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第56讲　二项式定理
【课程标准】　1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.　2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn(n∈N*)
二项展开式的通项 Tk＋1＝an－kbk，它表示展开式的第k＋1项
二项式系数 (k＝0，1，…，n)
[微提醒]　二项式系数是指，，…，，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且与a，b的值有关.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即＝
增减性 二项式系数 当k＜(n∈N*)时，是递增的
当k＞(n∈N*)时，是递减的
二项式系 数最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值
学生用书 第282页
【常用结论】
　　若二项展开式的通项为Tk＋1＝g·xh(k)(k＝0，1，2，…，n)，g(k)≠0，则有以下常见结论：
(1)h＝0 Tk＋1是常数项.
(2)h(k)是非负整数 Tk＋1是整式项.
(3)h(k)是负整数 Tk＋1是分式项.
(4)h(k)是整数 Tk＋1是有理项.
【自测诊断】
1.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.an－kbk是的展开式中的第k项
B.(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关
C.通项公式Tk＋1＝an－kbk中的a和b不能互换
D.二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的
答案：BC
2.(链接人教A选择性必修三P30例2)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为(　　)
A.6 B.－6
C.24 D.－24
答案：A
解析：(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为＝6.故选A.
3.(链接人教A选择性必修三P38T5(2)) (2021·北京卷) 展开式中常数项为　　　　.
答案：－4
解析：(x3－)4的展开式的通项Tk＋1＝(x3)4－k·(－)k＝(－1)kx12－4k，令12－4k＝0，得k＝3，所以常数项为－＝－4.
4.若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为　　　　.
答案：20
解析：因为二项式系数之和为2n＝64，所以n＝6，则Tk＋1＝·x6－k·＝x6－2k.当6－2k＝0，即k＝3时为常数项，即常数项为T4＝＝20.
考点一　展开式中的通项问题(求特定项或特定项的系数) 多维探究
角度1　(a＋b)n(n∈N*)型
(1)(2025·山东济宁三模)的展开式的常数项为(　　)
A.160 B.－160
C.80 D.－80
(2)(2025·沈阳质量监测)已知二项式的展开式中x2的系数是280，则实数a的值等于(　　)
A.1 B.2
C.±1 D.±2
(3)的展开式中，无理项的项数为(　　)
A.27 B.24
C.26 D.25
答案：(1)B　(2)C　(3)D
解析：(1)展开式的通项公式为Tk＋1＝·(2x)6－k·＝(－1)k·26－k··x6－2k.令6－2k＝0，解得k＝3，所以展开式的常数项为－23×＝－160.故选B.
(2)由二项式展开式的通项为Tk＋1＝(2x2)7－k＝27－k·(－a)k·x14－3k.令14－3k＝2，解得k＝4，所以23·(－a)4·＝280，解得a＝±1.故选C.
(3)展开式的通项为Tk＋1＝·()30－k·＝，k＝0，1，2，…，30，若x的指数15－k为整数，则k是6的倍数，所以当k＝0，6，12，18，24，30时为有理项，共6项，故无理项的项数为31－6＝25.故选D.
角度2　(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)型
(1)(2025·安徽蚌埠第三次质量检测)(1－x＋x2)2·(1＋x)3的展开式中，x4的系数为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.5
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(1－)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为　　　　(用数字作答).
【溯源教材28】
溯源 (人教A选择性必修三P38T5(1))求(1－2x)5(1＋3x)4的展开式中按x的升幂排列的第3项.
