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第53讲　用样本估计总体
【课程标准】　1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义.　2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义.　3.结合实例，能用样本估计总体的取值规律.　4.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.
1.总体集中趋势的估计
名称 概念
平均数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么就是这组数据的平均数，用表示，即＝
中位数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)叫作这组数据的中位数
众数 一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)叫作这组数据的众数
[微提醒]　平均数反映了数据取值的平均水平.
2.总体百分位数的估计
(1)百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p％的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)％的数据大于或等于这个值.
(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据；
第2步，计算i＝n×p％；
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第 j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第 i项与第(i＋1)项数据的平均数.
(3)四分位数
①第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.
②第25百分位数又称第一四分位数或下四分位数等；第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.
3.总体离散程度的估计
(1)方差和标准差
假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，那么这n个数的
①标准差s＝.
②方差s2＝.
(2)总体方差和总体标准差
①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2＝，S＝为总体标准差.
②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝fi.
(3)样本方差和标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝(yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差.
[微提醒]　方差和标准差反映了数据离散程度和离平均数的波动程度的大小.
学生用书 第267页
[常用结论]
1.频率分布直方图中的常见结论
(1)众数的估计值为最高矩形底边的中点对应的横坐标.
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积的和.
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积之和是相等的.
2.平均数的性质
(1)若给定一组数据x1 ，x2 ，… ，xn 的平均数为 ，则ax1 ，ax2，… ，axn 的平均数为a ，ax1＋b ，ax2＋b，… ，axn＋b 的平均数为a＋b.
(2)若两组数据x1 ，x2 ，… ，xn 和y1 ，y2，… ，yn 的平均数分别是 ，则x1＋y1 ，x2＋y2 ，… ，xn＋yn 的平均数是＋.
3.方差的性质
若给定一组数据x1 ，x2 ，… ，xn ，其方差为s2 ，则ax1 ，ax2，…，axn 的方差为a2s2 ，ax1＋b ，ax2＋b，…，axn＋b 的方差为a2s2.特别地，当a＝1 时，有x1＋b ，x2＋b ，…，xn＋b 的方差为s2 ，这说明将一组数据中的每一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即不影响数据的波动性.
【自测诊断】
1.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近
B.方差与标准差具有相同的单位
C.如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变
D.在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数
答案：CD
2.(链接人教A必修二P206探究)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在如图两种分布形态中，a，b，c，d分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是(　　)
A.a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数
B.a为平均数，b为中位数，c为平均数，d为中位数
C.a为中位数，b为平均数，c为中位数，d为平均数
D.a为平均数，b为中位数，c为中位数，d为平均数
答案：A
解析：在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积和相等，平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积之积的和近似代替，结合两个频率分布直方图得：a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数.故选A.
3.(链接人教A必修二P204T2)某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别为　　　　　　　　　.
答案：13.7，14.7，15.3
解析：将12个数据按从小到大排序：13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8.由i＝12×25％＝3，得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的平均数，即＝13.7；由i＝12×50％＝6，得所给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即＝14.7；由i＝12×75％＝9，得所给数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，即＝15.3.
4.(双空题，用结论)已知x1，x2，…，x10的平均值为6，方差为3，则2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的平均值为　　　　，方差为　　　　.
答案：11　12
解析：新数据的平均值为2×6－1＝11，新数据的方差为22×3＝12.
考点一　总体百分位数的估计 自主练透
1.已知一组数据1，2，3，4，x的上四分位数是x，则x的取值范围是(　　)
A. B.[2，3]
C.[3，4] D.
答案：C
解析：在五个数中，上四分位数为第二大的数，故1，2，3，4，x中第二大的数是x，所以3≤x≤4.故选C.
2.某工厂随机抽取部分工人，对他们某天生产的产品件数进行了统计，统计数据如表所示，则该组数据的产品件数的第60百分位数为(　　)
件数 7 8 9 10 11
人数 3 6 5 4 2
A.8.5 B.9
C.9.5 D.10
答案：B
解析：抽取的工人总数为20，20×60％＝12，那么第60百分位数是所有数据从小到大排序后的第12项与第13项数据的平均数，第12项与第13项数据分别为9，9，所以第60百分位数为9.故选B.
