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金版开篇——27备考导航　备课授课＋素材资源
【知识构建】
【命题趋势】
　　本章高考试题可以单独命制，但大多与统计知识综合命制，既有选择或填空题，也有解答题.若解答题考查统计知识，则本章知识多命制选择或填空题.从考查内容上看，选择、填空题中主要考查排列组合、二项式定理、古典概型、条件概率、离散型随机变量分布列及其数字特征等，侧重于基础性考查[2025全国一卷T14，T15(1)].若试题以探索创新情境和生活实践情境为主，解答题常结合排列组合知识考查离散型随机变量分布列及其数字特征等，其中独立事件、超几何分布、二项分布、正态分布更是考查的重点，综合考查学生的数学建模、数据分析、逻辑推理、数学运算等数学核心素养[2025全国二卷T19].
1.题型设置：常以一个题目的形式呈现[2025全国一卷一小，2025全国二卷一大].
2.内容考查：本章高考考查的频率较高，常考查排列与组合、二项式定理、古典概型、独立事件、条件概率、全概率公式、离散型随机变量及其分布列、正态分布.
3.能力考查：高考题凸显对数学建模、数据分析、数学运算和数学抽象等核心素养的考查.
【备考策略】
1.明晰重要概念，注重回归数学本质的复习：一是掌握计数原理、排列组合、二项式定理；二是掌握随机事件、古典概型、事件的独立性、条件概率、全概率公式.三是掌握离散型随机变量、分布列、数字特征(均值、方差)、二项分布、超几何分布、正态分布.并以上述知识为载体，构建知识网络，夯基提能达素养.
2.注意新增内容的复习：要重视条件概率、全概率公式(贝叶斯公式)等，结合新教材与高考试题的变化，在理解的基础上能熟练运用相关公式计算，以教材为抓手，立足基本概念、基本原理、基本模型的系统复习.
3.重视知识的交汇与联系：一是表现为同一主题中例如离散型随机变量数字特征的交汇融合，在知识网络的交汇点设计题目，二是表现为不同主题之间具有内在联系，在各分支知识的纵向延伸或横向拓展上做文章，例如概率与统计的交汇融合、概率与导数、概率与数列的交汇融合.
4.重视数学建模思想的应用：(1)数学建模思想的实质是将实际问题数字化，进而用数学的方法解决概率在实际问题中的应用，充分体现了数学建模思想的应用.
(2)要加强阅读理解的训练：本部分知识以实际问题为背景，一般阅读量较大，需要平时多加训练，抓住材料本质，提炼关键内容，通过数学建模达到处理题目信息的目的.
第55讲　两个计数原理、排列与组合
【课程标准】　1.通过实例，理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.　2.通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.　3.能利用计数原理、排列与组合的知识解决简单的实际问题.
1.两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.
2.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列
组合 作为一组
3.排列数与组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的个数，用符号表示 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同组合的个数，用符号表示
公式 ＝n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]＝ ＝＝＝
性质 ＝1，＝n！，0！＝1 ＝1，＝，＝＋
[常用结论]
排列数、组合数常用公式
(1)＝(n－m＋1).
(2)＝n.
(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.
(4)k＝n.
(5)＋＋…＋＋＝.
【自测诊断】
1.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.所有元素完全相同的两个排列为相同排列
B.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事
C.在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的
D.k＝n
答案：BCD
2.(链接人教A选择性必修三P11习题6.1T2)如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路.从甲地到丁地的不同路线共有(　　)
A.12条 B.15条
C.18条 D.72条
答案：C
解析：若路线为甲乙丁则有3×2＝6(条)，若路线为甲丙丁则有3×4＝12(条)，所以共有6＋12＝18(条).故选C.
学生用书 第278页
3.(双空题)(链接人教A选择性必修三P26T1、T2)(1)＝　　　　.
(2)若＝，则正整数x的值为　　　　.
答案：(1)15　(2)1或4
解析：(1)＝＝＝15.
(2)因为＝，所以2x－1＝x或2x－1＋x＝11，解得x＝1或x＝4.经检验，x＝1或x＝4满足题意.
4.(易错题、双空题)(链接人教A选择性必修三P12T8)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为　　　　.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有　　　　种.
答案：45　54
解析：五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性.