透视 高考题与教材题均围绕二项式定理的通项公式展开，核心是利用(a＋b)n的通项Tk＋1＝an－kbk(结合多项式乘法的分配律，分别计算不同项的系数后再合并.高考题是教材题在形式、变量、应用场景上的拓展延伸，二者共享“二项式定理通项公式＋多项式乘法分配律”的核心解题逻辑，体现了高考命题对教材核心知识点的“深化与迁移”考查思路，2020年全国Ⅰ卷也进行了类似考查：(2020·全国Ⅰ卷)(x＋)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A.5　　 B.10　　 C.15　　 D.20 答案：C 解析：(x＋y)5的展开式的通项为Tk＋1＝x5－kyk.在xTk＋1＝x6－kyk中，令k＝3，可得xT4＝x3y3，该项中x3y3的系数为10；在Tk＋1＝x4－kyk＋2中，令k＝1，可得T2＝x3y3，该项中x3y3的系数为5.所以x3y3的系数为10＋5＝15.故选C.
预测 的展开式中的常数项为　　　. 答案：10 解析：因为＝＋2，＝(x2＝(－1)kx12－3k，令12－3k＝0，得k＝4，令12－3k＝3，得k＝3，即×(－1)3×x3＋(－1)4×x0×2＝－20＋30＝10.
答案：(1)B　(2)－28
解析：(1)根据题意，(1－x＋x2)2＝1＋x2＋x4－2x＋2x2－2x3＝1－2x＋3x2－2x3＋x4，(1＋x)3＝1＋3x＋3x2＋x3，所以(1－x＋x2)2·(1＋x)3的展开式中，x4的系数为－2×1＋3×3－2×3＋1×1＝2.故选B.
(2)因为(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，所以(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为x2y6－x3y5＝－28x2y6，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28.
学生用书 第283页
角度3　(a＋b＋c)n(n∈N*)型
(1)(2025·广西桂林模拟)在(x2＋2x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A.60 B.30
C.15 D.12
(2)(x＞0)的展开式中的常数项为　　　　.
答案：(1)A　(2)
解析：(1)由(x2＋2x＋y)5＝[(x2＋2x)＋y]5，由通项公式可得Tk＋1＝(x2＋2x)5－kyk.因为要求x5y2的系数，故k＝2，此时(x2＋2x)3＝x3·(x＋2)3，其对应x5的系数为21＝6.所以x5y2的系数为×6＝60.故选A.
(2)(x＞0)可化为，因而Tk＋1＝··()10－2k，令10－2k＝0，解得k＝5，故展开式中的常数项为·＝.
1.求(a＋b)n(n∈N＋)的展开式中的特定项的步骤
2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.
3.求(a＋b＋c)n(n∈N*)型展开式中问题的方法
(1)因式分解法：将三项式利用因式分解变化为两个二项式，然后再用二项式定理求解问题.
(2)逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题.
(3)组合知识法：把(a＋b＋c)n看成n个(a＋b＋c)的积，利用组合知识分析项的构成.
对点练1.的展开式中的中间项为(　　)
A. B.
C.－7 D.－7
答案：B
解析：根据题意得中间项为)4·＝.故选B.
对点练2.(2025·安徽江淮十校联考)(x2＋2)·的展开式的常数项为(　　)
A.－3 B.－2
C.2 D.3
答案：D
解析：的展开式通项为Tk＋1＝(－1)k＝(－1)k·x2k－10.由2k－10＝0得k＝5，所以(－1)5＝－1.由2k－10＝－2得k＝4，所以的x－2项系数为(－1)4＝5，所以(x2＋2)的展开式的常数项是2×(－1)＋5＝3.故选D.
对点练3.(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A.10 B. 20
C. 30 D. 60
答案：C
解析：(x2＋x＋y)5表示5个因式(x2＋x＋y)的连乘积，要得到含x5y2的项，只需先从5个因式中选2个因式中的x2，剩余的3个因式中选1个x，其余因式取y即可，故x5y2的系数为＝30.故选C.
考点二　二项式系数与项的系数问题 多维探究
角度1　二项式系数和与各项系数和
(1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为(　　)
A.50 B.70
C.90 D.120
(2)(多选)已知＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0，则(　　)
A.a0＝28
B.a1＋a2＋…＋a8＝1
C.｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a8｜＝38
D.a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8
答案：(1)C　(2)AD
解析：(1)令x＝1，则＝4n，所以在的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.展开式的通项为Tk＋1＝x5－k·＝3k.令5－k＝2，得k＝2，所以x2的系数为32＝90.故选C.