学生用书 第268页
3.如图所示是由某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数为　　　　.
答案：2
解析：由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的顺序排列为－3，－2，－1，－1，0，0，1，2，2，2，因为共有10个数据，所以10×80％＝8是整数，则这10天最低气温的第80百分位数为＝2.
4.为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了某地区1 000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长(单位：min)分成6组：第一组[30，40)，第二组[40，50)，第三组[50，60)，第四组[60，70)，第五组[70，80)，第六组[80，90]，经整理得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为　　　　 min.
答案：47.5
解析：由10×0.01＝0.1＜0.25，10×0.01＋10×0.02＝0.3＞0.25，得第25百分位数位于[40，50)内，则第25百分位数为40＋×10＝47.5，所以可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5.
1.计算一组n个数据第p百分位数的步骤
2.频率分布直方图中第p百分位数的求解步骤
第一步：确定第p百分位数所在的区间[a，b)；
第二步：确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa％，fb％，则第p百分位数为a＋×(b－a).
考点二　总体集中趋势的估计(高考超重点) 师生共研
(1)某射击运动员进行打靶练习，已知打十枪每发的环数分别为9，10，7，8，10，10，6，8，9，7，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　)
A.a＞b＞c B.c＞a＞b
C.b＞c＞a D.c＞b＞a
(2)(多选)某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分100分)，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40，100]内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示.观察图形，则下列说法正确的是(　　)
A.频率分布直方图中第三组的频数为10
B.根据频率分布直方图估计样本的众数为75分
C.根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分
D.根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分
答案：(1)D　(2)ABC
解析：(1)将9，10，7，8，10，10，6，8，9，7按从小到大的顺序排列为6，7，7，8，8，9，9，10，10，10，则众数为c＝10，中位数为b＝×(8＋9)＝8.5，平均数为a＝×(6＋7＋7＋8＋8＋9＋9＋10＋10＋10)＝8.4，所以c＞b＞a.故选D.
(2)对于A，分数在[60，70)内的频率为1－10×(0.005＋0.020＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.10，所以第三组的频数为100×0.10＝10，故A正确；对于B，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；对于C，因为(0.005＋0.020＋0.010)×10＝0.35＜0.5，(0.005＋0.020＋0.010＋0.030)×10＝0.65＞0.5，所以中位数位于[70，80)内，设中位数为x，则0.35＋0.03(x－70)＝0.5，解得x＝75，所以中位数的估计值为75分，故C正确；对于D，样本平均数的估计值为45×(10×0.005)＋55×(10×0.020)＋65×(10×0.010)＋75×(10×0.030)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.010)＝73(分)，故D错误.故选ABC.
1.中位数、众数和平均数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”和“平均水平”，我们需根据实际需要选择使用.
2.频率分布直方图中的数字特征
(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.
(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个矩形的面积与小长方形底边中点的横坐标之积的和.
学生用书 第269页
对点练1.(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：
亩产量 [900，950) [950，1 000) [1 000，1 050)
频数 6 12 18
亩产量 [1 050，1 100) [1 100，1 150) [1 150，1 200)
频数 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是(　　)
A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80％
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
答案：C
解析：对于A，因为前3组的频率之和0.06＋0.12＋0.18＝0.36＜0.5，前4组的频率之和0.36＋0.30＝0.66＞0.5，所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1 050，1 100)，故A不正确；对于B，100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例为×100％＝66％，故B不正确；对于C，因为1 200－900＝300，1 150－950＝200，所以100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间，故C正确；对于D，100块稻田亩产量的平均值约为×(925×6＋975×12＋1 025×18＋1 075×30＋1 125×24＋1 175×10)＝1 067(kg)，故D不正确.故选C.
