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金版开篇——27备考导航　备课授课＋素材资源
【知识构建】
【命题趋势】
　　平面向量与复数在高考中每年必考，一般情况下各命制一道客观题，复数多为选择题，且题号比较靠前，属于简单的保分题[2025全国一卷T1，2025全国二卷T2].平面向量的考查则相对灵活，题型多变，难度不等(但从近几年高考试题来看，平面向量趋于简单，多侧重于与数量积运算有关的问题)[2025全国一卷T6，2025全国二卷T12]，平面向量有时也作为工具，与解三角形、解析几何等知识交汇综合呈现.
1.题型设置：常以小题的形式呈现.
2.内容考查：本章高考考查频率较高，常考查向量的模、夹角、平行与垂直、数量积及其几何意义、向量的线性运算、共线向量基本定理以及平面向量基本定理的应用.
3.能力考查：高考题凸显对理解能力、模型构建能力、逻辑推理能力、数学运算能力、直观想象能力的考查.
【备考策略】
1.明晰重要概念，注重回归数学本质的复习：(1)对平面向量来说：一是重视对平面向量、相等向量、单位向量、零向量、共线向量、向量夹角等概念的理解.二是熟练掌握向量线性运算(加法、减法、数乘)、数量积运算，并理解其几何意义.三是理解向量共线的充要条件、平面向量基本定理，在此基础上体会向量坐标表示的来龙去脉.四是重视向量的工具作用，了解并体会向量与其他知识方面的交汇综合.总之本部分知识较为琐碎，通过复习能够梳理分类，构建完整的知识体系.
(2)对复数部分来说：本部分知识不用研究过难过深，能准确地进行复数的四则运算，并熟练掌握复数的模、共轭复数、复数的实部与虚部、纯虚数等概念，明确复数的几何意义就可以了.
2.重视数学思想方法的应用：(1)数形结合思想：向量的几何表示、三角形法则和平行四边形法则、数乘与数量积的几何意义等使向量具备“形”的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又让向量具备“数”的特征，正因为向量具有的“数”“形”兼备特点，运用数形结合思想，可以将许多复杂的向量问题简单化.同样复数的几何意义也使复数赋予了数形结合思想.
(2)转化与化归思想：用基底表示有关向量，将平面向量间的运算转化为基向量间的运算，向量的模、夹角、平行与垂直等问题中都充分体现转化与化归思想.
第32讲　平面向量的概念及线性运算
【课程标准】　1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.　2.理解平面向量的几何表示和基本要素.　3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.　4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.　5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
1.平面向量的有关概念
[微提醒]　与非零向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.
2.向量的线性运算
向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加 法 求两个向量和的运算 平行四边形法则 三角形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减 法 向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数 乘 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa (1)模：｜λa｜＝｜λ｜｜a｜ (2)方向： 当λ＞0时，λa与a的方向相同； 当λ＜0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数. (1)λ(μ a)＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝λa＋μ a (3)λ(a＋b)＝λa＋λb
[微提醒]　对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”.
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【常用结论】(数智赋能生成)
掌握向量知识常用的五种表示形式
(1)多边形法则表示：①＋＋＋…＋.
学生用书 第160页
②＋＋＋…＋＝0.
(2)中点公式的向量表示：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＋).
(3)三角形重心公式的向量表示：若G为△ABC的重心，则①＋＋＝0.②＋).
(4)三点共线表示：＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
(5)向量三角不等式表示：对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜.
【自测诊断】
1.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.｜a｜与｜b｜是否相等，与a，b的方向无关
B.若向量a与b同向，且｜a｜＞｜b｜，则a＞b
C.若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上
D.起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量
答案：AD
2.(链接人教A必修二P4例2)如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与共线的向量有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案：C
解析：与，，.故选C.
3.(多选)(链接人教A必修二P14例6)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，＝a，＝b.下列命题正确的是(　　)
A.＝a＋b B.＝－a＋b
C.＝－a－b D.＋＋＝0
答案：ABD
4.(双空题)(链接人教A必修二P23T10)若a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝5，则｜a＋b｜的最大值为　　　　，最小值为　　　　.
答案：8　2
考点一　平面向量的基本概念 自主练透
1.(多选)下列命题正确的是(　　)
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.零向量的长度等于0
C.若a∥b，b∥c，则a∥c
D.若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线
答案：BD
解析： 对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；对于B，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；对于C，由向量共线的定义知当向量b是零向量时，向量a，c不一定共线，故C错误；对于D，因为都是单位向量，所以只有当是相反向量，即a与b是反向共线时，＋＝0才成立，故D正确.故选BD.