(2)令x＝0，则a0＝(－2)8＝28，故A正确；令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝＝1，所以a1＋a2＋…＋a8＝1－28，故B错误；令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，所以a0＋a2＋a4＋…＋a8＝，a1＋a3＋…＋a7＝，a0＝28，所以｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜a8｜＝38－28，故C错误；对＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0两边关于x求导得8(x－2)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7，再令x＝1得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8，故D正确.故选AD.
【教师备选】　设(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1＋a2＋…＋a5＝(　　)
A.－2 B.－1
C.242 D.243
答案：C
解析：在(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5中，令x＝0，得15＝a0，所以a0＝1；令x＝1，得35＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35－a0＝242.故选C.
角度2　系数与二项式系数的最值
(1)(多选)下列关于的展开式的说法中正确的是(　　)
A.常数项为－160
B.第4项的系数最大
C.第4项的二项式系数最大
D.所有项的系数和为1
(2)(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为　　　　.
学生用书 第284页
【溯源教材29】
溯源 (人教A选择性必修三P37T1(7))(1＋x的展开式中，系数最大的项为第　　　　项.
透视 教材题是系数最大项位置判断，属于二项式系数性质的直接应用；高考题是各项系数最大值求解，教材题和高考题均要求学生熟练掌握二项式定理的通项公式，具备“分析系数变化规律→建立数学模型(不等式组)→求解最值”的逻辑推理能力，以及准确的代数运算能力(如组合数计算、不等式求解)，体现了高考命题对教材核心知识点“从基础应用到综合拓展”的考查思路
预测 已知(1＋3x)n的展开式中前三项的二项式系数的和为79，则展开式中系数最大的项为第　　　　项. 答案：10 解析：由(1＋3x)n的展开式中前三项的二项式系数的和为79，得＋＋＝1＋n＋＝79，整理得n2＋n－156＝0，解得n＝12(负值舍去)，所以(1＋3x)12的展开式的通项为＝·(3x)k＝·3kxk(k＝0，1，2，…，12).记各项系数为f(k)＝·3k(k＝0，1，2，…，12)，由＝＝＞1，得k＜8.75，故当k＝0，1，2，…，8时，f(k＋1)＞f(k)；k＝9，10，…，12时，f(k＋1)＜f(k)，即f(0)＜f(1)＜…＜f(9)＞f(10)＞f(11)＞f(12)，即f(9)最大，即第10项的系数最大.
答案：(1)ACD　(2)5
解析：(1)的展开式的通项为Tk＋1＝··(－2x)k＝(－2)k·x2k－6.对于A，令2k－6＝0，解得k＝3，所以常数项为(－2)3＝－8×20＝－160，故A正确；对于B，由通项公式知，若要系数最大，k所有可能的取值为0，2，4，6，所以T1＝x－6，T3＝4x－2＝60x－2，T5＝(－2)4x2＝240x2，T7＝(－2)6x6＝64x6，所以展开式第5项的系数最大，故B错误；对于C，展开式共有7项，故第4项的二项式系数最大，故C正确；对于D，令x＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，故D正确.故选ACD.
(2)根据题意，展开式通项公式为Tk＋1＝xk，0≤k≤10且k∈Z.设展开式中第k＋1项系数最大，则≤k≤.又k∈Z，故k＝8，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为＝5.
1.项的系数和问题
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，n，m∈N*)的式子求其展开式中的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式中的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；同理，求系数之差时，只需根据题目要求令x＝1，y＝－1或x＝－1，y＝1即可.
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，偶次项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，奇次项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
2.求二项式系数最大项
(1)如果n是偶数，那么中间一项(第＋1项)的二项式系数最大.
