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第33讲　平面向量基本定理及坐标表示
【课程标准】　1.掌握平面向量基本定理.　2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.　3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.　4.能用坐标表示平面向量共线.
1.平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
[微提醒]　(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底.(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标运算
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
向量的加法运算 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
向量的减法运算 a－b＝(x1－x2，y1－y2)
向量的数乘运算 λa＝(λx1，λy1)
向量的模 ｜a｜＝
(2)向量坐标的求法
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，｜｜＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b a＝λb(λ∈R) x1y2－x2y1＝0.
[微提醒]　因为x2，y2有可能为0，所以a∥b的充要条件不能表示为.
【常用结论】
1.若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2.三角形的重心坐标公式：已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则线段AB的中点坐标为(，)，
△ABC的重心G的坐标为(，).
【自测诊断】
1.(多选)下列结论正确的是(　　)
A.平面内的任意两个向量都可以作为一个基底
B.设{a，b}是平面内的一个基底，若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0
C.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成
D.平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变
答案：BD
2.(链接人教A必修二P60T2(6))下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)
A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B.e1＝(2，－3)，e2＝(，－)
C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
答案：D
解析：由于选项A、B、C中的向量e1，e2都共线，故不能作为基底，而选项D中的向量e1，e2不共线，故可作为基底.故选D.
3.(链接人教A必修二P33T5)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　)
A.(2，2) B.(3，－1)
C.(2，2)或(3，－1) D.(2，2)或(3，1)
答案：D
解析：由题意可知.若，则P点坐标为(2，2)；若，则P点坐标为(3，1).故选D.
4.(链接人教A必修二P31例7)(2024·上海卷)已知a＝，b＝，a∥b，则k的值为　　　　.
答案：15
解析：因为a∥b，所以2k＝5×6，解得k＝15.
学生用书 第164页
考点一　平面向量基本定理及其应用 自主练透
1.(多选)下列命题中正确的是(　　)
A.若p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p与a，b共面
B.若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋yb
C.若＝x＋y，则P，M，A，B共面
D.若P，M，A，B共面，则存在实数x，y使得＝x＋y
答案：AC
解析：对于B，若a，b共线，p与a，b不共线，则不存在实数x，y使得p＝xa＋yb，故B错误；对于D，若M，A，B共线，P在直线AB外，则不存在实数x，y使得＝x＋y，故D错误；由平面向量基本定理知AC正确.故选AC.
2.在△ABC中，D是线段AB上靠近B的四等分点，E是线段CD上靠近D的三等分点，则＝(　　)
A.－＋ B.－
C.－＋ D.－＋
答案：C
解析：如图，由题意得，，故＋＋＋－)＝＋＋＝－＋－)＝－＋.故选C.
【教师备选】　如图所示，在△ABC中，＝3，＝2，＝a，＝b，则＝(　　)
A.a－b B.a－b
C.a－b D.a－b
答案：B
解析： －－＋)－＋－)－－a－b.故选B.
3.(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　　)
A.＋ B.＝－＋
C.－ D.＝－＋
答案：ABD
解析：由AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，得＋＋＝－＋＋＝－＋，故B正确；＋＋＋＋.又F为AE的中点，则＋，故A正确；＋＝－＋＋＝－＋，故D正确；＋－＝－＋－＝－－，故C错误.故选ABD.
4.已知△ABC的边BC的中点为D，点E在△ABC所在平面内，且＝3－2.若＝x＋y，则x＋y＝　　　　.
答案：11
解析：因为＝3－2，D为BC的中点，所以＋＝－－.因为＝x＋y，所以－，所以－－＋，所以－，即－－.由平面向量基本定理知所以x＋y＝11.
1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决问题.
3.注意点：(1)同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
(2)强调图形几何性质在向量运算中的作用，在用基底表示未知向量时，常借助图形的几何性质，如平行、相似等.
考点二　平面向量的坐标运算 师生共研
(1)在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)
A.(－，5) B.(，5)
C.(－，－5) D.(，－5)
(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝(　　)
A. B.
C.2 D.
答案：(1)C　(2)B
解析：(1)因为在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以＝－＝－＋)＝(－，－5).故选C.
(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2， 所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，所以＝(－2，2)，＝(－2，1)，＝(1，2).因为＝λ＋μ，所以(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，所以故λ＋μ＝.故选B.
平面向量坐标运算的技巧
1.向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
2.解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
对点练1.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，c＝(9，4)，若正实数m，n满足c＝ma＋nb，则＋＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因为a＝(2，－3)，b＝(1，2)，c＝(9，4)，所以c＝ma＋nb＝(2m＋n，－3m＋2n)＝(9，4)，所以＋＋.故选A.
对点练2.如图，在7×5正方形网格中，向量a，b满足a⊥b，则－＋等于(　　)
A.2a＋b B.－2a－b
C.－3a＋b D.3a－b
答案：C
解析：以图中向量a，b的始点为坐标原点，a所在直线为x轴，b所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则a＝(1，0)，b＝(0，2)，C(2，5)，D(5，4).－＋＋＝(－3，1).令＝xa＋yb，得到(－3，1)＝x(1，0)＋y(0，2)＝(x，2y)，解得x＝－3，y＝.所以－＋＝－3a＋b.故选C.