对点练2.(多选)(2025·山东滨州二模)据网络平台数据，截至2025年4月12日17时38分，2025年度我国电影大盘票房(含预售)突破250亿，居全球第一.《哪吒之魔童闹海》以60.8％的票房占比断层领跑并跻身全球影史票房前五.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取10 000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则(　　)
A.a＝0.019
B.观众年龄的众数估计为35
C.观众年龄的平均数估计为30.2
D.观众年龄的第70百分位数估计为38
答案：BD
解析：根据题意可得(0.010＋a＋0.022＋0.025＋0.020＋0.005)×10＝1，解得a＝0.018，故A错误；因为观众年龄的众数估计是35，故B正确；因为平均数估计为5×0.1＋15×0.18＋25×0.22＋35×0.25＋45×0.2＋55×0.05＝29.2，故C错误；前3组的频率之和为(0.010＋0.018＋0.022)×10＝0.50，前4组的频率之和为0.50＋0.025×10＝0.75，故第70百分位数位于第4组，设其为t，则(t－30)×0.025＋0.50＝0.70，解得t＝38，即第70百分位数为38，故D正确.故选BD.
考点三　总体离散程度的估计(高考超重点) 师生共研
(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下：
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2.
(1)求，s2.
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).
解：(1)由题意可知，zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)的值分别为9，6，8，－8，15，11，19，18，20，12，
所以＝zi＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，
s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.
(2)由(1)知，＝11，2＝2＝，故有≥2 ，
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
利用样本的方差、标准差解决优化决策问题的依据
1.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.
2.用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.
学生用书 第270页
对点练3.(2025·山东青岛一模)若样本数据1，x1，x2，…，x9的平均数为1，方差为2，则数据x1，x2，…，x9相对于原数据(　　)
A.平均数变小 B.平均数变大
C.方差变小 D.方差变大
答案：D
解析：设原数据的平均数为，方差为s2，变化后的数据的平均数为，方差为.根据题意有＝(1＋x1＋x2＋…＋x9)＝1 x1＋x2＋…＋x9＝9，所以＝(x1＋x2＋…＋x9)＝1＝.s2＝[(1－1)2＋＋…＋]＝2 ＋＋…＋＝20，所以＝[＋＋…＋]＝，所以＝，s2＜.故选D.
对点练4.(2026·福建福州调研)某单位共有A，B两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两个部门服务满意度得分的频率分布条形图如图.设A，B两个部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为n1，n2，方差分别为，，则(　　)
A.n1＞n2，＞ B.n1＞n2，＜
C.n1＜n2，＜ D.n1＜n2，＞
答案：C
解析：提取题中条形图中的信息，
2分 3分 4分 5分
A部门服务满意度得分的频率 0 0.2 0.7 0.1
B部门服务满意度得分的频率 0.1 0.2 0.4 0.3
因为0.2＋0.55＝0.75，所以A部门的服务满意度得分的第75百分位数为4，即n1＝4.因为0.1＋0.2＋0.4＋0.05＝0.75，所以B部门的服务满意度得分的第75百分位数为5，即n2＝5，所以n1＜n2.根据题中条形图知，A部门数据更集中，方差更小，所以＜.故选C.
对点练5.甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
(1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差；
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由.
解：(1)＝×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，
＝×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85，
＝×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(84－85)2]＝35.5，
＝×[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－85)2]＝41.
(2)由(1)知＝，＜，
甲的成绩较稳定，所以派甲参赛比较合适.
课时分层测评79　用样本估计总体
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为(　　)
A.，8 B.，8
C.，7 D.，7
答案：A
解析：根据题意可得这组数据的平均数＝＝.极差为9－1＝8.故选A.
2.某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据x1，x2，x3，…，x9，后来复查数据时，又将x3，x9重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是(　　)
A.平均数 B.中位数
C.极差 D.众数
答案：C
解析：极差表示一组数据中最大值与最小值之差，将x3，x9重复记录在数据中，最大值与最小值并未改变，所以极差一定不变，而平均数、中位数、众数均有可能改变.故选C.