(2)如果n是奇数，那么中间两项的二项式系数相等且最大.
3.求展开式系数最大项
求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用解出k值即可.
对点练4.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为(　　)
A.－126 B.－70
C.－56 D.－28
答案：C
解析：因为只有第5项的二项式系数最大，所以n＝8，的展开式的通项为Tk＋1＝(k＝0，1，2，…，8)，所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为＝－56.故选C.
对点练5.设＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为　　　　.
答案：1
解析：令x＝1，有a0＋a1＋…＋a10＝.令x＝－1有a0－a1＋a2－…＋a10＝.所以(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)·(a0－a1＋a2－…＋a10)＝＝1.
考点三　二项式定理的综合应用 师生共研
(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 026＋a能被13整除，则a等于(　　)
A.0 B.1
C.11 D.12
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值为(　　)
A.1.23 B.1.24
C.1.33 D.1.34
答案：(1)D　(2)D
解析：(1)因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512 026＋a＝＋a＝522 026－522 025＋522 024－…＋522－52＋＋a.因为512 026＋a能被13整除，所以＋a＝1＋a能被13整除，结合选项，所以a＝12.故选D.
(2)1.056＝＝＋×0.05＋×0.052＋×0.053＋…＋×0.056＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…＋0.056≈1.34.故选D.
二项式定理应用的题型及解法
1.在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式.
2.二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，｜x｜比较小时，≈1＋nx.
对点练6.设6299＝7n＋r，其中n∈N*，且0≤r＜7，则r＝(　　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
答案：D
解析：6299＝＝6399＋6398＋…＋631＋630，在所有的展开项中，只有630＝－1不能被7整除，故6299＝7n－1＝7＋6，其中n∈N*.故选D.
对点练7.0.996的计算结果精确到0.001的近似值为(　　)
A.0.940 B.0.941
C.0.942 D.0.943
答案：B
解析：0.996＝＝×1－×0.01＋×0.012－×0.013＋…＋×0.016＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016≈0.941.故选B.
课时分层测评82　二项式定理
(时间：60分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(每小题5分，共50分)
1.(2024·北京卷)在的展开式中，x3的系数为(　　)
A.6 B.－6
C.12 D.－12
答案：A
解析：的展开式的通项为Tk＋1＝x4－k＝.令4－＝3，解得k＝2，故所求即为＝6.故选A.
2.＋2＋4＋…＋2n－1＝(　　)
A.3n B.2·3n
C.－1 D.
答案：D
解析：＋2＋4＋…＋2n－1＝(21＋22＋23＋…＋2n)＝(20＋21＋22＋23＋…＋2n)－＝－＝.故选D.
3.(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9 的展开式中x2 的系数是(　　)
A. 60 B. 80
C. 84 D. 120
答案：D
解析：因为(1＋x)n 的展开式的通项为Tk＋1＝xk ，所以(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9 的展开式中x2 的系数是＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝…＝＋＝＝＝120(组合数性质＝＋ ，n ，m ∈N* ，且m≤n 的应用).故选D.
4.的展开式中x3的系数为(　　)
A. －50 B. －10
C. 10 D. 50
答案：A
解析：展开式的通项为Tk＋1＝x5－k，则T3＝10x3，T4＝－10x2，故(2x－3)(x－1)5的展开式中x3的系数为2×＋×10＝－50.故选A.
5.二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　)
A.3 B.5
C.6 D.7
答案：D
解析：根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，所以的展开式的通项为Tk＋1＝··＝··，要使x的指数是整数，需k是3的倍数，所以k＝0，3，6，9，12，15，18，所以x的指数是整数的项共有7项.故选D.
6.(2025·山东德州二模)展开式中x2y－2的系数为(　　)
A.－840 B.－420
C.420 D.840
答案：C
解析：现有8个相乘，从每个(1＋x－)中的三项1，x，－各取一项相乘时，若结果为x2y－2的常数倍，则所取的8项中有4个1，2个x，2个－.所以总的选取方法数目就是··＝70×6×1＝420，x2y－2的系数就是全部的选取数420.故选C.
