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金版开篇——27备考导航　备课授课＋素材资源
【知识构建】
【命题趋势】
　　数列问题特别突出对学生的运算能力和数学思维能力的考查，小题考查等差、等比数列基本量的运算[2025全国一卷T13，2025全国二卷T7、T9]，等差、等比数列的性质以及数列的递推关系等；解答题主要考查数列通项公式的求解、等差(等比)数列的判断与证明、数列求和等综合问题[2025全国一卷T16].重点考查了学生对数列基础知识的掌握程度及灵活应用，重视对通性通法的培养.
1.题型设置：常以一个小题和一个大题的形式呈现[2025全国一卷一小一大，2025全国二卷两小].
2.内容考查：本章是高考必考内容，常考查等差、等比数列的基本量运算、性质、判定、求和或与实际生活、函数、导数、不等式、概率等交汇点设计试题.
3.能力考查：高考题凸显对数学运算能力、逻辑推理能力、模型构建能力、数学抽象能力、直观想象能力的考查.
【备考策略】
1.明晰重要概念，注重回归数学本质的复习：一是重视对数列概念的理解，深刻把握数列的项、项数、前n项和等概念，同时注意数列是自变量为正整数的一类特殊函数.二是重视两类特殊数列，等差数列、等比数列的概念、中项、通项公式、前n项和公式以及性质的理解与记忆.三是重视Sn与an关系的理解与应用.复习时要注意基础，强化落实，切实提高运算能力.
2.注重数学方法的应用：本章在解决求通项以及求和时，要重视求通项的方法(归纳猜想法、公式法、构造法等)与求和的方法(公式法求和、分组法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和以及倒序相加法求和等)，还有在解决数列与不等式证明中常用的放缩法，应掌握这些通性通法，做到信手拈来，用通性通法解决数列的相关问题应贯穿数列复习的始终.
3.重视知识的交汇、联系与创新：一是表现为数列与函数、数列与导数、数列与不等式、数列与概率、数列与数学文化等方面都有交汇与联系，二是表现为近几年以数列为载体的新定义、新情境等创新试题，这些都充分体现了新高考理念：一是既要注重相应主题单元知识的综合考查，又强调不同主题单元知识的交叉融合，从而提升学生的知识整合与融会贯通的能力；二是通过新定义等创新试题设计，强化思维能力，拓展思维的深度和广度，增强探索性和创新性，突出思维过程和思维品质.通过考查这类试题，要求学生能够创造性地分析问题，在新颖的情境中积极主动思考，建立新问题、新要求与已有知识的联系，形成解题思路.
4.深化数学思想方法的渗透：(1)函数与方程思想：因为数列是一类特殊的函数，所以在求通项及求和的过程中，重视利用函数的概念、图象与性质解决数列问题，便捷高效.
尤其在等差数列、等比数列的基本量运算中，经常涉及知三求二问题，利用方程的思想可以简化计算过程.
(2)转化与化归思想：在求通项、求和、等差(等比)数列的判定等问题中转化与化归思想无处不在.
(3)分类讨论思想：利用an与Sn关系解题时应注意对n＝1，n≥2讨论，利用等比数列求和公式解题时应注意对q＝1，q≠1讨论，另外还有在解决含有绝对值的数列、分段数列等子数列问题时根据具体情况也要分类讨论.
另外数形结合思想、整体思想(与运用性质有关的题目)、特殊到一般、类比与联想、数学归纳等思想在数列中经常从不同层面进行体现.
第28讲　数列的概念与简单表示法
【课程标准】　1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).　2.了解数列是一种特殊函数.
1.数列的有关概念
概念 含义
数列 按照确定的顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an
[微提醒]　(1)数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.(2)表示数列a1 ，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式；而an只表示数列的第n项.(3)并不是所有的数列都有通项公式；同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n).
4.数列的表示方法
[常用结论]
1.若数列{an}的前n项和为Sn，则数列{an}的通项公式可表示为an＝
[教材知识纵向延伸]类比an与Sn的关系，若设数列{an}的前n项积为Tn(Tn≠0)，则数列{an}的通项公式可表示为an＝
2.在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则
学生用书 第136页
3.若an＋k＝an(k∈N*)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期.