3.射击作为一项综合运动项目，不仅需要选手们技术上过硬，更需要他们在临场发挥时保持冷静和专注.决赛中，选手甲、乙和丙在最后三轮比赛中依次射击，成绩(单位：环)如表：
类别 甲 乙 丙
第四轮 105.5 106.2 105.6
第五轮 106.5 105.7 105.3
第六轮 105 106.1 105.1
则下列说法错误的是(　　)
A.三轮射击9次成绩极差为1.5
B.三轮射击成绩最好的一轮是第五轮
C.从三轮射击成绩来看，甲的射击成绩最稳定
D.从三轮射击各人平均成绩来看，乙的表现更突出
答案：C
解析：三轮射击9次成绩极差为106.5－105＝1.5，故A正确；第四轮的总成绩为317.3环，第五轮的总成绩为317.5环，第六轮的总成绩为316.2环，故B正确；丙的射击成绩波动小，最稳定，故C错误；甲的平均成绩约为105.7，乙的平均成绩为106，丙的平均成绩约为105.3，故D正确.故选C.
4.四名同学各掷质地均匀的骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是(　　)
A.平均数为3，中位数为2
B.平均数为2，方差为2.4
C.中位数为3，众数为2
D.中位数为3，方差为2.8
答案：B
解析：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A不符合题意；对于B，若平均数为2，且出现6点，则方差s2＞×(6－2)2＝3.2＞2.4，则平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故B符合题意；对于C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故C不符合题意；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为＝×(1＋2＋3＋3＋6)＝3，方差为s2＝×[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2＋(6－3)2]＝2.8，可以出现点数6，故D不符合题意.故选B.
5.(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　)
A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
答案：BD
解析：取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为＝，故A、C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确.故选BD.
6.(多选)某公司计划组织秋游活动，定制了一套文化衫，女职工需要不同尺码文化衫的频数如图.根据图中数据，下列结论正确的是(　　)
A.文化衫尺码的众数为187
B.文化衫尺码的平均数为165
C.文化衫尺码的方差为28
D.文化衫尺码的中位数为165
答案：BD
解析：根据题图知，众数为165，故A错误；文化衫总数为34＋59＋187＋85＋21＝386，文化衫尺码的平均数为×(155×34＋160×59＋165×187＋170×85＋175×21)＝165，故B正确；方差为×(102×34＋52×59＋02×187＋52×85＋102×21)≈23.58，故C错误；中位数为165，故D正确.故选BD.
【教师备选】　(多选)某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图，如图所示.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2，平均数分别为s1，s2，则下列关系正确的是(　　)
A.m1＞m2 B.m1＜m2
C.s1＜s2 D.s1＞s2
答案：BC
解析：根据题中频率分布直方图得，甲地区[40，60)的频率为(0.015＋0.020)×10＝0.35，[60，70)的频率为0.025×10＝0.25，所以甲地区用户满意度评分的中位数m1＝60＋×10＝66，甲地区的平均数s1＝45×0.015×10＋55×0.020×10＋65×0.025×10＋75×0.020×10＋85×0.010×10＋95×0.010×10＝67.乙地区[50，70)的频率为(0.005＋0.020)×10＝0.25，[70，80)的频率为0.035×10＝0.35，所以乙地区用户满意度评分的中位数m2＝70＋×10≈77.1，乙地区的平均数s2＝55×0.005×10＋65×0.020×10＋75×0.035×10＋85×0.025×10＋95×0.015×10＝77.5，所以m1＜m2，s1＜s2.故选BC.
7.(2021·新高考Ⅱ卷改编)下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的有　　　　.
①样本x1，x2，…，xn的标准差；
②样本x1，x2，…，xn的中位数；
③样本x1，x2，…，xn的极差；
④样本x1，x2，…，xn的平均数.
答案：①③
解析：标准差和极差符合要求.故选①③.
