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第44讲　两条直线的位置关系
【课程标准】　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.　2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.　3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
1.两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0
垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
2.直线的交点坐标
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系与方程组解的关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为｜P1P2｜＝.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离｜OP｜＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝.
[微提醒]　利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行直线方程化为x，y的系数分别对应相等的一般式才能使用.
学生用书 第218页
[常用结论]
1.四类常见的直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C).
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R).
(3)过定点(x0，y0)的所有直线可设为y－y0＝k(x－x0)或x＝x0.
(4)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2.五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)，关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y).
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y).
(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y).
(4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x).
(5)点(x，y)关于直线y＝x＋b的对称点为(y－b，x＋b)，关于直线y＝－x＋b的对称点为(b－y，b－x).
【自测诊断】
1.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2
B.若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1
C.直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离
D.若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上
答案：CD
2.(链接人教A选择性必修一P102T2)若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m＝(　　)
A.4 B.－4
C.1 D.－1
答案：A
解析：因为直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，所以≠，解得m＝4.故选A.
3.(链接人教A选择性必修一P102T3)若直线l1：ax－(a＋1)y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直，则实数a＝(　　)
A.3 B.0
C.－3 D.0或－3
答案：D
解析：因为直线l1与直线l2垂直，所以2a＋a(a＋1)＝0，整理得a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－3.故选D.
4.(1)(链接人教A选择性必修一P77T3)已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为　　　　.
(2)(链接人教A选择性必修一P78例7)若直线2x－y－3＝0与4x－2y＋a＝0之间的距离为，则实数a＝　　　　.
答案：(1)－1　(2)4或－16
解析：(1)由题意得＝1，即｜a＋1｜＝，又a＞0，所以a＝－1.
(2)将直线2x－y－3＝0化为4x－2y－6＝0，则直线2x－y－3＝0与直线4x－2y＋a＝0之间的距离d＝，根据题意可得，即｜a＋6｜＝10，解得a＝4或a＝－16.
考点一　两条直线的平行与垂直 自主练透
1.(2025·广西来宾二诊)已知直线l的一个方向向量为a＝(2，1)，则过点A(1，－1)且与l垂直的直线方程为(　　)
A.x－2y－3＝0 B.x－2y＋1＝0
C.2x＋y－3＝0 D.2x＋y－1＝0
答案：D
解析：因为直线l的一个方向向量为a＝(2，1)，所以直线l的斜率k＝，所以与直线l垂直的直线斜率为－2，所以所求直线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0.故选D.
2.“m＝4”是“直线mx＋(3m－4)y＋3＝0与直线2x＋my＋3＝0平行”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：C
解析：由直线mx＋(3m－4)y＋3＝0与直线2x＋my＋3＝0平行，得m2－2(3m－4)＝0，解得m＝2或m＝4.当m＝2时，两直线重合，故“m＝4”是“直线mx＋(3m－4)y＋3＝0与直线2x＋my＋3＝0平行”的充要条件.故选C.
3.(多选)△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是(　　)
A.边BC与直线3x－2y＋1＝0平行
B.边BC上的高所在的直线方程为3x＋2y－12＝0
C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x＋y－13＝0
D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)
答案：BD
解析：对于A，直线BC的斜率为k＝，而直线3x－2y＋1＝0的斜率为，两直线不平行，故A错误；对于B，边BC上的高所在直线斜率为－，直线方程为y＝－(x－4)，即3x＋2y－12＝0，故B正确；对于C，过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为x＋y－13＝0，过原点时方程为7x－6y＝0，故C错误；对于D，过点A且平分△ABC面积的直线过边BC的中点，中点坐标为(3，5)，故D正确.故选BD.
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4.已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为　　　　　　　　.
答案：
解析：根据题意，得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点.当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行时，m＝或m＝－；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－.所以实数m的取值集合为.
