，易知y'＝cos x，则cos x3＝1，解得x3＝2kπ，k∈Z，当k＝0时，切点为，切线方程为y＝x＋1，故C正确；对于D，易知y＝x3＋1与y＝x＋1有三个交点，，，，又y'＝3x2，显然在三个交点处的切线斜率均不是1，所以y＝x＋1不是切线，故D错误.故选AC.
(2)过点(0，3)且与曲线y＝x3－2x＋1相切的直线方程为(　　)
A.x－y－3＝0 B.x－y＋3＝0
C.x＋y＋3＝0 D.x＋y－3＝0
答案：(1)A　(2)B
解析：(1)f'＝，
所以f'(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝.故选A.
(2)由y＝x3－2x＋1，得y'＝3x2－2.设切点坐标为(x0，－2x0＋1)，则切线的斜率k＝3－2，切线方程为y－(－2x0＋1)＝(3－2)(x－x0)，由切线过点(0，3)，代入切线方程解得x0＝－1，则切线方程为y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0.故选B.
角度2　求切点坐标
在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标为　　　　.
答案：(e，1)
解析：设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝(x－m).又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝(m＋e).再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1).
角度3　求参数的值或取值范围
(1)(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝　　　　　.
(2)(一题多变)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
答案：(1)4　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析：(1)设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为(x0，＋x0＋a)，由y＝ex＋x＋a得y'＝ex＋1，所以y'＝＋1＝2，解得x0＝0，所以切点坐标为(0，1＋a).又切点(0，1＋a)在切线y＝2x＋5上，所以1＋a＝5，解得a＝4.
(2)因为y＝(x＋a)ex，所以y'＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a))，依题意得，切线斜率k＝y'＝(x0＋a＋1)，切线方程为y－(x0＋a)＝(x0＋a＋1)(x－x0).又切线过坐标原点，所以0－(x0＋a)＝(x0＋a＋1)(0－x0)，化简得＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).
[变式探究](数智赋能辅助)
1.若曲线y＝(x＋1)有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是　　　　　　.
答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析：因为y＝(x＋1)eax，所以y'＝[(x＋1)a＋1]eax.设切点为A(x0，(x0＋1))，根据题意得，切线斜率k＝y'＝[(x0＋1)a＋1]，切线方程为y－(x0＋1)＝[(x0＋1)a＋1](x－x0).又切线过坐标原点，所以0－(x0＋1)＝[(x0＋1)a＋1](0－x0)，化简得＋ax0－1＝0.因为曲线y＝(x＋1)eax有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程＋ax0－1＝0有两个不同的根，所以a≠0且Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0.
2.已知过点A作曲线y＝ex的切线有且仅有1条，则a＝　　　　　.
答案：－3或1
解析：设切点为，由已知得y'＝－xex，则切线斜率k＝－x0，切线方程为y－＝－x0，又直线过点A(a，0)，则－＝－x0，化简得－x0＋1＝0，切线有且仅有1条，即Δ＝－4＝0，化简得a2＋2a－3＝0，即＝0，解得a＝－3或1.
1.处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 2.注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.
对点练3.(2025·陕西榆林模拟)已知函数f(x)＝aln x＋x2的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝(　　)
A.－2 B.－1
C.0 D.1
答案：B
解析：因为f(x)＝aln x＋x2，所以f'(x)＝＋2x.又f(x)的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，所以f'(1)＝a＋2＝3，解得a＝1，则f(x)＝ln x＋x2，所以f(1)＝1，将点(1，1)代入切线方程得3－1＋b＝0，解得b＝－2，故a＋b＝－1.故选B.
对点练4.设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln x上，则｜PQ｜的最小值为　　　　　　.
答案：
解析：因为曲线y＝ex与曲线y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，故可先求点P到直线y＝x的最近距离d.设曲线y＝ex上斜率为1的切线为y＝x＋b.又因为y'＝ex，所以ex＝1，解得x＝0，所以切点坐标为(0，1)，所以d＝＝，所以｜PQ｜的最小值为2d＝.
【教师备选】　设点P在曲线y＝ex上，点Q在直线y＝x上，则｜PQ｜的最小值为　　　　　　.
