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第22讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式
【课程标准】　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.　2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(α±，α±π的正弦、余弦、正切).
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
[微提醒]　(1)平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋.(2)平方关系的作用：实现同角的正弦值与余弦值的转化，商数关系的作用：弦切互化.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
[微提醒]　诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化.“符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α”的终边所在的象限.
【常用结论】
1.同角三角函数关系式的常见变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α).
(2)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α).
(3)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(4)sin α＝tan αcos α.
2.诱导公式的常见变形
(1)sin＝sin α.
(2)cos＝cos α.
【自测诊断】
1.(多选)下列结论错误的是(　　)
A.对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1
B.若α∈R，则tan α＝恒成立
C.sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角
D.若cos＝，则cos θ＝±
答案：ABC
2.(链接人教A必修一P185T6)已知角α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案：A
解析：因为角α是第二象限角，所以cos α＜0.又sin2α＋cos2α＝1，所以cos α＝－＝－.故选A.
3.(双空题)(链接人教A必修一P186T15)已知tan α＝3，则＝　　　　，sin αcos α＝　　　　　　　.
答案：2　
解析：＝＝＝2，
sin αcos α＝＝＝.
4.(链接人教A必修一P195T9)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是　　　　　　　.
答案：{－2，2}
解析：因为A＝＋，①当k为偶数时，A＝＋＝2；②当k为奇数时，A＝－＝－2.所以A的值构成的集合是{－2，2}.
学生用书 第101页
考点一　同角三角函数的基本关系多维探究
角度1　“知一求二”问题
(1)已知α∈(0，)，且5cos 2α＋cos α＋3＝0，则tan α＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝　　　　.
答案：(1)D　(2)－
解析：(1)因为5cos 2α＋cos α＋3＝0，所以10cos2α＋cos α－2＝0.由α∈(0，)，所以cos α＝，则sin α＝＝＝，所以tan α＝＝.故选D.
(2)因为θ∈，则sin θ＞0，cos θ＞0.又因为tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ，所以cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－.
【溯源教材9】
溯源 (人教A必修一P185T12)已知tan α＝，π＜α＜π，求cos α－sin α的值.
透视 高考题与教材习题考查角度完全一致，仅仅是换了数据而已
预测 若α∈，tan α＝－ ，则sin α－2cos α＝　　　　. 答案： 解析：因为α∈，则sin α＞0，cos α＜0.又因为tan α＝＝－，则cos α＝－2sin α，所以cos2α＋sin2α＝4sin2α＋sin2α＝5sin2α＝1，解得sin α＝或sin α＝－(舍去)，所以sin α－2cos α＝sin α＋4sin α＝5sin α＝.
角度2　“弦切互化”问题
(一题多解)(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案：C
解析：法一(弦化切法)：因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C.
法二(求值代入法)：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ＝－＝.故选C.
法三(正弦化余弦法)：因为tan θ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ.则＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C.
角度3　“和(差)积互化”问题
(1)(多选)已知sin α＋cos α＝，α∈，则下列选项中正确的有(　　)
A.sin α－cos α＝± B.tan α＝
C.cos α＝－ D.sin αcos α＝－
(2)函数f(x)＝(1＋2sin x)(1－2cos x)的最小值为　　　　.
答案：(1)CD　(2)－
解析：(1)将sin α＋cos α＝两边同时平方，整理得1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝－＜0.故D正确；又α∈，sin α＞0，则cos α＜0，所以α∈(，π)，所以由故C正确；所以sin α－cos α＝，tan α＝－，故A，B错误.故选CD.
(2)由题意可知，f(x)＝(1＋2sin x)·(1－2cos x)＝1＋2(sin x－cos x)－4sin xcos x.令sin x－cos x＝t，即t＝sin(x－)，所以－≤t≤.由(sin x－cos x)2＝t2，得2sin x·cos x＝1－t2，所以函数化为y＝2(t＋)2－，所以当t＝－时，ymin＝f(x)min＝－.
同角三角函数基本关系的应用技巧
1.正弦、余弦互化：利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化.