【教师备选】　已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝(　　)
A.－ B.－
C.－ D.－
答案：B
解析：设网格中小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图所示，可知b＝(3，3)，a＝(－2，1)，c＝(－1，－3)，代入c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，得(－1，－3)＝λ(－2，1)＋μ(3，3)，则所以λ＋μ＝－.故选B.
学生用书 第165页
考点三　 向量共线的坐标表示 多维探究
角度1　利用向量共线求参数
(1)已知向量a＝(2，x)，b＝(1，－1)，若a∥(b－2a)，则x＝(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
(2)已知向量，，，若A，C，D三点共线，则m＝　　　　.
答案：(1)A　(2)－
解析：(1)因为向量a＝(2，x)，b＝(1，－1)，所以b－2a＝(－3，－1－2x).又a∥(b－2a)，可得2(－1－2x)＋3x＝0，解得x＝－2.故选A.
(2)因为＋，又A，C，D三点共线，所以＝λ且λ∈R，则
角度2　利用向量共线求向量或点的坐标
(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，若A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为　　　　.
(2)(一题多解)已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.
答案：(1)(2，4)　(2)(3，3)
解析：(1)由题意得，＝2.设点D的坐标为(x，y)，则，，所以(4－x，2－y)＝(2，－2)，即故点D的坐标为(2，4).
(2)法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ，则－.又－，由共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝.所以，所以点P的坐标为(3，3).
法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且共线，所以，即x＝y.又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3).
1.已知两向量共线，求某些参数的取值，可利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题.
2.利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路
(1)求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程(组)，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
(2)求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值.
对点练3.设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且｜｜＝2｜｜，则点P的坐标为(　　)
A.(3，1) B.(1，－1)
C.(3，1)或(1，－1) D.(3，1)或(1，1)
答案：C
解析：因为A(2，0)，B(4，2)，所以＝(2，2).因为点P在直线AB上，且｜｜＝2｜｜，所以＝2＝－2，故＝(1，1)或＝(－1，－1)，故点P的坐标为(3，1)或(1，－1).故选C.
对点练4.(2025·山东聊城一模)已知角α∈，向量a＝，b＝，若a∥b，则α＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：因为α∈，则sin α＞0.由已知，向量a＝，b＝，且a∥b，则sin α＝cos α＞0.可得tan α＝，故α＝.故选B.
课时分层测评51　平面向量基本定理及坐标表示
(时间：60分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(每小题5分，共50分)
1.(2025·浙江金华十校二模)已知向量a＝，b＝，且a∥b，则实数x的值为(　　)
A.－2 B.2
C.－8 D.8
答案：A
解析：由a∥b可得，解得x＝－2.故选A.
2.(2025·辽宁锦州模拟)已知平面直角坐标系中的两个向量a＝(1，2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－∞，2) B.(2，＋∞)
C.(－∞，＋∞) D.(－∞，2)∪(2，＋∞)
答案：D
解析：根据题意，知向量a，b不共线，故2m≠3m－2，即m≠2.故选D.
3.已知a＝(1，1)，b＝(－1，2)，c＝(5，－1)，则c可用a与b表示为(　　)
A.a＋b B.2a＋3b
C.3a－2b D.2a－3b
答案：C
解析：因为a＝(1，1)，b＝(－1，2)，c＝(5，－1)，所以a＋b＝(0，3)≠c，2a＋3b＝2(1，1)＋ 3(－1，2)＝(－1，8)≠c，3a－2b＝3(1，1)－2(－1，2)＝(5，－1)＝c，2a－3b＝2(1，1)－3(－1，2)＝(5，－4)≠c.故选C.
4.已知△ABC是等腰直角三角形，A＝90°，E为AB的中点，F为BC的中点，＝λ＋μ，则λ等于(　　)
A.－ B.－
C.－ D.－1
答案：A
解析：如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设AB＝2，则B(2，0)，C(0，2)，F(1，1)，E(1，0)，＝(－2，2)，λ＋μ＝λ＋μ(1，－2)＝，所以所以λ＝－.故选A.
5.向量a＝(1，3)，b＝(3x－1，x＋1)，c＝(5，7)，若(a＋b)∥(a＋c)，且c＝ma＋nb，则m＋n的值为(　　)
A.2 B.
C.3 D.
答案：C
解析：由题意，得a＋b＝(3x，x＋4)，a＋c＝(6，10).因为(a＋b)∥(a＋c)，所以30x＝6x＋24，解得x＝1，所以b＝(2，2).则c＝ma＋nb＝(m＋2n，3m＋2n)＝(5，7)，即故m＋n＝3.故选C.
6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则＝(　　)
A.－ B.＋
C.－ D.＋
答案：C
解析：因为＝2，所以＋)，所以－－＋)＝－.故选C.