答案：
解析：令y'＝ex＝，得x＝－1，代入曲线y＝ex中，得P，所以｜PQ｜的最小值即为点到直线y＝x的距离d＝.
对点练5.(双空题)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln ｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　.
答案：y＝x　y＝－x(不分先后)
解析：由题意可知，函数的定义域是{x｜x≠0}.易证函数y＝ln ｜x｜为偶函数，当x＞0时，y＝ln x，设切点坐标为(x0，ln x0).因为y'＝，所以切线斜率k＝y'＝，故切线方程为y－ln x0＝(x－x0).又知切线过原点(0，0)，所以－ln x0＝－1，所以x0＝e，故切线方程为y－1＝，即y＝x.由偶函数图象的对称性可知，另一条切线方程为y＝－x，故过坐标原点的两条切线方程为y＝x和y＝－x.
课时分层测评20　导数的概念及其意义、导数的运算
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.若函数f(x)满足＝2，则＝(　　)
A.2 B.1
C.0 D.－1
答案：D
解析：因为＝2，所以＝－＝－×2＝－1.故选D.
2.设函数f(x)在R上存在导函数f'(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，那么f(1)＋f'(1)等于(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：C
解析：根据题意得f(1)＝×1＋2＝，f'(1)＝，所以f(1)＋f'(1)＝＋＝3.故选C.
3.(2025·广东湛江二模)已知函数f(x)＝ex＋2x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　　)
A.y＝2x＋1 B.y＝3x＋1
C.y＝2x D.y＝3x
答案：B
解析：由f(x)＝ex＋2x，得f'(x)＝ex＋2，则f(0)＝1，f'(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝3x＋1.故选B.
4.已知函数f(x)＝x(x＋2)－mln x的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则m的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：根据题意知f'(x)＝2x＋2－.因为函数f(x)的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，所以f'＝2，即3－2m＝2，解得m＝.故选C.
5.(新定义)(多选)定义方程f(x)＝f'(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”，则下列函数中只有一个“新不动点”的是(　　)
A.g(x)＝x·2x B.g(x)＝－ex－2x
C.g(x)＝ln x D.g(x)＝sin x＋2cos x
答案：ABC
解析：对于A，g'(x)＝2x＋x·2x·ln 2，由x·2x＝2x＋x·2x·ln 2，解得x＝，所以g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；对于B，g'(x)＝－ex－2，由－ex－2＝－ex－2x，得x＝1，所以g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；对于C，g'(x)＝，根据y＝ln x和y＝的图象可看出ln x＝只有一个实数根，所以g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；对于D，g'(x)＝cos x－2sin x，由sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，得3sin x＝－cos x，所以tan x＝－，根据y＝tan x和y＝－的图象可看出方程tan x＝－有无数个根，所以g(x)有无数个“新不动点”，故D错误.故选ABC.
6.(多选)过点A(1，2)与曲线f(x)＝x3＋x相切的直线方程可能为(　　)
A.2x＋y－4＝0 B.3x－y－1＝0
C.4x－y－2＝0 D.7x－4y＋1＝0
答案：CD
解析：因为f(x)＝x3＋x，所以f'(x)＝3x2＋1.若A点是切点，则k＝f'(1)＝4，则切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0，故C正确；若A点不是切点，设切点为B(t，t3＋t)，则曲线f(x)在B处的切线斜率为kAB＝f'(t)＝3t2＋1.又因为直线AB的斜率为kAB＝，则3t2＋1＝，化简可得(2t＋1)(t－1)2＝0，解得t＝－(注意t≠1)，所以切线斜率为f'＝，则切线方程为y－2＝(x－1)，即7x－4y＋1＝0，故D正确.故选CD.
7.已知f(x)＝ex－f'(0)x，则f(2)＝　　　　.
答案：e2－1
解析：由f(x)＝ex－f'(0)x得f'(x)＝ex－f'(0)，则f'(0)＝e0－f'(0)，得f'(0)＝，故f(x)＝ex－x，因此f(2)＝e2－1.
8.已知点P是曲线y＝x2－3ln x上任一点，则P到直线x＋y＋＝0的距离的最小值为　　　　.