7.(多选)下列关于“杨辉三角”的结论正确的是(　　)
A.＋＋＋…＋＝220
B.记第n行的第i个数为ai，则3i－1ai＝4n
C.第2 026行中从左往右第1 013个数与第1 014个数相等
D.第30行中第12个数与第13个数之比为12∶19
答案：BD
解析：对于A，由＋＝，可得＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋－1＝＋＋＋…＋－1＝…＝－1＝－1＝219，故A错误；对于B，3i－1ai＝30＋31＋32＋…＋3n＝(1＋3)n＝4n，故B正确；对于C，第2 026行中从左往右第1 013，1 014个数分别为，，易知两者不相等，故C错误；对于D，第30行中第12个数与第13个数之比为∶＝×＝12∶19，故D正确.故选BD.
8.(多选)(2025·江苏常州市金坛区二模)在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是(　　)
A.n＝8
B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C.常数项为
D.展开式中系数最大项为第3项和第4项
答案：ABD
解析：展开式的通项为Tk＋1＝·＝·，则前3项的系数分别为，，.对于A，由题意可得2×＝＋，即n＝1＋，解得n＝8或n＝1(舍去)，所以n＝8，故A正确；对于B，＝128，故B正确；对于C，展开式的通项为Tk＋1＝·xk－4，令k－4＝0，则k＝4，所以·＝，故C错误；对于D，设展开式中第r＋1项的系数最大，则有解得r＝2或r＝3，所以展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确.故选ABD.
9.(多题同解)(1)(2024·天津卷)在的展开式中，常数项为　　　　.
(2)已知二项式(n∈N*)展开式中含有常数项，则n的最小值为　　　　.
答案：(1)20　(2)6
解析：(1)通项为Tk＋1＝36－2kx6(k－3)，k＝0，1，2，…，6.令6(k－3)＝0，可得k＝3，所以常数项为30＝20.
(2)二项式(n∈N*)展开式的通项为Tk＋1＝xn－k＝xn－6k(n∈N*，k∈N).因为二项式(n∈N*)展开式中含有常数项，所以n－6k＝0有解，所以n＝6k，则当k＝1时，n最小，且最小值为6.
10.设n为正整数，(a＋b)2n展开式的二项式系数的最大值为x，(a＋b)2n＋1展开式的二项式系数的最大值为y，若9x＝5y，则n＝　　　　.
答案：4
解析：由(a＋b)2n展开式的二项式系数的最大值为x，则有x＝.由(a＋b)2n＋1展开式的二项式系数的最大值为y，则有y＝.由9x＝5y，故有9＝5，即9×＝5×，即9×＝5×，即9(n＋1)＝5(2n＋1)，解得n＝4.
(每小题5分，共20分)
11.已知(1＋x)(n∈N*，n＜10)的展开式中没有常数项，则n的最大值为(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
答案：B
解析：因为(1＋x)＝x＋(n∈N*，n＜10)的展开式中没有常数项，的展开式的通项为Tk＋1＝xn－k＝xn－3k(k∈N，k≤n).①当的展开式中无x－1时，n－3k≠－1；②当的展开式中无常数项时，n－3k≠0，结合选项，只有B项同时满足上面两个条件.故选B.
12.(多选)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则(　　)
A.a0＝－32 B.a2＝－80
C.a3＋4a4＝0 D.a0＋a1＋…＋a5＝1
答案：ABC
解析：令x＝－1，得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正确；令x＝0，得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正确；令x＋1＝y，则原式就变为(y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2即二项式(y－2)5的展开式中y2的系数，Tk＋1＝y5－k(－2)k，故a2＝(－2)3＝－80，故B正确；a4＝(－2)1＝－10，a3＝(－2)2＝40，所以a3＋4a4＝0，故C正确.故选ABC.