注意：要求平方根时，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不确定时，要进行分类讨论.
2.弦切互化：利用公式tan α＝实现角α的弦切互化，如，asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α(分母构造sin2α＋cos2α)等齐次式类型可化为关于tan α的式子.
3.和(差)积转换：利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化，可以解决sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α知一求二的问题，注意方程思想的应用.
4.巧用“1”的变形：1＝sin2α＋cos2α＝cos2α(tan2α＋1)＝sin2α(1＋)＝tan .
对点练1.已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝(　　)
A. B.－
C. D.－
答案：D
解析：因为tan α＝－，所以＝－，所以cos α＝－sin α，代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝.又α是第四象限角，所以sin α＝－.故选D.
对点练2.已知tan α＝，则sin 2α＋cos2α的值为(　　)
A. B.1
C. D.2
答案：C
解析：因为tan α＝，所以sin 2α＋cos2α＝＝＝＝.故选C.
【教师备选】　已知2tan θ－1＝0，则＝(　　)
A. B.－
C. D.－
答案：B
解析：由题意可得tan θ＝，故＝＝－.故选B.
对点练3.已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为(　　)
A. B.±
C.－ D.－
答案：D
解析：因为sin αcos α＝，所以(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－2sin αcos α＝1－2×＝.因为＜α＜，所以cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0，所以cos α－sin α＝－.故选D.
学生用书 第102页
考点二　诱导公式 师生共研
(1)求值：tan 2 025°·cos(－1 140°)－sin 1 560°·cos(－1 050°)·tan 780°＝　　　　.
(2)已知cos＝a(｜a｜≤1)，则cos＋sin＝　　　　.
答案：(1) 　(2)0
解析：(1)原式＝tan(5×360°＋225°)cos(－3×360°－60°)－sin(4×360°＋120°)cos(－3×360°＋30°)tan(2×360°＋60°)＝tan 225°cos(－60°)－sin 120°cos 30°tan 60°＝1× － ××＝.
(2)由题意知cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin［＋(－θ)］＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.
1.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2.常见的互余和互补的角
应用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等；常见的互补关系有＋θ与－θ，＋θ与－θ等.
注意：运用诱导公式计算含有2π的整数倍的三角函数式时，可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
对点练4.化简的结果是(　　)
A.－1 B.1
C.tan α D.－tan α
答案：C
解析：由诱导公式得，原式＝＝＝tan α.故选C.
对点练5.已知sin(α＋)＝，则cos(－α)＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
答案：B
解析：因为sin(α＋)＝，所以cos(－α)＝sin［－(－α)］＝sin(α＋)＝.故选B.
【教师备选】　已知cos(＋θ)＝－，则sin(＋θ)＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
答案：B
解析：sin(＋θ)＝sin［(＋θ)－］＝－sin［－(＋θ)］＝－cos(＋θ)＝.故选B.
考点三　同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用 师生共研
已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f＝，求cos2＋cos的值.
解：(1)由题意得f(α)＝ ＝ cos α.
(2)由f＝，得cos＝，
所以cos2＝cos2＝sin2(－α)＝1－cos2＝1－＝，
cos＝cos＝－cos＝－，
所以cos2＋cos＝－ ＝.
1.利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数符号的影响.
对点练6.已知f(α)
＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝2，求sin2α－3sin αcos α的值；
(3)若f(α＋)＝3，求sin(α－)的值.
解：(1)由题意得f(α)＝ ＝ tan α.
(2)由(1)得tan α＝2，
所以sin2α－3sin αcos α＝＝＝＝－.
(3)由f＝3，得tan＝3，
所以sin＝3cos，
即sin［＋］＝3cos［＋］，
即cos＝－3sin.
因为sin2＋cos2＝1，
所以sin＝±.
课时分层测评32　同角三角函数的基本关系与诱导公式
(时间：60分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(每小题5分，共50分)
1.cos(－)＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案：C
解析：cos(－)＝cos＝cos(6π＋)＝cos＝.故选C.