考点一　两个计数原理 自主练透
1.某公交车上有6位乘客，沿途有4个车站，乘客下车的可能方式有(　　)
A.64种 B.46种
C.24种 D.360种
答案：B
解析：由题意知，每一位乘客都有4种选择，所以乘客下车的可能方式有4×4×4×4×4×4＝46(种).故选B.
2.用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为(　　)
A.36 B.48
C.60 D.72
答案：C
解析：当个位数为0时，有＝24(个)，当个位数为2或4时，有2＝36(个)，所以无重复数字的四位偶数有24＋36＝60(个).故选C.
3.如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成)，给△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域(即图中有公共点的区域)不同色，已知有4种不同的颜色可供选择.则不同的涂色方法种数为(　　)
A.48 B.54
C.72 D.108
答案：C
解析：设“赵爽弦图”ABCD为①区，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形分别为②，③，④，⑤区.第一步给①区涂色，有4种涂色方法；第二步给②区涂色，有3种涂色方法；第三步给③区涂色，有2种涂色方法；第四步给④区涂色，若④区与②区同色，⑤区有2种涂色方法；若④区与②区不同色，则④区有1种涂色方法，⑤区有1种涂色方法.所以共有4×3×2×(2＋1×1)＝72(种)涂色方法.故选C.
4.(2024·新课标Ⅱ卷)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有　　　　种选法.在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值为　　　　.
11 21 31 40
12 22 33 42
13 22 33 43
15 24 34 44
答案：24　112
解析：第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法；第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共有3种不同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法.由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2×1＝24.先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第4行选15，此时个位上的数字之和最大.故选中方格中的4个数之和的最大值为21＋33＋43＋15＝112.
利用两个基本计数原理解决问题的步骤
注意：涂色问题的两种常用解题方法：按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；以颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析.
考点二　排列问题(高考超重点) 师生共研
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法种数：
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边.
解：(1)从7人中选5人排列，有＝7×6×5×4×3＝2 520(种)不同排法.
(2)分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有种方法，共有＝5 040(种)不同排法.
(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有＝576(种)不同排法.
(4)(插空法)先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法，共有＝1 440(种)不同排法.
(5)法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有5×＝3 600(种)不同排法.
法二(特殊位置优先法)：左右两边位置可安排另6人中的2人，有种排法，其他人有种排法，共有＝3 600(种)不同排法.
学生用书 第279页
[变式探究](数智赋能辅助)
(变条件)若本例(5)改为“全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边”，则不同的排列方法总数为　　　　.
答案：3 720
解析：法一(特殊元素优先法)：甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有种，而乙可在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个，有种，其余人全排列，有种不同排法，共有＋＝3 720(种).
法二(间接法)：7名学生全排列，有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，故共有－2＋＝3 720(种).
求解排列问题的四种常用方法
对点练1.(2023·全国甲卷)有5名志愿者参加社区服务，共服务周六、周日两天，每天从中任选2人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为(　　)
A.120 B.60
C.40 D.30
答案：B
解析：不妨记5名志愿者为a，b，c，d，e，假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人中抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有＝12种方法.同理：b，c，d，e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5×12＝60(种).故选B.
对点练2.(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　)
A.12种 B.24种
C.36种 D.48种
答案：B
解析：先将丙和丁捆在一起有种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有种排列方式，最后将甲插入中间两空，有种排列方式，所以不同的排列方式共有＝24(种)，故选B.
【教师备选】　甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有(　　)
A.20种 B.16种
C.12种 D.8种
答案：B
解析：因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位.①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，所以有××＝8种方法；②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，所以有××＝8种方法.由分类加法计数原理可知，一共有8＋8＝16(种)排法.故选B.
考点三　组合问题(高考超重点) 师生共研
(1)(多选)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有(　　)
A.如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法
B.如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法
C.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
D.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
(2)(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有
　　　　种(用数字作答).
【溯源教材27】
溯源 (人教A选择性必修三P25T3)有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门考试成绩. (1)共有多少种不同的选法？ (2)如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？ (3)如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法？
透视 这两题考查相同的知识点，设问的本质也是一样的，都是考查计数原理和组合的相关知识，问题背景也非常相似，2023年全国乙卷也进行了类似的考查：(2023·全国乙卷)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A.30种 　B.60种　 C.120种　 D.240种 答案：C 解析：首先确定相同读物，共有种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种分给甲乙两位同学，共有种.共有×＝120(种)选法.故选C.