7.(多选)已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，1)，c＝(－4，－2)，则下列结论正确的是(　　)
A.｜c｜＝2｜a｜
B.向量c与向量b共线
C.若c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则λ1＝0，λ2＝－2
D.对同一平面内任意向量d，都存在实数k1，k2，使得d＝k1b＋k2c
答案：ABC
解析：对于A，｜a｜＝，｜c｜＝＝2，故A正确；对于B，因为b＝(2，1)，c＝(－4，－2)，所以c＝－2b，所以向量c与向量b共线，故B正确；对于C，若c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则(－4，－2)＝(λ1＋2λ2，－2λ1＋λ2)，所以故C正确；对于D，因为c＝－2b，所以d＝k1b＋k2c＝k1b－2k2b＝(k1－2k2)b，所以当d不与b共线，且d≠0时，不存在实数k1，k2，使得d＝k1b＋k2c，故D错误.故选ABC.
8.(多选)已知等边三角形ABC内接于☉O，D 为线段OA 的中点，E 为BC的中点，则＝(　　)
A.＋ B.－
C.＋ D.＋
答案：AC
解析：＋＋＋＋)＝－＋×＋.故选AC.
9.已知向量a＝(6，2)，与a共线且方向相反的单位向量b＝　　　　.
答案：
解析：因为a＝，｜a｜＝＝2，所以与a共线且方向相反的单位向量是b＝－.
10.已知点A(－1，1)，B(3，2)，D(0，5)，若＝3，AC与BD交于点M，则点M的坐标为　　　　.
答案：
解析：根据题意，设C(x，y)，M(x1，y1)，易得＝(x－3，y－2)，＝(1，4).由＝3，可得(x－3，y－2)＝3(1，4)，解得即C(6，14).因为＝3，所以△DMA∽△BMC，所以 ＝ ＝，所以＝ ，即(x1＋1，y1－1)＝(7，13)＝，解得即点M的坐标为.
(每小题5分，共20分)
11.(2025·山东烟台二模)已知向量a＝，b＝，若a∥b，则y的最小值为(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案：A
解析：若a∥b，则x2－x＝y，当x＝时，y有最小值为－.故选A.
12.如图，AB是☉O的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，＝a，＝b，则等于(　　)
A.a－b
B.a－b
C.－a＋b
D.－a＋b
答案：C
解析：连接OC，OD和CD，如图所示，由于C，D是半圆弧上的两个三等分点，所以△AOC，△COD，△DOB是等边三角形，所以OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝CD＝BD，所以四边形OACD和四边形OBDC是菱形，所以－－＝－a＋b.故选C.
13.(一题多解)在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN交于点P，若AM＝5.5，则AP的长为(　　)
A.3.8 B.4
C.4.2 D.4.4
答案：D
解析：法一：设＝e1，＝e2，则＋＝－3e2－e1，＋＝2e1＋e2.因为点A，P，M和点B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ，使＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2，所以－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)＋＝2e1＋3e2，所以，所以AP＝AM＝4.4.故选D.
法二：设＝λ，λ∈R.因为M是BC的中点，AN＝2NC，则＋)＝＋，＝λλ＋λ.又B，P，N三点共线，所以λ＋λ＝1，解得λ＝，所以AP＝AM＝4.4.故选D.
14.若在△ABC中，AB＝，∠ABC＝，BC＝3，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ－2μ＝　　　　.
答案：0
解析：由题意可知，在Rt△ABD中，AB＝，∠ABC＝，所以BD＝1，所以BD＝BC，所以＋)＝＋)＝＋＋)＝＋.又因为＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ－2μ＝－＝0.
(每小题5分，共10分)
15.(多选)如图，B是AC的中点，＝2，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且＝x＋y(x，y∈R)，则下列结论中正确的是(　　)
A.当x＝0时，y∈[2，3]
B.当P是线段CE的中点时，x＝－，y＝
C.若x＋y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D.当P在C点时，x＝1，y＝2
答案：BC
解析：对于A，当x＝0时，则＝y，点P在线段BE上，故1≤y≤3，故A错误；对于B，当P是线段CE的中点时，＋＝3＋＋)＝3＋＝3＋(－2＋－)＝－＋，故B正确；对于C，当x＋y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，故P的轨迹是一条线段，故C正确；对于D，因为＋)，所以＝2－，当P在C点时，则＝－＋2，所以x＝－1，y＝2，故D错误.故选BC.
16.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，以AC为直径的半圆上有一点M，＝λ＋λ，则实数λ＝　　　　.
答案：
解析：以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.则A(0，1)，C(1，0)，AC＝，则以AC为直径的圆的圆心为AC的中点D，则以AC为直径的圆的方程为＋.设M(x，y)，则＝(x，y)，＝(1，0)，＝(0，1)，＝λ＋λ＝(λ，λ)，所以由点M在圆＋上，可得＋，即4λ2－(1＋)λ＝0，解得λ＝或λ＝0(舍去).
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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