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金版开篇——27备考导航　备课授课＋素材资源
【知识构建】
【命题趋势】
　　平面解析几何是中学数学的重要内容，是考查考生学科素养的重要载体，高考对解析几何的考查一般以课程学习情境与探索创新情境为主，注重知识的基础性、综合性和应用性的考查.选择或填空题多考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义、方程和性质等，常与函数、不等式等知识综合，难度以中等及中等偏上为主[2025全国一卷T3、T7、T10，2025全国二卷T6、T11].解答题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，或以上述问题为载体，确定直线过定点、求某个结果为定值、求某个量的最值或范围等问题，对数学运算和逻辑推理素养有较高的要求，难度较大[2025全国一卷T18，2025全国二卷T16].
1.题型设置：常以两个小题和一个大题的形式呈现[2025全国一卷三小一大，2025全国二卷两小一大].
2.内容考查：本章是高考必考内容，常考查直线与圆、圆与圆的位置关系，圆锥曲线的定义、方程、性质(尤其离心率问题)，直线与圆锥曲线的位置关系(尤其过抛物线焦点的直线与抛物线的位置关系)，以及直线与圆锥曲线的综合问题：求值与证明、定点定线定值、最值与范围等问题.
3.能力考查：高考题凸显对逻辑推理能力、数学运算能力、直观想象能力、数学抽象能力的考查.
【备考策略】
1.明晰重要概念，注重回归数学本质的复习：一是掌握解析几何的预备知识：倾斜角、斜率、交点、三种距离、对称等问题，以及直线的方程和直线与直线的位置关系.二是掌握圆的标准方程、一般方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系.三是掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与简单几何性质.并以上述知识为载体，构建知识网络，夯基提能达素养.
2.注重研究教材、掌握教材衍生结论：近几年高考试题的一个显著特点就是每年都有大量的题目由课本例题、习题、探究题改编而来，源于教材又高于教材，因此在平时复习中要重视教材，关注课本例题、习题的延伸.尤其在本章的复习过程中，理解记忆一些常用的教材知识深化后得出的结论，在解决客观题时可以节省时间.
3.掌握通性通法的运用：直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系解决方法为代数法和几何法，直线与圆锥曲线的位置关系解决方法为坐标法(又叫代数法、直曲联立)，要熟练掌握上述通性通法的运用.
4.重视知识的交汇、联系与创新：一是表现为同一主题中直线、圆、圆锥曲线的交汇融合，在知识网络的交汇点设计题目.二是表现为不同主题之间具有内在联系，在各分支知识的纵向延伸或横向拓展上做文章，例如解析几何与数列、解析几何与函数.三是表现为与解析几何有关的新定义创新问题.
5.重视数学思想(方法)的应用：(1)方程思想与转化思想：直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系等把方程思想与转化思想体现的淋漓尽致.
(2)解析几何隶属几何范畴，数形结合思想无不时时伴随左右，另外对直线斜率存在与否常常用到分类讨论思想.还有用回归定义(定义法)的解题策略、用纯几何(几何证明法)的解题策略也能够规避繁琐的代数运算，起到出奇制胜、事半功倍的效果.
第43讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
【课程标准】　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.　2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.　3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°.
2.直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.(α≠90°)
(2)过两点的直线的斜率公式：如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
(3)直线的方向向量：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.
[微提醒]　直线倾斜角为时，斜率不存在.
3.直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式 ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
[微提醒]　(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在.(2)应用“截距式”方程时，要注意讨论是否过原点，即截距是否为0.
[常用结论]
1.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k 0 k＞0 不存在 k＜0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.
2.几种特殊直线的方程
(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1.
(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1.
(3)y轴的方程为x＝0.
(4)x轴的方程为y＝0.
学生用书 第215页
3.(1)斜率为k的直线的一个方向向量为(1，k).
(2)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A).
【自测诊断】
1.(多选)下列结论正确的是 (　　)
A.平面直角坐标系中的直线都有倾斜角与斜率
B.直线的倾斜角越大，其斜率就越大
C.直线y＝kx－2一定过定点(0，－2)
D.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
答案：CD
2.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2
C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k2
答案：D
解析：因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.故选D.
3.(链接人教A选择性必修一P58T7)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
答案：A
解析：由斜率公式得＝1，解得m＝1.故选A.
4.(易错题)(链接人教A选择性必修一P67T7)经过点P(1，9)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为　　　　　　　　　　.