预测 (多选)在新高考方案中，选择性考试科目有物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身兴趣特长，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(　　) A.若任意选科，选法种数为 B.若化学必选，选法种数为 C.若政治和地理至少选一门，选法种数为 D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法种数为＋1 答案：BD 解析：若任意选科，选法种数为，故A错误；若化学必选，选法种数为，故B正确；若政治和地理至少选一门，选法种数为＋1)，故C错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法种数为＋1，故D正确.故选BD.
答案：(1)CD　(2)64
解析：(1)如果4人全部为男生，选法有＝15(种)，故A错误；如果4人中男生、女生各有2人，男生的选法有＝15(种)，女生的选法有＝6(种)，则4人中男生、女生各有2人的选法有15×6＝90(种)，故B错误；如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有＝28(种)不同的选法，故C正确；在10人中任选4人，有＝210(种)，甲、乙都不在其中的选法有＝70(种)，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有210－70＝140(种)，故D正确.故选CD.
(2)①当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有＝16种.②当从8门课中选修3门，若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有＝24种；若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有＝24种.综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种).
两类组合问题的解题方法
学生用书 第280页
对点练3.(2025·山东济宁三模)某单位安排甲、乙等五人在周一至周五值班，每天安排1人，每人值班1天，若甲不在周一、周二值班且乙不在周五值班，则不同的安排方法种数为　　　　(用数字作答).
答案：60
解析：五人在周一至周五值班，每天安排1人，每人值班1天.①甲选择周五值班，则乙和其他人安排在周一到周四即可，有＝24种方法；②甲选择周三、周四中的一天值班，则乙有3种选择，其他人有＝6种安排方法，共有2×3×6＝36种方法.由分类计数原理可得共有60种安排方法.
对点练4.如图，某小区有7条南北向街道，5条东西向街道，则从点A走向点B最短的走法有(　　)
A.150种 B.180种
C.210种 D.240种
答案：C
解析：每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段.从点A到点B最短的走法包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同.每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有＝210(种)走法.故选C.
考点四　排列、组合的综合问题 多维探究
角度1　相邻、相间问题
(多选)某产品的加工过程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，现将5道工序按不同的顺序安排流程，则下列说法正确的是(　　)
A.如果甲工序不能放在第一道，共有96种加工顺序
B.如果甲、乙两道工序必须相邻，共有12种加工顺序
C.如果甲、丙两道工序必须不相邻，共有72种加工顺序
D.如果乙、丙两道工序必须乙在前，丙在后，共有40种加工顺序
答案：AC
解析：对于A，如果甲工序不能放在第一道，则甲有4种安排方式，根据分步乘法计数原理可知，共有＝4×4×3×2×1＝96(种)加工顺序，故A正确；对于B，甲、乙两道工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序，则共有＝2×4×3×2×1＝48(种)加工顺序，故B错误；对于C，如果甲、丙两道工序不能相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的4个空中，安排甲、丙，故共有＝3×2×1×4×3＝72(种)加工顺序，故C正确；对于D，现将5道不同的工序全排列，再除以乙、丙两道工序的全排列，故共有＝＝60(种)加工顺序，故D错误.故选AC.
角度2　定序问题
(1)有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有　　　　种.
(2)花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法种数为　　　　.
答案：(1)840　(2)90
解析：(1)7名学生的排列共有种，其中女生的排列共有种，按照从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故有＝＝840(种)不同的排法.
(2)根据题意，取下6盏不同的花灯，先对6盏不同的花灯进行全排列，共有种方法.因为每次只取一盏花灯，而且只能从下往上取，所以必须除去不符合题意的排列顺序，即先取上方的顺序，故不同取法种数为＝90.
角度3　分组、分配问题
按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；
(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本.
解：(1)无序不均匀分组问题：先选1本有种选法，再从余下的5本中选2本有种选法，最后余下的3本全选有种选法，故有＝60(种)分配方式.
(2)有序不均匀分组问题：由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配，共有＝360(种)分配方式.
(3)无序均匀分组问题：先分三步，则应是种选法，但是这里出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共种情况，而这种情况仅是顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有＝15(种).