判断两直线位置关系的注意点 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件. 2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
考点二　直线的交点坐标与距离公式 师生共研
(1)过两条直线l1：x＋2y－4＝0，l2：2x－y－3＝0的交点，且与直线x＋3y＋1＝0垂直的直线的方程为(　　)
A.6x－2y－3＝0 B.x－3y＋3＝0
C.3x＋y－7＝0 D.3x－y－5＝0
(2)(一题多解)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A.1 B.
C. D.2
(3)已知直线3x＋y－3＝0和直线6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离为(　　)
A.4 B.
C. D.
答案：(1)D　(2)B　(3)D
解析：(1)由设与直线x＋3y＋1＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则3×2－1＋m＝0，得m＝－5，所以所求直线方程为3x－y－5＝0.故选D.
(2)法一：由点到直线的距离公式知，点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，所以当k＝1时，dmax＝.故选B.
法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为｜AB｜＝.故选B.
(3)由直线平行可得3m－6＝0，解得m＝2，因此直线方程为6x＋2y＋1＝0，即3x＋y＋＝0，则所求距离是.故选D.
【教师备选】　当点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为(　　)
A. B.0
C.－1 D.1
答案：C
解析：直线mx－y＋1－2m＝0过定点Q(2，1)，所以点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，PQ垂直该直线，即m＝－1，所以m＝－1.故选C.
1.求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程. 2.点到直线、两平行直线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式. (2)求两平行直线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等. 注意：点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝｜x0－a｜，到直线y＝b的距离d＝｜y0－b｜.
对点练1.过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为(　　)
A.3x－2y－1＝0 B.3x＋2y－5＝0
C.2x－3y＋1＝0 D.2x－3y－1＝0
答案：C
解析：由所以交点坐标为(1，1).又因为直线平行于向量v＝(3，2)，所以所求直线方程为y－1＝(x－1)，即2x－3y＋1＝0.故选C.
对点练2.设直线l：3x＋2y－6＝0，P(m，n)为直线l上的动点，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：(m－1)2＋n2表示点P(m，n)到点A(1，0)距离的平方，该距离的最小值为点A(1，0)到直线l的距离，即，则(m－1)2＋n2的最小值为.故选A.
对点练3.(双空题)已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，两平行线之间的距离的最大值为　　　　，此时两平行直线方程分别为　　　　　　　　　　　　　.
答案：3　3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0
解析：两条平行直线分别过点A(6，2)，B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，当AB与两平行直线垂直时，两平行线之间的距离最大，｜AB｜＝＝3，这两条平行直线之间的距离有最大值，最大值为3.因为直线AB的斜率kAB＝，故这两条平行直线的斜率为－3，则两平行直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
考点三　对称问题 多维探究
角度1　中心对称
(1)直线x－2y－3＝0关于定点M(－2，1)对称的直线方程为　　　　　　　　　.
(2)(一题多解)过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为　　　　　　　　.
答案：(1)x－2y＋11＝0　(2)8x－y－24＝0
解析：(1)设所求直线上任意一点的坐标为(x，y)，则其关于点M(－2，1)的对称点(－4－x，2－y)在已知直线上，所以所求直线方程为(－4－x)－2(2－y)－3＝0，即x－2y＋11＝0.
(2)法一：设直线l分别与直线l1，l2相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2).因为线段AB被点P(3，0)平分.所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝0.于是x2＝6－x1，y2＝－y1.由于点A，B分别在直线l1，l2上，所以即A(，).直线PA的方程为，即8x－y－24＝0.所以直线l的方程为8x－y－24＝0.
法二：可将点A，B的坐标分别设为(a，2a－2)和(b，－b－3)，则得a＝，即A(，).直线PA的方程为，即8x－y－24＝0.所以直线l的方程为8x－y－24＝0.
角度2　轴对称
(1)一束光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有(　　)
A.a＝，b＝6 B.a＝－3，b＝
C.a＝3，b＝－ D.a＝－，b＝－6
(2)已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则｜PA｜＋｜PB｜的最小值为　　　　.