答案：
解析：设P，因为y＝x2－3ln x，则y'＝2x－.根据题意有2x0－＝－1，解得x0＝1或x0＝－(舍)，所以P，此时P到直线x＋y＋＝0的距离为d＝＝.
9.(10分)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数).
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程.
解：(1)f'(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，即f'(1)＝1－＝0，解得a＝e.
(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f'(x)＝1－.
设切点为(x0，y0)，
所以f＝x0－1＋＝kx0－1①，
f'＝1－＝k②，
①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.
若k＝1，则②式无解，
所以x0＝－1，k＝1－e，
所以直线l的方程为y＝(1－e)x－1.
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.已知过点A作曲线y＝xln x的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：设切点为，对函数y＝xln x求导得y'＝ln x＋1，所以切线斜率为k＝ln x0＋1，所以切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0).又切线过点A(a，0)，则0－x0ln x0＝(ln x0＋1)(a－x0)，整理得a＝，即关于x0的方程a＝有两个不等的实根.令函数f＝，则y＝a与f(x)有两个交点，由题意可得解得x＞0且x≠，所以函数f∪，且f'＝，当x∈时，f＜0，f'＜0；当＜x＜1时，f＞0，f'＜0；当x＞1时，f＞0，f'＞0，所以f上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，且x→0时，f(x)→0，f＝f＝1.作出函数y＝a与函数f的图象如下图所示.
由图可知，当a＞1时，直线y＝a与函数f的图象有两个交点，因此实数a的取值范围是.故选B.
11.(2025·山东济宁一模)曲线y＝(a＞0)与y＝ln x和y＝ex分别交于A，B两点，设曲线y＝ln x在A处的切线斜率为k1，y＝ex在B处的切线斜率为k2，若k1＋k2＝，则a＝(　　)
A.2ln 2 B.2ln 3
C.3ln 2 D.3ln 3
答案：A
解析：因为y＝ln x和y＝ex互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，且反比例函数y＝(a＞0)的图象也关于直线y＝x对称，可知点A，B关于直线y＝x对称，设A，x0＞1，则B.设f＝ln x，g＝ex，则f'＝，g'＝ex，由题意可得k1＋k2＝＋＝＋x0＝，解得x0＝2或x0＝(舍去)，可得A，则＝ln 2，所以a＝2ln 2.故选A.
12.(15分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝.
又因为f'(x)＝a＋，
所以
所以f(x)＝x－.
(2)设P(x0，x0－)为曲线y＝f(x)上任一点，
由y'＝1＋知曲线在点P处的切线方程为y－＝(x－x0).
令x＝0，得y＝－，
所以切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，
所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0).
所以曲线y＝f(x)在点P处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝·｜2x0｜＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
(每小题5分，共10分)
13.(2025·山东青岛一模)已知函数f(x)＝图象的两条切线相互垂直，并分别交y轴于A，B两点，则＝　　　　.
答案：2
解析：设函数f(x)在点P和Q(x2，f)(x1＜x2)处的两条切线互相垂直，如图所示.可得f＝的零点为1，故不妨设0＜x1＜1，x2＞1，则P，Q，当x∈时，f＝ln x，f'＝，当x∈时，f＝－ln x，f'＝－，则kPA＝－，kQB＝.所以kPA·kQB＝－1，即x1x2＝1.因为lPA：y－＝－，即y＝－x＋1－ln x1，lQB：y－ln x2＝，即y＝x＋ln x2－1，则A，B(0，ln x2－1).因为0＜x1＜1，且x1x2＝1，故＝1－ln x1－＝2－ln (x1x2)＝2.
14.已知函数f(x)＝，其导函数记为f'(x)，则f'(2 026)－f'(－2 026)等于(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.2
答案：B
解析：函数f(x)＝＝1＋的定义域是R，令g(x)＝，则g(x)的定义域是R，f'(x)＝g'(x).又g(－x)＝＝－＝－g(x)，故g(x)是奇函数，所以g(x)＋g(－x)＝0，故g'(x)－g'(－x)＝0，所以f'(2 026)－f'(－2 026)＝g'(2 026)－g'(－2 026)＝0.故选B.
学生用书 第70页
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