【自测诊断】
1.(多选)下列结论正确的是(　　)
A.数列2 025，2 026，2 027与2 027，2 026，2 025是两个不同的数列
B.数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式只能是an＝
C.任何一个数列不是递增数列，就是递减数列
D.若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点
答案：AD
2.(链接人教A选择性必修二P5例2)数列－1，，－，，－，…的一个通项公式为(　　)
A.an＝± B.an＝
C.an＝ D.an＝
答案：B
3.(链接人教A选择性必修二P7思考)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么它的通项公式an＝　　　　.
答案：2n
解析：因为a1＝S1＝1＋1＝2，an＝Sn－＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n(n≥2)，当n＝1时，2n＝2＝a1，所以an＝2n.
4.(双空题)(链接人教A选择性必修二P8练习T3)已知数列{an}满足a1＝2，an＝2－(n≥2)，则a5＝　　　　，猜想an＝　　　　.
答案：　
解析：由题意知a2＝2－，a3＝2－，a4＝2－，a5＝2－，猜想an＝.
考点一　由an与Sn的关系求通项公式 自主练透
1.(多空题)已知数列{an}的前n项和为Sn，
(1)若Sn＝n2＋2n，则an＝　　　　；
(2)若Sn＝n2＋2n＋1，则an＝　　　　；
(3)若Sn＝2n－3，则an＝　　　　　　　.
答案：(1)2n＋1　(2)(3)
解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝3.当n≥2时，an＝Sn－＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.由于a1＝3也满足上式，所以an＝2n＋1.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝4.当n≥2时，由(1)知，an＝Sn－＝2n＋1，此时a1＝4不满足上式，所以an＝
(3)当n＝1时，a1＝S1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－＝2n－3－(2n－1－3)＝2n－1，此时a1＝－1不满足上式，所以an＝
2.(双空题)已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝　　　　，S6＝　　　.
答案：－2n－1　－63
解析：当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，所以a1＝－1.当n≥2时，Sn＝2an＋1①，Sn－1＝2an－1＋1②.①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，所以{an}是首项为a1＝－1，公比为q＝2的等比数列.所以an＝a1·qn－1＝－2n－1，S6＝＝－63.
3.已知数列{an}满足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n＋1)2，n∈N*，则{an}的通项公式an＝　　　　　　　.
答案：
解析：因为a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n＋1)2①，所以a1＝22＝4，当n≥2时，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)＝n2②，由①－②，可得(2n－1)an＝2n＋1，所以an＝(n≥2，n∈N*)，当n＝1时，不满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝
4.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝　　　　.
答案：－
解析：因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以由两式联立得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.由题意可知Sn≠0，所以－＝1，即－＝－1.又＝－1，所以数列是首项为－1，公差为－1的等差数列.所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以Sn＝－.
1.已知Sn求an的三个步骤
第一步：先利用a1＝S1求出a1；
第二步：用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系式，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
第三步：注意检验当n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.
2.Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
考点二　由数列的递推关系求通项公式 师生共研
(多题同问)根据下列条件求数列的通项公式：
(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1；
(2)已知数列{an}中，a1＝2，(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an.
解：(1)(累加法)：根据题意an＋1＝an＋n＋1，
所以当n≥2时，an＝an－1＋n，即an－an－1＝n，
所以当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝，
当n＝1时，a1＝1符合上式，故数列{an}的通项公式是an＝.
(2)(累乘法)因为(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an，
所以，
则an＝a1··…·＝2n－1·a1·＝(n＋1)·2n－1(n≥2).
当n＝1时，a1＝2满足上式，
故数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·2n－1.
【教师备选】　已知数列{an}，a1＝1，－an＝2n，则a10等于(　　)
A.511 B.1 022
C.1 023 D.2 047
答案：C
解析：因为－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，a5－a4＝24，…，a10－a9＝29，累加可得a10－a1＝2＋22＋23＋…＋29＝＝210－2，所以a10＝210－1＝1 023.故选C.
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1.形如－an＝f(n)的递推关系式，可以利用累加法求通项，即利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－)(n≥2)求解.
2.形如＝f(n)的递推关系式，可以利用累乘法求通项，即利用恒等式an＝a1··…·(an≠0，n≥2)求解.