答案：(1)D　(2)
解析：(1)由题意，知直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，所以直线y＝ax＋2上的点(0，2)关于直线y＝－x的对称点(－2，0)在直线y＝－3x＋b上，所以－3×(－2)＋b＝0，所以b＝－6.直线y＝－3x－6上的点(0，－6)关于直线y＝－x的对称点(6，0)在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，所以a＝－.故选D.
(2)设点A关于直线l的对称点为A1，P0为A1B与直线l的交点，如图，所以｜P0A1｜＝｜P0A｜，｜PA1｜＝｜PA｜.所以｜PA｜＋｜PB｜＝｜PA1｜＋｜PB｜≥｜A1B｜.即当P点运动到P0时，｜PA｜＋｜PB｜取得最小值｜A1B｜.设A1(x1，y1)，则即A1(0，3).所以＝｜A1B｜＝.
学生用书 第220页
对称问题的求解策略 1.解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解. 2.中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点这两个条件列方程组解题，两线轴对称问题应关注两条直线平行与相交条件列相应方程组解题.
对点练4.已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4，5)关于直线l对称的点的坐标；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于点(1，2)对称的直线方程.
解：(1)设点P关于直线l的对称点为P'(x'，y')，则kPP'·kl＝－1，所以3＝－1　①，
又PP'的中点在直线l上，所以3－＋3＝0　②，
联立①②，解得
所以点P(4，5)关于直线l对称的点的坐标为(－2，7).
(2)联立，易知点(2，0)在直线x－y－2＝0上，设点(2，0)关于直线l的对称点的坐标为(m，n)，
则
即所求直线过点，
利用两点式得，
整理得7x＋y＋22＝0，即所求直线的方程为7x＋y＋22＝0.
(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0，3)，设其关于点(1，2)对称的点为M'(xM'，yM')，
则
即M'(2，1).
因为直线l关于点(1，2)对称的直线平行于l，
所以所求直线的斜率为3，
所以所求直线的方程为y－1＝3(x－2)，即3x－y－5＝0.
课时分层测评66　两条直线的位置关系
(时间：60分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(每小题5分，共50分)
1.“a＝1”是“直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：当a＝1时，直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0的斜率为－3，直线ax－3y＋3＝0的斜率为，两直线垂直；当两直线垂直时，(2a＋1)a－3a＝0，解得a＝0或1，所以“a＝1”是“直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直”的充分不必要条件.故选A.
2.与直线2x＋3y＋1＝0平行且过点(0，1)的直线方程是(　　)
A.2x＋3y－3＝0 B.3x＋2y－2＝0
C.2x＋3y＋3＝0 D.3x－2y＋2＝0
答案：A
解析：设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0(C≠1).又直线过点(0，1)，则可得3＋C＝0，解得C＝－3，则所求直线方程为2x＋3y－3＝0.故选A.
3.设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是(　　)
A.相交但不垂直 B.垂直
C.平行 D.重合
答案：B
解析：根据题意知，直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的斜率分别为－，.又在△ABC中，，所以－·＝－1，所以两条直线垂直.故选B.
4.已知从点(5，2)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好过点(1，2)，则入射光线所在的直线方程为(　　)
A.x－y－3＝0 B.x＋y－7＝0
C.x－y＋3＝0 D.x＋y－3＝0
答案：A
解析：运用点关于直线对称，求出(1，2)关于x轴的对称点为(1，－2).又(1，－2)与(5，2)在同一条直线上，运用两点式得到入射光线所在的直线方程为，整理得x－y－3＝0.则入射光线所在的直线方程为x－y－3＝0.故选A.
【教师备选】　设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，内角B，C的平分线的方程分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是(　　)
A.y＝3x＋5 B.y＝2x＋3
C.y＝2x＋5 D.y＝－
答案：C
解析：A关于直线x＝0的对称点是A'(－3，－1)，关于直线y＝x的对称点是A″(－1，3).由角平分线的性质可知，点A'，A″均在直线BC上，所以直线BC的方程为，即y＝2x＋5.故选C.