2.(多选)下列命题中的真命题是(　　)
A.若｜a｜＝｜b｜，则a＝b
B.a＝b的充要条件是｜a｜＝｜b｜且a∥b
C.若a＝b，b＝c，则a＝c
D.若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
答案：CD
解析：对于A，因为两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，故A不正确；对于B，当a∥b且方向相反时，即使｜a｜＝｜b｜，也不能得到a＝b，故｜a｜＝｜b｜且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件，故B不正确；对于C，因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同.又b＝c，所以b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c，故C正确；对于D，因为，所以｜｜＝｜｜且∥.又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则｜｜＝｜｜，∥，方向相同，因此，故D正确.故选CD.
3.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：根据相等向量的定义，分析可得不平行，不平行，所以，均错误，平行，但方向相反，故不相等，只有方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以.故选D.
平面向量有关概念的四个关注点
1.平行向量就是共线向量，二者是等价的.
2.向量与数量不同，数量可以比较大小，而向量不能，但向量的模可以比较大小.
3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
4.是与a同方向的单位向量.
学生用书 第161页
考点二　平面向量的线性运算 多维探究
角度1　向量加、减法的几何意义
(1)已知在边长为2的等边三角形ABC中，向量a，b满足＝a，＝a＋b，则｜b｜＝(　　)
A.2 B.2
C.2 D.3
(2)(双空题)若向量a≠0，b≠0，且｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则向量a与向量a＋b所在直线的夹角为　　　　　　　，向量a与向量a－b所在直线的夹角为　　　　(用弧度表示).
答案：(1)C　(2)　
解析：(1)如图所示，设点D是AC的中点，由题可知b＝－＋＝2，所以｜b｜＝2｜｜＝2＝2.故选C.
(2)设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作 OACB，如图所示，则a＋b＝，a－b＝.因为｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，所以｜｜＝｜｜＝｜｜，所以△OAB是等边三角形， OACB是菱形，所以∠BOA＝.在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以向量a与向量a＋b所在直线的夹角为，向量a与向量a－b所在直线的夹角为.
角度2　向量的线性运算(高考超重点)
(1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　)
A.3m－2n B.－2m＋3n
C.3m＋2n D.2m＋3n
答案：B
解析：因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2，所以＝ 3－2＝3n－2m＝－2m＋3n.故选B.
【溯源教材17】
溯源 (人教A必修二P14例6)如图， ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，，和.
透视 高考题与教材例题都是考查向量的线性运算，设问的本质也是一样，涉及相同的知识点，相似度极高
预测 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，E是BC的中点.记＝m，＝n，则＝　　　　　　 . 答案：－2m＋n 解析：法一：结合高考题，知＝ －2m＋3n，所以＝－m＋n.在△ACE中，＝ －＝(－m＋n)－m＝－2m＋n. 法二：在△ACD中，＝ －＝n－m.又点D在边AB上，BD＝2DA， 所以＝3 ＝3n－3m.又E是BC的中点，所以＋)＝[3n－3m＋(－m)]＝－2m＋n.
(2)(多选)已知等腰梯形ABCD满足AB∥CD，AC与BD交于点P，且AB＝2CD＝2BC，则下列结论正确的是(　　)
A.＝2 B.｜｜＝2｜｜
C.＋ D.＋
答案：ABC
解析：根据题意，显然△APB∽△CPD，故有，即AP＝2CP，PB＝2PD，则＝2，故A正确；又四边形ABCD是等腰梯形，故AP＝PB，即｜｜＝2｜｜，故B正确；在△ABD中，＋＋＋－)＝＋，故C正确；又＋)＝＋，故D错误.故选ABC.
角度3　根据向量线性运算求参数
如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段BC上，点F在线段DE上，且满足BE＝BC，DF＝DE，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A. B.－
C. D.0
答案：A
解析：在平行四边形ABCD中，BE＝BC，DF＝DE，所以＋＋＋＋＋.若＝λ＋μ，则λ＝μ＝，所以λ＋μ＝.故选A.
1.利用向量加、减法的几何意义解决问题的方法
(1)根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形.
(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，可考虑利用向量知识来求解.注意菱形、矩形等在解题时的应用，尤其注意有60°内角的菱形.
2.平面向量的线性运算的求解策略
3.根据向量的线性运算求参数，可以通过向量的线性运算将向量表示出来，进行比较，构造方程(组)求解.
对点练1.如图，在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E是线段AD上靠近D的三等分点，则＝(　　)
A.－＋ B.－＋
C.＋ D.－
答案：A
解析：－－×＋)－＝－＋.故选A.