答案：9x－y＝0或x＋y－10＝0
解析：当纵、横截距为0时，直线方程为9x－y＝0；当截距不为0时，设直线方程为＝1，则＝1，解得a＝10，直线方程为x＋y－10＝0.
考点一　直线的倾斜角与斜率 自主练透
1.直线(1－a2)x＋y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范围是(　　)
A.［，) B.［0，］
C.［0，)∪［，π) D.［0，］∪(，］
答案：C
解析：设(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角为α∈[0，π)，根据题意可知，直线的斜率k＝a2－1≥－1，即tan α≥－1，且α∈[0，π)，所以α∈［0，)∪［，π).故选C.
2.(多选)已知直线l：x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有(　　)
A.直线l的斜率为－
B.直线l的倾斜角为
C.直线l不经过第四象限
D.直线l的一个方向向量为v＝(－，3)
答案：AD
解析：由l：x＋y－2＝0，可得y＝－x＋2，故其斜率为k＝－，倾斜角为，故A正确，B错误；由直线y＝－x＋2知其斜率k＜0，纵截距b＝2＞0，所以直线l不经过第三象限，经过第四象限，故C错误；取直线l上两点A(0，2)，B(，－1)，可得＝(－，3)，即直线l的一个方向向量为v＝(－，3)，故D正确.故选AD.
3.(双空题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是　　　　　，倾斜角的取值范围是　　　　.
答案：(－∞，－]∪[1，＋∞)　［，］
解析：如图，因为kAP＝＝1，kBP＝＝－，所以k∈(－∞，－]∪[1，＋∞).设直线的倾斜角为θ，则有tan θ≤－，或tan θ≥1，由图知，当θ＝时也符合，所以≤θ≤，即倾斜角的取值范围是［，］.
4.(双空题)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为　　　　，　　　　.
答案：　－3
解析：如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系.设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2.由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan，kOC＝tan＝－3.
1.直线斜率的三种求法 定义法、斜率公式法、方向向量法. 2.求直线的倾斜角和斜率范围的关键 (1)数形结合法：图象观察. (2)函数图象法：充分利用函数k＝tan α(α≠)的单调性和图象.
考点二　直线的方程 师生共研
求满足下列条件的直线方程：
(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－；
(2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6；
(3)直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的两倍；
(4)直线过点(－4，3)，且一个方向向量为a＝(2，3).
解：(1)因为所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－，所以y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.
(2)设直线方程为y＝x＋b，
令x＝0，得y＝b，
令y＝0，得x＝－b，
所以｜b｜·＝6，解得b＝±3，
所以直线方程为y＝x±3，即3x－4y±12＝0.
(3)当横截距与纵截距都为0时，
可设直线方程为y＝kx，
又直线过点(2，1)，
所以1＝2k，解得k＝，
所以直线方程为y＝x，即x－2y＝0；
当横截距与纵截距都不为0时，
可设直线方程为＝1，
由题意可得
所以直线方程为＝1，即x＋2y－4＝0.
综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
(4)根据直线l的一个方向向量可得直线的斜率为，又因为直线过点(－4，3)，
所以所求直线方程为y－3＝(x＋4)，整理得3x－2y＋18＝0.
学生用书 第216页
求直线方程的两种方法 注意：对于点斜式、截距式方程要注意分类讨论思想的运用.
对点练1.(多选)已知直线l经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是(　　)
A.3x＋2y＝0 B.2x＋3y＝0
C.x－y－5＝0 D.x＋y－1＝0
答案：BCD
解析：当直线l的截距为0时，此时直线l的方程为y＝－x，即2x＋3y＝0.当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为＝1，则当a＝1，b＝1时，可得直线l的方程为x＋y＝1，即x＋y－1＝0；当a＝5，b＝－5时，可得直线l的方程为＝1，即x－y－5＝0.故选BCD.
对点练2.经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为　　　　　　　　.
答案：2x＋3y－5＝0
解析：联立方程解得x＝1，y＝1，所以直线过点(1，1).因为直线的方向向量v＝(－3，2)，所以直线的斜率k＝－.则直线的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0.
【教师备选】　在△ABC中，若A(2，3)，B(－2，0)，C(2，0)，则∠BAC的平分线所在直线l的方程为(　　)
A.2x－y＋1＝0 B.2x－y－1＝0
C.2x－3y－2＝0 D.3x－y－1＝0
答案：B
解析：如图所示，设∠BAC的平分线所在直线l与x轴的交点为D(a，0).