8.(多题同解)(1)(2025·江西南昌模拟)从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15，5，16，16，28，32，48，38，26，38，40，这11个数据的60％分位数是　　　　.
(2)将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出频率分布直方图如图，则此班的模拟考试成绩的80％分位数是　　　　.(结果保留两位小数)
答案：(1)32　(2)124.44
解析：(1)把11个数据按照从小到大排序得5，15，16，16，26，28，32，38，38，40，48，因为11×60％＝6.6，所以60％分位数是第7个数据，这11个数据按照从小到大排列第7个是32.
(2)由频率分布直方图可知，分数在120分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100％＝70％，分数在130分以下的学生所占的比例为(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.022 5)×10×100％＝92.5％，因此，80％分位数一定位于[120，130)内.因为120＋×10≈124.44，所以此班的模拟考试成绩的80％分位数约为124.44.
9.(10分)某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg)，并绘制频率分布直方图如图所示.
(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能90％地满足顾客的需求(在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？
解：(1)根据题图可知，区间[80，90)的频率最大，所以众数为85.
设中位数为x，则0.025＋0.1＋(x－80)×0.04＝0.5，可得x＝89.375.
平均数为＝(65×0.002 5＋75×0.01＋85×0.04＋95×0.035＋105×0.01＋115×0.002 5)×10＝89.75.
(2)日销售量在区间[60，100)的频率为0.875＜0.9，日销售量在区间[60，110)的频率为0.975＞0.9，
故所求的量位于区间[100，110)内.
由0.9－0.025－0.1－0.4－0.35＝0.025，得100＋＝102.5(千克)，
故每天应该进102.5千克苹果.
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.(多选)(2025·广东佛山二模)市场监督管理局对9家工厂生产的甲、乙产品进行抽查评分，且得分的平均数分别为77，60，其中A工厂生产的产品得分如下表：
分数 名次(按高分到低分排名)
甲产品 75 4
乙产品 66 6
则在此次抽查评分中(　　)
A.9家工厂甲产品得分的中位数一定小于平均数
B.9家工厂乙产品得分的中位数一定大于平均数
C.9家工厂甲产品得分中一定存在极端高分数(高于平均数10分以上)
D.9家工厂乙产品得分中一定存在极端低分数(低于平均数10分以上)
答案：ABD
解析：对于甲、乙产品，9家工厂抽查评分从低到高的第5位是中位数，由75分是甲产品按高分到低分的第4位，即从低到高的第6位，故中位数小于等于75分，由66分是乙产品按高分到低分的第6位，即从低到高的第4位，故中位数大于等于66分.又甲、乙得分的平均数分别为77分、60分，故A、B正确；甲产品评分可以为75，75，75，75，75，75，80，81，82，此时不存在极端高分数，故C错误；对于乙产品，假设所有评分都为66分，则66×9－60×9＝54分，所以从低到高的前3个评分平均比66分低18分，故必存在极端低分数，故D正确.故选ABD.
11.(多题同解)(1)某同学测得连续7天的最低气温分别为1，2，2，m，6，2，8(单位：℃)，若这组数据的平均数是中位数的2倍，则m＝　　　　.
(2)已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为　　　　　.
(3)已知样本x1，x2，x3的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为　　　　.
答案：(1)7　(2)　(3)5
解析：(1)根据题意可知，这组数据的平均数为＝，除m外，将数据按从小到大的顺序排列可得1，2，2，2，6，8，结合m的任意性可知中位数为2，则＝2×2，解得m＝7.
(2)原7个数的方差为(xi－2)2＝4，即(xi－2)2＝4×7＝28，加入一个新数据2后所得8个数的平均数为＝＝2，所以这8个数的方差为s2＝[28＋(2－2)2]＝.
(3)因为样本x1，x2，x3的平均数为2，方差为1，所以x1＋x2＋x3＝6，(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＝3，解得＋＋＝15，所以，，＋＋)＝×15＝5.