13.(多选)(2025·河北沧州模拟)已知(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，则(　　)
A.展开式中所有项的二项式系数和为22 025
B.展开式中系数最大项为第1 352项
C.a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝
D.＋＋＋…＋＝－1
答案：AD
解析：易知(1－2x)2 025的展开式中所有项的二项式系数和为22 025，故A正确；由二项式通项，知Tk＋1＝(－2x)k＝(－2)kxk，所以第1 352项的系数为(－2)1 351＜0，所以第1 352项不是系数最大项，故B错误；当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝－1　①，当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024－a2 025＝32 025　②，可得，a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝－，故C错误；当x＝0时，a0＝1，当x＝时，a0＋＋＋＋…＋＝0，所以＋＋＋…＋＝－a0＝－1，故D正确.故选AD.
14.(多题同解)(1)已知S＝230＋229＋228＋…＋2，则S除以10所得的余数为　　　　.
(2)已知(1＋2 027x)100＋(2 027－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若0≤k≤100且k∈N，当ak＜0时，k的最大值为　　　　.
答案：(1)8　(2)49
解析：(1)S＝230＋229＋228＋…＋2＝(1＋2)30－1＝915－1＝(10－1)15－1＝×1015×(－1)0＋×1014×(－1)1＋…＋×10×(－1)14＋×(－1)15－1＝×1015×(－1)0＋×1014×(－1)1＋…＋×10×(－1)14－2，所以S除以10所得的余数为8.
(2)xk的系数为ak＝2 027k＋2 027100－k·(－1)k＝2 027k[1＋2 027100－2k(－1)k]，k＝0，1，2，…，100.要使ak＜0，则k必为奇数，且2 027100－2k＞1，所以100－2k＞0，即k＜50，所以k的最大值为49.
(每小题5分，共10分)
15.(交汇融合)(多选)已知f(x)＝(2x－m)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a7(x－1)7，若a0＋＋＋…＋＝128，则下列说法正确的是(　　)
A.m＝1
B.a3＝160
C.f(3)除以6所得余数为5
D.a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5－6a6＋7a7＝14
答案：ACD
解析：令x＝，得f()＝(3－m)7＝a0＋＋＋…＋＝128，所以m＝1，故A正确；令x－1＝t，所以(2t＋1)7＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a7t7，所以a3＝23＝280，故B错误；由A知f(x)＝(2x－1)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a7(x－1)7，所以f(3)＝(6－1)7＝·67－·66＋·65－…＋·6－，所以f(3)除以6的余数为5，故C正确；由(2t＋1)7＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a7t7，两边求导可得7(2t＋1)6·2＝a1＋2a2t＋…＋7a7t6，令t＝－1，得a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5－6a6＋7a7＝14，故D正确.故选ACD.
16.(交汇融合)(多选)若二项式展开式中所有项的系数之和为an，所有项的系数的绝对值之和为bn，二项式系数之和为cn，则(　　)
A.an＜bn＜cn
B.＋≥
C.对任意n∈N，n≥1，均有an＋bn≤cn
D.存在n∈N，n≥1，使得an＋bn＞cn
答案：ABC
解析：根据题意，令x＝1，可得an＝()n.求所有项的系数绝对值之和，等价于求的所有项系数和，令x＝1，可得bn＝()n.二项式系数之和为cn＝2n.对于A，因为＜＜2n，所以an＜bn＜cn，故A正确；对于B，＋＝3n＋，因为3n≥3，且g(n)＝3n＋在[1，＋∞)上单调递增，所以g(n)＝3n＋的最小值为g(1)＝.所以＋≥，故B正确；对于C、D，h(n)＝＋＝＋在[1，＋∞)上单调递减，＋＝()n＋()n≤＋＝1，即an＋bn≤cn，故C正确，D错误.故选ABC.
学生用书 第285页
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