5.当点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为(　　)
A.；3x＋2y－5＝0 B.；3x＋2y－5＝0
C.；2x－3y＋1＝0 D.；2x－3y＋1＝0
答案：A
解析：将直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)变形得x＋y－2＋λ(3x＋y－4)＝0.由
解得因此直线l过定点A(1，1).当AP⊥l时，点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离最大，最大值为｜AP｜＝.又直线AP的斜率kAP＝，则直线l的斜率为－，所以此时直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即3x＋2y－5＝0.故选A.
6.若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为(　　)
A.3 B.2
C. D.4
答案：A
解析：根据题意知，点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则，即c＝－6，所以点M在直线x＋y－6＝0上，所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3.故选A.
7.(多选)已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　)
A.直线l过第一、三、四象限
B.过点(，1)与直线l平行的直线的方程是x－y－2＝0
C.直线x－y＋2＝0到直线l的距离为
D.若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
答案：BC
解析：对于A，直线l过第一、二、三象限，故A错误；对于B，设过点(，1)且与直线l平行的直线的方程为x－y＋t＝0(t≠1).由于点(，1)满足该直线方程，代入得t＝－2，所以所求的直线方程为x－y－2＝0，故B正确；对于C，由于直线l：x－y＋1＝0与直线x－y＋2＝0平行，故两直线间的距离d＝，故C正确；对于D，直线l的斜率为kl＝，直线m的斜率为km＝，因为klkm≠－1，所以直线l和直线m不垂直，故D错误.故选BC.
8.(多选)对于直线l1：ax＋2y＋3a＝0，l2：3x＋(a－1)y＋3－a＝0，则(　　)
A.l1∥l2的充要条件是a＝3或a＝－2
B.当a＝时，l1⊥l2
C.直线l2经过第二象限内的某定点
D.点P(1，3)到直线l1的距离的最大值为3
答案：ABC
解析：对于A，若l1∥l2，则a(a－1)－6＝0，解得a＝3或a＝－2，经检验，符合题意，所以a＝3或a＝－2，所以l1∥l2的充要条件是a＝3或a＝－2，故A正确；对于B，当a＝时，3a＋2(a－1)＝－＝0，所以l1⊥l2，故B正确；对于C，由l2：3x＋(a－1)y＋3－a＝0，得(y－1)a＋3x－y＋3＝0.令所以直线l2经过定点(－，1)，位于第二象限，故C正确；对于D，由l1：ax＋2y＋3a＝0，得(x＋3)a＋2y＝0.令所以直线l1过定点M(－3，0).当PM⊥l1时，点P(1，3)到直线l1的距离最大，最大值为｜PM｜＝＝5，故D错误.故选ABC.
9.(多题同解)(1)已知直线l1：x－2y－1＝0与直线l2：2x＋my＋2－2＝0平行，则l1与l2之间的距离为　　　　.
(2)已知直线l1：ax－4y＋2＝0与直线l2：2x＋5y＋c＝0垂直，垂足为(1，b)，则a＋b＋c＝　　　　.
答案：(1)1　(2)－4
解析：(1)因为l1∥l2，所以m＋4＝0，解得m＝－4，经检验符合题意，所以l2：x－2y＋－1＝0，所以l1与l2之间的距离d＝＝1.
(2)因为l1⊥l2，所以2a－20＝0，即a＝10，因为垂足为(1，b)，故故a＋b＋c＝－4.
10.(一题多解)已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为　　　　.
答案：－3或3
解析：法一：根据题意得，即｜2a＋3｜＝｜a＋6｜，所以2a＋3＝a＋6或2a＋3＋a＋6＝0，解得a＝3或－3.
法二：连接AB(图略)，因为A，B两点到直线l的距离相等，则直线AB∥l或AB的中点在直线l上，则＝－a或－a＋＋1＝0，得a＝－3或3.