12.(15分)近年来“天宫课堂”受到广大中小学生欢迎，激发了同学们对科学知识的探索欲望和对我国航天事业成就的自豪感.为领悟航天精神，感受中国梦想，某校组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛(满分100分)，各年级学生踊跃参加.校团委为了比较高一、高二学生这次竞赛的成绩，从两个年级的答卷中各随机选取了50份，将成绩进行统计得到以下频数分布表：
成绩 [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
高一学生人数 15 5 15 15
高二学生人数 10 10 20 10
试利用样本估计总体的思想，解决下列问题：
(1)从平均数与方差的角度分析哪个年级学生这次竞赛成绩更好(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)？
(2)校后勤部决定对参与这次竞赛的学生给予一定的奖励，奖励方案有以下两种：
方案一：记学生得分为x，当x＜70时，奖励该学生10元食堂代金券；当70≤x＜90时，奖励该学生25元食堂代金券；当x≥90时，奖励该学生35元食堂代金券；
方案二：得分低于样本中位数的每位学生奖励10元食堂代金券；得分不低于中位数的每位学生奖励30元食堂代金券.
若高一年级组长希望本年级学生获得更多的奖励，则他应该选择哪种方案？
解：(1)样本中，高一学生竞赛平均成绩＝×(65×15＋75×5＋85×15＋95×15)＝81，
方差＝×[(65－81)2×15＋(75－81)2×5＋(85－81)2×15＋(95－81)2×15]＝144；
样本中，高二学生竞赛平均成绩＝×(65×10＋75×10＋85×20＋95×10)＝81，
方差＝×[(65－81)2×10＋(75－81)2×10＋(85－81)2×20＋(95－81)2×10]＝104.
因为＝，＞，
所以样本中高一、高二学生这次竞赛的平均成绩一样，但高二学生的成绩更稳定.
所以利用样本估计总体的思想可以认为，高二学生这次竞赛成绩更好.
(2)设选择方案一时一位学生获得的奖励为X元，则X的可能取值为10，25，35，其对应的频率分别为0.3，0.4，0.3，
所以获得奖励的平均数＝10×0.3＋25×0.4＋35×0.3＝23.5(元).
设选择方案二时一位学生获得的奖励为Y元，则Y的可能取值为10，30，其对应的频率分别为0.5，0.5，所以获得奖励的平均数＝10×0.5＋30×0.5＝20(元).
因为＞，所以从统计角度看，高一年级组长应该选择方案一.
(每小题5分，共10分)
13.已知7个相异自然数的平均数为12，中位数为18，则这7个自然数中最大的数最大是(　　)
A.21 B.23
C.24 D.26
答案：C
解析：设这7个相异自然数从小到大排列依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，则x4＝18，x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝7×12＝84，当这7个自然数中最大的数x7的值最大时，其他5个自然数必取最小的可能值，即x1＝0，x2＝1，x3＝2，x5＝19，x6＝20，此时0＋1＋2＋18＋19＋20＋x7＝84，则x7＝24.故选C.
14.(交汇融合)已知函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，也关于点(0，－1)中心对称，则f(1)，f(2)，f(3)，…，f(2 026)的中位数为　　　　.
答案：
解析：由f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，也关于点(0，－1)中心对称，得f(x)＋f(2－x)＝0，f(x)＋f(－x)＝－2，两式相减得f(2－x)－f(－x)＝2，所以f(x＋2)－f(x)＝2.当x＝1时，由f(x)＋f(2－x)＝0，得f(1)＝0；当x＝0时，由f(x)＋f(－x)＝－2，得f(0)＝－1.又由f(x＋2)－f(x)＝2，结合f(0)＝－1，f(1)＝0，所以f(1)，f(2)，f(3)，…，f(2 026)构成首项为0，公差为1的等差数列，所以f(2 026)＝2 025，且此等差数列为递增数列，所以f(1)，f(2)，f(3)，…，f(2 026)的中位数为＝＝
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