对点练1.在数列{an}中，a1＝2，＝an＋ln(1＋)，则an等于(　　)
A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln n
C.2＋nln n D.1＋n＋ln n
答案：A
解析：因为－an＝ln ＝ln(n＋1)－ln n，所以a2－a1＝ln 2－ln 1，a3－a2＝ln 3－ln 2，a4－a3＝ln 4－ln 3，…，an－＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，把以上各式相加得an－a1＝ln n－ln 1，则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也满足此式，因此an＝2＋ln n(n∈N*).故选A.
对点练2.已知数列{an}中，其前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an.则an＝　　　　.
答案：
解析：由Sn＝n2an，可得当n≥2时，＝(n－1)2，则an＝Sn－＝n2an－(n－1)2，即(n2－1)an＝(n－1)2，易知an≠0，故(n≥2).所以当n≥2时，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.当n＝1时，a1＝1满足an＝.故数列的通项公式是an＝.
考点三　数列的性质 多维探究
角度1　数列的单调性
(易错题)设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是递增数列，则实数b的取值范围是(　　)
A.(－3，＋∞) B.(－2，＋∞)
C.[－2，＋∞) D.[－3，＋∞)
答案：A
解析：由题意可得－an＞0恒成立，即(n＋1)2＋b(n＋1)－n2－bn＝2n＋1＋b＞0，即b＞－2n－1.又n≥1，所以－2n－1≤－3，故b∈(－3，＋∞).故选A.
易错提醒：不能借助二次函数的图象研究函数的单调性解决该题.
角度2　数列的周期性
已知数列{an}中，a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，则a2 027＝(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
答案：B
解析：由a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－(n≥2，n∈N*)，得a3＝a2－a1＝－1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－1，a6＝a5－a4＝1，a7＝a6－a5＝2，a8＝a7－a6＝1，…，则{an}是以6为周期的周期数列，所以2027＝a5＝－1.故选B.
角度3　数列的最值
(1)若数列{an}的前n项积bn＝1－n，则an的最大值与最小值之和为(　　)
A.－ B.
C.2 D.
(2)(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·，则下列说法正确的是(　　)
A.a1是数列{an}的最小项
B.a4是数列{an}的最大项
C.a5是数列{an}的最大项
D.当n≥5时，数列{an}递减
答案：(1)C　(2)BCD
解析：(1)因为数列{an}的前n项积bn＝1－n，当n＝1时，a1＝；当n≥2时， bn－1＝1－(n－1)，an＝＝1＋，当n＝1时也适合上式，所以an＝1＋，所以当n≤4时，数列{an}单调递减，且an＜1；当n≥5时，数列{an}单调递减，且an＞1，故an的最大值为a5＝3，最小值为a4＝－1，所以an的最大值与最小值之和为2.故选C.
(2)假设第n项为{an}的最大项，则又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，当n≥5时，数列{an}递减.故选BCD.
1.解决数列的单调性问题的方法
(1)作差比较法：根据－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列.
(2)作商比较法：根据(an＞0或an＜0)与“1”的大小关系进行判断.
(3)数形结合法：结合相应函数的图象直观判断.
2.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.
3.解决数列的最大项与最小项问题的常用方法
(1)函数法：利用函数的单调性求最值.
(2)通项公式法：利用(n≥2)确定最大项；利用(n≥2)确定最小项.
对点练3.在数列{an}中，a1＝4，a2＝3，an＋1＝(n∈N*，n≥2)，则a1 000＝(　　)
A. B.
C.3 D.
答案：A
解析：因为a1＝4，a2＝3，an＋1＝(n∈N*，n≥2)，令n＝2，可得a3＝；令n＝3，可得a4＝；令n＝4，可得a5＝；令n＝5，可得a6＝；令n＝6，可得a7＝＝4；令n＝7，可得a8＝＝3；…；可知数列{an}是以6为周期的周期数列，所以a1 000＝a166×6＋4＝a4＝.故选A.
对点练4.已知数列{an}中，an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围是　　　　.
答案：(0，＋∞)
解析：－an＝－，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，－an＝＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以实数k的取值范围是(0，＋∞).
对点练5.已知数列的通项公式为an＝，当an最大时，n＝　　　.(≈1.44)
答案：3
解析：设an是数列的最大项，则≤n≤.因为≈1.44，n∈N*，所以n的值为3.