(4)有序均匀分组问题：在(3)问的基础上再分配给3个人，共有分配方式·＝90(种).
(5)无序部分均匀分组问题：共有＝15(种)分法.
(6)有序部分均匀分组问题：在(5)问的基础上再分配给3个人，共有分配方式·＝90(种).
(7)直接分配问题：甲选1本有种选法，乙从余下5本中选1本有种选法，余下4本给丙有种选法，共有＝30(种)分法.
学生用书 第281页
求解排列组合问题的6种主要方法 直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题 除法对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化
对点练5.(多选)身高各不相同的六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，则说法正确的是(　　)
A.A，C，D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B.A与C同学不相邻，共有种站法
C.A，C，D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D.A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
答案：ABD
解析：对于A，将A，C，D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有＝120(种)站法，故A正确；对于B，先排B，D，E，F，共有种站法，A与C同学插空站，有种站法，故共有种站法，故B正确；对于C，将A，C，D三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种站法，捆绑后有种站法，故共有2×＝48(种)站法，故C错误；对于D，当A在排尾，B随意站时，则有＝120(种)站法；当A不在排头也不在排尾时，有种站法，B有种站法，剩下的同学随意站有种站法，共有＝384(种)站法，故A不在排头，B不在排尾，共有120＋384＝504(种)站法，故D正确.故选ABD.
对点练6.第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛于2024年7月16—21日在重庆市育才中学成功举办.在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教师参加.若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有(　　)
A.108种 B.114种
C.150种 D.240种
答案：B
解析：5名新教师按3∶1∶1分组有种方法，按2∶2∶1分组有种分法，因此5名新教师的安排方案有(＋种，当甲、乙在同一组时，甲、乙可视为1个人，即相当于4名新教师的安排方案，有种，所以所求不同的安排方案有(＋－＝25×6－6×6＝114(种).故选B.
课时分层测评81　两个计数原理、排列与组合
(时间：60分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(每小题5分，共50分)
1.“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德.已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有(　　)
A.13种 B.22种
C.30种 D.60种
答案：D
解析：根据分步乘法计数原理，共有2×6×5＝60(种)不同的选取方法.故选D.
2.如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有(　　)
A.16种 B.32种
C.64种 D.96种
答案：C
解析：根据题意，分3步进行，第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有2＝4种排法；第二步，排第一步中剩余的一组数，共有＝8种排法；第三步，排数字5和6，共有＝2种排法.由分步乘法计数原理知，共有不同的排法种数为4×8×2＝64.故选C.
3.如图，用4种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法种数为(　　)
A.144种 B.73种
C.48种 D.32种
答案：C
解析：先对区域B涂色，有4种选择，其次再对区域C涂色，有3种选择，然后再对区域A，D涂色，有两种情况：①若区域A，D同色，有2种选择；②若区域A，D不同色，有2×1＝2(种)选择.综上所述，不同的涂法种数为4×3×(2＋2)＝48(种).故选C.
4.(2025·湖北武汉二调)有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为(　　)
A.40 B.48
C.52 D.60
答案：B
解析：先从四对双胞胎中选出一对，有4种选择；然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎，这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有3×2×2＝12种选择.根据分步乘法计数原理，总共有4×12＝48种选法.故选B.
5.(2025·山东菏泽二模)某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的选法为(　　)
A.32 B.20
C.16 D.10
答案：C
解析：某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，利用对立事件思想：从6名同学中任选3名同学共有＝20种方法，这3名同学中没有甲、乙同学的共有＝4种方法，所以甲乙至少有一人参加的不同选法有20－4＝16种方法.故选C.
6.(2025·山东日照二模)将5名志愿者随机分配到3个项目(卫生、宣传、审计)服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)
A.30种 B.60种
C.90种 D.180种
答案：A
解析：5名志愿者随机分配到3个项目(卫生、宣传、审计)服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，先从5名志愿者选2名参加卫生项目，有＝10种，再在剩下的3人中选2人参加宣传项目，有＝3种，剩下的1名志愿者参加审计项目，所以共有10×3×1＝30种分配方案.故选A.