【教师备选】　已知D是△ABC所在平面内一点，＋，则(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由＋，得＋＋，得＝－＋，得(－＋)＝.故选A.
对点练2.已知在 ABCD中，点E为CD的中点，＝m，＝n(mn≠0)，若∥，则＝　　　　.
答案：2
解析：根据题意，设＝λ，则＋＝－m＋n＝λ(＋)＝λ(－)，即－m＋n＝－λ＋λ，所以＝2.
学生用书 第162页
对点练3.(一题多解)设a，b为单位向量，且｜a＋b｜＝1，则｜a－b｜＝ 　　　　.
答案：
解析：法一：如图，四边形OACB 为平行四边形，设＝a，＝b，利用平行四边形法则得＝a＋b.因为｜a｜＝｜b｜＝｜a＋b｜＝1，所以△OAC 为正三角形，所以｜a－b｜＝｜｜＝2××｜a｜＝.
法二：因为a，b为单位向量，且｜a＋b｜＝1，所以(a＋b)2＝1，所以1＋1＋2a·b＝1，所以a·b＝－，所以｜a－b｜2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×(－)＝3，所以｜a－b｜＝.
考点三　共线向量定理及其应用 师生共研
(一题多变，教材典例再练)(人教A必修二P15例7改编)设两向量a与b不共线.
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3.
求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
解：(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，
所以＋＝2a＋8b＋3＝2a＋8b＋3a－3b＝5＝5，所以，共线.
又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线.
(2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb，
所以(k－λ)a＝(λk－1)b.
因为a，b是不共线的两个向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.
[变式探究](数智赋能辅助)
1.(变条件)若将本例(1)中条件“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，则m＝　　　　时，A，B，D三点共线.
答案：7
解析：＋＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ，即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，所以4a＋(m－3)b＝λa＋λb，所以解得m＝7，故当m＝7时，A，B，D三点共线.
2.(变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？
解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ＜0)，
所以所以k＝±1.
又λ＜0，k＝λ，所以k＝－1.
故当k＝－1时，两向量反向共线.
利用共线向量定理解题的策略
1.a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
2.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 ，共线.
3.若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
4.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.
对点练4.(一题多解)(2025·广东佛山模拟)在△ABC中，点D是AB的中点，点P在CD上，若＝λ＋，则λ＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：法一：根据题意，由＝λ＋，得＝2λ＋.因为C，P，D三点共线，所以2λ＋＝1，所以λ＝.故选B.
法二：由题意点D是AB的中点，所以＋.又＝λ＋，所以＋＝λ＋，解得＋λ.又因为点P在CD上，所以，解得λ＝.故选B.
对点练5.已知P是△ABC所在平面内一点，且满足＋＋＝2，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为　　　　.
答案：2
解析：因为＋＋＝2＝2(－)，所以3－，所以∥，且两向量方向相同，所以＝3.又S△ABC＝6，所以S△PAB＝＝2.
课时分层测评50　平面向量的概念及线性运算
(时间：60分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.化简2(a－3b)－3(a＋b)的结果为(　　)
A.a＋4b B.－a－9b
C.2a＋b D.a－3b
答案：B
解析：2－3＝2a－6b－3a－3b＝－a－9b.故选B.
2.如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a＋b＋c可表示为(　　)
A.2e1－3e2 B.2e1＋3e2
C.3e1－2e2 D.3e1＋2e2
答案：D
解析：由题意得a＝e1＋2e2，b＝e1－2e2，c＝e1＋2e2，所以a＋b＋c＝e1＋2e2＋e1－2e2＋e1＋2e2＝3e1＋2e2.故选D.
3.已知a，b是两个非零向量，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，则下列说法正确的是(　　)
A.a＋b＝0 B.a⊥b
C.a与b共线反向 D.存在正实数λ，使a＝λb
答案：D
解析：因为a，b是两个非零向量，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，所以向量a与b的方向相同，即存在正实数λ，使a＝λb.故选D.
4.已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3，则(　　)
A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线
C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线
答案：B
解析：＋＝－2a＋8b＋3＝a＋5b＝.又因为有公共点B，所以A，B，D三点共线.故选B.
5.(2025·山东泰安三模)正方形ABCD中，＝2，＝2，设＝a，＝b，则＝(　　)
A.－a＋b B.a－b
C.－a＋b D.a－b
答案：C
解析：易得＋＋，其中a，.在正方形ABCD中，，所以＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.故选C.