课时分层测评43　数列的概念与简单表示法
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.在数列，，，，…，，…中，是它的(　　)
A.第8项 B.第9项
C.第10项 D.第11项
答案：B
解析：由题意可得，数列的通项公式为an＝，令，解得n＝9.故选B.
2.(2026·重庆沙坪坝模拟)已知数列满足a1＝－1，an＋1＝，则a30＝(　　)
A.－8 B.－1
C. D.
答案：D
解析：由题意得，a2＝＝－8，a3＝，a4＝＝－1，故数列是以－1，－8，为一个循环的周期数列，故a30＝a3＝.故选D.
【教师备选】　数列{an}满足a1＝，(n∈N*)，则a2 027＝(　　)
A. B.3
C.－2 D.－
答案：C
解析：因为数列{an}满足a1＝，(n∈N*)，所以a2＝＝3，a3＝＝－2，a4＝＝－，a5＝，则{an}是以4为周期的周期数列，所以＝a3＝－2.故选C.
3.已知数列的通项公式为an＝，若是递增数列，则实数k的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题可知是递增数列，所以an＋1＞an，即＞，所以k－n－1＞3k－3n，故2k＜2n－1.因为n∈N*，所以k＜.故选C.
4.(2025·山东临沂一模)设数列的前n项和为Sn，且Sn＋nan＝1，则满足Sn＞0.99时，n的最小值为(　　)
A.49 B.50
C.99 D.100
答案：D
解析：因为Sn＋nan＝1，所以a1＝，当n≥2时，Sn＋nan＝Sn－1＋an－1＝1，所以an＝an－1，即，此时an＝×××…×××a1＝×××…×××，n＝1也满足该式，故an＝，Sn＝1－nan＝1－.若Sn＝1－＞0.99，解得n＞99，故n的最小值为100.故选D.
5.(多选)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝ ，则下列说法正确的是(　　)
A.数列{an}的首项为a1＝
B.数列{an}的通项公式为an＝
C.数列{an}为递减数列
D.若数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn＝
答案：ABC
解析：对于A，数列{an}的首项为a1＝S1＝ ＝ ，故A正确；对于B，当n≥2时，an＝－＝ － ＝ ，a1＝适合上式，故B正确；对于C，因为－an＝ － ＝ － ＜0，所以数列{an}为递减数列，故C正确；对于D，Tn＝ ×××…× ＝ ，所以数列{Sn}的前n项积Tn＝，故D错误.故选ABC.
6.(多选)已知数列，下列结论正确的有(　　)
A.若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则a20＝211
B.若a1＝1，且nan＋1＝an，则an＝n
C.若Sn＝3n＋，则数列的通项公式为an＝2×3n－1
D.若a1＝1，an＋1＝，则an＝
答案：ABD
解析：对于A，由an＋1＝an＋n＋1得an＋1－an＝n＋1，则a20＝＋＋…＋＋a1＝20＋19＋…＋2＋2＝211，故A正确；对于B，因为nan＋1＝an，所以，则数列是常数列，所以＝1，an＝n，故B正确；对于C，由Sn＝3n＋可得，当n＝1时，a1＝3＋，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，但a1不满足上式，故C错误；对于D，由an＋1＝，可得－，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以＝1＋，则an＝，故D正确.故选ABD.
7.数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值为　　　　.
答案：30
解析：若an最大，则解得5≤n≤6.因为n∈N*，所以当n＝5或n＝6时，an取最大值30.
8.(新定义)若非零数列满足an(n∈N*)，则称数列为“等积数列”.若等积数列中a1＝4，a2＝5，则a2 027＝　　　　.
答案：
解析：由题意知an，则，结合a1＝4，a2＝5，可得a3＝，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝＝4，a8＝＝5，…，故数列是以6为周期的周期数列，所以＝a5＝.
9.(10分)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1＝1，an＋1＝2＋1.
(1)求a2的值；
(2)(一题多解)求数列{an}的通项公式.
解：(1)因为a1＝1，an＋1＝2＋1，所以a2＝2＋1＝2＋1＝3.
(2)法一：由an＋1＝2＋1，
得－Sn＝2＋1，故＝(＋1)2.
因为an＞0，所以Sn＞0，所以＋1，即－＝1，
则－＝1(n≥2)，－＝1，…，－＝1.