(每小题5分，共20分)
11.已知实数a，b，c，d满足3a－4b＋3＝0，3c－4d－7＝0，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：D
解析：根据题意得，点A(a，b)在直线3x－4y＋3＝0上，点B(c，d)在直线3x－4y－7＝0上，两直线平行，所以(a－c)2＋(b－d)2的最小值为两平行线间距离的平方，即［］2＝4.故选D.
12.(多选)已知直线l：2x－y＋3＝0，点R(0，2)，P(1，1)，Q(1－m，m)，m∈R，下列说法正确的是(　　)
A.点P到直线l的距离为
B.若点P与点Q位于直线l的两侧，则m＞
C.点P与点Q之间距离的最小值为
D.｜QR｜＋｜QP｜的最小值为2
答案：ABD
解析：对于A，点P到直线l的距离d＝，故A正确；对于B，将点P(1，1)代入直线方程得2－1＋3＝4＞0.又点P与点Q位于直线l的两侧，则将点Q(1－m，m)代入直线方程得2－2m－m＋3＜0，即m＞，故B正确；对于C，｜PQ｜＝≥，故C错误；对于D，因为1－m＋m＝1，所以点Q在直线l1：x＋y－1＝0上，斜率k＝－1.过点P作直线l'⊥l1于点D，如图所示，则l'：x－y＝0，联立方程组解得x＝y＝，即D(，)，所以点P关于直线l1的对称点为原点O(0，0)，OR与l1的交点为Q，此时｜QR｜＋｜QP｜最小，则(｜QR｜＋｜QP｜)min＝｜OR｜＝2，故D正确.故选ABD.
13.请运用数形结合的思想，得出函数y＝－的最大值为　　　　　　　.
答案：2
解析：因为y＝－－，所以它表示点P(x，0)到点A(2，7)和B(4，3)的距离之差，如图所示.因为｜PA｜－｜PB｜≤｜AB｜＝＝2，当且仅当P，B，A三点共线时，等号成立，所以y＝－的最大值为2.
14.(多题同解)(1)已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)，若直线l上存在点P，使得｜PA｜＋｜PB｜的值最小，则点P的坐标为　　　　.
(2)如图，已知△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，光线从AB边上的中点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(反射点分别为Q，R)，则光线经过的路径总长｜PQ｜＋｜QR｜＋｜RP｜＝　　　　.
答案：(1)(－2，3)　(2)
解析：(1)根据题意画出大致图象，如图.
设点A关于直线x－2y＋8＝0的对称点为A1(m，n)，则有故A1(－2，8).此时直线A1B的方程为x＝－2，所以当点P是直线A1B与直线x－2y＋8＝0的交点时，｜PA｜＋｜PB｜的值最小.将x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故点P的坐标为(－2，3).
(2)以A为坐标原点，AB，AC分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略).因为△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，则lBC：x＋y－2＝0，点P(1，0)，所以点P关于y轴的对称点为P1(－1，0).设点P关于直线lBC：x＋y－2＝0的对称点为P2(x0，y0)，则＝1且－2＝0，解得x0＝2，y0＝1，即P2(2，1)，则｜PQ｜＋｜QR｜＋｜RP｜＝｜P2Q｜＋｜QR｜＋｜RP1｜＝｜P1P2｜＝.
(每小题5分，共10分)
15.(多选)若直线m被两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是(　　)
A.30° B.75°
C.135° D.165°
答案：BD
解析：如图所示，设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为α，两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝.因为
直线m被两平行直线l1与l2所截得的线段长为，所以sin α＝，所以α＝45°.因为直线l1的斜率为k＝，倾斜角为30°，所以直线m的倾斜角可以是75°或165°.
16.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到直线l1，l2的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为　　　　.
答案：6
解析：以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设B(a，－2)，C(b，3).因为AC⊥AB，所以·＝0，即ab－6＝0，所以ab＝6，b＝.Rt△ABC的面积S＝··≥＝6(当且仅当a2＝4时取等号).所以△ABC的面积的最小值为6.
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