7.(多选)现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和4个编号为1，2，3，4的不同的盒子，把球全部放入盒子内.则下列说法正确的是(　　)
A.恰有1个盒子不放球，共有72种放法
B.每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种
C.有2个盒子内不放球，另外两个盒子内各放2个球的放法有36种
D.恰有2个盒子不放球，共有84种放法
答案：BCD
解析：对于A，恰有1个盒子不放球，先选1个空盒子，再选一个盒子放两个球，则＝144≠72，故A不正确；对于B，编号为1的球有种放法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒子或者其他两个盒子，共有1＋＝3(种)，即3×3＝9(种)，故B正确；对于C，首先选出两个空盒子，再取两个球放剩下的两个盒子中的一个，共有＝36(种)，故C正确；对于D，恰有2个盒子不放球，首先选出两个空盒子，再将4个球分为3，1或2，2两种情况放入盒子，共有＋)＝6×14＝84(种)，故D正确.故选BCD.
8.(多选)(2025·广东佛山联考)第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地共同举办，运动会期间，组委会现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是(　　)
A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45
B.若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(＋
D.每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是＋
答案：AD
解析：根据题意，依次分析选项.对于A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A正确；对于B，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，有种安排方法，故B错误；对于C，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，故C错误；对于D，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选2人开车，则有＋种安排方法，故D正确.故选AD.
【教师备选】　(多选)下列说法正确的有(　　)
A.将6个不同的小球放入2个不同的盒子中，有64种不同的放法
B.将6个不同的小球放入3个相同的盒子中，每盒2个，有90种不同的放法
C.将6个不同的小球放入3个不同的盒子中，每盒至少1个，有360种不同的放法
D.将6个相同的小球分给甲、乙、丙三人，每人至少一球，有10种不同的分法
答案：AD
解析：对于A，有26＝64(种)放法，故A正确；对于B，有＝15(种)放法，故B错误；对于C，分3种情况讨论：①一盒4个，其他两盒各1个，有＝90(种)放法；②一盒1个，一盒2个，一盒3个，有＝360(种)放法；③每盒2个，有＝90(种)放法.故共有90＋360＋90＝540(种)放法，故C错误；对于D，有＝10(种)分法，故D正确.故选AD.
9.(多题同解)(1)(2025·广东湛江二模)4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有　　　　种.
(2)(2025·浙江金华一模)从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有　　　　种.
答案：(1)408　(2)16
解析：(1)若医生甲不站在医生的最左端则有＝360种不同的站法；若医生甲站在医生的最左端，则有＝48种不同的站法，故不同的站法共有360＋48＝408种.
(2)从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，共有＝20种选法，其中三个数都不相邻的，有135，136，146，246这4种，所以至少有两个数为相邻整数的选法有20－4＝16种.
10.若把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，则不同的分发种数为　　　　.
答案：165
解析：当8个相同的篮球只分给其中1人时，有4种分法；当8个相同的篮球分给其中的2人时，先从4人里面选出2人，再将8个相同的篮球排成一排，从形成的7个空里面选出1个空插入1个“隔板”即可，此时有＝42(种)分法；当8个相同的篮球分给其中的3人时，先从4人里面选出3人，再将8个相同的篮球排成一排，从形成的7个空里面选出2个空插入2个“隔板”即可，此时有＝84(种)分法；当8个相同的篮球分给4人时，每人至少一个，此时将8个相同的篮球排成一排，从形成的7个空里面选出3个空插入3个“隔板”即可，此时有＝35(种)分法.因此把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人时，不同的分发种数为4＋42＋84＋35＝165.
(每小题5分，共20分)
11.(2025·山东潍坊四县联考)某烘焙店制作了6种面包(A1，A2，A3，A4，A5，A6)、5种蛋糕(B1，B2，B3，B4，B5)，现从中选取两种面包和一种蛋糕搭配成套餐售卖，若A2，A4必须搭配在一起，A3，B4不能搭配在一起，则不同的搭配方案共有(　　)
A.16种 B.24种
C.32种 D.48种
答案：C
解析：情况一：A2，A4被选中.此时面包的选择已经确定，只需从5种蛋糕中选择1种.此种情况下搭配方案有＝5种.情况二：A2，A4不被选中.因为要选两种面包，且A2，A4不选，所以只能从除A2，A4外的4种面包A1，A3，A5，A6中选2种.又因为A3与B4不能搭配在一起，当选择的面包中有A3时(此时另一种面包从A1，A5，A6中选1种，有＝3种选法)，蛋糕不能选B4，那么蛋糕有4种选法；当选择的面包中没有A3时(即从A1，A5，A6中选2种，有＝3种选法)，蛋糕有5种选法.这种情况下的搭配方案数为3×4＋3×5＝12＋15＝27种.将两种情况的方案数相加，总的搭配方案数为5＋27＝32种.故选C.