由角平分线的性质可知 a＝，所以∠BAC的平分线所在直线l的方程为 2x－y－1＝0.故选B.
考点三　直线方程的综合应用 师生共研
(一题多变)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
解：法一：易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，
则A，B，
所以S△AOB＝·
＝≥(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立.
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
法二：易知直线l的横截距、纵截距均存在且不为0，设直线l：＝1，且a＞0，b＞0.
因为直线l过点M(2，1)，所以＝1，
则1＝≥2，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为ab＝8＝4，
当且仅当时取等号，
此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＝1，
即x＋2y－4＝0.
[变式探究](数智赋能辅助)
1.(变条件)在本例条件下，当｜OA｜＋｜OB｜取最小值时，求直线l的方程.
解：由本例法二知，＝1，a＞0，b＞0，
所以｜OA｜＋｜OB｜＝a＋b＝·
＝3＋≥3＋2，
当且仅当a＝2＋，b＝1＋时，等号成立，
所以当｜OA｜＋｜OB｜取最小值时，直线l的方程为x＋y＝2＋.
2.(变条件)本例中，当｜MA｜·｜MB｜取得最小值时，求直线l的方程.
解：法一：由本例法一知，A，B(0，1－2k)(k＜0).
所以｜MA｜·｜MB｜＝·
＝2＝2≥4，
当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号，
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
法二：由本例法二知，A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，＝1，
所以｜MA｜·｜MB｜＝｜｜·｜｜
＝－·
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝－5
＝2≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
处理直线方程综合应用问题的解题策略 1.求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值. 2.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平行)的直线系，即能够看出“动中有定”. 注意：涉及直线与坐标轴截距问题时一般设截距式.
对点练3.已知直线l过点M(1，1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点.当｜MA｜2＋｜MB｜2取得最小值时，则直线l的方程为　　　　　　　　　　.
答案：x＋y－2＝0
解析：设直线l的方程为＝1(a＞0，b＞0)，则A(a，0)，B(0，b)，且＝1，则a＋b＝ab，所以｜MA｜2＋｜MB｜2＝(a－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＋(b－1)2＝4＋a2＋b2－2(a＋b)＝4＋a2＋b2－2ab＝4＋(a－b)2≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
学生用书 第217页
对点练4.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)(一题多解)证明：直线l过定点；
(2)(一题多解)若直线不经过第四象限，求实数k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令
所以无论k取何值，直线总经过定点(－2，1).
法二：方程kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，显然直线l恒过定点(－2，1).
(2)法一：由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，
故实数k的取值范围是[0，＋∞).
法二：直线l的方程可化为y＝kx＋1＋2k，
所以所以k∈[0，＋∞).
(3)根据题意可知k≠0，再由直线l的方程，
得A，B(0，1＋2k).
根据题意得解得k＞0.
因为S＝·｜OA｜·｜OB｜＝··｜1＋2k｜＝·≥(2×2＋4)＝4，当且仅当k＞0且4k＝，即k＝时取等号，所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
课时分层测评65　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.若直线l的一个方向向量为(－1，)，则直线的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：直线l的一个方向向量为(－1，)，则直线l的斜率为－，所以直线l的倾斜角为.故选C.
2.若AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案：D
解析：因为Ax＋By＋C＝0可化为y＝－x－，AB＜0，BC＜0，所以－＞0，－＞0，故直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限.故选D.
3.若将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则l的斜率为(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案：C
解析：根据题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，则平移后直线的方程为y＝k(x－3)＋b－2＝(kx＋b)＋(－3k－2)，可得kx＋b＝(kx＋b)＋(－3k－2)，即k＝－.故选C.
【教师备选】　如图，△ABC的顶点都在坐标轴上，直线AB的斜率为，直线BC的斜率为－，则tan∠ABC＝(　　)
A.－ B.－
C.－ D.－
答案：C
解析：根据题意可得∠ABC＝∠xCB－∠xAB.又kAB＝，得tan∠xAB＝，kBC＝－，得tan∠xCB＝－，所以tan∠ABC＝tan(∠xCB－∠xAB)＝＝－.故选C.