2.设sin 25°＝a，则sin 65°cos 115°tan 205°＝(　　)
A. B.－
C.－a2 D.a2
答案：C
解析：因为sin 65°＝cos 25°，cos 115°＝cos(90°＋25°)＝－sin 25°，tan 205°＝tan(180°＋25°)＝tan 25°＝，所以sin 65°cos 115°tan 205°＝－sin225°＝－a2.故选C.
3.(2025·山东烟台一模)已知tan α＝－2，则＝(　　)
A.－ B.
C.－2 D.2
答案：C
解析：＝＝＝＝－2.故选C.
4.若sin ＝，且0＜x＜，则sin(＋x)＝(　　)
A. B.－
C. D.－
答案：A
解析：由0＜x＜得－＜－x＜0，则－＜－x＜.因为sin ＝，所以cos＝＝，所以sin ＝sin［－］＝cos＝.故选A.
5.已知x∈(－，0)，sin4x＋cos4x＝，则sin x－cos x＝(　　)
A. B.－
C. D.－
答案：B
解析：因为sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－2sin2xcos2x＝，所以sin2xcos2x＝.又x∈(－，0)，所以sin x＜0，cos x＞0，即sin xcos x＝－，sin x－cos x＝－＝－＝－＝－.故选B.
6.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2 025)＝3，则f(2 026)＝(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
答案：C
解析：由f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，得f(2 025)＝asin(2 025π＋α)＋bcos(2 025π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4＝3，即asin α＋bcos β＝1，则f(2 026)＝asin(2 026π＋α)＋bcos(2 026π＋β)＋4＝asin α＋bcos β＋4＝1＋4＝5.故选C.
7.(多选)若＝1，则角θ的取值范围可能为(　　)
A. B.
C. D.
答案：BD
解析：原式＝＝＝＝1，即＝1.由给定选项知，角θ的终边不在坐标轴上，则cos θ与sin θ异号，角θ为第二象限角或第四象限角.若角θ为第二象限角，则＝＝1，cos θ＋sin θ＜0，θ∈；若角θ为第四象限角，则＝＝1，cos θ＋sin θ＞0，θ∈.故选BD.
8.(多选)已知＝3，－＜α＜，则(　　)
A.tan α＝2 B.sin α－cos α＝－
C.sin4α－cos4α＝ D.＝
答案：ACD
解析：因为＝＝3，所以tan α＝2，故A正确；因为tan α＝＝2＞0，且－＜α＜，所以0＜α＜，所以sin α＞0，cos α＞0.由＝3＞0，可得sin α－cos α＞0，故B错误；sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)·(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2α＝＝＝＝，故C正确；＝＝＝，故D正确.故选ACD.
9.(双空题)已知tan α＝cos α，则cos2α＋cos4α＝　　　　，－＝　　　　.
答案：1　1
解析：因为tan α＝＝cos α，故sin α＝cos2α，所以sin2α＝cos4α，所以cos2α＋cos4α＝cos2α＋sin2α＝1.所以－＝＝＝＝＝1.
10.(开放题)若实数α，β满足方程组则β的一个值可以是　　　　　　.(写出满足条件的一个值即可)
答案：(答案不唯一，满足β＝＋2kπ，k∈Z即可)
解析：由题意可得9sin2α＋9cos2α＝(2cos β)2＋(2sin β＋1)2，即9＝4＋4sin β＋1，所以sin β＝1，所以β＝＋2kπ，k∈Z，可取k＝0，β＝.
(每小题5分，共20分)
11.(2025·山东日照一模)已知α是第一象限角，且sin α＋cos α＝3cos αtan α，则sin的值为(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案：D
解析：因为sin α＋cos α＝3cos αtan α，所以sin α＋cos α＝3sin α，所以cos α＝2sin α，左右两侧平方得cos2α＝4sin2α＝4，所以5cos2α＝4.又因为α是第一象限角，所以cos α＝，则sin(α＋)＝cos α＝.故选D.