由累加法可得＝1＋(n－1)＝n，
所以Sn＝n2(n≥2).
又S1＝a1＝1，满足上式，所以Sn＝n2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
又a1＝1适合上式，所以an＝2n－1.
法二：由an＋1＝2＋1，得(an＋1－1)2＝4Sn，
当n≥2时，(an－1)2＝4Sn－1，
所以(－1)2－(an－1)2＝4(Sn－)＝4an.
所以－－2an＋1－2an＝0，
即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0.
因为an＞0，所以an＋1－an＝2(n≥2).
又因为a2－a1＝2，
所以{an}为等差数列，且公差为2，
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.已知n∈N*，an＝若数列不是递增数列，则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：若不是递增数列，只需令k≤0或故k≤.故选B.
11.围棋起源于我国，至今已有4 000多年的历史.在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列有关知识来计算.假设大小为n的眼有an口气，大小为(n＋1)的眼有口气，且a1＝1，a2＝2，an＋1－n＝an－1(n≥2，n∈N*)，则{an}的通项公式为　　　　.
答案：an＝
解析：根据题意，＝an＋n－1(n≥2)，即－an＝n－1，当n≥3时，可得an＝(an－)＋(－)＋…＋(a3－a2)＋a2，即an＝(n－2)＋(n－3)＋…＋1＋2＝＋2＝.又当n＝1时，a1＝1不满足an＝，当n＝2时，a2＝2满足上式，故an＝
12.(15分)已知数列中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an.
(1)(一题多解)求数列的通项公式；
(2)记bn＝3n－λ，若数列为递增数列，求实数λ的取值范围.
解：(1)法一：因为2Sn＝(n＋1)an，
所以2＝(n＋2)，
两式相减得2＝(n＋2)－(n＋1)an，
即n＝(n＋1)an，所以，
所以＝…＝＝1，
所以an＝n.
法二：因为2Sn＝(n＋1)an，
所以2＝(n＋2)，
两式相减得2＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即n＝(n＋1)an，所以，
所以当n≥2时，an＝a1×××…×＝1×××…×＝n.
又a1＝1也满足an＝n，
所以数列的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知bn＝3n－λn2，
则bn＋1－bn＝－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1).
因为数列为递增数列，
所以2·3n－λ(2n＋1)＞0，即λ＜.
令cn＝，则＞1，
所以为递增数列，所以λ＜c1＝2，
即实数λ的取值范围是(－∞，2).
(每小题5分，共10分)
13.(交汇题)(2026·四川绵阳模拟)已知数列满足a1＋＋＋…＋＝ln，a1＝0，a2＝3ln 2，则下列选项正确的是(　　)
A.a3＝5ln B.a2＋a3＞a4
C.an＋1＞2＋ D.是递增数列
答案：B
解析：因为a1＋＋＋…＋＝ln，所以a1＋＋＋…＋＝ln n，两式相减得＝ln－ln n＝ln，则an＋1＝ln，则an＝ln，所以a3＝5ln ，故A错误；a2＋a3＝3ln 2＋5ln 3－5ln 2＝5ln 3－2ln 2＝ln ，a4＝7ln ，而＞，故B正确；设x＞0，记f＝ln－x，则f'－1＝－＜0，故f＜f＝0，即ln(1＋x)＜x在上恒成立，所以an＋1＝(2n＋1)ln＜＝2＋，故C错误；a2－a3＝3ln 2－5ln ＝3ln 2－(5ln 3－5ln 2)＝8ln 2－5ln 3＝ln 28－ln 35＝ln ＝ln ＞0，所以a2＞a3，故不是递增数列，故D错误.故选B.
14.(新情境)在研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n层薄膜，记光波的初始功率为P0，记Pk为光波经过第k层薄膜后的功率，假设在经过第k层薄膜时，光波的透过率Tk＝，其中k＝1，2，3，…，n，为使得，则n的最大值为(　　)
A.31 B.32
C.63 D.64
答案：C
解析：由题意，，…，，所以××…×，所以≤2 026，即n(n＋1)≤4 052，显然f(n)＝n(n＋1)关于n单调递增，其中n∈N*.又f(63)＝4 032＜4 052＜f(64)＝4 160，所以n的最大值为63.故选C.
学生用书 第138页
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