4.(2025·山东泰安四模)与圆(x－2)2＋y2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有(　　)
A.2条 B.3条
C.4条 D.6条
答案：B
解析：因为直线在两坐标轴上截距相等，所以①当直线不经过原点时，设截距为a，a≠0.则直线过点(a，0)，(0，a)，那么直线斜率为＝－1.所以直线方程为x＋y－a＝0.因为该直线与圆(x－2)2＋y2＝2相切，所以圆心(2，0)到直线的距离等于圆的半径，即，化简得｜a－2｜＝2，解得a＝4或a＝0(舍去).此情况下有一条直线符合题意，直线方程为x＋y－4＝0.
②当直线经过原点时，设直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.因为直线与圆(x－2)2＋y2＝2相切，所以圆心(2，0)到直线的距离等于圆的半径，即，化简得k2－1＝0，解得k＝±1.
此情况下有两条直线符合题意，直线方程为y＝x，y＝－x.综上，共有3条直线符合题目要求.故选B.
5.(多选)已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列判断正确的是(　　)
A.若ab＞0，则直线l的斜率小于0
B.若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90°
C.直线l可能经过坐标原点
D.若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0°
答案：ABD
解析：若ab＞0，则直线l的斜率－0，故A正确；若b＝0，a≠0，则直线l的方程为x＝，其倾斜角为90°，故B正确；将(0，0)代入ax＋by－2＝0中，显然不成立，故C错误；若a＝0，b≠0，则直线l的方程为y＝，其倾斜角为0°，故D正确.故选ABD.
6.(多选)已知直线l1：ax－y－b＝0，l2：bx－y＋a＝0，当a，b满足一定的条件时，它们的图象可以是(　　)
答案：AC
解析：直线l1：ax－y－b＝0可化为y＝ax－b，斜率为a，在y轴上的截距为－b.直线l2：bx－y＋a＝0可化为y＝bx＋a，斜率为b，在y轴上的截距为a.对于A，a＝b＜0，直线l1与l2平行，直线l1在y轴上的截距－b＞0，直线l2在y轴上的截距a＜0，且两截距互为相反数，故A正确；对于B，由直线l2在y轴上的截距可得a＞0.与直线l1的斜率a＜0矛盾，故B不正确；对于C，直线l2的斜率b＜0，直线l1在y轴上的截距－b＞0.直线l2在y轴上的截距a＞0，直线l1的斜率a＞0，故C正确；对于D，两直线斜率a＞0，b＜0，与直线l1在y轴上的截距－b＜0，b＞0相矛盾，故D不正确.故选AC.
7.(多题同解)(1)已知点A(1，3)，B(－2，－1)，若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则实数k的取值范围是　　　　　.
(2)已知直线l的方程为xsin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角范围是　　　　　.
答案：(1)［－2，］　(2)∪
解析：(1)直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2，1)，因为kPA＝＝－2，kPB＝，又直线l与线段AB恒相交，所以－2≤k≤.
(2)因为直线l的方程为xsin α＋y－1＝0，所以y＝－x＋，即直线l的斜率k＝－.又－1≤sin α≤1，所以－≤k≤.又直线的倾斜角的取值范围是[0，π)，由正切函数的性质可得，直线l的倾斜角范围是［0，］∪.
8.(易错题)已知点M是直线l：y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l'的方程为　　　　　　　　　　.
答案：x＝－或y＝(x＋)
解析：在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝－，即M(－，0).因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l'的倾斜角为90°，此时直线l'的斜率不存在，故其方程为x＝－；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l'的倾斜角为30°，此时直线l'的斜率为tan 30°＝，故其方程为y＝(x＋).
9.(10分)已知直线l：x－ky＋2＋k＝0(k∈R).
(1)若直线l不经过第一象限，求实数k的取值范围；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程.
解：(1)当k＝0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为x＝－2，不经过第一象限；
当k≠0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为y＝x＋＋1.
要使直线不经过第一象限，
则解得－2≤k＜0.
综上，实数k的取值范围是[－2，0].
(2)由题意可得k＞0.
由x－ky＋2＋k＝0，令y＝0，得x＝－2－k，
令x＝0得y＝，
所以S＝｜OA｜｜OB｜＝·(2＋k)·
＝≥＝4，
当且仅当k＝，即k＝2时取等号，
此时Smin＝4，直线l的方程为x－2y＋4＝0.