6.(多选)已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是(　　)
A.｜｜＝｜｜＝｜｜
B.＋＋＝0
C.＋
D.
答案：BD
解析：如图，M为△ABC的重心，则＋＋＝0，故A错误，B正确；＋＋＋－)＝＋，故C错误；由DM＝AD得S△MBC＝S△ABC，故D正确.故选BD.
7.(多选)如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段DC上，且满足CE＝2DE，则下列结论中正确的有(　　)
A. B.＋
C.－ D.＋
答案：ABD
解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以，故A正确；根据向量加法的平行四边形法则，可得＋，故B正确；根据向量的减法法则可得－，故C错误；由题意知，＋＋＋，故D正确.故选ABD.
8.已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于　　　　.
答案：30°
解析：由＋＋＝0，得＋.又O为△ABC的外接圆的圆心，根据向量加法的几何意义，知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.
9.(10分)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若＝3e1－ke2，且∥，求实数k的值.
解：(1)证明：由已知得－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.
因为＝2e1－8e2，所以＝2.
又有公共点B，所以A，B，D三点共线.
(2)由(1)知＝e1－4e2，若＝3e1－ke2，且∥，
可设＝λ(λ∈R)，所以3e1－ke2＝λe1－4λe2，即(3－λ)e1＝(k－4λ)e2.
又e1，e2是两个不共线的向量，所以解得k＝12.
【教师备选】　已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为(　　)
A.1 B.－
C.1或－ D.－1或－
答案：B
解析：由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.因为a，b不共线，所以λ＝k，且2λk－k＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－，又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.故选B.
(每小题5分，共20分)
10.已知平面内一点P及△ABC，若＋＋，则点P与△ABC的位置关系是(　　)
A.点P在线段AB上 B.点P在线段BC上
C.点P在线段AC上 D.点P在△ABC外部
答案：C
解析：由＋＋，得＋＋－，即＝－2，故点P在线段AC上.故选C.
11.(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　)
A.若＋，则点M是边BC的中点
B.若＝2－，则点M在边BC上
C.若＝－－，则点M是△ABC的重心
D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
答案：ACD
解析：对于A，若＋，则点M是边BC的中点，故A正确；对于B，若＝2－，即有－－，即，则点M在边CB的延长线上，故B错误；对于C，若＝－－，即＋＋＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；对于D，如图，＝x＋y，且x＋y＝，可得2＝2x＋2y，设＝2，则＝2x＋2y，2x＋2y＝1，可得B，N，C三点共线.又M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确.故选ACD.
12.(交汇融合)已知向量·losin θ＋·log2cos θ，若A，B，C三点共线，则tan θ＝　　　　.
答案：
解析：根据题意，由共线定理知losin θ＋log2cos θ＝1，即losin θ－locos θ＝1，即lo＝1，可得，即tan θ＝.
13.已知单位向量e1，e2，…，e2 026，则｜e1＋e2＋…＋e2 026｜的最大值为　　　　，最小值为　　　　.
答案：2 026　0
解析：当单位向量e1，e2，…，e2 026方向相同时，｜e1＋e2＋…＋e2 026｜取得最大值，｜e1＋e2＋…＋e2 026｜＝｜e1｜＋｜e2｜＋…＋｜e2 026｜＝2 026；当单位向量e1，e2，…，e2 026首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2 026＝0，所以｜e1＋e2＋…＋e2 026｜的最小值为0.
(每小题5分，共10分)
14.如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　)
A.(0，1) B.(1，＋∞)
C.(1，] D.(－1，0)
答案：B
解析：因为线段CO与线段AB交于点D，所以O，C，D三点共线，所以共线.设＝m，则m＞1.因为＝λ＋μ，所以m＝λ＋μ，可得＋.因为A，B，D三点共线，设＝t，所以－＝t(－)即＝(1－t)＋t，所以＋＝1，可得λ＋μ＝m＞1，所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.
15.设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，｜b＋ta｜的最小值为1，则(　　)
A.若θ确定，则｜a｜唯一确定
B.若θ确定，则｜b｜唯一确定
C.若｜a｜确定，则θ唯一确定
D.若｜b｜确定，则θ唯一确定
答案：B
解析：设a＝，b＝，过点B作OA的平行线l，设＝ta，则P点在l上，即＝b＋ta，显然当⊥时，｜｜最小.此时，｜｜＝｜b｜sin θ(图①)，或者｜｜＝｜b｜sin(π－θ)(图②)，即1＝｜b｜sin θ.所以若θ确定，则｜b｜唯一确定；若｜b｜确定，则θ可能有两解.故选B.
学生用书 第163页
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