12.(多选)定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以＝.现有2个女生，4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则(　　)
A.共有种排法
B.若两名女生相邻，则有2种排法
C.若两名女生不相邻，共有4种排法
D.若男生甲位置固定，则有5种排法
答案：ABD
解析：现有2个女生，4个男生共6名同学围坐成一圈，共有＝(种)排法，故A正确；若两名女生相邻，则有＝2(种)排法，故B正确；若两名女生不相邻，共有＝12(种)排法，故C错误；若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺、逆时针排列，则有＝5(种)排法，故D正确.故选ABD.
13.(2025·山东济南一模)将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为　　　　.(用数字作答)
答案：30
解析：第一步选2个空给两个1有种选法，第二步从剩下的3个空中选2个空给两个3有种选法，最后剩一个空排5即可，根据分步乘法计数原理有＝30种排法.
14.(2025·江苏南京二模)英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想(四色定理)：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色(注：人工湖不需要涂色)，要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有　　　　种(用数字作答).
答案：216
解析：如图，将6个行政区域标上序号，区域1有4种颜色可选，共4种方法；区域2与区域1相邻，不能与区域1同色，有3种颜色可选，共3种方法；区域3与区域1、2相邻，不能与区域1、2同色，有2种颜色可选，共2种方法；①若区域4与区域2同色，有1种颜色可选，此时区域5与区域2不同色且有2种涂色方法，此时区域6有2种涂色方法；②若区域4与区域2不同色，有1种颜色可选，此时若区域5与区域2同色，有1种涂色方法，区域6有3种涂色方法，若区域5与区域2不同色，有1种涂色方法，区域6有2种涂色方法，所以一共有4×3×2×[1×2×2＋1×(1×3＋1×2)]＝216种方法.
(每小题5分，共10分)
15.(2026·辽宁省部分重点中学协作体考试)有一个密码锁，它的密码是由三个数字组成.只有当我们正确输入每个位置的数字时，这个密码锁才能够打开.现在我们并不知道密码是多少，当输入249时，提示1个数字正确，并且位置正确；当输入235时，提示1个数字正确，但位置错误；当输入962时，提示2个数字正确，但位置全错.则正确的密码为　　　　.
答案：659
解析：题中给出三个信息：①当输入249时，提示1个数字正确，并且位置正确；②当输入235时，提示
1个数字正确，但位置错误；③当输入962时，提示2个数字正确，但位置全错，由①②知，密码中不含数字2；由③知，密码中含数字9和6，9不在百位，6不在十位；由①知，密码中也不含数字4，且9在个位数，6在百位；由②知，不可能有数字3，所以有数字5，且5在十位.所以密码为659.
16.如图，一个环形的大会场被分成了n个区域，现有k种不同颜色的服装提供给n个区域的观众，要求同一区域的观众着装颜色相同，且相邻区域的观众着装颜色不同.当k＝5，n＝6时，共有　　　　　种不同的着装方法.
答案：4 100
解析：设提供k种颜色来给排成环形的n个区域涂色且相邻区域不同色，记方法数为fk(n)，若先考虑给n个排成一行的区域涂色且相邻区域不同色，则方法数应为
k·(k－1)n－1，
1 2 3 … n－1 n
①若区域1和区域n不同色，则把区域1和区域n粘在一起成一个环状时满足条件；②若区域1和区域n同色，则把区域1和区域n粘在一起成一个环状时不满足条件，此方法数需从k·(k－1)n－1种方法中减掉.所以fk(n)＝k·(k－1)n－1－fk(n－1)，易得f5(3)＝＝60，所以f5(4)＝5×(5－1)3－f5(3)＝260，所以f5(5)＝5×(5－1)4－f5(4)＝1 020，所以f5(6)＝5×(5－1)5－f5(5)＝4 100.
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