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4，3)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为(　　)
A.4x－3y＋1＝0 B.3x－4y－1＝0
C.4x＋3y＋1＝0 D.3x＋4y－1＝0
答案：C
解析：因为直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4，3)，所以4a1＋3b1＋1＝0，4a2＋3b2＋1＝0.由上式可得点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)都在直线4x＋3y＋1＝0上，即过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为4x＋3y＋1＝0.故选C.
11.(多题同解)(1)已知直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为　　　　.
(2)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则｜PA｜＋｜PB｜的最大值为　　　　.
答案：(1)4　(2)6
解析：(1)因为直线ax＋by＝ab过点(1，1)，所以a＋b＝ab.又因为a＞0，b＞0，所以＝1，所以直线＝1在x轴与y轴上的截距之和为b＋a＝(b＋a)＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，所以直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4.
(2)根据题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1，0)，动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0.令可得B(2，3).又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，所以｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18.因为≥()2，所以｜PA｜＋｜PB｜≤＝6，当且仅当｜PA｜＝｜PB｜＝3时取等号.
【教师备选】　已知直线l的斜率小于0，且l经过点P(6，8)，并与坐标轴交于A，B两点，C(4，0)，当△ABC的面积取得最小值时，直线l的斜率为　　　　　.
答案：－
解析：根据题意可设直线l：y－8＝k(x－6)(k＜0)，即y＝kx＋8－6k(k＜0).不妨假设A在x轴上，则A(6－，0)，B(0，8－6k)，易知A在C右侧.记O为坐标原点，因为线段OA与OB的长度分别为6－，8－6k，所以△ABC的面积S＝(6－－4)(8－6k)＝(64－－12k)≥(64＋2)＝32＋16，当且仅当－＝－12k(k＜0)，即k＝－时，等号成立.
12.(15分)已知t∈(0，5]，由t确定两个点P(t，t)，Q(10－t，0).
(1)写出直线PQ的方程(解析式含t)；
(2)在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点C在边PQ上.若｜OA｜＝a，当正方形ABCD的面积最大时，求a，t的值.
解：(1)根据题意知当t＝5时，直线斜率不存在，直线PQ的方程为x＝5，
当t≠5时，直线斜率存在，kPQ＝，
直线PQ的方程为y－t＝(x－t).即为(2t－10)y＝t(x＋t－10).
易知当t＝5时x＝5也符合上式，
所以直线PQ的方程为(2t－10)y＝t(x＋t－10).
(2)由P(t，t)和正方形ABCD可知｜OA｜＝｜AD｜＝｜AB｜.
因为｜OA｜＝a，所以A(a，0)，B(2a，0)，C(2a，a).
因为点C(2a，a)在直线PQ上，
所以(2t－10)a＝t(2a＋t－10)，
所以a＝－(t2－10t)＝－(t－5)2＋，
而正方形ABCD的面积最大时a最大，
所以当t＝5时，a取得最大值，最大值为a＝，
故正方形ABCD的面积最大时，a＝，t＝5.
(每小题5分，共10分)
13.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点为A(0，0)，B(0，2)，C(－6，0)，则其欧拉线的一般式方程为(　　)
A.3x＋y－1＝0 B.3x－y－1＝0
C.x＋3y＝0 D.x－3y＝0
答案：C
解析：根据题意得△ABC的重心坐标为G(－，)，即G(－2，)，线段AB垂直平分线的方程为y＝1，线段AC垂直平分线的方程为x＝－3，故△ABC的外心坐标为W(－3，1)，故欧拉线的方程为y＝(x＋3)＋1＝－x，整理得到x＋3y＝0.故选C.
14.(交汇融合)斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图①，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图②，已知拉索上端相邻两个锚的间距｜Pi｜(i＝1，2，3，…，9)均为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距｜AiAi＋1｜(i＝1，2，3，…，9)均为18 m.最短拉索的锚P1，A1满足｜OP1｜＝84 m，｜OA1｜＝78 m，以B10A10所在直线为x轴，OP10所在直线为y轴，则最长拉索所在直线的斜率为(　　)
A.± B.±
C.± D.±
答案：B
解析：根据题意知{｜OPi｜}，{｜OAi｜}(i＝1，2，3，…，10)分别是公差为4和18的等差数列，所以｜OP10｜＝｜OP1｜＋9×4＝84＋9×4＝120，｜OA10｜＝｜OB10｜＝｜OA1｜＋9×18＝78＋9×18＝240，则P10(0，120)，A10(240，0)，B10(－240，0)，所以，＝－，即最长拉索所在直线的斜率为±.故选B
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