12.(多选)已知sin θ＋cos θ＝t，θ∈，t∈(－1，]，函数f(θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ，则下列选项正确的是(　　)
A.当t＝时，sin θcos θ的值为
B.当t＝时，sin3θ－cos3θ的值为－
C.函数f(θ)的值域为(－1，]
D.函数f(θ)的值域为(－1，1]
答案：BD
解析：对于A，当t＝时，sin θ＋cos θ＝，两边平方，可得1＋2sin θcos θ＝，可得sin θcos θ＝－＜0，故A错误；对于B，由选项A的解答知θ∈，所以sin θ－cos θ＝－＝－＝－，可得sin3θ－cos3θ＝(sin θ－cos θ)(sin2θ＋cos θsin θ＋cos2θ)＝×＝－，故B正确；对于C、D，因为sin θ＋cos θ ＝t，t∈(－1，]，两边平方，可得1＋2sin θcos θ＝t2，可得sin θcos θ＝，所以sin θ＋cos θ－sin θcos θ＝t－＝1－(t－1)2，因为t∈(－1，]，所以f(θ)＝sin θ＋cos θ－sin θcos θ∈(－1，1]，故C错误，D正确.故选BD.
13.已知角α为锐角，且2tan－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝　　　　.
答案：
解析：由已知得消去sin β，得tan α＝3，所以sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝.因为α为锐角，所以sin α＝.
14.(多题同解)(1)(一题多解)已知2sin α＋cos α＝，则tan α＝　　　　.
(2)已知2cos2α－3sin αcos α＝，则tan α＝　　　　.
答案：(1)2　 (2)或－
解析：(1)法一(解方程法)：因为cos α＝－2sin α且sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋(－2sin α)2＝1，整理得5sin2α－4sin α＋4＝0，所以(sin α－2)2＝0，所以sin α＝，所以cos α＝，所以tan α＝2.
法二：(弦切互化法)：因为2sin α＋cos α＝，所以(2sin α＋cos α)2＝5，所以4sin2α＋4sin αcos α＋cos2α＝5，所以sin2α－4sin αcos α＋4cos2α＝0，所以tan2α－4tan α＋4＝0，所以tan α＝2.
法三(逆向探讨法)：令tan α＝＝t(t≠1)，则sin α＝tcos α，代入2sin α＋cos α＝，得sin α＝，cos α＝，所以()2＋()2＝1，整理得t2－4t＋4＝0，解得t＝2.
(2)显然cos α≠0，所以＝＝，整理得9tan2α＋30tan α－11＝0，解得tan α＝或tan α＝－.
(每小题5分，共10分)
15.(多选)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则称θ与φ广义互余.若sin(π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α广义互余的有(　　)
A.sin β＝ B.cos＝
C.tan β＝ D.tan β＝
答案：AC
解析：若α与β广义互余，则α＋β＝＋2kπ(k∈Z)，即β＝＋2kπ－α.又由sin＝－，可得sin α＝.若α与β广义互余，则sin β＝sin(＋2kπ－α)＝cos α＝±＝±，故A正确；若α与β广义互余，则cos β＝cos(＋2kπ－α)＝sin α＝，而由cos＝，可得cos β＝－，故B错误；由A、B可知sin β＝±，cos β＝，所以tan β＝＝±，故C正确，D错误.故选AC.
16.已知tan α，是关于x的方程x2＋kx＋k2－8＝0的两个实根，且3π＜α＜π，则cos α＋sin α＝　　　　　.
答案：－
解析：因为tan α，是关于x的方程x2＋kx＋k2－8＝0的两个实根，所以tan α·＝k2－8＝1，tan α＋＝－k.又3π＜α＜π，所以tan α＞0，故－k＞0，所以k＝－3，tan2α－3tan α＋1＝0，所以tan2α＋1＝3tan α，所以＝＝1＋＝1＋＝.因为3π＜α＜π，所以cos α＜0，sin α＜0，故cos α＋sin α＜0，所以cos α＋sin α＝－.
学生用书 第103页
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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